1. ESERCIZI sui NUMERI REALI. Determinare l estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.

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1 . ESERCIZI sui NUMERI REALI Determiare l estremo superiore e iferiore, il massimo e il miimo, se esistoo, dei segueti isiemi.. A = { R apple }. B = { <}. C = { + N [{0}}. D = { k k Z} Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa. 5. Siao A e B sottoisiemi itati di R tali che A B. Allora A. sup A apple sup B; B. if A apple if B; C. se A 6= B allora sup A 6= supb oppure if A 6= ifb. 6. Sia A R tale che if A =0esupA =. Allora A. A; B. esiste a Atale che 0 <a< ; C. esiste a Atale che a>. 7. Se A R è isieme o vuoto e itato, allora A. A ammette massimo e miimo; B. se if A =supa allora A è costituito da u uico puto; C. se if A 6 A allora A cotiee ifiiti puti. Utilizzado il Pricipio di iduzioe, provare le segueti proprietà.. Per ogi N il umero + è pari. 9. Per ogi N si ha ( + ) = + 0. Per ogi N risulta! dove! = ( ) ( )... èdettofattoriale del umero aturale (a). (a) occorrerà utilizzare il fatto che se N allora

2 RISOLUZIONE. Si ha che p p p p A = { R apple } = { R apple apple } =[, ] p p Abbiamo uidi che A è isieme itato, è u miorate e u maggiorate. Poiché ± p A possiamo cocludere che. Abbiamo che if A =mia = p e supa = ma A = p B = { R, + <} =[0, ) Ifatti, la diseuazioe + < ammette come soluzioe ogi R tale che uidi B = { <<} <<, da cui segue che B =[0, ). Ifatti se << allora 0 apple <, ovvero [0, ), e viceversa per ogi y R co 0 apple y < esister tale che <<ey =. Poiché B =[0, ), è immediato verificare che if B =mib =0 e supb =. Osserviamo che o è massimo dato che o appartiee a B.. Risulta C = { + N [{0}} = { + N, } Per N [{0} abbiamo che 0 apple + apple euidiche 0 apple + apple Ne segue che C è iferiormete itato, ogi ` apple 0 è u miorate e poiché 0 = 0+ C possiamo cocludere che 0=miC =ifc Abbiamo poi che C è superiormete itato, ogi L è u maggiorate. Verifichiamo che è l estremo superiore di C, ovvero che o esistoo maggiorati di C più piccoli di. Preso ">0 ualcuue, proviamo che " o è u maggiorate. A tale scopo è su ciete provare che esiste 0 N [{0} tale che 0 + > ", 0 + <", 0 > " e tale umero aturale esiste i virtù della proprietà archimedea (b). Osserviamo ifie che o è u massimo dato che 6 C, ifatti per ogi N [{0} si ha + 6=0euidi + 6=. (b) la proprietà archimedea a erma che per ogi R esiste N tale che apple

3 . L isieme D = { k k Z} risulta iferiormete itato. Ifatti per ogi k Z risulta k 0, uidi ogi ` apple 0 è u miorate. Abbiamo che 0 è l estremo iferiore, dato che 0 è u miorate e o esistoo miorati più gradi di 0. Per provarlo, preso ">0 ualuue, proviamo che esiste k 0 Z tale che k 0 <". Abbiamo k 0 = k 0 <", k 0 > " Ora, dalla disuguagliaza di Beroulli (c), abbiamo che k 0 = ( + ) k 0 +k 0 e dalla proprietà archimedea esiste k 0 N tale che k 0 > ". Quidi per tale valore otteiamo k 0 +k 0 > " da cui k 0 <". Abbiamo pertato provato che if D =0 L isieme D o risulta però superiormete itato, o esiste alcu maggiorate. Ifatti, preso comuue L>0, procededo come sopra, utilizzado la disuguagliaza di Beroulli e la proprietà archimedea, sia 0 N tale che 0 > L allora, posto k 0 = 0 otteiamo che k 0 >Lovvero k 0 >L. 5. Siao A e B sottoisiemi itati di R tali che A B. Abbiamo che l a ermazioe A è vera. Ifatti, se B risulta superioremete ilitato, la proprietà è immediata. Se ivece B risulta superioremete itato, dato che A B avremo che ogi maggiorate di B risulta maggiorate di A. Dalla defiizioe di estremo superiore si ottiee allora che sup B risulta maggiorate di A, da cui sup A =mi{l R a apple L, a A} applesup B. L a ermazioe B è ivece falsa, ad esempio si cosiderio gli isiemi A =(, ) e B =(0, ) abbiamo che A B ma = if A>if B = 0. Ache l a ermazioe C è falsa, ad esempio per gli isiemi A =(0, ) e B =[0, ] abbiamo che A B co A 6= B ma if A =ifb =0esupA =supb =. 6. Sia A R tale che if A = 0 e supa =. Abbiamo che l a ermazioe A. è falsa. Si cosideri per esempio l isieme A =[0, ). Risulta if A = 0, sup A =ma6 A. Ache l a ermazioe B. è falsa. Per l isieme A = {0}[[, ] risulta if A = 0, sup A =ma o esiste alcu a Atale che 0 <a<. L a ermazioe C. è ivece vera. Dalla caratterizzazioe di estremo superiore si ha ifatti che ( a apple a A =supa, ">0esisteaAtale che a> " Scelto allora " = avremo che esiste a Atale che a> =. (c) la disuguagliaza di Beroulli a erma che per ogi N e risulta ( + ) +

4 7. Sia A R isieme o vuoto e itato. L a ermazioe A è falsa. Per esempio l isieme A =(0, ) R è itato e o vuoto ma o ammette e massimo e miimo. L a ermazioe B è vera, ifatti posto m = if A e M = supa, dalla defiizioe di estremo superiore ed iferiore si ha m apple a apple M per ogi a A.Sem = M allora risulta m = a per ogi a AeduueA = {m}. Ache l a ermazioe C è vera, ifatti essedo A itato avremo che if A R ma che if A <a per ogi a A, dato che if A 6 A Fissato comuue a 0 A,avremocheifA <a 0. Dato che per defiizioe di estremo iferiore if A è il massimo dei miorati di A, avremo allora che a 0 o è u miorate di A. Ne segue che esiste a Atale che if A <a <a 0. Ripetedo il ragioameto, avremo che a o è u miorate di A euidicheesistea A tale che if A <a <a. Procededo i uesto modo, avremo che per ogi N esiste a Atale che if A <a <a per ogi N euidia cotiee ifiiti puti.. Sia p() = + e proviamo che p() risulta divisibile per per ogi N. Per = abbiamo p() = + = che è u umero pari, la base dell iduzioe è uidi vera. Suppoiamo ora che p() sia umero pari, ipotesi iduttiva, e proviamo che ache p( + ) è umero pari. Abbiamo p( + ) = ( + ) + ( + ) = =( +)+ +=p() + ( + ) euidichep( + ) è somma di due umeri divisibili per, i uato p() lo è per ipotesi. Ne segue che p( + ) è ach esso divisibile per, ovvero è u umero pari. Dal pricipio di iduzioe possiamo uidi a ermare che p() è umero pari per ogi N. 9. Posto proviamo che = ( + ) = + per ogi N. È immediato che = è uguale a +. Suppoiamo che sia vera l uguagliaza = + (ipotesi iduttiva) e proviamo che + = + +. Abbiamo + = ( + ) + ( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) = + + ( + ) + = ( + ) ( + ) ( + )( + ) = + + ( + )( + ) = + + Dal Pricipio di iduzioe possiamo uidi cocludere che = + per ogi N. 0. Per provare che la disuguagliaza apple! è vera per ogi N usiamo il Pricipio di iduzioe. Abbiamo che per = la disuguagliaza è vera dato che = 0 =apple! =.

