1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati?

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1 1 Nuovi assiomi 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? ) Sono dati quattro punti non complanari a tre a tre non allineati, quanti piani generano? ) Quante coppie di rette sghembe generano quattro punti a tre a tre non allineati non complanari? 4) A quanti piani possono dare origine tre rette incidenti in uno stesso punto? ) A quanti piani possono dare origine due rette r, s parallele e una retta t incidente r? 6) Se due rette nello spazio sono complanari, ci sono rette complanari all una ma non all altra? 7) Sono date tre rette distinte tali che ciascuna interseca le altre due, dimostrare che sono complanari o passano tutte per uno stesso punto. 8) Dimostrare che se tre rette distinte r, s, t dello spazio passano per uno stesso punto O e ciascuna di esse interseca una quarta retta z in un punto distinto da O, allora le quattro rette sono complanari. 9) Dati un punto P e una retta r non passante per P, quali sono le rette sghembe con r e passanti per P? 10) Date due rette incidenti r, s, una retta può essere sghemba con r ma non con s? 11) Nello spazio sono date due rette parallele r, s e una retta t incidente r, quali sono le possibili posizioni di s e t? 1) Vero o falso? Nello spazio due rette che non hanno punti in comune a) Sono parallele b) Possono essere parallele c) Sono sghembe d) Possono essere sghembe e) Non possono giacere su uno stesso piano 1) Dopo aver fornito la definizione di rette sghembe, si consideri la seguente proposizione: Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z a due a due distinte, se x e y sono 1

2 sghembe e così pure se sono sghembe y e z, allora anche x e z sono sghembe. Dire se è vera o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta. (Mat. Sc. 00) 14) Vero o falso? a) Due rette nello spazio si dicono sghembe quando non hanno alcun punto in comune b) se due rette AB e CD sono sghembe tra loro, lo sono anche le rette AC e BD c) Se due rette nello spazio sono complanari, ogni retta complanare all una lo è anche all altra d) Per due rette distinte nello spazio passa sempre uno e un solo piano e) tre rette nello spazio a due a due incidenti o sono complanari o passano per uno stesso punto. 1) Sono date quattro rette p, r, s, t passanti per uno stesso punto O, in cui p è perpendicolare a r e a s. Se t non è complanare con r e s, può essere perpendicolare a p? 16) Siano α e β due piani incidenti, O un loro punto comune, r una retta perpendicolare ad α in O: può essere r perpendicolare a β in O? Il teorema delle tre perpendicolari Esercizio guida 1 In un piano α è dato un triangolo acutangolo ABC e H è la proiezione di A sul lato BC. Indicato con P un generico punto sulla retta perpendicolare in A al piano α, dimostrare che i triangoli PAH, PBH, PCH sono rettangoli. Il segmento AP è perpendicolare in A al piano α, perciò è perpendicolare a tutte le rette di α passanti per A e in particolare al segmento AH: risulta così dimostrato che PAH è un triangolo rettangolo in A. Per dimostrare che anche PBH e PCH sono triangoli rettangoli, si osserva che AH è la perpendicolare al segmento BC condotta dal piede A della perpendicolare al piano α: per il teorema delle tre perpendicolari, BC è perpendicolare in H al piano generato dai punti P, A, H, quindi è perpendicolare al segmento PH. Ne consegue che i triangoli PBH, PCH sono entrambi rettangoli in H. 17) In un piano α è data una circonferenza γ di centro O, tracciare nel piano α la retta t tangente a γ in un generico punto A. Indicato con P un generico punto sulla perpendicolare in O al piano α, dimostrare che AP e t sono tra loro perpendicolari. 18) Data una generica retta r, siano O, P due suoi punti. Tracciare il piano α perpendicolare in O a r e, in tale piano, un rettangolo ABCD in modo che O sia il punto medio del lato AD.

