LA REGRESSIONE LINEARE MODELLO II E LEAST-PRODUCTS. IL CONFRONTO TRA DUE METODI QUANTITATIVI. IL SEI-SIGMA NEL CONTROLLO DI QUALITA'

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1 CAPITOLO XXIV LA REGREIONE LINEARE MODELLO II E LEAT-PRODUCT. IL CONFRONTO TRA DUE METODI QUANTITATIVI. IL EI-IGMA NEL CONTROLLO DI QUALITA' 4.. I modell I e II nella regressone lneare; l caso d Berkson 4.. La retta del coeffcente angolare dell asse maggore Il plot delle dfferenze e delle mede; l test d Bland-Altman, per l confronto tra metod e per la rpetblta d un metodo La regressone modello II o least-products d Demng, per l confronto tra due metod analtc Effett degl outler sulla retta least-squares e ndcazon operatve per l calcolo della retta d confronto tra due metod analtc La formula rapda d Mandel e la regressone least-products d York La regressone lneare e l test per l equvalenza tra due metod analtc d Passng-Bablok Dbattto sul confronto tra due metod d anals clnche ed esemp d test II confronto con l gold standard: utlzzare l metodo della calbraton oppure quello della comparablty? Il test d Bland-Altman per l confronto tra due metod, con msure rpetute per ogn metodo sullo stesso soggetto La rpetblta e la rproducblta d uno strumento o d un metodo: range & average method La capablty con l se-sgma normale e Motorola La rpetblta e la rproducblta con le varanze dell anova, n un dsegno spermentale a due crter con replche tma delle dmenson mnme del campone, per un anals della rpetablta Le component della varanza negl stud r&r, con l anova a effett randon, fss e mst Vsone generale delle stme rcheste nell anals d processo tora del se-sgma; un secolo d evoluzone de metod statstc, per l controllo d qualta' 0

2 CAPITOLO XXIV LA REGREIONE LINEARE MODELLO II E LEAT-PRODUCT. IL CONFRONTO TRA DUE METODI QUANTITATIVI. IL EI-IGMA NEL CONTROLLO DI QUALITA' 4. I MODELLI I E II NELLA REGREIONE LINEARE; IL CAO DI BERKON Il modello d regressone lneare semplce fno a ora presentato, fondato sul prncpo de mnm quadrat (least-squares method), è d uso abtuale. Denomnato anche Ordnary Least-quares Regresson (abbrevato n OLR su alcun test e OL n altr), è l unco rportato su quas tutt test d statstca, anche a dffusone nternazonale. Un altra denomnazone della Least-quares Regresson, preferta da bolog, è Model I Regresson - sa per analoga all ANOVA I nelle assunzon d valdtà e nel modello addtvo, - sa per dstnguerlo dal Model II Regresson proposto successvamente, che utlzza un approcco dverso. La Regresson Model I è fondata su quattro assunzon, pù volte rpetute dscutendo le condzon d valdtà e la trasformazone de dat. - I campon lungo la retta d regressone devono essere omoschedastc (avere varanza uguale). In altr termn, la varanza reale σ lungo la retta deve essere costante e qund - ndpendente dalle dmenson sa della varable X sa della varable Y. - Per ogn valore X della varable X, valor della Y sono ndpendent e dstrbut n modo normale, come rchede l modello addtvo Y α + β + ε j X dove s assume, altro modo per defnre lo stesso concetto, che - valor ε j sano dstrbut n modo normale e con meda zero. j 3 - I valor attes per la varable Y devono essere n accordo con una funzone lneare. Qund valor med per ogn X devono essere descrtt dal modello matematco µ Y α + βx

3 4 - La varable ndpendente X è msurata senza errore. In termn pù tecnc, s dce che la varable X è fssa (fxed), è sotto l controllo dello spermentatore, mentre la varable dpendente Y è casuale (random), affetta da error casual. L esempo classco è quando - la X ndca la dose d un farmaco sommnstrato a un pazente, - mentre la varable Y fornsce la quanttà della rsposta bologca. Nelle condzon spermental effettve, sovente queste condzon rcheste dal modello statstco - matematco non sono rspettate. In partcolare le prme tre. Per applcare correttamente l test della regressone lneare, è allora rchesto d - rcostrurle medante trasformazone, - d eluderle con l uso d un test non parametrco, come ampamente descrtto ne paragraf dedcat alla regressone lneare non parametrca, qual l metodo d Thel e l metodo d Bartlett. In questo captolo, l'attenzone soprattutto la condzone 4. a nella raccolta de dat n natura, sa negl esperment d laboratoro, n molte stuazon - la varable X presenta una varazone naturale e/o è sottoposta a error d msura, non dversamente da quanto avvene per la varable Y. Non è qund vero l assunto che la varable X è msurata senza errore ed è nota con precsone. Gl esemp possono essere numeros. A) Un prmo caso tpco è quando la varable X e la Y sono due varabl contnue, che formano una dstrbuzone normale bvarata, come quando s utlzza la correlazone. Può essere l caso - dell ampezza dell ala snstra e d quella destra n un campone d uccell, - dell altezza n coppe d spos o d fratell, - della massa muscolare e della prestazone atletca n un gruppo d ndvdu. ono tutt cas n cu la varable X è sottoposta a dvers fattor d varabltà, da quell genetc e ambental a quell cultural (nel caso dell uomo), oltre a quell d msura. B) Un secondo gruppo d cas è quando la dstrbuzone non è bvarata, per una scelta specfca dello spermentatore. Per l calcolo della retta d regressone tra altezza e peso nell uomo, è possble non utlzzare un campone casuale, ma per motv tecnc sceglere un campone blancato. Accade, ad esempo, quando per ogn gruppo d altezze (varable X) è stato scelto un campone con lo stesso numero d dat, che - fornsce una nformazone con errore standard costante per ogn gruppo d ndvdu,

