Nozioni introduttive e notazioni

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Nozioni introduttive e notazioni"

Transcript

1 Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica, in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni. Definiamo un insieme come una collezione di oggetti, in numero finito o infinito. Nel primo caso parliamo di insieme finito di ordine pari al numero degli oggetti che lo costituiscono, nel secondo caso di insieme infinito. Così sono insiemi finiti di ordine 7 gli insiemi dei nani della favola di Biancaneve, dei giorni della settimana, delle note musicali, dei numeri naturali compresi tra 0 e 6, sono insiemi infiniti l insieme di tutti i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi, quello dei razionali, degli irrazionali e dei reali. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi. Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino esteso A, B, X, Y, gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y. Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A, si scrive e x A x A rispettivamente. L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il simbolo. Sono esempi di l insieme delle soluzioni reali dell equazione x = 0, l insieme dei numeri naturali minori di 0, l insieme delle soluzioni reali del sistema seguente x y = x + y 8x + 15 = 0-1 -

2 Vediamo i modi più usati per indicare un insieme. Alcuni insiemi hanno una notazione standard : così N, Z, Q, R, C indicano l'insieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, 2Z l'insieme dei numeri pari, Z[x] l'insieme dei polinomi in una variabile x a coefficienti interi. Vedremo in seguito molte altre notazioni di uso comune in matematica. Uno specifico insieme viene indicato mediante l indicazione diretta dei suoi elementi, elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza all ordine. Così, I = { 0,1,2 } = { 1,0,2 } = { 1,2,0 } = indica l insieme dei primi tre numeri naturali. Un altro modo per assegnare un insieme X consiste nell indicare una proprietà caratteristica comune a tutti i suoi elementi e scrivere o anche X = { x / x ha la proprietà P } X = { x : x ha la proprietà P }. In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell insieme X. L insieme I = { 0,1,2 caratteristica : }, finito di ordine 3, ha la seguente rappresentazione I = { x / x N e 0 x 2 } o, equivalentemente, I = { x N / 0 x 2 }. Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi dell insieme e non solo la loro proprietà caratteristica : infatti la stessa proprietà degli elementi di I dà luogo in R all insieme infinito [ 0,2], detto intervallo chiuso di estremi 0 e 2, [ 0,2] = { x R / 0 x 2 }. Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e sono caratterizzati e indicati nel modo che segue : - 2 -

3 (a,b) = { x R / a < x < b } [a,b) = { x R / a x <b } ( a,b] = { x R / a< x b }. Ricordiamo infine i simboli che useremo più frequentemente nel seguito : significa per ogni, per tutti, qualunque sia, significa esiste almeno un/o/a!significa esiste uno ed un solo si legge implica : se p e q sono due affermazioni, p q significa che se p è vera, allora è vera anche q si legge biimplica o se e soltanto se : se p e q sono due affermazioni, p q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o entrambe false. si legge e, ha il significato della congiunzione e si legge o, ha il significato della congiunzione o, oppure ( è il vel latino). 1.2 Sottoinsiemi Un insieme A si dice sottoinsieme dell insieme B se ogni elemento di A appartiene a B. Si scrive A B e si legge A contenuto in B o A incluso in B. In simboli : Ad esempio, 2Z Z, { 0,1,2 } { 0,1,2,3 } N. A B x A x B. N Z Q R C, Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme, cioè A, A A e A

4 Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. Si scrive A = B. In simboli : A = B A B B A. A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B, cioè A B e A B. Si scrive talvolta A B ( si noti l analogia dei simboli e con i simboli e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali ). Dato un insieme I, la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l insieme delle parti o insieme potenza di I : P(I) = { A / A I }. Per quanto osservato precedentemente e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai privo di elementi. Come esempio, costruiamo P(I) nei casi I = { 0,1 } e I = { 0,1,2 }. P( { 0,1 }) = {,{0},{1}, {0,1}} P( { 0,1,2 }) = {,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}}. Se I ha ordine 2, il suo insieme delle parti ha 4 elementi, se I ha ordine 3, il suo insieme delle parti ha 8 elementi, si dimostra che se I ha ordine n, il suo insieme delle parti ha 2 n elementi. 1.3 Operazioni tra insiemi. Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione di A e di B l insieme A U B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B. in simboli : A U B = {x / x A x B } Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e di B l insieme A I B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B. In simboli : Ad esempio : A I B = {x / x A x B }. N U Z = Z, N I Z = N {0,1,2} U {1,2,3} = {0,1,2,3}, {0,1,2} I {1,2,3} = {1,2} - 4 -