3 Dimostrare che BC è perpendicolare al segmento che ha per estremi P e il punto medio di BC. 19) Dato un quadrato ABCD di lato a tracciare la retta r perpendicolare in A al piano del quadrato e indicare con P il punto di r tale che AP 4. Calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ PB = PD ; PD 4 ] Esercizio guida In un piano α sono assegnati un segmento AB di misura 4a e un punto O sull asse di AB distante 4a dal segmento stesso. Tracciata la retta r perpendicolare al piano α in O, indicare con C il punto di r in corrispondenza del quale = 4a. Calcolare la distanza di C dagli estremi del segmento AB. Poiché r è perpendicolare in O al piano α generato dai punti O, A, B e OH è perpendicolare ad AB, si ha, per il teorema delle tre perpendicolari, che CH è perpendicolare ad AB. CB è quindi ipotenusa del triangolo CHB di cui è noto il cateto HB e calcolabile il cateto CH. HB, CH è ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele COH, pertanto CH 4. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ottiene: BC 4 = 6a AC BC perché i triangoli CHA e CHB sono congruenti. 0) Dato un cerchio γ di centro O e raggio a, sia ABCD un quadrato ad esso circoscritto. Tracciata la retta r perpendicolare in O al piano di γ indicare con P un punto di r che ha distanza 4a da O, calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ a 4 ] 1) Dal centro di un triangolo equilatero di lato 6 tracciare la retta r perpendicolare al piano del triangolo e indicare con P un punto di r che ha distanza dal piano. Calcolare la distanza di P da ciascuno dei tre vertici del triangolo. [4 a ] ) Un triangolo ABC rettangolo in A ha AC e BC. Tracciata la retta r perpendicolare in C al piano del triangolo, sia P un punto di r in corrispondenza del quale PC 4. Calcolare la distanza di P da M punto medio di AB. [ PM = a 9 ] ) Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB = a e AC = 4a, tracciare la retta r perpendicolare al piano del triangolo in A e indicare con P un punto di r tale che AP AC. Indicato con Q un punto di BC, per quale posizione di Q il segmento BC è perpendicolare al piano generato dai punti A, P, Q? Quanto misura PQ? 9 4 [Q deve essere distante a dal vertice B, allora PQ = a 4 ]

4 4 4) In un piano π si consideri il quadrato ABCD di lato a; sulla perpendicolare in B a π si prenda il punto V tale che VB BD. Siano: P un generico punto del segmento DV, Q la proiezione di P su π, H la proiezione di Q su DC. Posto DH = x, a) Provare che PH è perpendicolare a DC b) Calcolare in funzione di x e di a le misure di DV, PQ, DP c) esprimere in funzione di x f ( x) = PH BQ funzione assume valore massimo., e determinare per quale valore di x la [0 x a; DV = a, DP = x, PQ = x ; f(x) = x + 4ax a, max. x = a] Prismi, parallelepipedi, cubo 1. Dimostrare l inverso del teorema 7: Se le diagonali di un parallelepipedo sono tutte uguali, il parallelepipedo è rettangolo.. Dato un cubo di lato l calcolare la misur a delle sue diagonali. [ l ]. Le diagonali di un cubo sono perpendicolari tra loro? Un parallelepipedo rettangolo può avere le diagonali perpendicolari? [se ha base quadrata, lato di base x, altezza x] 4. Riferendosi alla figura, calcolare l angolo che la diagonale BD del cubo di lato l forma con il piano della faccia ABCD. 1 [ arsen ]. Dimostrare che la perpendicolare condotta da un vertice A di un cubo ad una diagonale non uscente da A divide la diagonale stessa in due parti, una doppia dell altra. 6. AB e BC sono le diagonali d i due facce di un cubo. Dimostrare che il triangolo ABC è equilatero. 7. AB e BC sono due diagonali delle facce di un cubo come in figura. Quanto misura l angolo ABC? A B C 4

5 8. Siano AB, AC e AD tre spigoli di un cubo. Sapendo che lo spigolo è lungo s, calcolare la s distanza del vertice A dal piano dei punti B,C e D. (Mat. Sup. 00) [ ] 9. Le sezioni di un cubo con un piano possono avere forma di triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono a seconda della posizione del piano rispetto agli spigoli del cubo. Illustrare le diverse situazioni. 10. Dato un cubo ABCDEFGH (nel quale i vertici H,E,F,G sono rispettivamente opposti ad A, B, C, D), si prendano i punti medi degli spigoli AB, BG, GH, HE, ED, DA e si congiungano a due a due nell ordine indicato. Dimostrare che l esagono che si ottiene è regolare, e determinare il rapporto tra la sua area e la superficie totale del cubo. 11. Considerare quelle sezioni di un cubo con un piano che sono poligoni di quattro lati: riconoscere che il tipo di quadrilatero dipende dalla posizione del piano rispetto al cubo. 1. Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A B C D. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC A e D DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa. [Mat. Sc. 001] 1. Quali tra queste figure sono lo sviluppo piano di un prisma retto che ha per base un triangolo equilatero? 14. Un parallelepipedo retto ha per base un rettangolo che ha un lato di misura e la diagonale del rettangolo forma con questo lato un angolo α = ar cos. Sapendo che