4 - ma non rspetta certamente la normaltà della dstrbuzone dell altezza e l omogenetà della varanza tra dvers raggruppament. In questo caso, non è rspettata soprattutto la condzone d normaltà della dstrbuzone. C) Un terzo gruppo d cas avvene nelle dscplne fsche e chmche, pù che n quelle bologche, come nelle msure d conducbltà dello stesso campone d metallo, a dverse temperature. Entrambe le varabl non hanno una varabltà naturale. In questo caso, non è rspetta la condzone rchesta per la varable Y, poché la conducbltà (Y) come la temperatura (X) sono entrambe soggette solamente all errore dello strumento. D) La regressone lneare parametrca è l metodo comunemente utlzzato fno ad ora, per confrontare rsultat ottenut con due metodologe dfferent, come gà llustrato nel problema della calbratura o calbrazone (calbraton). (Nell'Internatonal Vocabulary of Basc and General Terms n Metrology, IO, GENEVA, wtzerland, nd ed. 993, dces calbraton, la sequenza d operazon necessare a stablre, n determnate condzon spermental, la relazone tra valor fornt da uno strumento o sstema d msurazone (per es. assorbanza) e valor ad ess corrspondent d una parametro (per es. concentrazone) d uno o pù materal d rfermento). econdo un approcco pù recente e dffuso nelle metodologe clnche, assumere che X sa noto senza errore quando s confrontano tra loro due metod equvalent è ndubbamente lontano dalla realtà spermentale, n quanto - l valore della varable X è rlevato con lo stesso errore con l quale è msurata la varable Y. consder la sommnstrazone a un organsmo d dos dfferent d un ormone, per valutarne le conseguenze su qualche altro parametro. Come s può affermare che la varable ndpendente X (dose) è applcata senza errore? Nella realtà, esstono molt fattor che per essa determnano tant tp d errore, qual - la tecnca d sommnstrazone, - la lettura strumentale della quanttà d sostanza n cu l ormone è dluto, - la determnazone della sua concentrazone nel dluente. Complessvamente, la somma d quest fattor dventa spesso una quanttà mportante, rspetto al valore rlevato della X. Essa qund non è nota con precsone, senza errore. A questa stuazone, pure n un contesto d confronto tra due metod, fa eccezone l caso d Berkson (Berkson case), ctato come un caso d apparente regressone Model II da Robert R. okal e F. James Rohlf nel loro testo del 995 Bometry. The prncples and practce of statstcs n bologcal research (3 rd ed. W. H. Freeman and Company, New York, XIX, p.). 3

5 econdo l modello descrtto da J. Berkson nel 950 nell artcolo Are there two regresson? (su Journal of the tatstcal Assocaton Vol. 45, pp.: 64-80), anche quando s confrontano due metod v è un caso n cu la varable esplcatva o ndpendente X, chamata varable controllata (controlled varable), - è sotto la dretta gestone dello spermentatore ed è nota con precsone, come rchede la regresson model I o least squares regresson. Avvene quando l campone che deve essere sottoposto a determnazone, n termn pù tecnc l analta, - ha valor d X prefssat oppure prestablt con l metodo classco, (ad esempo, l analta è stato preparato con una certa concentrazone), - e con l metodo d confronto s rcava la stma d Y, rpetendo eventualmente l anals pù volte per lo stesso valore d X. In questa stuazone, secondo Berkson s dovrebbe ugualmente applcare l metodo ordnaro d regressone lneare (ordnary least squares), per stmare coeffcent della retta, n quanto l errore commesso nella stma d X può essere gnorato. Quest concett d Berkson nell espressone matematca dventano: - la msura X è data dalla quanttà vera ξ pù un errore δ : X ξ + δ ì - e la msura Y è determnata attraverso la regressone lneare con Y α + βξ + ε dove - la msura X (non mporta se stocastca o non stocastca) è controllata dallo spermentatore, - gl error ε, δ sono due sequenze d varabl random. In questo caso, ξ e δ sono tra loro dpendent. E' la dfferenza fondamentale rspetto alla stuazone n cu s confrontano due metod e s msurano le due varabl n modo ndpendente. Il modello può qund essere scrtto come Y α + βξ + ( ε βδ ) dove - la msura X non è correlata con ε βδ coè con l'errore della msura Y. In questa stuazone, secondo Berkson 4

6 - è possble utlzzare la retta parametrca fondata sul prncpo de mnm quadrat, n quanto l'errore d msura δ può essere gnorato poché ξ e δ sono tra loro dpendent; - mentre quando ξ e δ sono tra loro ndpendent, qund la msura X non è controllata dallo spermentatore, the ordnary least squares method s not approprate for the estmaton of same parameters. Tuttava, n molt de prma cas ctat, ne qual le condzon teorche d valdtà charamente sono volate almeno sotto l aspetto teorco, è prass raramente contesta n bologa - utlzzare ugualmente la procedura classca d regressone Model I. Quando allora consderare non corretta la regressone Model I e utlzzare la Model II? Le ndcazon d okal e Rohlf (a pag. 543), l unco tra grand test nternazonal che affronta l problema, sono molto vaghe: Research on and controversy over Model II regresson contnues, and defntve recommendatons are dffcult to make. Much depends on the ntentons of the nvestgator. In lnea generale, se la regressone è effettuata per scop predttv, la Model I e senza dubbo sempre corretta, anche se alcun statstc pongono una ulterore dstnzone scolastca, pù fne, tra predzone e relazone funzonale. Quando nvece s vuole una nterscambaltà delle due varabl, sarebbe rchesto l Model II. I metod della Model II Regresson sono fondat essenzalmente su due approcc: () la correlazone e () la regressone lneare non parametrca. I concett che stanno alla base della correlazone sono approprat, perché n essa non s dstngue tra le due varabl, per quanto attene le condzon d valdtà e la precsone con la quale la varable è stata msurata. Fondamentalmente esstono due stuazon a) quando le due varabl hanno la stessa untà d msura, s può utlzzare l coeffcente angolare dell asse maggore (the slope of the major axs) o dell asse prncpale (prncpal axs); b) quando le due varabl hanno untà d msura dfferent, la correlazone come ndcatore della regressone dventa prva d sgnfcato specfco, poché essa è ndpendente dal tpo d scala e vara sempre tra e +; l valore della correlazone rtorna a essere una ndcazone non banale, quando le scale possono essere dfferent, ma sono predetermnate e non arbtrare e qund sono not rapport tra esse. 5

7 Il metodo del coeffcente angolare dell asse maggore utlzza anche scale trasformate. pesso, una delle due varabl ha una trasformazone logartmca o n radce. Un altro metodo ancora è la standardzzazone delle due varabl, per cu ognuna assume meda zero e devazone standard uno, prma del calcolo del coeffcente angolare. L asse prncpale d queste varabl standardzzate ha var nom: reduced major axs, standard major axs, geometrc mean regresson, mentre ne test frances s trova anche l termne relaton d allometre, utlzzato soprattutto da G. Tesser nell artcolo del 948 La relaton d allometre: sa sgnfcaton statstque et bologque (pubblcato su Bometrcs Vol. 4, pp.: 4-48). Pù recentemente, n partcolare quando s confrontano due metod clnc, bologc, chmc o fsc, mpegat per determnare la stessa sostanza o per msurare lo stesso fenomeno, sono propost metod d Demng, d Mantel e d York, llustrat nel proseguo del captolo. - La regressone lneare non parametrca può essere utlzzata n quas tutte le condzon spermental. Come tutt test fondat su rangh e dstrbuton free, non rchede l rspetto de quattro assunt d valdtà. Tra metod non parametrc, l pù noto, dffuso e accettato è l metodo d Thel, la cu sgnfcatvtà è analzzata medante la correlazone non parametrca τ d Kendall. Qund è chamato anche metodo d Thel-Kendall oppure metodo robusto d Kendall (Kendall s robust lneft method). Tra quest test non parametrc d nferenza sulla regressone lneare, è sovente ctato anche l metodo d Bartlett, detto pù estesamente metodo de tre grupp d Bartlett (Bartlett s three-group method). Rspetto al metodo d Thel, presenta l vantaggo d essere ancora pù semplce e rapdo. Ma ha lo svantaggo d essere pù frequentemente crtcato ne test d statstca poché, utlzzando le mede delle X e delle Y sa del prmo sa dell ultmo terzo de dat della X, è molto sensble a valor anomal, spesso collocat agl estrem. Tra grand test a dffusone nternazonale, l test d Bartlett è rportato solamente nel volume d Robert R. okal e F. James Rohlf del 995 Bometry. The Prncples and Practce of tatstcs n Bologcal Research (3 rd ed. W. H. Freeman and Company, New York, XIX, p.). In quest ultm ann, è ctato con frequenza soprattutto nella letteratura chmca e clnca, per l confronto tra metod. La presentazone d quest due test non parametrc sulla regressone (Thel e Bartlett) è stata effettuata nel captolo dedcato alla regressone non parametrca. 6