5 { x R / 0 x 2 } U { x R / -1 x < 2 } = [ 0,2] U [ 1,2 ) = [ 1,2] ( 0,2) U [ ) [ 0,2] I [ 1,2 ) = [,2) 0, 1,0 = { x R / -1 x < 2 x 0, ( 0,2) I [ 1,0 ) =. } Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se A I B =. Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell ultimo esempio. Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte implicitamente, quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o disequazioni : a titolo di esempio si discuta l equazione (x 2 1)(x +3) = 0 e il sistema del paragrafo 1.1 x y = x + y 8x + 15 = 0 L insieme S delle soluzioni di (x 2 1)(x +3) = 0 è S = {-1,+1,-3} ed è l unione insiemistica dell insieme S 1 = {-1,+1} delle soluzioni di x 2 1 = 0 e dell insieme S 2 = {-3} delle soluzioni di x + 3 = 0. L insieme delle soluzioni del sistema è ed è l intersezione dei due insiemi infiniti di coppie di numeri reali {(x,y) / y = x } {(x,y) / x 2 +y 2 8x + 15 =0} che nel piano cartesiano danno luogo rispettivamente alla bisettrice del primo e terzo quadrante e alla circonferenza di centro C(4,0) e raggio 1 (si noti come la proprietà caratteristica dei due insiemi ne diventa l equazione cartesiana ). Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza di A e di B l insieme A-B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B In simboli : A-B = {x / x A x B }. Ad esempio : {0,1,2,3 } - {-,1,0,2,-2 } = {1,3} R - {x R / x >0 } = {x R / x 0 } = (,0] Z 2Z = {x Z / y Z x = 2y + 1 } - 5 -

6 Se la differenza viene effettuata tra un insieme e un suo sottoinsieme, si parla di complementare del secondo insieme nel primo. Così, riferendoci all ultimo esempio, l insieme dei numeri dispari è il complementare dell insieme dei numeri pari nell insieme degli interi. Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza simmetrica di A e di B l insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In simboli : Ad esempio A B = {x / x A x B } U {x / x B x A } = (A-B) U (B-A). {0,1,2,3 } {-1,0,2,-2 } = {1,3} U {-1,-2 }{-1,1,-2,3 }. Quest ultima operazione ha la seguente applicazione : date due specie biologiche e denotati con A l insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della seconda, l ordine di A B indica la distanza tra le due specie in esame. Definizione. Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l insieme AxB avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B. In simboli : AxB = {(a,b) / a A b B } Ad esempio, se A = {0,1,2 } e B = {2,3 }, si ha AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}. Il prodotto cartesiano RxR, indicato anche con R 2, è l insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti del piano cartesiano. RxR = R 2 = {(a,b) / a R b R} La coppia (a,b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata b

GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE

GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE INSIEME DEFINIZIONE UN RAGGRUPPAMENTO DI OGGETTI RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO MATEMATICO SE ESISTE UN CRITERIO OGGETTIVO CHE PERMETTE DI DECIDERE UNIVOCAMENTE SE UN

Dettagli

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA

Dettagli

DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI

DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI FACOLTA' DI ECONOMIA UNIVERSITA DELLA CALABRIA Corso di Modelli Matematici per l Azienda a.a. 2011-2012 DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI Prof. Fabio Lamantia INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti

Dettagli

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi Angelica Malaspina Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Università degli Studi della Basilicata, Italy angelica.malaspina@unibas.it distributive distributive distributive Il concetto di

Dettagli

Un insieme si dice finito quando l operazione consistente nel contare i suoi elementi ha termine.

Un insieme si dice finito quando l operazione consistente nel contare i suoi elementi ha termine. INSIEMI Insieme Le nozioni di insieme e di elemento di un insieme sono considerati come concetti primitivi, cioè non definibili mediante concetti più semplici, né riconducibili ad altri concetti definiti

Dettagli

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Gli insiemi. Che cosa è un insieme? Come si indica un insieme?