5 Suppoiamo ora che sia vera per e proviamolo per +. Osservato che apple per ogi N eche( + )! = ( + )! abbiamo (+) = = apple! apple ( + )! =( + )! uidi la disuguagliaza è vera per +. 5

6 . ESERCIZI sui NUMERI COMPLESSI Scrivere i forma polare i segueti umeri complessi. z =i. z = + p i. z =( p i). z =( i) ( i) 5. z =(+i) ( p i) Determiare le soluzioi i campo complesso delle segueti euazioi 6. z = 6 7. z =i. z = p +i 9. z z +=0 0. z + iz =0. (z i) =(+i)(i z)+i 6

7 RISOLUZIONE. Il umero complesso z =i ha modulo z = e argometo, potremo uidi scriverlo i forma polare come z = (cos + i si ).. Il umero z = + p i ha modulo z = p + = e argometo, i forma polare si scrive duue come z = (cos + i si ) p. Possiamo scrivere il umero w = i i forma polare come w = cos( dalla formula di De Moivre (d) otteiamo allora )+isi( ), z = w = cos( ) + i si( ) = (cos( )+isi( )) =. Dato che i = p cos( )+i si( ) risulta da cui ( i) =( p ) cos( ) + i si( ) = (cos( )+isi( )) = 5. Abbiamo che Quidi e Si ha uidi z =( i) ( i) = ( i) = +i = ( +i) = cos + i si +i = p cos( )+i si( ) e p i = cos( 6 )+i si( 6 ) ( + i) = p cos( )+isi( ) = ( +i) ( p i) = cos( )+i si( ) = ( p i) z =(+i) ( p i) = p cos( )+isi( ) cos( )+isi( ) = p cos( )+isi( ) =p cos( 5 5 )+isi( ) (d) la formula di De Moivre a erma che ( (cos + i si )) = (cos( )+i si( )) per ogi Z 7

8 dove abbiamo utilizzato la proprietà ( (cos + i si )) ( (cos + i si )) = (cos( + )+i si( + )) I alterativa, potevamo procedere moltiplicado i due umeri i forma algebrica z =(+i) ( p p i) = ( +i) ( i) = ( p ) + i( p + ) = p p6 p p p + i 6+ p 6 p e ricooscere che = cos 5 p p e 6+ =si 5 (per determiare tali valori possiamo osservare che 5 = 6 + e usare le formule addizioe). 6. Determiare le soluzioi complesse dell euazioe z = 6 euivale a determiare i campo complesso le radici uarte di 6. Abbiamo che 6 = 6(cos + i si ), uidi le uattro radici uarte soo date da Otteiamo uidi z 0 = p 6 cos + i si = z k = p 6 cos +k + i si +k, k = 0; ; ;. p + p i = p + p i z = p 6 cos + + i si + = cos + i si = z = p 6 cos + + i si + = cos 5 + i si 5 = z = p 6 cos +6 + i si +6 = cos 7 + i si 7 = p p p + p p i = p + p i i = p p i p i = p p i 7. Per determiare le tre radici complesse di z =ipossiamo utilizzare il procedimeto precedete osservato che i = cos + i si da cui otteiamo che le tre radici soo z 0 = p cos 6 + i si 6 = p p + i z = p cos i si 5 6 = p p + i z = p cos + i si = p i. Determiiamo le radice uadrate di p +i. Abbiamo che p +i = cos 6 + i cos 6 eduue le due radici uadrate soo date da z 0 = p cos 6 + i si 6 = p cos + i si = p p6+ p p p p p + 6 i = + + i z = p cos i si 6 + = p cos p p + i si = + i NOTA: per determiare z è su ciete osservare che risulta il simmetrico rispetto all origie del puto z 0 el piao complesso, ovvero z = z 0 )

9 9. Possiamo determiare le soluzioi complesse dell euazioe di secodo grado a coe cieti reali z z + = 0 utilizzado la formula risolutiva z ± = b ± p a dove, se < 0 si coviee che p =i p essedo p la radice uadrata (reale) del umero reale positivo. Abbiamo uidi che le soluzioi dell euazioe z z + = 0 soo z ± = ± p = ± p =± i 0. L euazioe z + iz = 0 è euazioe di secodo grado a coe cieti complessi della forma az + bz + c = 0 co a, b, c C. Possiamo ache i uesto caso applicare la formula z ± = b ± p a dove co ± p si soo deotate le due radici complesse del umero = b ac. Nel ostro caso a = c =eb = i uidi = + = è u umero reale positivo e le sue radici sarao ± p. Le soluzioi dell euazioe sarao allora date da b ± p z ± = a = i ± p p = ±. Riscriviamo l euazioe (z i) =(+i)(i z)+i i forma ormale svolgedo i prodotti idicati. Abbiamo (z i) =(+i)(i z)+i, z iz =i z iz + i i, z +( i)z i =0 e per risolvere l ultima euazioe (di secodo grado a coe uovamete la formula z ± = b ± p a cieti complessi) possiamo utilizzare I uesto caso = ( i) ( i) = i +i =6i è u umero complesso e le due radici uadrate di potrao calcolarsi come ell esercizio, otteedo ± p p 6 cos p +si i = ±p 6 + p i p = ± + i. Quidi le soluzioi complesse dell euazioe data soo ovvero z + = z ± = p p + + i e z = p i ± p + p i + p i. 9

10 . ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte Utilizzado la defiizioe, verificare i segueti iti.!+ + =.!+ +=+.!+ log( + )= Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.. Siao a = ( ) +eb = A. o ammettoo ite; B. soo regolari e a = b ;!+!+ C. soo itate. +( ). Allora le due successioi 5. Siao (a )e(b ) due successioi positive tali che la successioe somma (a + b ) risulti covergete. Allora A. (a )e(b ) soo covergeti. B. (a )e(b ) soo itate. C. (a b ) è regolare. 6. Siao (a )e(b ) due successioi o egative tali che a =!+ Allora A. esiste 0 N tale che a apple b per ogi 0. B. a b = 0.!+ C. a + b = b.!+!+ b e!+ Utilizzado l algebra dei iti e i iti otevoli visti, calcolare i segueti iti. + p 7.!+ p p 5.!+ 5 9.!+ log() + log( + ) log( + ) 0.!+ e a!+ b = 0. 0

11 .!+ + al variare di >0 +.!+ a + al variare di a>0 +

12 . Per verificare il ite che Osservato che!+ + = + abbiamo RISOLUZIONE + = dobbiamo verificare che per ogi ">0esiste 0 N tale + <" 0 + <", + <", " < Preso allora, grazie alla proprietà archimedea, 0 N tale che " ogi 0 risulta " < 0 apple ) + <" e uidi che il ite è verificato. < 0 otteiamo che per. Verifichiamo che!+ +=+ provado che per ogi M>0esiste 0 N tale che +>M 0 Osservato che per ogi 5risulta + = ( ), scelto 0 N co 0 5 tale che 0 >M otteiamo che per ogi 0 risulta. Dobbiamo verificare che che + = ( ) 0 >M log(!+ + )=, ovvero che per ogi M>0esiste 0 N tale log( + ) < M 0 Applicado l espoeziale di base e ad ambo i membri della precedete diseuazioe otteiamo log( + ) < M, + <e M, >e M Dato che per ogi N risulta,scelto 0 N tale che 0 >e M, per ogi 0 risulta 0 >e M ) log( + ) < M. Siao a = ( ) +( ) + e b =. Osserviamo che, essedo le successioi (( ) ) N e ( + ( ) ) N itate e ( ) N successioe ifiitesima, risulta euidiche metre ( ) +( )!+ =!+ =0 a ( ) =!+!+ += b +( ) =!+!+ =0