8 4. LA RETTA DEL COEFFICIENTE ANGOLARE DELL AE MAGGIORE. Come è stato svluppato pù ampamente nel captolo sulla correlazone, quando s dspone d due varabl (X e Y), - con dat camponar che sono rappresentat nel dagramma d dspersone come punt compres entro un pano cartesano crcoscrtto dall ellssode, è possble calcolare - due rette d regressone, non pù una sola. La prma è la retta d regressone Y ˆ a + bx che, come nella prass, assume la X come varable ndpendente o predttva e la Y come varable dpendente o predetta. L ntercetta a e l coeffcente angolare b sono rappresentat rspettvamente con a / oppure, meno frequentemente, ay X - Y X b / oppure, meno frequentemente, by X - Y X per ndcare che la Y è stata assunta come varable dpendente e la X come varable ndpendente. 7

9 e vensse calcolata con dat rappresentat dall ellssode nel dagramma d dspersone, tale retta - concderebbe con quella descrtta dalla sere de punt vuot rappresentata da Y/X. E chamata retta d Y su X, passa dal barcentro, l punto d ncontro delle mede ( X e Y ) delle due varabl, ma non concde con l asse maggore dell ellssode, essendo pù spostata verso la meda Y della varable dpendente. La seconda retta è rcavata scambando tra loro le varabl X e Y: X ˆ a + by Per dstnguerla dalla precedente, l ntercetta a e l coeffcente angolare b sono rappresentat rspettvamente con a / oppure, meno frequentemente, a X Y - X Y b / oppure, meno frequentemente, bx Y - X Y per ndcare che la X è stata assunta come varable dpendente e la Y come varable ndpendente. Nella formula della retta, valor d questa ntercetta a e del suo coeffcente angolare b sono dvers da quell della retta precedente, anche se qu per semplctà sono mpegat gl stess smbol. Rappresentata nello stesso grafco precedente, questa ultma retta - concderebbe con quella descrtta dalla sere de punt pen rappresentata da X/Y. E detta retta d X su Y. Anch'essa attraversa l barcentro, ma non concde con l asse maggore dell ellssode. In modo smmetrco alla prma, n questo caso è pù spostata verso la X, la meda della nuova varable dpendente. Le due rette sono tra loro tanto pù dfferent, quanto pù ampo è l asse mnore, perpendcolare all asse prncpale. Per trovare un numero solo che fornsca una msura sntetca della relazone esstente tra le due varabl X e Y, è possble utlzzare la correlazone r r b Y / X bx / Y che concettualmente è fondata sulla meda geometrca de due dfferent coeffcent angolar, calcolat con le due dverse rette. Tale metodo è stato ampamente dscusso nel captolo sulla correlazone. 8

10 Un altro metodo per rcavare un ndcatore sntetco delle due rette, che è l problema della Model II Regresson qu dscusso, - è calcolare la retta che passa lungo l asse maggore. - per utlzzare l suo coeffcente angolare b p, detto appunto coeffcente angolare dell asse maggore (the slope of the major axs) o dell asse prncpale (prncpal axs). Anche questa retta attraversa l barcentro della dstrbuzone. In queste anals sulla Model II Regresson, le due varabl X e Y possono essere rtenute scambevolmente sa la causa sa l effetto dell altra. Pertanto, per convenzone, su molt test non sono pù ndcate con X (causa) e Y (effetto), ma con - X rportata sull asse delle ordnate - X rportata sull asse delle ascsse. In questo caso sono scambate rspetto alla correlazone. u altr test, per meglo dstnguere le formule che s rferscono alle due varabl, contnua a essere utlzzata la smbologa della regressone lneare X e Y. L equazone che ndvdua punt collocat sull asse prncpale ( Xˆ ), rfert sempre agl stess ass cartesan X e X è Xˆ a + b X dove - a X b X - b coeffcente angolare dell asse prncpale (slope of the prncpal axs) - ed è rcavato da con covaranza delle varabl X e X che nella formula eurstca è b λ n [ ( X X ) ( X X )] n 9

11 0 e nella formula abbrevata dventa ( ) n n X X X X n n n - varanza della X che nella formula eurstca è ( ) n X X n e nella formula abbrevata dventa ( ) n n X X n n - varanza della X che nella formula eurstca è ( ) n X X n e nella formula abbrevata dventa ( ) n n X X n n - λ è la quanttà nuova, che msura la varabltà de punt camponar lungo l asse maggore; è defnta n termn d varanza e covaranza, msurate sull asse delle ascsse e delle ordnate orgnal,

12 λ ( + ) 4 ( ) ) + + I crter per ndvduare questa retta e sulla base de qual è stata defnta la formula sono tre: - la retta deve passare attraverso l punto d ncontro delle mede ( X e X ) delle due varabl, - la devanza de punt da questa retta deve essere quella mnma, - e le devazon sono msurate a) non sull asse delle ordnate (Y nella retta d regressone, X n questa rappresentazone per l asse prncpale), b) ma sull asse delle ascsse (X nella retta d regressone, X n questa rappresentazone). EEMPIO. Per llustrare n modo semplce e operatvo l metodo del coeffcente angolare dell asse maggore (the slope of the major axs) o dell asse prncpale (prncpal axs), appostamente scelto come rfermento bblografco nternazonale e autorevole, è utle svolgere n tutt passagg logc l esempo rportato nel testo d okal e Rohlf gà ctato (pag ). u un campone d granch della spece Pachygrapsus crasspes come coppe d varabl sono state rlevate - l peso delle branche (X, espresse n mllgramm) - l peso complessvo del corpo (X, espresso n gramm) X X 4,40 5,0,30,50,70 4,90,4 5,8 4,9 5,39 7,5 9,5 Il grafco mostra con evdenza la dspersone de punt lungo l'asse prncpale. (In esso, come n molte pubblcazon, due ass cartesan sono ndcat con Y e Y nvece d X e X come nel testo e nelle formule). Calcolare l coeffcente angolare b della retta ˆX che rappresenta l'asse prncpale e che può essere scrtta come Xˆ a + b X

