Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio Superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio Superiori) Quesito Risposta esatta A E E D A B C B D D / Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [Ma quanto.. tempo impiega?..!!] (vale 4 punti) Il trenino che fa servizio nella Città dei Ragazzi, che si trova nella Provincia degli Adulti, ha in tutto 25 fermate. Tra una fermata e quella successiva impiega sempre tre minuti e quarantacinque secondi. Partendo dal capolinea (prima fermata) fino all altro capolinea (venticinquesima ed ultima fermata), quanto tempo impiega quel trenino? A) 90 m ; B) 1 h 30 m 30 s ; C) 85 m ; D) 1 h 45 m ; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) Dalla prima all ultima fermata (la venticinquesima), il trenino percorre esattamente 24 tratti di binario e per ogni tratto impiega 3 minuti e quarantacinque secondi che corrispondono a 3.75 minuti. Il tempo complessivo sarà uguale a 24x 3.75 m = 90 minuti. La risposta giusta è la A). Quesito 2 [Ma di quanto aumenta il peso della terra?] (vale 4 punti) Ammettendo che la terra si possa pesare ed ammettendo che il peso medio di una persona appartenente alla popolazione mondiale sia di 50 kg (pensate che circa il 30% della popolazione mondiale ha una età inferiore ai 14 anni!!), di quanto aumenterebbe il peso attuale della terra nell ipotesi che la popolazione passasse, secondo l ipotesi di alcuni studiosi, dagli attuali 6.8 miliardi di persone ai 16,8 miliardi del 2050? A) 5x10 6 t; B) 10x10 6 t ; C) 50x10 6 t; D) 100x10 6 t; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) Infatti il peso della terra non dipende dal numero degli individui, ma dalla materia totale che è sempre la stessa!!!! Quesito 3 [Qual è il numero mancante?] (vale 4 punti) Nella serie 81; 27; 9; 3; 1;?? quale numero viene subito dopo? A) -3; B) -9; C) 0; D) -2; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) 1/3. Per ottenere il secondo numero basta dividere il primo per 3 Per ottenere il terzo numero basta dividere il secondo per 3 Per ottenere il quarto numero basta dividere il terzo per 3. Quindi per ottenere il sesto termine basta dividere 1 per 3, cioè 1/3. Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 1

2 Quesito 4 [La pulizia è bella,. ma quanto costa!!!!] (vale 4 punti) Il comune di Vattelaapesca ha affidato la pulizia delle strade alla Ditta Nitidor & Lucente. Questa ditta si è impegnata, con due spazzatrici (autobotti speciali dotate di spazzole rotanti), ad effettuare il lavaggio e la spazzolatura delle strade del Centro Storico per tutti i giorni dell anno, dalle ore 4 alle ore 7 del mattino. Questo servizio costa al giorno per ogni spazzatrice. Quanto viene a spendere, quel comune, per tutto il 2010? A) ; B) ; C) ; D) ; E) non si può dire perché mancano alcuni dati. Risposta esatta: D) Se una spazzatrice costa al giorno, due spazzatrici costeranno il doppio, cioè al giorno. Se il costo della spazzolatura e lavaggio delle strade costa a quel comune al giorno, per l intero anno 2010, la spesa sarà uguale a (365x200.00) = Quesito 5 [Frutta.in equilibrio!!!] (vale 5 punti) Sappiamo che quattro fichi pesano come una pera e che dodici pere pesano come una zucca. Il peso di una zucca è pari ad un cocomero e mezzo. In una bilancia a due piatti, quanti fichi devo mettere su un piatto se sull altro piatto ci sono 2 zucche e 1 cocomero? A) 128 fichi; B) 42 pere; C) 132 fichi; D) 124 fichi; E) Nessuna delle precedenti Risposta giusta: A) 128 fichi Trascuriamo l alternativa B) in