13 Possiamo uidi cocludere che l a ermazioe A è falsa (etrambe le successioi ammettoo ite, soo regolari), ache l a ermazioe B è falsa (soo etrambe regolari ma a =!+ 6= 0= b )metre C è vera dato che etrambe le successioi soo covergeti, uidi!+ i particolare itate. 5. Siao (a )e(b ) due successioi o egative tali che la successioe somma (a + b )risulti covergete. Abbiamo che l a ermazioe A,(a )e(b ) soo covergeti, è falsa. Ad esempio le successioi a =+( ) e b = ( ) o soo regolari metre si ha che a +b =, per ogi N, eduueche(a + b ) è covergete. Ache l a ermazioe C,(a b ) è regolare, è falsa: per le successioi dell esempio sopra risulta a b =+( ) ( ( ) )= ( ) e tale successioe o è regolare. L a ermazioe B,(a )e(b ) soo itate, è ivece vera. Ifatti, essedo (a + b ) successioe covergete, abbiamo che esiste M>0 tale che a + b apple M per ogi N. Poichè (a )e(b ) soo o egative, se e deduce che 0 apple a <a + b apple M e0apple b <a + b apple M per ogi N eduueche(a )e(b ) soo itate. 6. Siao (a )e(b ) due successioi tali che a = b e!+!+!+ b = 0. a L a ermazioe A è vera, ifatti essedo = 0 dalla defiizioe, scelto " = abbiamo che esiste 0 N tale che!+ b a b < per ogi 0 da cui, essedo positive risulta a <b per ogi 0. L a ermazioe B è falsa, scelte ad esempio a = e b = risulta =. Ifie l a ermazioe C è vera, ifatti a + b =!+ dato che a b +! per! +.!+ b a b + = b!+ 7. Raccogliedo a umeratore e p a deomiatore otteiamo che dato che. Abbiamo poiché + p!+ p p = +!+ 6 a a b =!+!+ =+!+ p = 0 per ogi p<0metre!+ p =+ per ogi p>0. 5 5!+ 5 = 5!+ 5 =!+!+ 5 0 < 5 < e0< <. = +, essedo 5 >, metre! =!+ 9. Usado le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere log() +!+ log( + ) log( + ) = log ( +)!+ + = = 0 dato che

14 e poiché per! + risulta ( +) = + + +! 0+, dal ite otevole dei logartimi otteiamo che log() +!+ log( + ) log( + ) = 0. Usado le proprietà degli espoeziali possiamo scrivere!+ e =!+ e =0 dato che per! + risulta! e a! 0 per ogi a>.. Per >0 si ha! !+ + >< = se 0 < < =!+ + =0 se = >:!+ + =+ se > + dove ell ultimo caso abbiamo usato il fatto che se > allora > 0eduue! + per! +.. Per 0 <a< abbiamo!+ a + = +!+ dato che > > metre0< a <. Se a = abbiamo a + =+!+ Ifie se a>risulta!+ + = +!+ a + = +!+ a =!+ + a a = =+ >< se <a< se a = >: 0 se a> Riuedo uato otteuto possiamo cocludere che!+ a + = +!+ a + a + a = + se 0 <aapple >< se <a< se a = >: 0 se a>

15 . ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.. Sia (a ) ua successioe divergete a +. Allora A. (a )ècrescete. B. a è itata. C. if{a N} R.. Siao (a )e(b ) due successioi positive tali che a = b = ` R. Allora!+!+ A. a b per! +. B. e a e b per! +. C. log a log b per! +.. Siao (a )e(b ) successioi positive, ifiitesime e asitotiche per! +. Allora A. Per ogi successioe (c ), a c b c per! +. B. Per ogi R, a b per! +. C. log a log b per! +.. Siao (a )e(b ) due successioi positive e regolari tali che!+ a b = 0. Allora A. a b per! + B. e a e b per! + C. log a log b per! + Utilizzado i iti otevoli visti e l algebra dei iti, calcolare i segueti iti 5.!+ log + cos p e si 6.!+ cos 7.!+.!+ e ta cos ta p + p + [0] [ ] log cos [+] [0] 9. +!+ log + +si [ ] 0.!+.!+ cos >,.!+ >, cos p log(+ ) [ p e ] al variare di R [0 se se =, se < ] cos al variare di R [0 se pe se =, se <] 5

16 RISOLUZIONE. L a ermazioe A è falsa, la successioe a = +( ) è divergete a +, poiché +( )! + ma o è crescete: a =0<a =maa =>a =. L a ermazioe B è vera, la successioe a è ifatti covergete e duue, per uato provato a lezioe, itata. Ache l a ermazioe C è vera. Ifatti essedo a =+, dalla defiizioe di ite esiste!+ 0 N tale che a > per ogi 0. Posto allora m =mi{; a 0 ; a ;...; a 0 } avremo che a m per ogi N. La successioe risulta uidi iferiormete itata e uidi ammette estremo iferiore fiito.. L a ermazioe A è falsa. Si pesi ad esempio alle successioi a = e b =. Tali successioi covergoo etrambe allo stesso ite ` = 0 per! + pur o essedo asitotiche: a =!+ b!+ =+ Si osservi che se ivece il ite ` risulta fiito o ullo allora le due successioi risultao asitotiche. L a ermazioe B è ivece vera. Ifatti essedo a b = a!+!+ b =0e!+!+ e = per ogi successioe! 0, si ha!+ e a = b e!+ ea b = C è falsa. Le successioi a =+ e b =+! + e log a 6 log b dato che covergoo allo stesso ite ` =per log a = log + metre log a = log + e 6.. L a ermazioe A è falsa. Per esempio le successioi a = + e b = + ifiitesime e asitotiche. Cosiderata però la successioe c = abbiamo che soo positive, a c = + = 6 b c = + = L a ermazioe B è ivece vera, ifatti essedo le due successioi asitotiche risulta a b! e uidi (a ) (b ) = a b! = ovvero (a ) (b ). Ache l a ermazioe C è ivece vera, ifatti essedo le due successioi asitotiche risulta b a! euidi log a = log a a log b + log b log = b +! log b log b log b dato che log a b! 0 e log b!. 6

17 . L a ermazioe A è falsa. Si cosiderio ad esempio le successioi regolari a = e b =. Si ha che a b! 0per! + metre a b =! +. L a ermazioe B è ivece vera. Ifatti, dal ite otevole e! per ogi successioe! 0, si ha che ea e b = ea b!. L a ermazioe C è falsa. Le successioi regolari a = + e b = + soo tali che a b! 0per! + metre, dal ite otevole log( + ) per ogi successioe! 0, otteiamo log(a) log(b! +. ) 5. Per calcolare!+ log + cos p usiamo i iti otevoli visti e la relazioe di asitotico. Per! +, dato che per ogi successioe ( ) N ifiitesima risulta abbiamo Poiché log( + ) e cos( ) log + cos p! 0per! + e deduciamo che!+ = log + cos p =0 e si 6. Per calcolare, ricordiamo che per ogi successioe ( ) N ifiitesima risulta!+ cos e si p + e cos Quidi per! + otteiamo e si si metre da cui cos = + cos cos e si cos = eduue!+ e si =. cos e ta 7. Calcoliamo log cos!+ cos procededo come ei precedeti esempi ricordado ioltre che per ogi successioe ifiitesima ( ) N risulta ta.per! + otteiamo allora e ta ta, 7

18 e Quidi per! + abbiamo cos cos 6 log cos = log + cos cos e ta cos log cos = 6 = 9! + eduue!+ e ta cos. Per calcolare il ite!+ p + il deomiatore come p + p += p + Abbiamo poi che per! + risulta log cos =+. ta p, osserviamo iazitutto che possiamo scrivere + p + p = p + + p + = essedo + +! eduue, metre + +, = p dato che +! 0eche + = +. Otteiamo allora che p + p + = p da cui i particolare che p + p +! 0, il ite dato preseta ua forma idetermiata del tipo 0 0. Osservato che per! + risulta ta eduue Possiamo uidi cocludere che ta p + p + = p! Calcoliamo!+ log + +si +, per il umeratore abbiamo ta p + p + =!+ = 0.. Come ei precedeti esercizi osserviamo che per! +

19 Riguardo al deomiatore osserviamo che per! + abbiamo log + metre si da cui Ne segue allora che si log + =! 0. log + +si = log + si + log +! essedo + si euidiche log +!+. Possiamo allora cocludere che per! + + log + +si + log + +si =. = NOTA: per studiare il deomiatore o abbiamo potuto applicare direttamete la relazioe di asitotico trattadosi di ua somma. 0. Il ite ella forma!+ cos coivolge ua successioe di tipo espoeziale che potremo riscrivere cos = e log cos Studiamo uidi il comportameto della successioe ad espoete a = log cos. Per! + abbiamo euidi log cos = log + cos cos Ne segue che per! + risulta a!. Calcoliamo!+ cos p log(+ ) a = log cos cos eduueche = = e log cos = e a! e = pe al variare di R. Osserviamo iazitutto che se >0 allora! + e uidi log( + )! +. Ne segue che, essedo cos p! 0, i uesto caso il ite o preseta ua forma idetermiata. Dall algebra dei iti otteiamo duue!+ cos p log(+ ) =0, se >0. 9