13 Rsposta. Rcordando d dover utlzzare pù cfre decmal, dopo aver calcolato - le due mede X n X.347 n 95,5833 X n X 44,57 n, le due varanze

14 n ( X X ) n 4.368,9 n ( X X ) n 46,48.306,655 4, e la covaranza n [ ( X X ) ( X X )] n 656,6 596, s rcava λ dove + + D λ con D ( + ) 4 ( ) ) λ.306, , D D (.306, ,04347) 4 (.306,655 4, ,5068).37, 90 Da ess s ottene λ.348, ,90.675, ,76576 l rsultato λ.337,76576 e nfne l coeffcente b b λ 596, ,5068 8, , ,655 3,5006 3

15 ottenendo b 8,9365 con l quale s rcava l'ntercetta a a X b X 95,5833 8,9365, ,5833 8,375 3,554 e nfne con entramb s defnsce la retta dell'asse prncpale Xˆ a + b X 3, , 9365 X La sua rappresentazone grafca è (Come nel precedente dagramma d dspersone, - le due varabl sono ndcate con Y e Y nvece d X e X ; - smbol x corrspondono a punt della fgura precedente) Per approfondment sul calcolo del secondo asse e soprattutto 4

16 - sulla trasposzone de punt su quest ass, - sugl autovalor (eghenvalues, latent roots, characterstc roots), che stanno alla base d molte tecnche d statstca multvarata, s rmanda al testo ctato d okal e Rohlf del 995 Bometry dal ttolo The Prncples and Practce of tatstcs n Bologcal Research (3 rd ed. W. H. Freeman and Company, New York, XIX, p.) IL PLOT DELLE DIFFERENZE E DELLE MEDIE; IL TET DI BLAND-ALTMAN, PER IL CONFRONTO TRA METODI E PER LA RIPETIBILITA DI UN METODO. Con due mod dfferent d anals o d determnazone quanttatva, vengono effettuate le msure - su n campon o cas ndpendent, - per verfcare se essta una relazone d tpo lneare tra le coppe d rsultat ottenut su gl stess campon. Quas sempre, a questo scopo n letteratura è utlzzata la regressone lneare semplce. Ma le crtche sono numerose, n quanto non sono rspettate almeno due condzon d valdtà della regressone parametrca: - è del tutto arbtraro e ngustfcato dentfcare un metodo come varable ndpendente X e l altro come varable dpendente Y ; - le due msure presentano lo stesso tpo d errore e qund non è vero che la X sa fssa, poché entrambe le varabl sono d tpo random. Ad esse, spesso deve essere aggunta una terza e un quarta condzone che non rspettano quanto rchesto dal modello matematco: 3 L errore commesso nella msura della varable scelta come dpendente Y non è costante, poché spesso è proporzonale rspetto al suo valore o a quello della X, anche quando dat del campone (quas sempre poch) non rsultano sgnfcatvamente eteroscedastc a test specfc. In termn pù tecnc, questo concetto può essere espresso n due mod: la varanza σ non è costante, poché ad essere costante è - l coeffcente d varazone CV - l rapporto λ tra le due varanze CV σ 00 µ σ λ σ X Y che (a) non è nfnto e (b) non è zero, lungo l campo d varazone de dat. 5

17 4 La presenza d punt cosddett - dspers o spur (stragglers o spurous data), defnt come msure o rsultat analtc classfcabl come sospett al lvello d fduca del 95%, ma non al lvello fducale del 99%), - anche se ess non possono essere chamat dat anomal (outlers), defnt come le msure o rsultat analtc che sono anormalmente dvers da valor plausbl e che con un test statstco possono essere rgettat a un certo lvello fducale. E possble, ma dovrebbe essere evtata, anche la presenza d error grossolan (gross error o blunder), un termne che dentfca l errore naccettable, quello che mpone l abbandono dell anals oppure d essere elmnato per mezzo d un controllo d qualtà che sa effcente. ono accettat solamente gl error casual (random error), quell determnat da varazon ndefnte de parametr spermental, quell che sono caratterzzat quel lvello d ncertezza che è sempre collegata agl strument d msura. Gl error casual hanno una dspersone ntorno al valore medo che è tanto pù smmetrca quanto maggore è l numero d osservazon. Il lvello d errore può essere rdotto, con strument pù precs e operazon pù accurate; ma non può ma essere totalmente azzerato. Con l metodo classco de mnm quadrat (least-squares regresson analyss), nella regressone dat spur e gl outlers generano quadrat degl error molto grand. Qund la retta calcolata è fortemente attratta verso d ess, allontanandos sensblmente dall nseme d tutt gl altr punt. Quando s deve decdere se un metodo d msurazone è mglore d un altro, è possble utlzzare sa test, sa metod grafc per la descrzone e l anals de dat. Tuttava, l ndcazone fondamentale d James O. Westgard (attualmente rtenuto l maggor esperto d metod clnc), nell artcolo del 988 Ponts of care n usng statstcs n methods comparsons studes (edtorale della rvsta Clncal Chemstry, Vol. 44, No., pp.: 40-4) è: - Ch decde è l ndvduo esperto della dscplna; la statstca con metod grafc e test d nferenza auta a decdere, ma non può ma sostturs all esperto. Per charre ulterormente quest concett, è utle leggere quanto (a pag. 40) scrve: The statstcs do not drectly tell you whether the method s acceptable; rather they provde estmates of errors that allow you to judge the acceptabllty of a method. You do ths by comparng the amount of error observed wth the amount of error that be allowable wthout compromsng the medcal use and nterpretaton of the test result. Methods performance s judged acceptable when the observed error s smaller than the defned allowable error. Method performance s not acceptable when the 6