quanto il quesito chiedeva quanti fichi ( e non pere!!). Dai dati del problema abbiamo questa catena di equivalenze (nel peso): 1 zucca = 12 pere = 48 fichi =3/2 cocomero (1+1/2 = 3/2); Se una zucca vale 3/2 di cocomero, allora 1 cocomero vale 2/3 di zucca. Ma 2/3 di zucca = 2/3x12 pere = 2/3x48 fichi; Infine 1 cocomero vale 2/3x48 fichi = 32 fichi. Concludendo due zucche ed un cocomero avranno lo stesso peso di (2x48+32) fichi = 128 fichi. Quesito 6 [E tempo di vendemmia!!] (vale 5 punti) Dieci persone impiegano, lavorando allo stesso ritmo, 4 giorni per la raccolta di 40 tonnellate di uva. Sapendo che 1 quintale di quell uva (Montepulciano d Abruzzo) produce 75 litri di mosto, quanti giorni dovrebbero lavorare due persone per assicurare 75 quintali di mosto? A) 16; B) 5; C) 10; D) 15; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 5 giorni. Il problema si può risolvere in tanti modi!! Dieci persone che lavorano per 4 giorni corrispondono al lavoro di una persona che lavora per 40 giorni (4x10= 40 giorni lavoro di un operaio). Allora in un giorno, una persona raccoglierà la quarantesima parte di uva cioè 40:40 = 1 t = 10 q). In un giorno 2 persone raccoglieranno 20 q di uva che produrranno 20x0.75 = 15 q di mosto. Concludendo, quelle due persone per produrre 75 q avranno bisogno di giorni (75:15) = 5. Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 2

3 Quesito 7 [Ritrovate le lettere!!!] (vale 5 punti) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Tenendo conto dell ordine che le lettere hanno nell alfabeto INGLESE, nella serie: X - P H Z quali sono le due lettere che mancano? Attenzione: quando si arriva alla 26 a lettera (la Z) si ricomincia da capo (dalla A), o viceversa. A) R-I; B) S-I; C) R-J; D) S-L; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) R-J. Il criterio scelto è quello di saltare sette lettere alla volta, ma andando all indietro. Partendo dalla X e saltando, all indietro, 7 lettere (W, V, U, T, S, R, Q) si arriva alla P. Dalla lettera P, saltando all indietro, sempre 7 lettere (O, N, M, L, K, J, I) si arriva alla H. Dalla lettera H, procedendo sempre nello stesso modo si saltano le lettere (G, F, E, D, C, B, A), arrivando così alla Z. Dalla lettera Z, saltando 7 lettere (Y, X, W, V, U, T, S) si arriva alla R. Ed infine, saltando altre 7 lettere (Q, P, O, N, M, L, K) si arriva alla J. Quindi le lettere mancanti sono, nell ordine: R-J che corrisponde alla C). Nota Bene: Si otteneva lo stesso risultato (con un criterio leggermente più complicato) saltando 17 lettere alla volta, ma andando in avanti. Ricordiamo che una successione incompleta (di lettere, di numeri, ecc.) ha più criteri di formazione che la soddisfano (individuabili con maggiore o minore difficoltà). Tra questi, poi, è preferibile scegliere quello più facile o che si conosce meglio. Quesito 8 [Dove sta la verità!!??] (vale 5 punti) Tra le seguenti affermazioni ce n è una sola che è sempre vera. Quale? A) La somma di tre numeri dispari, può essere, qualche volta (molto raramente), multiplo di 6. B) La somma di tre numeri dispari consecutivi qualche volta potrebbe essere multiplo di 5. C) la somma di tre numeri pari consecutivi è sempre divisibile per 12. D) la somma di tre numeri dispari consecutivi è sempre divisibile per 9. E) la somma di tre numeri pari consecutivi è sempre divisibile per 4. Risposta esatta: B) Esaminiamo le varie alternative: A) Sommando tre numeri dispari qualsiasi, si ottiene sempre un numero dispari che non essendo pari, non sarà divisibile per 2 e quindi, non