20 Allo stesso modo, osservato che se = 0 allora log( + ) = log, otteiamo immediatamete che cos p log(+ ) =0, se =0.!+ Se ivece <0allora! 0 e uidi log(+ )! 0, il ite preseta ua forma idetermiata del tipo 0 0. Procededo come ei precedeti esercizi per! + otteiamo cos p Riguardo al deomiatore, essedo! 0, abbiamo euidi cos p log( + ) = log( + )! + Riuedo uato trovato possiamo cocludere che ><. Per calcolare il ite esercizio. Abbiamo che echeper! + risulta!+!+ cos cos p log(+ ) = cos >: >< >: 0 se < <0 se = se < 0 se > se = se < al variare di R procediamo come el precedete = e log cos log cos Ne segue che per! + si ha >< se > log cos =! se = >: 0 se < eduue cos = e log cos! >< 0 se > e se = >: se < 0

21 5. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte. Sia (a ) N successioe positiva e ifiitesima tale che a + a ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.! ` R per! +. Provare di A. ` apple. B. `<. C. se ` 6=, esiste 0 N tale (a ) 0 risulta mootoa. Calcolare i segueti iti utilizzado il criterio del rapporto.!+ (!)!.!+.!+ ()! log 5.!+ (!) 6.!+ ()! al variare di R al variare di R 7. al variare di >0!+ ()! Calcolare i segueti iti.!+ log +! ( cos ) 9.!+ log( +! ) log cos! 0.!+ si log(e + ).!+ al variare di R!si. al variare di R!+

22 RISOLUZIONE. Sia (a ) N successioe positiva e ifiitesima tale che a + a! ` R per! +. Allora l a ermazioe A è vera. Ifatti se per assurdo `>, dal criterio del rapporto avremo che a! + per! + cotro l ipotesi che la successioe è ifiitesima. L a ermazioe A è ivece falsa, ifatti la successioe a = è positiva e ifiitesima ma! ` =per! +. a + a = + L a ermazioe C è vera. Ifatti, essedo a + a! ` R per! + e ` 6=, se `< dalla defiizioe di ite, preso " (0, `) avremocheesiste 0 N tale che a + a <`+ "< per ogi 0 eduue,essedoa > 0 per ogi N, chea + <a per ogi 0. I modo aalogo, se `>avremocheesiste 0 N tale che a + a > per ogi 0 euidiche a + >a per ogi 0.. Calcoliamo il ite!+ (!) utilizzado il criterio del rapporto. Posto a =, per (!)! + abbiamo a + a = ( + )+ (( + )!) (!) = + +! 0 e duue, essedo ` = 0 <, dal criterio del rapporto possiamo cocludere che!+. Applichiamo il criterio del rapporto alla successioe a =!.Per! + abbiamo (!) = 0. a + = (+)! a ( + ) +! = + (+)!! + = +! e!! + i uato per ogi N si ha che! echeper! + risulta! + per il ite otevole della gerarchia degli ifiiti. Quidi, dal criterio del rapporto, possiamo cocludere che!!+ =+.. Posto a = ()!, calcoliamo il ite del rapporto a + a degli ifiiti per! + risulta per! +. Dai iti della gerarchia a + a = (+) ( + )! ()! = + pertato, dal criterio del rapporto, possiamo cocludere che 5. Calcoliamo, al variare di R, ilite!+ a + a = ( + )+ log( + ) (( + )!) ( + )( + )( + ) 7! + a =+.!+ log (!). Posto a = log (!) (!) log = + abbiamo che log( + ) ( + ). log

23 Osservato che per! + risulta log(+) log! eche + a + a e ( + )! >< 0 se > e se = >: + se <! e, otteiamo Essedo e>, dal criterio del rapporto possiamo uidi cocludere che ( a 0 se > =!+ + se apple 6. Per calcolare il ite!+ ()! calcoliamo il ite del rapporto a + a = ( + ) + ( + )! al variare di R, poiamo uovamete a = ()! ()! = + ( + ) ( + )( + ) e Per! + otteiamo allora a + a e! >< + se > e se = >: 0 se < euidi,essedoe >, che a =!+ ( + se 0 se < 7. Utilizziamo acora il criterio del rapporto per calcolare il ite della successioe a = ()! al variare di >0. Per! + abbiamo a + a = euidiche ( + )+ ()! ( + )! + =!+ + = 0 per ogi >0. ()! + ( + )( + ) e! 0, >0. Osservato che, dai iti otevoli della gerarchia degli ifiiti, per! + risulta eche >>,essedo = >>! >> = >> >> log! 0, abbiamo che log +! = log +! 0!

24 ( cos ) 9. Per calcolare il ite!+ log( +! ) osserviamo che per! + risulta ( cos ) log( +! ) dato che! >> eduue!! +.! =!! + log cos! 0. Per calcolare!+ si, otiamo che per! + si ha log cos! cos! si (!) = (!) Usiamo il criterio del rapporto per determiare il comportameto della successioe a = (!). Per! + abbiamo a + a = (+) (( + )!) (!) = + ( + ) 9! + essedo 9 >>. Quidi dal criterio del rapporto a! + e duue ache log(cos!) si! +. log(e + ). Calcoliamo!+ al variare di R. Per! + risulta log(e +) i uato log( + e ) = log(e ( + e )) dato che log( + e )! 0. Otteiamo uidi che = log(e ) + log( + e ) log(e + ) =! >< 0 se > se = >: + se < =+ log( + e )!!si. Per calcolare al variare di R, osserviamo iazitutto che essedo si!+ per! + risulta si euidiche!si! =! Studiamo il comportameto della successioe a =! Per! + abbiamo a + a = ( + )! ( + ) (+)! uidi a! 0 e duue ache!si! 0 per ogi R. = utilizzado il criterio del rapporto. ( + ) +! 0,

25 6. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.. Se f() eg() soo fuzioi defiite e positive i [a, +) tali che f() =o(g()) per! +, allora A. esiste b>atale che f() <g() per ogi >b. B. f()+g() g() per! +. C. f()+g() f() per! +.. Siao f(), g() eh() fuzioi ifiitesime per! 0 tali che f() =o(g()) e g() h() per! 0. Allora A. f() h() per! 0. B. f() =o(h()) per! 0. C. f()+h() g() per! 0. Se f(), g() eh() soo fuzioi defiite e o egative i (0, +), tali che f() =o(h()) e g() =o(h()) per! 0 +, allora A. esiste >0 tale che f()+g() apple h() per ogi (0, ) B. f() g() per! 0 +. C. f() g() = 0. + Utilizzado la relazioe di asitotico, calcolare i segueti iti. log(cos ) si 5. + e ta p cos log( + si ) 6. ) ta +(cos 7.!+. si( cos ) si e p + p + 9. si( ) log( p + ) al variare di R cos( 0. ) al variare di R! + ( ) 5

26 Utilizzado il simbolo o piccolo, calcolare i segueti iti.!+ log + + e p. + cos +si. log( + ) + ta p + p + +. e ta p cos si log( )+ p + (e 5.!+ )(si log(cos ) + ta ) e p 6. si ta al variare di R 7. si e (cos ) log( + ) al variare di R p si p +!+ + cos p. al variare di R Per risolvere i precedeti esercizi sarà utile ricordare i segueti iti otevoli per y! 0 si y y! si y y si y = y + o(y) cos y y! cos y y cos y = y + o(y ) ta y y! ta y y ta y = y + o(y) e y y! e y y e y =+y + o(y) log(+y) y! log( + y) y log( + y) =y + o(y) (+y) y! ( + y) y ( + y) =+ y + o(y) 6