18 observed error s larger the allowable error. The decson-makng process can be facltated by mathematcal crtera or by graphc tools. IL TET DI BLAND-ALTMAN Per confrontare due metod d msurazone, ne programm nformatc da alcun ann è dffuso l metodo d J. M. Bland e D. G. Altman, - proposto sntetcamente nell artcolo del 986 tatstcal methods for assessng agreement between two methods of clncal measurement (su Lancet,, pp.: ), - successvamente amplato nella lunga revew del 999 Measurng agreement n method comparson studes (su tatstcal Methods n Medcal Research Vol. 8, pp.: 35-69). u supponga d aver msurato n campon, ottenendo per ognuno due dat quanttav: - la msura con l sstema ( X ), - la msura con l sstema ( X ). Bland e Altman propongono: A dapprma d rcavare da queste n coppe d msure altre due quanttà: - la meda ( X ) delle due msure per ognuno degl n campon ( X X + X ), - la dfferenza ( d ) tra le due msure per ognuno degl n campon ( d X X ); B successvamente, d costrure un grafco de punt dentfcat da queste nuove coppe d valor, nel quale - sull asse delle ascsse è rportata la meda X d ogn coppa, - sull asse delle ordnate la dfferenza d tra valor della stessa coppa. Questo metodo rsulta approprato quando le dfferenze restano costant. Ma spesso non lo sono. Questa proposta è stata qund ntegrata da altre due varant, che cambano l valore da rportare sull asse delle ordnate. Con esse è dventato possble sceglere tra tre opzon, per l valore da rportare nelle ordnate: - le dfferenze d tra le coppe d msure: d X X 7

19 - le dfferenze d trasformate n percentuale p p delle mede: d X l rapporto r tra le due msure, trasformato n log: r X log X Questa ultma formula rchede che non sano present valor ugual a zero, n nessuno de due sstem d msurazone. e sono present, è necessaro che nella trasformazone sa aggunta una costante (l concetto è svluppato nel captolo sulle trasformazon de dat unvarat). La fgura successva rappresenta un esempo con n 46. Nel dagramma Caso - sull asse delle ascsse è rportata la meda X X + X, - sull asse delle ordnate è rportata la dfferenza d X X L anals descrttva de dat rchede che per le dfferenze d X X sano calcolate: 8

20 - l numero : n 46 - la meda artmetca delle n dfferenze: X d, la devazone standard: s 8,66 s 8,66 8, l errore standard: es, 77 n 46 6,78 s 5 - l ntervallo d confdenza al 95% della meda delle dfferenze: IC X d ±, 96. n Con dat della fgura, l ntervallo d confdenza della meda delle dfferenze è IC,565 ±,96,77 qund come - lmte nferore (lower lmt) ha,565,503 0, lmte superore (upper lmt) ha,565 +, , l ntervallo d confdenza delle dfferenze: IC X d ±, 96 s. Con dat della fgura, l ntervallo d confdenza delle dfferenze è IC,565 ±,96 8,66 qund come - lmte nferore (lower lmt) ha,565 6,976 5, 4 - lmte superore (upper lmt) ha, , , 54 L nformazone pù mportante del grafco è fornta conguntamente - dal valore medo Mean, 6 e - dall ntervallo d confdenza delle dfferenze al 95% che vara tra + 8,5 e 5,4. Il test d Bland-Altman consste nel gudzo del rcercatore: se la varazone della meda entro l ntervallo d confdenza non è clncamente mportante, due metod possono essere consderat ntercambabl. Non è qund fondato su valor crtc, ma sul gudzo dell esperto della dscplna, come per la sgnfcatvtà della capactà predttva d R nella regressone least-squares. 9

21 Caso Caso 3 Caso 4 0

22 Altre nformazon mportant sulla corrspondenza tra due metod d msurazone sono fornte dalla dsposzone de punt ntorno alla meda ed entro lmt dell ntervallo d confdenza. Le quattro fgure rportate nel paragrafo sono rappresentatve d altrettant cas tpc. - Nel caso, la dsposzone de punt è casuale: due metod possono essere rtenut equvalent, se l anals precedente sull ntervallo d varazone della meda è postvo. - Nel caso, punt presentano un alternars perodco sopra e sotto la meda: gl error hanno una dstrbuzone non casuale, ma sstematca n valore assoluto, per cu due metod fornscono msure dfferent. - Nel caso 3, s ha un errore proporzonale: le dfferenze sono negatve per valor pccol, e postve per valor grand. - Nel caso 4, le dfferenze tra due metod non sono costant, ma dpendono dal valore. Questo ultmo è un caso classco d non unformtà della varanza (heteroscedastcty). Ne consegue che l errore standard è una msura nadeguata o errata (bas) della varabltà, poché è un valore medo d tutt gl error e qund sovrastma la varabltà quando valor sono pccol e la sottostma quando valor sono grand. In questa stuazone, è convenente verfcare spermentalmente se s ottengono rsultat mglor, modfcando valor da porre sull asse delle ordnate. Le trasformazon che con frequenza maggore s dmostrano adeguate sono - le dfferenze trasformate n percentuale p delle mede, - l rapporto r tra le due msure, trasformato n log. Il test d Bland e Altman, sa come proposto nella formula orgnara, sa nelle sue varant, può essere utlzzato anche quando s valuta - la rpetbltà (repeatablty) d un metodo. Per repeatablty (n talano chamata anche rpetbltà rstretta) s ntende la bontà dell accordo tra rsultat d msurazon successve dello stesso msurando, condotte nelle stesse condzon d msurazone. L anals dovrebbe essere condotta nello stesso laboratoro, dal medesmo operatore, con l dentco strumento, su campon ugual, nelle stesse medesme operatve e a breve dstanza d tempo. Quando uno o pù d queste condzon sono volutamente modfcate, allo scopo d valutarne gl effett medante le dfferenze che determnano, s parla d rpetbltà ntermeda. Nel lnguaggo nternazonale, s adopera l termne ntermedate precson, tradotto n talano anche con precsone ntermeda.

23 Quando s mpega lo stesso metodo su una sere d n campon, la meda delle dfferenze dovrebbe essere zero. E possble calcolare anche un Coeffcente d Rpetbltà (Coeffcent of Repeatablty) CR CR,96 n ( X X ) n dove - X e X sono le due msure ottenute nelle due condzon sullo stesso campone, -, 96 è l valore d Z alla probabltà α blaterale. Benché metod propost da Bland e Altman rsultno generalmente pù adatt de metod fondat sulla correlazone e sulla regressone de mnm quadrat (least-squares regresson), anche ess n alcune stuazon presentano lmt. Attualmente sono gudcate soluzon ottmal quelle ottenute con - la regressone de mnm prodott (least-products regresson). Il test d Bland e Altman è spesso mpegato n assocazone alla stma della regressone lneare, ottenuta con l metodo least-squares oppure con l metodo least-products, llustrato ne paragraf successv, per valutare se due metod analtc sono ntercambabl. Confrontare l plot d Bland-Altman con l dagramma d dspersone de dat, ottenuto con le msure orgnare fornt da due metod a confronto, permette d meglo comprendere le relazon present tra ess. Le due fgure rappresentate nella pagna successva sono tratte dall artcolo dell anno 000 Erythrocyte edmentaton Rate by the Test- Analyzer (pubblcato su Clncal Chemstry Vol. 46, No.6, pp.: 88-88). In esse sono rportat rsultat d 05 msure camponare del tasso d sedmentazone degl ertroct msurato n mm/h (ndcato con ER da Erythrocyte edmentaton Rate) ottenute su campon d sangue con - l automated Westergren method (tarrsed, Charles Goffn Mwdcal ystem), che rappresenta l metodo d confronto, gà rconoscuto come valdo, - l metodo Test-, trpotassum ADTA-antcoagulated, che rappresenta l metodo nuovo, d cu s vuole verfcare la valdtà o l ntercambaltà con l precedente.