Gli insiemi. Che cosa è un insieme? Come si indica un insieme? Gli insiemi Che cosa è un insieme? In matematica si definisce insieme un raggruppamento per cui è possibile stabilire senza ambiguità se un elemento vi appartiene o no. Sono insiemi: i giorni della settimana

Dettagli

Precorsi di matematica

Precorsi di matematica Precorsi di matematica Francesco Dinuzzo 12 settembre 2005 1 Insiemi Il concetto di base nella matematica moderna è l insieme. Un insieme è una collezione di elementi. Gli elementi di un insieme vengono

Dettagli

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica

Dettagli

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi

01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Matematica e-learning - Corso Zero di Matematica. Gli Insiemi. Prof. Erasmo Modica A.A.

Matematica e-learning - Corso Zero di Matematica. Gli Insiemi. Prof. Erasmo Modica  A.A. Matematica e-learning - Gli Insiemi Prof. Erasmo Modica http://www.galois.it erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Simboli Matematici Poiché in queste pagine verranno utilizzati differenti simboli matematici,

Dettagli

Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme

Un insieme si dice ben definito quando si può stabilire in modo inequivocabile se un oggetto appartiene o non appartiene a tale insieme Gli insiemi In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti (persone, simboli, numeri, lettere, figure ) che sono detti elementi dell insieme

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

DEFINIZIONE DI INSIEME

DEFINIZIONE DI INSIEME ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice 1 DEFINIZIONE DI INSIEME ------------------------------------------------------------------------------------------------ 3 2 METODI DI

Dettagli

3. OPERAZIONI TRA CLASSI 2

3. OPERAZIONI TRA CLASSI 2 INSIEMI 1. Elementi e Classi Lo scopo di questo primo capitolo è di introdurre in maniera rigorosa le nozioni di classe e insieme, e di studiarne le principali proprietà. Nel seguito useremo il termine

Dettagli

Insiemi: Rappresentazione

Insiemi: Rappresentazione Insiemi: Rappresentazione Elencazione Per rappresentare un insieme per elencazione si indicheranno i suoi elementi tra parentesi graffe. Caratteristica Un insieme è rappresentato per caratteristica quando

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017 2 Serve

Dettagli

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)

Dettagli

BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 1

BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 1 BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 1 SOMMARIO DEL TOMO 1 CAPITOLO 1: IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI 1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione pag. 1 1. I sottoinsiemi pag. 6 1.3 Insieme

Dettagli

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme.

Insiemi. Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un insieme. Insiemi Definizione: Definizione: Un Un insieme insieme è è una una collezione collezione di di oggetti oggetti individuati individuati da da una una Determinata Determinata specificazione. specificazione.

Dettagli

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}.

Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. Teoria degli insiemi Che cos è un insieme? Come si individua un insieme? 1. Scrivendone esplicitamente gli elementi: A = {a, b, c} B = {1, 2} C = {2, 4, 6, 8, 10,...}. 2. Enunciando una proprietà che è

Dettagli

ESEMPIO Un esempio di insieme vuoto è l insieme dei numeri reali di quadrato 4. B A

ESEMPIO Un esempio di insieme vuoto è l insieme dei numeri reali di quadrato 4. B A TEORI DEGLI INSIEMI GENERLIT Un insieme è un ente costituito da oggetti. Il concetto di insieme e di oggetto si assumono come primitivi. Se un oggetto a fa parte di un insieme si dice che esso è un suo

Dettagli

GLI INSIEMI. Laboratorio per apprendimenti logico - matematici. Dispensa a cura del prof. Domenico Perrone Maggio 2005

GLI INSIEMI. Laboratorio per apprendimenti logico - matematici. Dispensa a cura del prof. Domenico Perrone Maggio 2005 GLI INSIEMI Laboratorio per apprendimenti logico - matematici Dispensa a cura del prof. Domenico Perrone Maggio 2005 1 I problemi Perché gli Insiemi? Cos è un insieme? Cantor, Frege, Russell Quale ruolo