6 6 l altezza del parallelepipedo vale calcola le diagonali del parallelepipedo. 41 [ a ] Triedri 1. Quali relazioni tra gli elementi di un triedro non corrispondono all analogia triangolotriedro, e perché? 16. Un triedro non può avere due diedri retti, perché nella figura piana che gli corrisponde, il triangolo, non possono esserci due angoli retti : questa proposizione è vera o falsa? Perché? 17. Tre angoli di 60 possono essere le facce di un triedro? Dimostrare il teorema usato per rispondere. 18. Esiste un triedro le cui facce siano π/, π/, π/? Enunciare e dimostrare il teorema usato per rispondere. 19. Enunciare le disuguaglianze che valgono per gli elementi di un triedro, e spiegarne il significato. Quali tra esse valgono anche per un generico angoloide? 0. Dimostrare che, se un triedro ha le tre facce congruenti tra loro, anche i suoi diedri sono tra loro congruenti. 1. Dimostrare che, se in un triedro due facce sono angoli retti, allora nel triedro vi sono due diedri retti.. E dato un triedro avente due facce di ampiezza π/ e una di ampiezza π/. Calcolare l ampiezza del suo diedro compreso tra le due facce congruenti. [ arsen ]. E dato un triedro avente le facce di ampiezza π/ (triedro equ ilatero). Calcolare 1 l ampiezza dei suoi diedri. [ arsen ] 4. Vero o falso? a) Tutti i triedri aventi le tre facce ugu ali tra loro (triedri equilateri) sono congruenti tra loro b) E possibile che un triedro abbia le tre facce di ampiezza π/, ma non è possibile che abbia i tre diedri di ampiezza π/. c) Un triedro non può avere due diedri retti, perché nella figura piana che gli corrisponde, il triangolo, non possono esserci due angoli retti. 6

7 7. Dire se e come, intersecando con un piano α non passante per il vertice un triedro trirettangolo (avente per facce tre angoli retti), si può ottenere come sezione: a. un triangolo equilatero b. un triangolo rettangolo c. un triangolo isoscele non equilatero d. un angolo retto e. un angolo acuto f. un angolo ottuso. 6. S e S sono due sezioni parallele di un angoloide tetraedro, e S = 8S. Calcolare il rapporto esistente tra le distanze rispettive di S e S dal vertice dell angoloide, e dimostrare il teorema che si è usato per rispondere. [h /h = ] Quale ipotesi avrebbe potuto essere omessa senza compromettere l esito del problema? Piramidi 7. Data una piramide VABCD a base quadrata di lato a, avente le quattro facce triangolari che sono triangoli equilateri, calcolare: a) L altezza VH della piramide [VH = a / ] b) l ampiezza β dei diedri che le facce laterali formano con la base c) l ampiezza α dei diedri che concorrono nel vertice V. [β = arsen,α = arsen ] 6 8. a. Dimostrare che se una piramide a base quadrangolare è retta, allora la somma di due facce laterali non consecutive è equivalente alla somma delle altre due. b. Se la piramide del punto a. ha base quadrata e superficie laterale doppia di quella di base, calcolare l ampiezza dei diedri formati dalle facce laterali con il piano di base e le ampiezze degli angoli formati dagli spigoli laterali sempre con il piano di π base. [ ; arctg ] 9. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare. Descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide. [Mat. Sc. 00] 0. Un ragno vuole ispezionare la superficie esterna di una piramide a base quadrata, le cui facce laterali sono triangoli equilateri. Partendo dal centro di una faccia laterale, vuole toccare i centri di tutte le altre facce laterali, seguendo il cammino più breve possibile. Sapendo che uno spigolo della piramide misura, trovare la lunghezza totale del percorso. a) 4 b) c) d) / e) nessuna delle precedenti [Gare 00] Esercizio guida 1 - Dato un rettangolo ABCD di dimensioni AB e BC, tracciare la perpendicolare in A al piano del rettangolo e indicare con V il 7