24 3

25 La fgura A rappresenta l anals della regressone d Passng-Bablock (llustrata n un paragrafo successvo). Come n tutt dagramm d dspersone, costrut con valor ottenut nel confronto tra due metod, - sull asse delle ascsse ( X ) sono rportat valor ottenut con l metodo storco, la cu valdtà è gà rconoscuta, - sull asse delle ordnate (Y ) sono rportat valor ottenut con l metodo nuovo, d cu s vuole verfcare la valdtà o ntercambaltà con l precedente, a motvo de vantagg che può offrre (ad esempo: cost mnor, temp pù brev, prodotto nuovo d altra dtta, ecc. ) La fgura B rappresenta l plot d Bland-Altman degl stess dat. L ntervallo d confdenza è D e non,96d come n precedenza. E una approssmazone mpegata n molte pubblcazon e molt test n cu s usa la dstrbuzone normale LA REGREIONE MODELLO II O LEAT-PRODUCT DI DEMING, PER IL CONFRONTO TRA DUE METODI ANALITICI. Quando s confrontano rsultat delle determnazon quanttatve d due metod dfferent, - gl error d msura sono ugual, sa per la varable ndcata con X, sa per quella con Y. Dagramma d dspersone de punt ottenut con due metod analtc, analzzat con l metodo de mnm quadrat e l metodo d Demng 4

26 La retta d regressone classca, - chamata Ordnary Least-quares Regresson (abbrevata n OLR oppure n LR) - e fondata sul quadrato degl error della sola varable Y, non è pù adeguata. Gà nell anno 943, W. E. Demng nel volume tatstcal Adjustement of Data (John Wley and ons, New York, NY) suggersce una alternatva statstca tecncamente corretta, per calcolare la relazone lneare esstente tra due metod d msurazone. Essa - è fondata sul prncpo de mnm quadrat della dstanza perpendcolare alla retta, data dal prodotto (least-products) della dstanza smultanea lungo l asse della varable X e l asse della varable Y (mnmzng the sum of the squares of the resduals n both the X and Y drectons smultaneously). La retta d Demng o least-products è quella che - rende mnma la somma de quadrat delle dstanze perpendcolar tra punt e la retta (come llustrato nella fgura precedente e, n modo pù dettaglato, n quella successva). Modello d regressone d Demng (a snstra) e de mnm quadrat (a destra) 5

27 La retta d Demng consdera la somma de quadrat de resdu tra l punto e la retta X X, ˆ - sa lungo l asse delle ascsse X con ( ) - sa lungo l asse delle ordnate Y con ( ) A B Y Y, ˆ e mnmzza la dstanza A B. C + Il suo coeffcente angolare b su molte rvste d statstca applcata è ndcato con mentre quello least-squares è ndcato spesso con b. Y X b Y / X Trascurata per dvers decenn, questa metodologa statstca è ogg proposta n molt programm nformatc, scrtt appostamente per le anals clnche e chmche. ulle rvste d bologa e ecologa è chamata Model II Regresson, alternatva corretta alla Model I Regresson, dscussa ne captol precedent. Tuttava questa classfcazone dcotomca, dffusa da Robert R. okal e F. James Rohlf gà nel 969 nella prma edzone del loro testo Bometry. The prncples and practce of statstcs n bologcal research (3 rd ed. W. H. Freeman and Company, New York, XIX, p.) e confermata nelle due edzon successve del 98 e del 995, è crtcata n quanto appare poco utle alla esatta comprensone delle dfferenze tra due metod d regressone. E quanto sostene, ad esempo, anche Bran H. McArdle nell artcolo del 003 Lnes, models, and errors: Regresson n the feld (pubblcato sulla rvsta della The Amercan ocety of Lmnology and Oceanography, Lmnol. Oceanogr. Vol. 48 ( 3), pp.: ). Egl dchara d preferre la classfcazone n - metod con relazon asmmetrche (asymmetrc relatonshps) tra le due varabl, come la leastsquares regresson, - metod con relazon smmetrche (symmetrc relatonshps) tra le due varabl, come la leastproducts regresson. Una presentazone dettaglata del metodo d Demng è stata effettuata da P. Joanne Cornbleet e Nathan Gochman nell artcolo del 979 Incorrect Least-quares Regresson Coeffcents n Method- Comparson Analyss (pubblcato su Clncal Chemstry, Vol. 5, No. 3, pp.: ). La loro pubblcazone comprende l confronto con l metodo d Mandel (llustrato nella pagne successve) e quello non parametrco d Bartlett (presentato nel captolo della regressone lneare non parametrca). 6

28 Per questo artcolo, Cornblett e Gochman sono ndcat come coloro che hanno avuto l merto d portare l metodo d Demng all attenzone defntva della collettvtà scentfca, che fnalmente n larga parte lo consdera - l alternatva corretta all mpostazone classca, nel caso del confronto tra due metod d msurazone. Da questo artcolo sono rpres alcune fgure e molt concett d questo paragrafo. L anals della regressone d Demng non attrbusce pes dfferent a valor (the unweghted form of Demng regresson analyss) e - è approprata quando l errore analtco è costante. In altr termn, è da rtenere corretta quando la devazone standard è ndpendente dalle dmenson delle msure. Quando nvece - l errore è costante come percentuale del valore oppure come coeffcente d varazone rspetto al valore ( due concett sono analogh), è opportuno utlzzare una delle modfche successve. Alcune d esse, le pù dffuse nella rcerca applcata e pù frequentemente ctate nelle rvste d anals clnche e chmche, sono presentate ne paragraf successv. Le condzon d valdtà della retta d Demng, con una formulazone matematca pù approprata, affermano che - l valore osservato X è X x + ε - l valore osservato Y è con,,..., n. Y y + η Le assunzon su quest error random sono quattro: - ε e η sono entramb dstrbut n modo normale e con meda zero; - le coppe ε, ε j e η, η j sono dstrbute n modo ndpendente per j : le covaranze entro metod (wthn-method covarances) sono ugual a zero; 3 - le coppe ε, η sono dstrbute n modo ndpendente per ogn : la covaranza tra metod (between-method covarance) è uguale a zero; 7