27 RISOLUZIONE. Se f() eg() soo fuzioi defiite e positive i [a, +) tali che f() =o(g()) per! +, f() allora l a ermazioe A è vera. Ifatti, dalla defiizioe abbiamo che g() =0euidi che esiste b>atale che f() g()!+ < per ogi >b. Essedo le due fuzioi positive e segue che f() <g() per ogi >b. Ache l a ermazioe B è vera i uato, essedo f() =o(g()) per! + risulta f()+g() g() = f() +!, per! + g() e duue, dalla defiizioe, che f() + g() g() per! +. L a ermazioe C è ivece falsa. Si cosiderio per esempio le fuzioi f() = e g() =, abbiamo che f() g() =! 0 per! +, uidif() =o(g()) per! + ma f()+g() f() duue f()+g() 6 g() per! +. = +! +, per! +. Siao f(), g() eh() fuzioi ifiitesime per! 0 tali che f() =o(g()) e g() h() per! 0. Allora l a ermazioe A è falsa: le fuzioi f() =, g() = e h() = + verificao f() =o(g()) e g() h() per! 0essedo ma f() 6 h() dato che f() g() =! 0 e g() h() = f() h() = + = + = +! per! 0 +! 0 per! 0 Le a ermazioi B e C soo ivece vere i uato, f() g() e ache f() h() = f() g() g() h()! 0 per! 0 f()+h() g() = f() g() + h()! per! 0. g() g()! 0e h()! per! 0risulta. Se f(), g() eh() soo fuzioi defiite e o egative i (0, +), tali che f() =o(h()) e g() =o(h()) per! 0 +, allora l a ermazioe A è vera. Ifatti dalle proprietà degli o piccolo si ha che f() +g() =o(h()) per! 0 +,ovvero f()+g() h()! 0per! 0 + e dalla defiizioe di ite, esiste >0 tale che f()+g() h() < per ogi (0, ). Essedo le fuzioi o egative e segue che f()+g() <h() per ogi (0, ). Le a ermazioi B e C soo ivece false. Cosideriamo per esempio le fuzioi f() =, g() = e h() =.Risultaf() =o(h()) e g() =o(h()) per! 0 + ma f() 6 g() e f() g() = = + =

28 log(cos ). Calcoliamo il ite si utilizzado i iti otevoli visti e la relazioe di asitotico. Ricordiamo che per! 0risultasi euidiche si Abbiamo poi che log( + y) y per y! 0, posto allora y = cos, dato che cos! 0 per! 0 otteiamo log(cos ) = log( + (cos )) = log( + y) y = cos e poiché cos per! 0, si ha log(cos ) cos Possiamo allora cocludere che per! 0risulta log(cos ) si = log(cos ) eduueche = si. e ta 5. Calcoliamo p log( + si ) usado i iti otevoli e la relazioe di asitotico. + cos Per! 0 abbiamo e ta ta, log( + si ) si e p cos (cos ) 6 uidi eduue + e ta p cos log( + si ) = Per calcolare il ite comportameto dell espoete eduue e ta p cos log( + si ) 6 = 6 ) ta possiamo scrivere (cos ) ta = e ta +(cos log(cos ) e studiare il log(cos ) ta per! 0. Abbiamo ta e log(cos ) (cos ) log(cos ) ta =! 0 per! 0. Ne deduciamo uidi che (cos ) ta = e ta log(cos )!. 7. Calcoliamo il ite!+! + risulta e p + p +. Osserviamo allora che, essedo! 0per e

29 metre (e) p + p += p = p p + p = / Ne deduciamo allora che per! + si ha eduueche!+ e p + e p + p + =+. p + / = p si( cos ). Per calcolare il ite si! 0sihay! 0euidi osserviamo iazitutto che posto y = (cos ) per metre si( cos ) =si( cos + ) =si(y + ) = si y y = ( cos ) Otteiamo allora che da cui si( cos ) si =. si( cos ) si si = 9. Calcoliamo il ite si( ) log( p + ) al variare di R. Per ogi R, se! 0+ abbiamo e da cui si( ) log( p + )= log( + ) si( ) log( p + ) = si( ) Ne segue allora che log( p = per ogi R. + ) cos( 0. Per calcolare ) al variare di R, operiamo la sostituzioe y = e osserviamo! + ( ) che se! + allora y! 0 + eilitediviee cos( )! + ( ) = cos( (y + )) y!0 + y (e) osserviamo che essedo! + possiamo supporre >0 e che per tali valori risulta p = p 9

30 Per y! 0 + risulta cos( (y + )) = cos( y + )= si( y) y! 0 Osserviamo poi che se <0pery! 0 + risulta y! + e uidi, dall algebra dei iti, otteiamo che cos( (y + )) y! 0 Allo stesso modo, se = 0 allora y = e ache i uesto caso cos( (y+)) y! 0pery! 0 +. Se ivece >0 allora per y! 0 + risulta y! 0 e il ite preseta ua forma idetermiata del tipo 0 0. Dallo sviluppo sopra abbiamo però che cos( (y + )) y y y = y! Riuedo uato otteuto possiamo cocludere che >< >: cos( )! + ( ) = cos( (y + )) y!0 + y = 0 se 0 < < se = se > >< >: 0 se < se = se > Per risolvere i restati esercizi sarà utile ricordare che valgoo le segueti proprietà degli o piccoli o(f()) ± o(f()) = o(f()) k o(f()) = o(k f()) = o(f()) g() o(f()) = o(g() f()) o(g()) o(f()) = o(g() f()) o(f()+o(f()) = o(f()) o(o(f())) = o(f()) g() f() se e solo se g() =f()+o(f()) Pricipio di cacellazioe dei termii trascurabili: f()+o(f())! 0 g()+o(g()) = f()! 0 g() log + 5. Per calcolare il ite!+ osserviamo che dai iti otevoli della gerarchia + degli ifiiti, per! + risulta log = o( 5 ) e ioltre = o( 5 ). Duue log + 5 = 5 + o( 5 ) 5 Sempre dalla gerarchia degli ifiiti abbiamo che = o( ) e ioltre che = o( ), uidi per! + si ha + = + o( ) 0

31 Possiamo allora cocludere che log + 5!+ + = 5 + o( 5 )!+ + o( ) = 5!+ =0 e p. Per calcolare + cos +si abbiamo che utilizziamo il iti otevoli e gli o piccolo. Per! 0+ e p + =+ + o() ( + o()) = + o() e cos +si = + o( ) +( + o()) = + o( )+ + o( )= + o( ) Ne deduciamo uidi che eduue + e p cos +si =+. e p cos +si log( + ) + ta. Per calcolare il ite p p Per! 0 abbiamo = procediamo come el precedete esercizio. log( + ) + ta = + o( )+ + o() = + o() essedo = o() per! 0. Risulta ioltre p + p + + =+ + o() ( o( + )) = + o() dato che = o() echeo( + )=o( + o()) = o(). Ne deduciamo che log( + ) + ta p p log( + ) + ta euidichep p = e ta p cos. Per calcolare si log( )+ p osserviamo che per! 0risulta + e e ta = + ta + o(ta )=+( + o()) + o( + o( )) = + + o( ) = p p cos = (cos ) + = + (cos ) + o(cos )) =+ ( + o( )) + o( + o( )= + o( )

32 Duue, per! 0siha e ta p cos =+ + o( ) ( + o( )) = + o( ) Riguardo al deomiatore per! 0 abbiamo ivece si log( )+ p + =( + o()) ( + o()) + ( + + o( )) Ne cocludiamo che per! 0 euidi e ta p cos si log( )+ p + = 0. (e 5. Per calcolare il ite!+ + abbiamo = + o( )+ + + o( )= + o() e ta p cos si log( )+ p + = )(si log(cos ) + ta ) possiamo utilizzare gli o piccoli. Per! (e )(si )= + o( ) + o( ) = + o( ) + o( ) = +o( ) Osserviamo poi che essedo cos! 0per! + abbiamo log(cos ) = log((cos ) + ) cos e duue che log(cos )= + o( ). Ne segue che per! + si ha log(cos ) + ta = + o( )+ + o( )= + o( ) essedo = o( ), e duue da cui (e!+ )(si log(cos ) + ta (e )(si log(cos ) + ta ) = 0. ) = e p 6. Calcoliamo il ite si ta al variare di R. Per! 0risulta si ta = + o() ( + o()) = + o() ( + o( )) = + o() metre e p =+ + o() + o() = + o()