lo sarà neanche per 6. Infatti un numero per essere multiplo di 6 che è uguale a 2x3 dovrà essere contemporaneamente divisibile per entrambi. I multipli di 6 sono soltanto i multipli di 3 pari (divisibili per 2). Affermazione falsa. B) E vera. La somma di tre dispari consecutivi è sempre divisibile per 3 e tra i multipli di 3 ci sono alcuni che finiscono con 5 o con 0 e quindi sono anche multipli di 5. m(3) = 3, 6, 15, 18, 30, 42, 45, 60, 75,. L alternativa B) è vera e quindi la ricerca finisce qui perché il testo dice che una sola affermazione è sempre vera. Per stare però più tranquilli, continuiamo ad analizzare le altre affermazioni. C) La somma di 3 pari consecutivi è sempre un numero pari. Le varie somme variano di 6 da una all altra, partendo da 12: = 12; = 18; = 24;.. 30, 36, 42, 48. Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 3

4 Come si vede 12, 24, 36, 48 sono multipli di 12; mentre 18, 30, 42 non lo sono. Quindi l affermazione C) è falsa. D) anche qui solo alcune somme sono divisibili per 9: = 9; 3+5+7= 15; 5+7+9= 21; = 27 9, 27, 45, sono multipli di 9; mentre 15, 21, 33, 39, non lo sono. Quindi l affermazione D) è falsa. E) vedi C): metà delle somme sono divisibili per 4 (12, 24, 36, 48,.) e metà non lo sono affatto (18, 30, 42, 54,..). Conclusione: amche l affermazione E) è falsa. L analisi è finita ed abbiamo così verificato che solo l affermazione B) è vera. Quesito 9 [Mi raccomando!!!.. non fate crollare questa piramide!!!!] (vale 6 punti) In questa piramide i numeri sui mattoni sono messi in moto tale che un numero è il risultato della somma dei numeri scritti sui due mattoni immediatamente sottostanti. Per esempio,il numero del mattone E è la somma dei numeri che stanno sui due mattoni H ed I. Nel mattone indicato con la lettera M che numero dobbiamo mettere? A) 109; B) 129; C) 139; D) 94; E) Nessuna delle precedenti. A=983 B C=500 D=239 E F G H I=147 L M N=48 O P Q La risposta gusta è D) 94. Si parte dall alto: B= A-C = =483; E= B-D= = 244; F = C-E = =256; L=F-I = = 109; H = E-I= = 97; G=D-H = = 142; O=I-P = = 49; N=H-O = = 48; M=G-N = = 94; Q= L-P = = 11. A=983 B=483 C=500 D=239 E=244 F=256 G=142 H=97 I=147 L=109 M=94 N=48 O=49 P=98 Q=11 Quesito 10 [Pensa, pensa.il numero giusto!!] (vale 6 punti) Pensa un numero. Moltiplicalo per 15. Moltiplica ancora il risultato per 26. Dividi il numero, così ottenuto, per 6. Se moltiplichi il risultato così ottenuto per 5, quale dei seguenti numeri non puoi ottenere come risultato finale, qualsiasi sia il numero da cui sei partito? A) 975; B) 2275; C) 1625; D) 875; E) 650. La risposta esatta è la A) 875. Qualsiasi sia il numero pensato, dopo aver effettuato le operazioni indicate dal problema, il numero ottenuto deve essere per forza un multiplo di 325 (15x26:6x5 =390:6x5=65x5=325). Tra i numeri indicati solo 875 non è un multiplo di 325. Quesito 11 [La lumaca con i freni rotti!!] (vale 6 punti) Una lumaca sta salendo un muro alto 25 metri. Il primo giorno sale di 4 metri, ma, durante la notte, scivola in giù di 1 metro. Nel secondo giorno, essendo più allenata, sale di 5 metri, ma, durante la notte, essendo più stanca, scivola giù di due metri. La stessa cosa avviene nei giorni successivi: sale di giorno (per poi scivolare di notte), sempre di un metro in più rispetto ai metri percorsi il giorno precedente. Dopo quanti giorni, la lumaca, arriverà in cima al muro? Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 4