29 4 - le varanze σ ε e σ λ σ σ η non sono costant, ma è costante l loro rapporto ε η Con n coppe d msure, ottenute con due metod X e Y che s ntende confrontare, per rcavare la retta d Demng, come al solto s devono prma calcolare n - la Devanza delle X : DevX ( X X ) n - la Devanza delle Y : DevY ( Y Y ) - la Codevanza Y n X : CodevXY ( X X ) ( Y Y ) - e dalle due devanze l loro rapporto λ λ DevX DevY Da queste, s rcava l coeffcente angolare b b ( λ DevY DevX ) + ( ) ( DevX λ DevY ) + 4λ ( codxy ) λ CodXY e con esso l ntercetta a medante le mede: La retta d regressone d Demng è Yˆ a Y bx a + b ( X X ) L errore standard dell ntercetta a e del coeffcente angolare b sono stmate con la procedura Jackknfe (alla quale s rmanda, per la presentazone del metodo). In alcun esperment, valor d volte. In questo caso, nelle formule precedent, - l valore X è la meda delle due replche X e d Y per lo stesso campone msurando sono rpetute due 8

30 - l valore Y è la meda delle due replche X X + X Y Y + Y Le devazon standard analtche (analtcal standard devatons) de metod x e y possono essere calcolate rapdamente come dfferenza tra le due msure: e D ax D ay n n ( X X ) n ( Y Y ) n mentre l coeffcente λ dventa λ D D ax ay EEMPIO. (LE DUE RETTE LEAT-QUARE E LA RETTA LEAT-PRODUCT DI DEMING, con X PICCOLO). Il numero d dat abtualmente raccolt n queste anals e la lunghezza de calcol rchedono l uso d programm nformatc. Pertanto, dopo aver presentato l metodo ne suo passagg logc, è utle un esempo che llustr rsultat. Tratta dall artcolo d Cornbleet e Gochman, la fgura della pagna successva mostra l plot d 87 determnazon d sodo (mmol/l), ottenut con due metod flame-photometrc: - l metodo d rfermento, rportato sull asse delle X, ha meda X 39,8 e devazone standard x,67 - l metodo da testare, rportato sull asse delle Y, ha meda Y 40,7 e devazone standard x,60 9

31 Tratta da P. Joanne Cornbleet e Nathan Gochman del 979 Incorrect Least-quares Regresson Coeffcents n Method-Comparson Analyss (pubblcato su Clncal Chemstry, Vol. 5, No. 3, pp.: ) a pag Con n 87 ( punt sono n numero mnore perché alcun hanno dat ugual), A Regressone Least-quares, con X come varable ndpendente: Yˆ 47,6 + 0, 667 X B Regressone Least-quares, con Y come varable ndpendente: Yˆ 59, +, 43 C Regressone d Demng: X Yˆ,7 +, 09 X 30

32 Benché la logca ndch che - l coeffcente angolare della retta d regressone dovrebbe essere b,0 (se fosse vera l potes nulla che due metod sono equvalent) - la regressone least-squares fornsce b Y / X 0,66. e s scambano le due varabl X e Y, rendendo Y la varable ndpendente, - la regressone least-squares fornsce la stma b X / Y,43. La retta d Demng fornsce la stma b,09. X Y Essa qund appare una stma nettamente mglore, rspetto alle due precedent, della relazone tra X e Y che vene stmata da dat. La sua sgnfcatvtà può essere verfcata con var metod, tra cu prncpalmente - l test d Bland-Altman (gà llustrato n un paragrafo precedente) - l test d Passng-Bablok (llustrato n un paragrafo successvo) EFFETTI DEGLI OUTLIER ULLA RETTA LEAT-QUARE E INDICAZIONI OPERATIVE PER IL CALCOLO DELLA RETTA DI CONFRONTO TRA DUE METODI ANALITICI. L ndvduazone degl outler nella statstca bvarata rchede metod specfc che sono gà stat descrtt separatamente. La loro presenza determna problem non trascurabl, quando s deve calcolare la retta d regressone. Qund sono stat presentat metod che permettono d dentfcarl con facltà, quando s rchede una stma pù precsa della retta che deve descrvere la relazone vera tra due metod d msura. Nel 966 N. R. Draper e H. mth nel volume Appled Regresson Analyss (John Wley and ons, New York, NY, pp.: 44-03) suggerscono: - punt che generano resdu maggor d 4 Y X - possono essere elmnat nell anals della regressone least-squares. L anals de resdu ntorno alla retta d regressone può essere un crtero - per ndvduare e successvamente elmnare dat spur - e qund annullare loro effett sul coeffcente angolare della retta least-squares, che n tal modo, con a 0 e b, dventa utlzzable anche nel confronto tra metod. / 3

33 EEMPIO (ELIMINAZIONE DI DATI PURI NELLA RETTA LEAT-QUARE). La Fgura rportata nella pagna successva è l plot d 69 campon, su qual è stata fatta la determnazone (mg/dl) del calco con due metod dfferent - per assorbmento atomco o AA (asse X ), - e per MA -60 (asse Y ). tratta del confronto tra due metod. Perché ess possano essere consderat ntercambabl (potes nulla), la retta dovrebbe avere: - ntercetta a 0,0 - coeffcente angolare b,0. Utlzzando tutt punt (nel grafco l numero appare mnore d 69 n quanto molt sono sovrappost), s calcola la retta d Regressone Least-quares, con X come varable ndpendente e ndcata nel grafco con A: Yˆ,96 + 0, 78 X Essa ha un valore a,96 e un valore b 0,78 che sono lontan dall atteso. Inoltre, e cò può essere la causa dello scostamento dall atteso, l punto ndcato con rsulta anomalo rspetto alla retta, n quanto - dsta pù d 4 Y X dal punto corrspondente sulla retta. / E qund possble e convenente - elmnare la coppa d dat corrspondente a questo punto - e calcolare una nuova retta Least-quares (con n 68), ottenendo Yˆ 0,39 + 0, 95 X Questa seconda retta Least-quares, ndcata con B è sensblmente pù vcno all atteso. Ma essa evdenza un altro punto che ora è dventato spuro rspetto ad essa. Elmnando due dat corrspondent a questo punto (con n 67), - s calcola una nuova retta Least quares, ottenendo Yˆ 0,04 + 0, 99 X E la retta ndcata con C, che non evdenza pù valor spur, n quanto nessun punto dsta pù d 4 dal punto vertcale sulla retta. Y / X 3

34 Tratta da P. Joanne Cornbleet e Nathan Gochman del 979 Incorrect Least-quares Regresson Coeffcents n Method-Comparson Analyss (pubblcato su Clncal Chemstry, Vol. 5, No. 3, pp.: ) a pag Con n 69 ( punt sono n numero mnore perché alcun hanno dat ugual), A Regressone Least-quares calcolata con tutt punt, con X come varable ndpendente: l punto è anomalo, n quanto dsta pù d 4 Y / X dal punto corrspondente sulla retta Yˆ,96 + 0, 78 X B Regressone Least-quares, con X come varable ndpendente, senza l punto ; l punto è anomalo, n quanto dsta pù d 4 Y / X dal punto corrspondente sulla retta Yˆ 0,39 + 0, 95 X C Regressone Least-quares, con X come varable ndpendente, senza punt e : Yˆ 0,04 + 0, 99 X 33