33 Se 6= otteiamo allora che e p euidi e p si ta = Se ivece = allora e p = o() e = per defiizioe di o(). e p si ta = o() =0 7. Per calcolare si e (cos ) log( + ) al variare di R osserviamo che per! 0risulta si log( + ) = + o() ( + o()) = + o() + o( ) = + o() Riguardo al umeratore, osserviamo iazitutto che (cos ) = ((cos ) + ) =+ (cos ) + o(cos ) = + ( + o( )) + o( ) uidi e (cos ) =+ + o( ) + ( + o( )) + o( ) = + + o( ) Ne segue che se 6= allora e (cos ) + euidi e si (cos ) log( + ) = + =0 se ivece = allora e (cos ) = o( )e per defiizioe di o( ). e si (cos ) log( + ) = o( ) = o( ) =0. Calcoliamo il ite!+ esercizi. Per! + risulta p + cos p si + al variare di R procededo come ei precedeti essedo si + = + o( ) + = + o( )+ = + o( ) = o( ), metre + cos p =+ + o( ) + o( ) = + + o( ) Se 6= otteiamo allora che p + cos!+ p + cos p si + =!+ p + + = euidiche!+ + = sg( + )

34 Se ivece otteiamo che sul valore del ite cos p = o( ) e o possiamo cocludere acora ulla!+ cos p si + =!+ dato che o( ) idica ua geerica successioe trascurabile rispetto a. Tale successioe potrebbe essere per esempio, el ual caso il ite risulterebbe uguale a oppure potrebbe essere la successioe, el caso il ite sarebbe uguale a 0, o ache e i uesto caso il ite sarebbe uguale a +. o( )

35 7. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte. Siao f(), g() e h() fuzioi ifiitesime per! 0 co ord(f()) < ord(g()) < ord(h()). Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa. A. f()+h() f()+g() =. B. f()+g() g()+h() = 0. C. g()+h() f()+h() =0. Data f() fuzioe ifiitesima di ordie per! 0, stabilire se i segueti iti risultao fiiti o ulli, ulli o ifiiti. a. f() log( + ) b. f() p si c. f() si d. si log( + ) f() Determiare l ordie di ifiitesimo delle segueti fuzioi. f() =si cos log( ) per! 0. f() = log(cos ) p + +per! 0 5. f() =e si p + 6. f() = p cos e 7. f () =si ( ) log( + )per! 0 al variare di R. f () =(si log( + ))(e si ) per! 0 al variare di R 9. f () = cos p + per! 0 al variare di R 0. f () = log(cos ) e si + ( p cos ) per! 0 al variare di R 5

36 RISOLUZIONE. Se f(), g() eh() soo fuzioi ifiitesime per! 0 co ord(f()) <ord(g()) <ord(h()), dalla defiizioe di ordie di ifiitesimo abbiamo che e ache che g() f() = h() g() =0 h() f() = h() g() g() f() =0 ovvero che g() = o(f()), h() = o(g()) e h() = o(f()). Ne segue che l a ermazioe A è vera, ifatti dal pricipio di cacellazioe dei termii trascurabili si ha f()+h() f()+g() = f()+o(f()) f()+o(f()) = f() f() = Ache l a ermazioe C è vera i uato sempre dal pricipio di cacellazioe dei termii trascurabili otteiamo g()+h() f()+h() = g()+o(g()) f()+o(f()) = g() f() = o(f()) =0 f() L a ermazioe B è ivece falsa. Dalle ipotesi risulta f()+g() g()+h() = f()+o(f()) g()+o(g()) = f() g() = f() o(f()) ma ulla possiamo dire riguardo all ultimo ite. Per esempio, cosiderate le fuzioi f() =, g() = e h() = abbiamo che il ite o esiste. f()+g() g()+h() = + + = = NOTA: per provare che le due a ermazioi soo vere abbiamo usato il cocetto di fuzioe trascurabile e il pricipio di sostituzioe dei termii trascurabili, si poteva i modo euivalete utilizzare semplicemete la defiizioe e l algebra dei iti raccogliedo, a umeratore e deomiatore, la fuzioe co ordie di ifiitesimo miore.. La fuzioe f() ha ordie di ifiitesimo, uidi esiste ` R\{0} tale che f() `. Allora a. f() log( + ) è fiito o ullo poiché log( + ) per! 0eduue f() log( + ) = ` = ` R \{0} f() b. p = 0 dato che p si p per! 0dacui si f() p si = osserviamo che ord( p si ) = < =ord(f(); ` =0, / 6

37 c. f() si = 0 ifatti per! 0risulta si =( + o()) = + o( ) = + o() uidi ord(si ) =< =ord(f(); si log( + ) d. = 0 i uato per! 0siha f() si log( + )= + o( ) ( + o( )) = o( ), la fuzioe ha ordie di ifiitesimo maggiore di, e uidi si log( + ) = f() per defiizioe di fuzioe trascurabile. ` o( ) =0. Determiiamo l ordie di ifiitesimo della fuzioe f() = si cos log( ) per! 0. Dai iti otevoli per! 0 e dalle proprietà degli o piccoli abbiamo f() =si cos log( ) =( + o()) ( + o( )) ( + o()) = + o()+o() + o( )+ + o() = + o() essedo = o() euidio( )=o(). Ne segue allora che la fuzioe è asitotica a per! 0 e che ha ordie di ifiitesimo pari a.. Per determiare l ordie di ifiitesimo di f() =e si p + per! 0 osserviamo che, essedo si! 0per! 0, dalle proprietà degli o piccoli e dal ite otevole e y =+y+o(y) per y! 0 otteiamo e si =+si + o(si ) =+( + o()) + o( + o()) = + + o(). Allo stesso modo, essedo! 0per! 0e(+y) =+ y + o(y) pery! 0, si ha p + =+ + o( ) Duue f() =e si p + =+ + o() ( + + o( )) = + o() + o( )= + o() essedo = o(). Ne segue allora che la fuzioe ha ordie di ifiitesimo. 5. La fuzioe f() = p cos e ha ordie di ifiitesimo maggiore di, ifatti usado i iti otevoli visti per! 0 e dalle proprietà degli o piccoli per! 0 otteiamo p p cos = (cos ) + = + (cos ) + o(cos ) =+ ( + o( )) + o( + o( )) = + o( ) 7

38 dato che o( + o( )) = o( ). Ioltre Ne segue che e = + o( ) f() = p cos e = + o( ) ( + o( )) = o( ). 6. Calcoliamo l ordie di ifiitesimo di f() = log(cos ) p + + per! 0. Usado le proprietà degli o piccoli osserviamo iazitutto che per! 0risulta log(cos ) = log((cos ) + ) = (cos ) + o(cos ) = + o( )+o( + o( )) = + o( ). Abbiamo uidi che f() = log(cos ) p + += eduuechef() ha ordie di ifiitesimo. + o( ) + + o( ) += o( ) 7. Per determiare l ordie di ifiitesimo di f () =si ( ) log( + )per! 0 al variare di R procediamo come ei precedeti esercizi. Per! 0 abbiamo che f () =si ( ) log( + )=( + o()) ( + o( )) = + o( ) + o( ) =( ) + o( ) da cui possiamo dedurre che se 6= ± allora f () ha ordie di ifiitesimo metre se = ± si ha f () =o( ) e uidi che la fuzioe ha ordie di ifiitesimo maggiore di.. Determiiamo l ordie di ifiitesimo di f () =(si log( + ))(e si ) per! 0 al variare di R. Per! 0risulta f () =(si log( + ))(e si ) =( + o() ( + o()))(si + o(si )) =(( ) + o())( + o()+o( + o())) =(( ) + o())( + o()) =(( ) + o())( + o( )) = ( ) + o( ). Ne segue che se 6= allora f () ha ordie di ifiitesimo metre se =sihaf () =o( ) e uidi che la fuzioe ha ordie di ifiitesimo maggiore di. 9. Calcoliamo l ordie di ifiitesimo di f () = cos p + per! 0 al variare di R. Osservato che per! 0siha cos =( + o( )) =+ + o( ) o( ) + o( ) o( )= + o( ), essedo = o( ), o( ) o( )=o( )=o( )e o( )=o( )=o( ), otteiamo f () = cos p + = +o( ) (+ +o()) = +o( ) +o() = +o() dato che = o(). Ne cocludiamo che se 6= 0 la fuzioe ha ordie di ifiitesimo metre se = 0 la fuzioe ha ordie di ifiitesimo maggiore di. Osserviamo però che se =0 allora f () = cos = + o( ) e i uesto caso possiamo cocludere che la fuzioe ha ordie di ifiitesimo.

