F. Piacentini - Roma1. F. Piacentini - Roma1. Il cielo a microonde spettro di potenza angolare. Mappe della radiazione di fondo cosmico (CMB)

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1 Lo spettro di potenza angoare dea radiazione di fondo cosmica Lo spettro di potenza angoare dea radiazione di fondo cosmica F. Piacentini - Roma F. Piacentini - Roma Page Mappe dea radiazione di fondo cosmico (MB) Page osa ci aspettiamo di misurare? Le mappe riportano futtuazioni di temperatura. In pratica assomigia più a un rumore che a un segnae. Ne'universo primordiae non ci sono strutture, ma soo futtuazioni casuai Siamo quindi interessati ae proprietà statistiche di questo segnae Futtuazioni di brianza attorno aa brianza di un corpo nero a cmb.75 K Sotto 'ipotesi di gaussianità tutta 'informazione statistica e' contenuta nea funzione di correazione angoare a due punti, che ci dice quanto sono correati in media due punti separati in cieo da un angoo θ: La funzione di correazione e' a trasformata di Fourier deo spettro di potenza La funzione di correazione angoare e' a trasformata di Legandre deo spettro di potenza angoare (dimostrato nee prossime pagine) Posso esprimere e anisotropie in termini di futtuazioni di temperatura Δ Page 3 Page 4 f(x) is an L function if Page 5 Page 6

2 Sotto rotazione de sistema di riferimento, e armoniche sferiche sono modificate Ma i nuovi coefficienti a'(,m) dipendono da a(',m'), con ' Grazie ae isotropia, a varianza dei coefficienti am dipende soo da e non da m. Vagono quindi e reazioni: Quindi L'informazione presente nea correazione a punti c(θ) quindi può essere contenuta neo spettro di potenza angoare, varianza dei am i serve un estimatore Page 7 Page 8 Estimatore deo spettro di potenza angoare + ^ a a + m m m ens Estimatore + a a + m m m ens usando a def. deo spettro di potenza + + m usando 'isotropia dea MB vaore vero ` Page 9 Page 0 + a a + m m m Page Page

3 Da un modeo teorico e' possibie prevedere o spetto di potenza angoare, o anche a funzione angoare correazione a due punti c(θ 0) varianza mappa I primo picco a 00 corrisponde a bump a grado Lo spettro di potenza angoare e' piu' eggibie La maggior parte dei metodi di stima dei parametri cosmoogici parte da misure di spettro di potenza angoare Acuni metodi si basano invece sua funzione di correazione (vedremo vantaggi e svantaggi) Page 3 Panck 05 Page 4 Natura stocastica dea MB: a varianza cosmica acoiamo ora a varianza de'estimatore appena definito: } Var { usando a def. de'estimatore e i suo vaore atteso a a a a m m m m ' m ' m' m m' separando i casi mm' e { m a m a m a m a m m m' m a m a m a m ' a m ' } motepicità (+) motepicità + per una gaussiana si ha, momento 4 dx x4 f x 3 /n x4 { 3 } { 3 } Page 5 Significato dea varianza cosmica E' a varianza cosmica Page 6 Significato dea varianza cosmica E' un imite intrinseco aa precisione nea stima deo spettro di potenza, e di conseguenza dei parametri cosmoogici, dovuto aa natura stocastica de probema. Osservando una soa reaizzazione di Universo siamo imitati daa funzione di distribuzione dee grandezze che andiamo a stimare. Anche un esperimento ideae è soggetto a questo imite. Da punto di vista statistico, a varianza cosmica ci dice che a variabie Lo spettro di potenza è definito come media d'ensembe de moduo a quadrato dei coefficienti am. Avendo a disposizione una soa reaizzazione di cieo non possiamo fare a media su'ensembe, ma possiamo simuara assumendo 'isotropia e mediando per ogni su tutti i vaori possibii di m. anto più è grande, tanti più vaori di m potremo mediare e tanto più a media si avvicinerà a quea d'ensembe. Per questo motivo, a varianza cosmica decresce a'aumentare di. / è descritta da una distribuzione chi-quadro con (+) gradi di ibertà. La varianza de chi-quadro vae vote i numero di gradi di ibertà Saremmo potuti giungere aa stessa concusione con e seguenti considerazioni: se x è una variabie gaussiana, aora x / è descritta da una distribuzione chi-quadro con grado di ibertà, identifichiamo xa, m daa definizione deo spettro si ha che per ogni vaore di sommiamo (+) variabii, ognuna descritta da chi-quadro con grado di ibertà. I quadrato i una gaussiana e' un chi con grado di ibertà Page 7 Page 8