5 Risposta esatta: 7 giorni Ricapitolando: 1 giorno sale di 4 m e scivola poi di 1 m; all inizio del 2 giorno si trova a 3 m di altezza. 2 giorno sale di 5 m e scivola poi di 2 m; all inizio del 3 giorno si trova a 6 m di altezza. 3 giorno sale di 6 m e scivola poi di 3 m; all inizio del 4 giorno si trova a 9 m di altezza. 4 giorno sale di 7 m e scivola poi di 4 m; all inizio del 5 giorno si trova a 12 m di altezza. 5 giorno sale di 8 m e scivola poi di 5 m; all inizio del 6 giorno si trova a 15 m di altezza. 6 giorno sale di 9 m e scivola poi di 6 m; all inizio del 7 giorno si trova a 18 m di altezza. 7 giorno sale di 10 m e scivola poi di 7 m; ecc. ecc. Siccome nel settimo giorno percorre 10 metri, avendone già percorso 18 nei giorni precedenti, prima della fine della giornata arriverà in cima al muro. m (18+10) = 28 m. Essendo arrivata, nella notte del settimo giorno non potrà più scivolare in giù!!! e si riposerà finalmente!!! Quesito 12 [Una somma di cui. non si vuole sapere il risultato!!!] (vale 6 punti) Sapendo che: 3 4 ha per risultato un numero con 2 cifre, 6 8 ha per risultato un numero con 7 cifre, 9 12 ha per risultato un numero con 12 cifre, ha per risultato un numero con 18 cifre, ha per risultato un numero con 24 cifre, ha per risultato un numero con 31 cifre, ha per risultato un numero con 38 cifre, questa somma: quante cifre avrà? Risposta esatta: 38. In questa somma è il numero che vale di più. Anche se ci fossero dei riporti non farebbero mai aumentare la prima cifra a sinistra (quella che vale di più). Se commutiamo gli addendi dell addizione, vediamo che il risultato ha le prime sette cifre più importanti uguali a quelle dell addendo con più cifre = * ***** = = = = = = **** ***** ***** ***** ***** In una somma con addendi aventi un numero di cifre non uguali, assorbe molto di più l addendo con più cifre. In questo caso gli altri addendi non aggiungono che un nulla al primo addendo (il più grande anche se nell espressione è messa per ultimo. Infatti in presenza di un riporto nelle prime cifre (da destra), questo riporto verrebbe smaltito con un solo o al massimo due passaggi (visto che gli addendi sono solo sette) Poi le altre 7 cifre che stanno prima (a sinistra) resterebbero tali e quali. Quesito 13 [Maschio o femmina???] (vale 8 punti) Nella famiglia di Francesco ci sono tre figli, dei quali uno è maschio (Francesco, appunto); qual è la probabilità che gli altri due siano uno femmina ed uno maschio? (l ordine non interessa) Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 5

6 Risposta esatta: 3/7 Indichiamo con M il figlio maschio e con F il figlio femmina. Analizziamo le varie terne ordinate La terna M-M-M sta ad indicare che il primogenito, il secondogenito ed il terzogenito sono tutti e tre maschi. La terna M-M-F sta ad indicare che il primogenito ed il secondogenito sono maschi mentre, il terzogenito è femmina. La terna M-F-M sta ad indicare che il primogenito è maschio, il secondogenito è femmina mentre, il terzogenito è maschio. La terna F-M-M sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito ed in terzogenito sono maschi. La terna M-F-F sta ad indicare che il primogenito è maschio mentre sia il secondogenito che il terzogenito sono femmine. La terna F-M-F sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito è maschio ed il terzogenito è femmina. La terna F -F-M sta ad indicare che il primogenito ed il secondogenito sono femmine mentre, il terzogenito è maschio La terna F-F-F sta ad indicare che tutti e tre sono femmine: primogenito, secondogenito e terzogenito. Di tutte queste terne, escluso l ultima, tutte presentano almeno