35 Con un valore dell'ntercetta a molto vcno a 0 e un coeffcente angolare b prossmo a, - può essere una buona stma della relazone lneare attesa tra due metod. Nell artcolo d P. Joanne Cornbleet e Nathan Gochman del 979 Incorrect Least-quares Regresson Coeffcents n Method-Comparson Analyss (pubblcato su Clncal Chemstry, Vol. 5, No. 3, pp.: ) la presentazone del metodo d Demng e la dmostrazone degl effett degl outlers sulla regressone lneare s concludono (a pag. 437) con quattro grupp d ndcazon operatve (gudelnes for lnear regresson analyss). - Fare sempre l dagramma d dspersone (plot) de dat e applcare l anals della regressone least-squares solamente nella regone d lneartà. Nel grafco, valor sospettat d essere outler rsultano sempre con evdenza maggore d quanto possa apparre alla lettura de valor. E sempre mportante stmare l errore nelle msure. Per un calcolo rapdo, è suffcente l rapporto dove - ex rappresenta la precsone d una sngola msura X vcno alla meda X. ex X e questo rapporto eccede 0, s deve dedurre che - nella stma del coeffcente angolare b Y / X ottenuto con mnm quadrat è presente un errore sgnfcatvo - e qund è pù approprato mpegare l coeffcente angolare b Y X della retta d Demng. empre nel dbattto sulla correttezza della regressone least-squares, quando dat sono marcatamente asmmetrc, come ndca l fatto che - la devazone standard delle X ( X ) sa maggore della meda X X > X - e l'errore nelle msure è proporzonale al valore d X, un rapporto uguale o maggore d 0,5 ndca che - l coeffcente angolare b Y / X della retta least-squares ha un errore sgnfcatvo. 3 - Il calcolo del coeffcente angolare b Y X della retta d Demng rchede che sa calcolato l rapporto 34

36 ex ey Queste stme possono essere ottenute, - sa dalla precsone dell anals d un sngolo campone che sa vcno alla meda de dat, - sa, quando s dspone d due replche per ogn campone, con e n dfferenza tra n replche e, per calcolare la retta d regressone, nvece de sngol valor delle due replche( X, X e Y Y ) ottenute dallo stesso campone, s vuole mpegare solamente la meda ( X, Y ), è utle, rcordare che - la devazone standard della msura med è uguale alla devazone standard calcolata su sngol valor dvsa per. 4 E sempre necessaro calcolare l errore standard della regressone YX.. a per la retta l coeffcente angolare b Y / X least-squares, sa per quello Y X b last-products d Demng, questa statstca può essere rcavata dalle statstche abtualmente calcolate su dat bvarat, con YX n n ( Y b r ) YX X Y L errore standard della regressone YX deve essere nterpretata come l errore standard del valore medo atteso d Y per un dato valore d X, collocato vcno alla meda X. E una msura della dspersone de punt ntorno alla retta d regressone LA FORMULA RAPIDA DI MANDEL E LA REGREIONE LEAT-PRODUCT DI YORK. Nell anno 964 J. Mandel nel volume The tatstcal Analyss of Expermental Data (pubblcato da John Wley and ons, New York, NY) a pag propone due formule abbrevate per passare drettamente 35

37 - dal coeffcente angolare b Y / X least-squares al coeffcente angolare by X least-products d Demng - - dove b Y X b Y / X + X ex ex b Y / X ex X ex varanza d errore d un sngolo valore d X, vcno alla meda X X varanza delle X. Per questo passaggo da un coeffcente angolare all altro, è suffcente calcolare la varanza ( un sngolo valore d X, una msura che s rcava rapdamente dal campone d osservazon. ex ) d La formula d Demng è fondata - non sul presupposto che la varanza del metodo X e quella del metodo Y sano costant, - ma sul concetto pù generale che l rapporto λ tra esse sa costante: DevX σ ( ε ) λ DevY σ ( η ) Tuttava anche questa potes, n vare stuazon spermental, è lontana dalla realtà. Le due varanze hanno un rapporto che s modfca entro l campo d varazone delle osservazon. Nell anno 966 J. York nell artcolo Least squares fttng of a straght-lne (pubblcato su Can. J. Phys. Vol. 44, pp.: ) ha proposto una soluzone che consste nel rdurre al mnmo la funzone dove - n x, y sono punt collocat sulla retta - X, Y sono punt osservat, ( x X ) ( y Y ) + σ ( ε ) σ ( η ) con X x + ε e Y y + η per,,..., n. 36

38 In questa formula, le due varanze al denomnatore sono calcolate entro ogn gruppo e sono n realtà de fattor pesat. E un metodo che generalzza la precedente proposta d Demng. La soluzone è raggunta attraverso un processo teratvo, per l quale occorre dsporre del programma nformatco. 4.7 LA REGREIONE LINEARE E IL TET PER L EQUIVALENZA TRA DUE METODI ANALITICI DI PAING-BABLOK Nella rcerca d laboratoro e nelle applcazon ndustral, è sempre forte l esgenza d rdurre temp e cost delle anals quanttatve, con metod nuov e meno costos. Nelle determnazon chmche e clnche, sovente s propongono metod pù raffnat o pù rapd oppure basat su un prncpo dfferente, per valutare la quanttà d prncpo attvo presente. tratta d decdere se rsultat sono equvalent e qund se due metod d msurazone sono ugual. Per quest problem d chmca analtca e chmca clnca, H. Passng e W. Bablok con gl artcol - del 983 A new bometrcal procedure for testng the equalty of measurements from two dfferent analytcal methods. Applcaton of lnear regresson procedures for method comparson studes n clncal chemstry. Part I. (pubblcato sulla rvsta Journal of Cln. Chem. Cln. Bochem., Vol., pp.: ), - del 984 Comparson of several regresson procedures for method comparson studes and determnaton of sample sze. Applcaton of lnear regresson procedures for method comparson srudes b clncal chemstry. Part II (pubblcato sulla rvsta Journal of Cln. Chem. Cln. Bochem., Vol., pp.: ), propongono un test statstco per verfcare se due metod fornscono le stessa msura. Il problema è da ess presentato (983, pag. 70) n quest termn: - There are dfferent methods (nstruments) whch measure the same chemcal analyte n a gven medum (e.g. serum, plasma, urne, ). The queston s: Do the methods measure the same concentraton of the analyte or s there a systematc dfference n the measurements? (For smplcty, we only refer to concentraton but our statements are also vald for any other quantty.) Quando, n n campon ndpendent estratt da una popolazone, un dato analta è msurato con valore X e Y per ogn campone, s ottengono e dove X Y x y + ε + η 37