39 0. Determiiamo l ordie di ifiitesimo della fuzioe f () = log(cos ) e si + ( p cos ) per! 0 al variare di R. Per! 0 abbiamo f () = log(cos ) e si + ( p cos ) = log((cos ) + ) e si + ( p (cos ) + ) = (cos ) + o(cos ) si + o(si ) (cos ) + o(cos ) = + o( ) + o( ) ( + o( ) = + + o( ) + o( ) = o( ) e uidi che la fuzioe ha ordie di ifiitesimo per ogi R. 9

40 . ESERCIZI sulle FUNZIONI CONTINUE Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.. Sia I R u itervallo itato e sia f : I! R ua fuzioe cotiua. Allora A. f(i) è u itervallo itato. B. per ogi [a, b] I risulta f([a, b]) [f(a),f(b)] C. per ogi [a, b] I si ha [f(a),f(b)] f([a, b]). Se f() è ua fuzioe defiita e cotiua i [a, b) tale che!b A. f() è itata i [a, b). B. f() ammette miimo i [a, b). C. esiste 0 [a, b) tale che f( 0 )= f(a)+` (di cile). f() =` R, allora Stabilire per uali valori di R le segueti fuzioi risultao cotiue el loro domiio ( log(+ )+ si per >0. f () = p + per apple 0. f () = 5. f () = 6. f () = ( e p cos per >0 cosh per apple 0 ( cosh per >0 cos + per apple 0 ( si ( ) sih( ) se >0 p + se apple 0 7. f () = (e se >0 + se apple 0 >< ( cos ) se >0. f () = se =0 >: arcta se <0 0

41 RISOLUZIONE. A è vera, ifatti dal terzo teorema dei valori itermedi abbiamo che f(i) è l itervallo di estremi if I f() esup I f(). B è falsa. Ad esempio per la fuzioe f() = ell itervallo [, ] abbiamo che f([, ]) = [0, ] metre, essedo f(±) = risulta [f( ),f()] = {} eduuef([, ]) 6 [f( ),f()]. Osserviamo che la proprietà è ivece vera per ogi fuzioe crescete i [a, b]. C è vera. Se f(a) f(b) l itervallo [f(a),f(b)] è vuoto uado f(a) >f(b) o costituito solo da f(a) uado f(a) =f(b). I ogi caso risulta coteuto ell immagie f([a, b]. Se ivece f(a) <f(b) allora il primo teorema dei valori itermedi a erma che la fuzioe assume tutti i valori compresi tra f(a) ef(b), ovvero l itervallo [f(a),f(b)] è icluso i f([a, b]).. A è vera. Ifatti, sia Allora, essedo!b f() =!b f() = ( f() se [a, b) ` se = b f() =` = f(b), la fuzioe f() risulta cotiua ell itervallo chiuso e itato [a, b] e uidi, dal Teorema di Weierstrass, esistoo due costati m<m tali che m apple f() apple M per ogi [a, b]. I particolare si ottiee che m apple f() apple M per ogi [a, b) eduuechef() è itata i [a, b). B è falsa. La fuzioe f() = miimo i [0, ) essedo if [0,) risulta cotiua i [0, ) co! f() =0maf() > 0 per ogi [0, ). f() = 0 ma o ammette C è vera. Se f(a) =` allora f(a)+` = f(a) e l a ermazioe è evidetemete vera. Suppoiamo che f(a) <`e osserviamo che posto y 0 = f(a)+` abbiamo che f(a) <y 0 <`. Dato che f() =`, dalla defiizioe di ite scelto " = ` y 0 > 0esiste (0,b a) tale!b che per ogi (b, b) siha` "<f() <`+ ". I particolar avremo che esiste b (a, b) tale che f( b) >` " = y 0 eduuechey 0 risulta compreso tra f(a) ef( b). Poiché la fuzioe è cotiua i [a, b] [a, b), dal primo teorema dei valori itermedi possiamo cocludere che esiste 0 [a, b] [a, b) tale che f( 0 )=y 0. ( log(+ )+ si( ) per >0. La fuzioe f () = p è d e fi i t a i t u t t o R e risulta cotiua i + per apple 0 ogi 6= 0 per ogi R essedo somma, prodotto, uoziete e composizioe di fuzioi cotiue. Stabiliamo se risulta i = 0 calcolado il ite f () e verificado che risulti uguale a f (0) =. Abbiamo f () = p + = metre il ite f log( + )+si( ) () = + + preseta ua forma idetermiata del tipo 0 0. Usiamo i iti otevoli visti per calcolarlo. Per! 0 + risulta log( + )+ si( ) = + o( )+( + o( )) = ( + ) + o( )

42 euidiche f log( + )+si( ) ( + ) + o( ) () = + + = + < (+ ) =+ se 6= = + : =0 se = + o( ) Possiamo pertato cocludere che la fuzioe risulta cotiua i = 0 se e solo se += ovvero se e solo se = 0. ( e cos p. La fuzioe f () = per >0 risulta defiita i ogi R e cotiua i ogi cosh per apple 0 6= 0 essedo per tali puti somma, prodotto, uoziete e composizioe di fuzioi cotiue ualuue sia R. Nel puto 0 = 0 abbiamo che f () = cosh = e + e = = f (0) per ogi R. Metre, essedo per! 0, e = + o() e cos p = ottiee e cos p = o() eduue f e () = + + cos p Duue f () risulterà cotiua i 0 = 0 se e solo se = 0. = + o() =0 + o() si ( cosh 5. La fuzioe f () = per >0 risulta defiita i ogi R e cotiua i ogi cos + per apple 0 0 6= 0, essedo somma, prodotto, uoziete e composizioe di fuzioi cotiue, ualuue sia R. Nel puto 0 = 0 abbiamo f () = cos + =+ = f (0) metre per! 0 + osserviamo che dal ite otevole dell espoeziale risulta f cosh () = + = + e +e e e + (e ) = + e = + e = Ne segue che la fuzioe è cotiua i 0 = 0 se e solo se + = ovvero se e solo se =. Nota: l ultimo ite potremo cosiderarlo otevole e potremo riscriverlo come cosh e ache come cosh =+ + o( ) per! 0. Si oti l aalogia co il ite otevole del coseo trigoometrico.

43 6. La fuzioe f () = ( si ( ) sih( ) se >0 p + se apple 0 el puto 0 =0èdefiitai[, +) e cotiua i ogi 6= 0 i tale itervallo per ogi R. Abbiamo poi che f p () = + =0=f (0). Riguardo al ite per! 0 + osserviamo iazitutto che sih y y!0 y e y = y!0 e y y e y = y!0 e y y = e y e y = y e uidi che sihy = y + o(y) per ogi y! 0 (ache uest ultimo ite potremo cosiderarlo otevole). Ne segue che per! 0risultasih( )= + o( )eduueche si ( ) sih( )=( + o()) ( + o( )) = ( ) + o( ) Otteiamo allora f ( ) + o( ) () = + + = per ogi R. La fuzioe risulterà cotiua i 0 = 0 se e solo se = 0, cioè se e solo se =. (e se >0 7. La fuzioe f () = + se apple 0 risulta defiita i R e cotiua i ogi 0 6= 0 per ogi R. I 0 =0sihache metre f () = + = = f (0) f () = e = + + >< + se > se =. >: 0 se < Possiamo allora cocludere che la fuzioe risulta cotiua i 0 = 0 solo per =0eper =. >< ( cos ) se >0. La fuzioe f () = se =0 è d e fi i t a i R e cotiua i ogi 0 6=0per >: arcta se <0 ogi R. I 0 = 0 abbiamo che f (0) = eche metre, ricordado che f () = cos f () = + ( cos ) = + arcta per! 0, risulta + = = + + Ne segue che la fuzioe o risulta cotiua i 0 = 0 per ualuue R. >< + se < = se = >: 0 se >