un maschio che bisogna sempre considerare (Francesco). Quindi i casi possibili sono sette. Noi vogliano insieme a Francesco (M) una femmina (F) ed un maschio (M). L ordine non interessa. Tra tutte le sette terne quella che presenta due M ed una F sono 3 (M-M-F; M-F-M; F-M-M). La probabilità cercata sarà dunque 3 su 7 (3/7). Quesito 14 [Il cubo bucato che piange la materia perduta!!!!] (vale 8 punti) Lo scultore Anthony Cubic, appassionato di buchi, ha ultimato da poco una scultura che ha messo in bella mostra presso il Liceo Artistico Leonardo Cubico nella città di Cubo in cui tutti gli esseri viventi (e non) hanno la forma di cubo. Questa scultura (quasi non sembra vero!!) ha la forma di un cubo con lo spigolo lungo 120 cm. Poi su ogni faccia c è un foro centrale di forma quadrata il cui lato misura esattamente un terzo dello spigolo. Questo foro di forma quadrata attraversa tutto il cubo. Sembra che porti fortuna ai fidanzati!! Ciascun fidanzato, si mette in posa su ciascuna delle due facce e, introducendo la mano nel foro, cerca di afferrare la mano dell altro/a (introdotta nel foro, ma dalla parte opposta). A questo punto si vede benissimo (osservando da una delle due facce perpendicolari alle due scelte dai fidanzati) le due mani che si stringono!!! Quanto vale, in dm 3, il volume di questo cubo forato? Risposta esatta: 1280 dm 3 Il cubo grande (spigolo = 120 cm = 12 dm) è formato da 27 cubi uguali aventi lo spigolo lungo 4 dm. Il volume di uno di questi 27 cubetti è di 4 3 dm 3 = 64 dm 3. L aver praticato i 3 fori passanti nel cubo, ha tolto complessivamente 7 cubi (6 cubi centrali a ciascuna delle sei facce + il cubo centrale al cubo stesso). Praticamente, il cubo, così forato, contiene solo (27-7) 20 cubi di spigolo 4 dm. Il volume cercato, quindi, sarà di 20x4 3 = 20x64 = 1280 dm 3. Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 6

7 Anthony Cubik in azione Ecco il risultato!!!! Quesito 15 [Aprite bene gli occhi!!!] (vale 12 punti) Quanti quadrati vedete nella figura? Risposta esatta: I quadrati sono in tutto 82 I quadrati 1x1 sono in tutto 49 (vedi fig. 1); i quadrati 2x2 sono in tutto 24 (vedi fig ) [12+8+4]; i quadrati 3x3 sono in tutto 8 (vedi fig. 5-6) [6+2]. Infine c è 1 quadrato grande (9x9) che racchiude tutta la figura. Ricapitolando i quadrati presenti nella figura sono: [ ] = 50+32= Fig quadrati 1x1 [2x24+1] Fig quadrati 2x2; [2x6] Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 7

8 Fig. 3-8 quadrati 2x2; [2x4] Fig. 4-4 quadrati 2x2; [2x2] 1 2 Fig. 5-6 quadrati 3x3; [2x3] Fig. 6-2 quadrati 3x3; [2x1] Quesito 16 [Ma si può sapere che posto occupa quel 4?] (vale 12 punti) Se scrivo uno a fianco all altro tutti i numeri che finiscono per 4, a partire da 4 fino a 4444, il 4 che appartiene al numero 2394 che posto occupa in questo numero super-lungo???? Risposta esatta: fino a 100 ci sono 19 cifre (10x2-1) per ogni centinaia abbiamo 30 cifre Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 8

9 In tutto 30x9= 270. Aggiungendoci le 19 cifre della prima centinaia avremo 289 cifre accostando i numeri che finiscono per 4 nella prima migliaia per ogni centinaia abbiamo 40 cifre Da 1000 a 2000 avremo in tutto 40x10= 400 cifre per scrivere i numeri terminanti per 4. Lo stesso dicasi per le altre migliaia. Da 2000 a 2394 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia (40x4=160) Sommando Il numero delle cifre è dato da = 849. Perciò avremo che il 4 di 2394 occupa l 849mo posto. Soluzioni_Sup-B_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 9