4 Effetto de rumore strumentae Effetto de rumore strumentae Lo spettro di potenza viene cacoato partendo daa mappe dee anisotropie, ma per un esperimento reae nea mappa sarà presente anche i rumore strumentae. Sfruttando a inearità dea trasformata in armoniche sferiche si ottiene: m d n m d n n ma m n m Y Y Y d m 4 d d n 4 4 ossia i coefficienti deo sviuppo in a.s. stimati in questo modo sono a somma di quei de segnae e di quei de rumore. Di conseguenza: N d d m a m n m a m n m m m m a m a m n m n m a m n m n m a m m N N m L'estimatore non è più unbiased e bisogna rimuovere i contributo de rumore. Una possibiità è ricavare Ndae proprietà deo strumento e sottraro nea stima. Un'atra è combinare dati da diversi riveatori assumendo che i rumore sia scorreato. Page 9 Spettro di potenza de rumore Page 0 ontributo de rumore ao spettro di potenza angoare Quanto vae o spettro di potenza angoare de rumore nea mappa, N_e? A partire dae caratteristiche deo strumento Supponiamo che i rumore deo strumento sia bianco, e che produca termine di rumore bianco nea mappa N_e cost (non dipende da e) Supponiamo che ne cieo ci sia soo i rumore (no segnae) Divido i cieo in n pixe La deviazione standard in un pixe vae Se ho n pixe, i numero di dati indipendenti e' tae che posso stimare n coefficienti di armoniche sferiche indipendenti. Quindi posso stimare o spettro di potenza fino a un ee tae che Spettro di potenza de rumore. Lo possiamo stimare e sottrarre. Queo che ci interessa è i suo contributo aa varianza Quindi se N_e e' bianco (costante) aora posso dire Page Effetto dea risouzione strumentae Page Effetto dea risouzione strumentae Un esperimento reae ha una risouzione angoare finita, descritta da una funzione di risposta B(θ,φ) o, ne caso di una risposta gaussiana, daa FWHM. Quindi, osservando una direzione, o strumento riceve da tutto i resto de cieo dei contributi che vengono pesati con a risposta angoare. In termini matematici si tratta di una convouzione: Passando neo spazio armonico, in anaogia con quanto avviene neo spazio di Fourier, 'integrae di convouzione si riduce ad un prodotto: d m 4 d 4 d 'B ', ' Window function in spazio di mutipoi m, b m a m ', ' Y dove bm sono i coefficienti deo sviuppo in armoniche sferiche dea risposta angoare. Ne caso di risposta angoare Gaussiana, 4 d 'B ', ' ', ' Page 3 + d d B + m m m Page 4

5 Rumore e risouzione strumentae Stima de'errore neo spettro di potenza angoare Varianza cosmica in assenza di rumore A partire dae caratteristiche deo strumento possiamo stimare: Dati in presenza di rumore e beam (risposta angoare) spettro di potenza de rumore. Lo possiamo sottrarre ao spettro di potenza dea mappa (segnae + rumore) Queo che ci interessa e' a varianza. Senza rumore abbiamo ricavato on i rumore si ricava: L'osservabie è Da cui poi ricaverò Page 5 Page 6 MB emperature Panck 04 anguar power spectrum he primeva pasma can be described by Density fied (couped to photons temperature ) Veocity fied (reated to density fied by continuity equation) he fieds can be decomposed in Fourier space Each k component can be treated independenty from the others Singe k mode Fufis the Universe he ampitude evoves as a harmonic osciator k Page 7 F. Piacentini MB emperature F. Piacentini Origin of MB Poarization observed sky strip k MB anisotropies MB anisotropies In the pasma, matter and radiation are tighty couped by homson scattering hompson scattering in the pasma originates inear poarization d ' d homson scattering cross section F. Piacentini MB anisotropies

6 Poarizzazione dea MB modi E e modi B Poarizzazione dea MB modi E e modi B Page 33 Poarizzazione dea MB modi E e modi B Page 34 Poarizzazione dea MB modi E e modi B Page 35 Poarizzazione dea MB modi E e modi B Page 36 Poarizzazione dea MB modi E e modi B Anguar power spectra and cross-spectra Page 37 Page 38

7 Stima de'errore neo spettro di potenza angoare Stima de'errore neo spettro di potenza angoare Estimatori Per temperatura, ne caso di rumore, avevamo ovarianza (in anaogia a rumore in presenza di beam e rumore) Indicato con N_e in side precedenti Equivaente per a poarizzazione Zadarriaga Sejak, Phys. Rev. D 55, (997) Page 39 Panck 05 E EE power spectra Page 40 Page 4 BB power spectrum data coection Page 4 BB power spectrum, after Panck dust subtraction Page 43