44 9. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte Provare di ciascua delle segueti a ermazioi se è vera o falsa.. Sia f() ua fuzioe cotiua i [, ], allora A. f() è derivabile i ogi 0 (, ). B. f() risulta itata i [, ].. Sia f() ua fuzioe derivabile i = 0 co f(0) = 0, allora A. f() = 0. B. f() = 0.. Sia f() fuzioe pari, derivabile i R. Allora A. f 0 () è fuzioe dispari. B. per ogi 0 R risulta f() 6= f( 0 )+f 0 ( 0 )( 0 ) ualuue sia 6= 0. Stabilire per uali valori di, R le segueti fuzioi risultao cotiue e derivabili i 0 = 0. ( log(cos )+ si per >0. f() = e per apple 0 ( p + 5. f() = se >0 si( ) se apple 0 ( log(+ )+ si 6. f() = per >0 sih( ) per apple 0 ( sih( ) per >0 7. f() = ta( ) per apple 0 ( cosh( ). f() = per >0 p p + + per apple 0 Ricordo che le fuzioi seo iperbolico, sih, e coseo iperbolico, cosh, soo defiite come sih = e e e cosh = e + e e che valgoo i segueti iti otevoli (provati ella risoluzioe della scheda precedete, pagg. e ) sih cosh = e =

45 RISOLUZIONE. A è falsa, basta cosiderare la fuzioe f() =, cotiua i [, ] ma o derivabile i 0 = 0. B è vera. Essedo la fuzioe cotiua ell itervallo chiuso e itato [, ], dal Teorema di Weierstrass, esistoo, [, ] puti di massimo e di miimo per f() i[, ]. Posto m = f( )em = f( ), risulta allora m apple f() apple M per ogi [, ] e uidi f() itata i [, ].. A è vera. Ifatti, essedo la fuzioe derivabile i = 0 risulta ache cotiua i tale puto eduue f() =f(0) = 0. B è falsa. Ad esempio la fuzioe f() =sièderivabile i = 0 co f(0) = 0 metre f() = si =.. A è vera. Ifatti, essedo f() pari si ha che per ogi R risulta f 0 ( f( + h) f( ) f( h) f() f( + k) f() ) = = = = f 0 () h!0 h h!0 h k!0 k dove ell ultimo ite abbiamo posto k = h. B è falsa. Cosideriamo per esempio la fuzioe pari e derivabile f() = cos eilputo 0 = 0. Abbiamo che f(0) =, f 0 (0) = si 0 = 0 e uidi che f(0) + f 0 (0) =marisultaf() = per ogi =k co k Z. Altrimeti detto, la retta tagete al grafico di cos el puto 0 = 0 itercetta il grafico di si i ifiiti puti. ( log(cos )+ si. Determiiamo per uali valori di, R la fuzioe f() = per >0 e per apple 0 risulta cotiua i 0 = 0. Abbiamo f() = e =0=f(0) per ogi R. Metre,essedoper! 0, si = +o() e log(cos ) = (cos )+o(cos ) = + o( ), si ottiee log(cos )+si ( f() = = ) + o( ) = per ogi R. Duuef() risulterà cotiua i 0 = 0 per ogi, R. Riguardo alla derivabilità, abbiamo che f() f(0) = e per ogi R e duue che la fuzioe ammette derivata siistra i 0 = 0 co f 0 (0) =. Riguardo alla derivata destra, risulta f() f(0) log(cos )+si ( = + + = ) + o( ) + = 5 =

46 per ogi R. La fuzioe ammette pertato derivata destra i 0 = 0 co f+(0) 0 = segue che la fuzioe risulta derivabile i 0 = 0 per ogi, R tali che =.. Ne 5. Abbiamo che la fuzioe f() = <, per ogi R. Ifatti si ha ( p + se >0 si( ) se apple 0 risulta cotiua i 0 = 0 se e solo se f() = si( ) =0=f(0) per ogi R. Metre, ricordado che per! 0risulta p +, si ottiee p + f() = + + = + = >< + se > + = se = >: 0 se < Duue f() risulterà cotiua i 0 = 0 se e solo se <, ualuue sia R. Riguardo alla derivabilità osserviamo iazitutto che per, R, la fuzioe o è cotiua e duue emmeo derivabile i 0 = 0. Se < abbiamo che la fuzioe ammette derivata siistra i 0 = 0 co f 0 (0) = f() f(0) = si( ) per ogi R. Riguardo alla derivata destra, per <, risulta p f() f(0) + >< + se >0 = = = = se =0 >: 0 se <0 e uidi che la fuzioe ammette derivata destra i 0 = 0 co f+(0) 0 = 0 per <0metre f+(0) 0 = per = 0. Avremo allora che la fuzioe risulta derivabile per ogi <0e =0 ma ache per =0e =. = 6. Studiamo la cotiuità e la derivabilità della fuzioe f() = puto 0 = 0 al variare di, R. Abbiamo che ( log(+ )+ si per >0 sih( ) per apple 0 el per ogi f() = sih( ) =0=f(0) R. Metre,essedoper! 0, si = + o() e log( + )= + o( ) si ottiee eduue log( + )+ si = + o( ) log( + )+si + o( ) f() = + + = + = + = 6 >< 0 se < se = >: + se >

47 per ogi R. Duuef() risulterà cotiua i 0 = 0 solo per <. Riguardo alla derivabilità, abbiamo che la fuzioe ammette derivata siistra i 0 = 0 co f 0 (0) = per ogi R poiché f() f(0) = sih( ) essedo sih y y per y! 0. Riguardo alla derivata destra, per <, dagli sviluppi sopra risulta f() f(0) log( + )+si + o( ) >< 0 se < = = + + = + = se = >: + se > Quidi la fuzioe ammette derivata destra i 0 = 0 per ogi apple co f+(0) 0 = 0 se <e f+(0) 0 = se =. Ne segue che la fuzioe risulta derivabile i 0 =0per <e =0e per =e =. ( sih( ) per >0 7. Studiamo la cotiuità e la derivabilità della fuzioe f() = ta( ) per apple 0 i 0 =0 al variare di, R. Abbiamo che f() = = ta( ) =0=f(0) per ogi R. Metre, osservato che per! 0 + si ha! 0se >0,! se =0e! + se <0, otteiamo >< se >0 f() = + sih( )= sih se =0 + >: + se <0 Duue f() risulterà cotiua i 0 = 0 solo per >0 e ogi R. Riguardo alla derivabilità, osserviamo iazitutto che se apple 0 la fuzioe o risulta cotiua e uidi emmeo derivabile i 0 = 0, ualuue sia R. Per >0 abbiamo che la fuzioe ammette derivata siistra i 0 = 0 co per ogi risulta f 0 (0) = f() f(0) = ta( ) R. Riguardo alla derivata destra, essedo per! 0, sih( ) per ogi >0, f() f(0) sih( ) = = + + = + = >< 0 se > se = >: + se < Quidi la fuzioe ammette derivata destra i 0 = 0 per ogi co f+(0) 0 = 0 se >e f+(0) 0 = se =. Ne segue che la fuzioe risulta derivabile i 0 =0per >e = 0 co f 0 (0) = 0 ma ache per = = co f 0 (0) =. 7

48 . Determiiamo per uali valori di, R la fuzioe f() = risulta cotiua i 0 = 0. Per ogi R abbiamo ( cosh( ) per >0 p + p + per apple 0 f() = p + p + =0=f(0) metre, osservato che per! 0 + si ha! + per <0e =per = 0, abbiamo che cosh( ) f() = =+ + + per ogi apple 0. Essedo ivece! 0per >0e! 0 +, e ricordado che cosh y per y! 0, per >0 otteiamo che cosh( ) f() = = = >< 0 se > = + se = >: + se < y Duue f() risulterà cotiua i 0 =0per > e ogi R. Riguardo alla derivabilità, osserviamo iazitutto che per! 0 risulta eduueche p + p + =+ + o() ( + + o()) = + o() f() f(0) = p + p + = + o() = per ogi R. Possiamo allora cocludere che la fuzioe ammette derivata siistra i 0 =0 co f 0 (0) = per ogi R. Riguardo alla derivata destra, per ogi > risulta f() f(0) cosh( ) = + + = + >< 0 se > = se = >: + se < Quidi la fuzioe ammette derivata destra i 0 = 0 per ogi co f+(0) 0 = 0 se >e f+(0) 0 = se =. Ne segue che la fuzioe risulta derivabile i 0 =0per >e = co f 0 (0) = 0 ma ache per =e = co f 0 (0) =.

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