8 8 punto della retta che ha distanza a da A. Calcolare la misura degli spigoli della piramide VABCD. VB = 4 8 = a (teorema di Pitagora applicato al triangolo VAB) VC 4 1 = 4 (teorema di Pitagora applicato al triangolo VAC) VD (VAD triangolo rettangolo isoscele) 1. Una piramide ha p er base un triangolo isoscele ABC di lati AB AC e angolo al vertice α = arcos( ). Sapendo che l altezza AV misura a, calcolare la superficie della piramide e l angolo che la faccia VBC forma con il piano di base. 66 [superficie totale = a ; β = arco s ] 7. Una piramide retta di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC di lato 1a. Calcola l altezza e l apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 0 con il piano di base. [ altezza = 4 a; apotema = a 7 ]. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a. Calcolare l altezza e l apotema della piramide sapendo che lo spigolo AV forma un angolo di 0 con il piano di base [ altezza = a ; apotema = a ] 4. Una piramide retta ha per base un quadrato di perimetro 48a. Sapendo che l altezza della piramide è 8a, calcolare la superficie laterale della piramide e l angolo che le facce laterali formano con il piano di base. [ 40a 4, α = art g ]. Una piramide retta a base quadrata ha apotema che forma un angolo α = artg con il 4 piano di base. Sapendo che il lato del quadrato misura 8a, calcolare la superficie piramide. [ 144a ] della 6. Una piramide retta ha per base un quadrato di lato 6a, calcolare la superficie della piramide sapendo che gli spigoli laterali formano con il piano di base un angolo α = arsen 4. [( )a ] 7. Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero, calcolare la superficie della piramide sapendo che la sua altezza misura 8a e che le facce laterali formano un angolo α = arctg con il piano di base. [48 1 ] 8. E assegnato un triangolo isoscele ABC di lati AB AC e angolo al vertice α = 1 arcos ( ). Sulla perpendicolare in A al piano del triangolo sia P il punto in 8

9 9 corrispondenza del quale il piano PBC forma un angolo di 0 con il piano del triangolo. Calcolare la superficie della piramide PABC. [ 6 ] 9. Una piramide retta di vertice V ha per base un quadrato ABCD di lato 4a e ha un altezza tale che le superfici laterali formano un angolo di 4 con il piano di base. A quale distanza dal vertice si deve sezionare la piramide con un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide VA B C D che ha superficie pari al % di quella della piramide ABCD? Quanto misurano le due superfici? [distanza dal vertice = a; A= 16 1, A = 4 1 ] 40. Una piramide retta VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC che ha il cateto AB = 1 e l angolo in B di 60. Calcolare la superficie della piramide sapendo che l altezza misura. Qual è l angolo α che le superfici laterali formano con il piano di base? [ 1 ; α = 60 ] 41. Una piramide retta di vertice V ha altezza h = a e per base un triangolo equilatero di lato 6 a. Calcolare a) l apotema della piramide b) la superficie totale della piramide c) l angolo che ciascuna faccia della piramide forma con il piano di base. [ a) ; b) 7 ; c) 60 ] 4. Una piramide retta a base quadrata ha lato di base l = 8 e altezza h =. Dimostrare che tutte le facce laterali hanno la stessa area, e calcolarne il valore. [a =, Area=0] 4. Una piramide ha per base un rettangolo di lati a e a e la sua altezza cade nel punto medio di uno dei lati maggiori. a. Giustificare che le facce laterali della piramide sono due triangoli rettangoli e due triangoli isosceli b. Sapendo che l ampiezza dei diedri che i triangoli rettangoli formano con il piano di base, calcolare la superficie totale della piramide è 44. Esprimere in funzione dello spigolo s l altezza h e la superficie totale S t di un tetraedro regolare. [h = s ; S t = s ] 4. Di un tetraedro regolare a. Calcolare l ampiezza α dei diedri. [α = arcos(1/), α = arsen( /), α = arsen(1/ )] b. calcolare l ampiezza dell angolo γ fra uno spigolo e la base. [γ = arcos(1/ )] 9

10 In un piano α è dato il triangolo isoscele ABC, di lati AB = AC = a e tale che cos( BAC ) =. Tracciare da A la perpendicolare a α e prendere su essa il punto V tale che AV=a ; congiungere V con B e C.. a. Calcolare la superficie totale del tetraedro ottenuto. b. Preso un punto P su AB, tracciare la parallela r al lato BC, e costruire il piano β passante per r e perpendicolare a α. Dimostri che la sezione del tetraedro ottenuta sul piano β è un rettangolo. Sezionando una piramide parallelamente alla base 47. Dimostrare che se una piramide di altezza h viene tagliata con un piano parallelo alla base ad una distanza h dal vertice V: a) L area A della sezione ottenuta e l area B della base della piramide stanno tra loro come i quadrati delle rispettive distanze h e h da V b) detta S la superficie laterale della piramide di partenza e S quella della piramide ottenuta, vale la relazione: S : S = h : h. c) Vale la relazione analoga per le superfici totali delle due piramidi? Esercizio guida Una piramide di vertice V ha per base un quadrilatero ABCD che ha area 0 a e ha altezza 6a. Calcolare a quale distanza dal vertice è stato tracciato il piano parallelo al piano di base che stacca sulla piramide un poligono che ha area 1 a. VH = x Per il teorema sulle sezioni parallele di un angoloide vale la proporzione: 0 : 1 6 : Risolvendola, si ottiene x = 7a x =. 10

11 Considerare una piramide retta a base quadrata, di altezza h e vertice V. A quale distanza h da V deve essere condotto un piano parallelo alla base per ottenere una sezione che sia la metà della sezione di base? Dimostrare il teorema usato per rispondere. [h = h/ ] 49. Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato 4a. Sapendo che l altezza della piramide è a calcolare la superficie. A distanza dal vertice della piramide tracciare un piano parallelo al piano di base e indicare con S la sezione ottenuta. Calcolare la superficie della piramide che ha base S e vertice V. [(48+4 ; (+ ] 0. Una piramide retta a base quadrata ha altezza 4a e le facce laterali formano un angolo α = artg con il piano di base. a) Calcolare la superficie della piramide. b) Determinare a quale distanza dal vertice della piramide si deve tracciare un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide che ha superf icie laterale pari al 90% della superficie laterale della piramide assegnata. [ a) 16( 1+ ) a ; b) 6a ] 1. Una piramide retta di vertice V ha per base un esagono regolare; l apotema della piramide misura 10a e forma un angolo α =arcsen con il piano di base. Calcolare la superficie della piramide e l angolo che ciascuno spigolo forma con il piano di base. Ricavare a quale distanza dal vertice V si deve condurre un piano parallelo al piano di base per ottenere una piramide la cui superficie laterale è metà di quella della piramide assegnata. [ superficie = 19, β= artg, distanza dal vertice = 4 ]. Un rettangolo ABCD ha i lati AB = 8 a e BC = 6 a; indicare con V il punto sulla retta perpendicolare in B al piano del rettangolo tale che VB = 10 a. a) Calcolare gli angoli che gli spigoli VB, VC, VD formano il piano di base della piramide VABCD b) Tracciato un piano α parallelo al piano di base e distante a dal vertice della piramide, calcolare l area della sezione staccata sulla piramide. [a) α = artg, β = artg, δ = 4 ; b) 4 ]. In figura è rappresentato un cubo di lato a. Sapendo che V è il punto d intersezione delle diagonali e che O è il piede della perpendicolare condotta da V al piano del quadrato ABCD: a) dimostrare che O è il centro del quadrato ABCD 11

12 1 b) calcolare la superficie totale della piramide che ha vertice V e base coincidente con il quadrato ABCD. 4. Un prisma retto ha per basi triangoli equilateri di lato l e ha altezza uguale a quella delle facce di base. Indicato con V il centro di una faccia di base considerare la piramide che ha vertice V e base sulla faccia opposta del prisma. Calcolare la somma delle superfici laterali del prisma e della piramide. Prismi inscritti in una piramide. Una piramide regolare a base quadrata ha gli spigoli laterali inclinati di 0 sul piano di base; il lato di base è k 6. Calcolare: a.la superficie totale della piramide [ ( + 4 ) k ] b. il lato del cubo inscritto nella piramide avente una faccia parallela alla base della piramide stessa. 6. Una piramide retta ha per base un esagono regolare di lato a e altezza h = a. a. Calcolare la superficie della piramide b. Calcolare a quale distanza dal vertice bisogna tracciare un piano parallelo al piano di base della piramide affinché il p risma che h a per basi la sezione staccata e la sua 8 proiezione sulla base della piramide abbia superficie laterale a. [ a) 6 a ( + ) ; b), ] 7. Una piramide retta che ha base quadrata di lato a e altezza h = 6 a, viene secata con un piano parallelo al piano di base. Calcolare a quale distanza dal vertice si deve condurre tale piano, affinché il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione ortogonale sul piano di base abbia superficie laterale. [ 4 ] 8. U na piramide ha base quadrata ABCD di lato a, vertice V e altezza condotta dal punto a medio H del lato AB in modo che sia V H =. Condotto per un punto K di VH un piano α parallelo al piano di base, indicare con A B C D il poligono staccato da α sulla piramide VABCD. a. Calcolare tutti gli spigoli della piramide assegnata e l angolo che ciascuno forma con il piano di base. b. Determinare per quale posizione di K il prisma che ha per basi A B C D e la sua 1 proiezione sulla base della piramide è un cubo. [c) KV = a ] 6 1

13 1 9. Una piramide di vertice V ha per base un triangolo equilatero ABC e altezza congruente al lato di base situata sulla perpendicolare in A al piano di base. Nel caso in cui il lato di base sia 4, determinare a quale distanza dal vertice si deve tracciare un piano parallelo al piano di base affinché il prisma che ha per basi la sezione ottenuta e la sua proiezione sul piano di base della piramide abbia superficie laterale. [, ] 1