Dettagli

ALGEBRA DEGLI INSIEMI

ALGEBRA DEGLI INSIEMI ALGEBRA DEGLI INSIEMI INSIEME: concetto primitivo (indicato con una lettera maiuscola dell alfabeto latino: A, B, ) alcuni esempi: oggetti contenuti in una scatola tutti i numeri multipli di 3 [fig. 2.I.1]

Dettagli

Elementi di Logica Teoria degli insiemi

Elementi di Logica Teoria degli insiemi Precorso di Analisi Matematica Facoltà d'ingegneria Università del Salento Elementi di Logica Teoria degli insiemi Proff. A. Albanese E. Mangino Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi - Università

Dettagli

ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI

ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI In Matematica il concetto di insieme è assunto come primitivo, cioè non si definisce. Considereremo quindi la nozione di insieme dal punto di vista intuitivo. Un insieme è quindi

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

1. Teoria degli insiemi

1. Teoria degli insiemi 1. Teoria degli insiemi Introduzione Il concetto di insieme è un concetto primitivo: possiamo dire che un insieme è una collezione di elementi. Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole A,B,... e gli

Dettagli

STRUMENTI MATEMATICI

STRUMENTI MATEMATICI 1. TABELLA A DOPPIA ENTRATA 1 STRUMENTI MATEMATICI E' un riquadro formato da righe orizzontali e colonne verticali. I dati sulla prima colonna sono i dati in entrata di ciascuna riga; i dati sulla prima

Dettagli

INSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti.

INSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. INSIEMI DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. Esso è ben definito quando è chiaro se un oggetto appartiene o non appartiene all insieme stesso. Esempio. E possibile definire l insieme

Dettagli

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO

1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti

Dettagli

Propedeutico di matematica Centro Multimediale Montiferru. Lezione 1. Gli insiemi

Propedeutico di matematica Centro Multimediale Montiferru. Lezione 1. Gli insiemi Lezione 1 Gli insiemi Definizione: Un insieme è una collezione di oggetti aventi certe caratteristiche in comune. Gli oggetti si definiscono elementi dell insieme. Esempi: Insieme delle lettere dell alfabeto,

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Prof. Roberto Capone

Prof. Roberto Capone Prof. Roberto Capone 1 Il concetto di insieme è un CONCETTO PRIMITIVO proprio come i concetti di punto, retta e piano introdotti nella geometria 2 Il termine insieme in matematica indica una collezione

Dettagli

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia

Insiemi, Numeri, Terminologia. Prof. Simone Sbaraglia Insiemi, Numeri, Terminologia Prof. Simone Sbaraglia Corso Rapido di Logica Matematica La logica formale definisce le regole cui deve obbedire qualsiasi teoria deduttiva. Una proposizione e` una affermazione

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica

Precorso di Matematica. Parte I : Fondamenti di Matematica Facoltà di Ingegneria Precorso di Matematica Parte I : Fondamenti di Matematica 1. Teoria degli insiemi e cenni di logica Il concetto di insieme costituisce l elemento fondante di gran parte delle esposizioni

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Medicina e Chirurgia Anno Accademico 2011/12. Corso di Fisica(0) per il recupero dell OFA

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Medicina e Chirurgia Anno Accademico 2011/12. Corso di Fisica(0) per il recupero dell OFA Università degli Studi di Palermo Facoltà di Medicina e Chirurgia Anno Accademico 2011/12 Corso di Fisica(0) per il recupero dell OFA Tutor: Dott. Stefano Panepinto Simbologia matematica Simbologia matematica

Dettagli

Corso di Analisi Matematica I numeri reali

Corso di Analisi Matematica I numeri reali Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche

Indice. 1 Cenni di logica. 2 Elementi di teoria degli insiemi. 3 Relazioni e funzioni. 4 Strutture algebriche Indice 1 Cenni di logica 2 Elementi di teoria degli insiemi 3 Relazioni e funzioni 4 Strutture algebriche Silvia Pianta - Laura Montagnoli Geometria I - Prerequisiti - UCSC A.A. 2015/2016 1 / 36 1. Cenni

Dettagli

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI

7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI 7. INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE APERTI NE CHIUSI Sia E un insieme numerico, sia cioè. Esempi Si dice che E è un insieme APERTO se tutti i suoi punti sono interni. Ogni intervallo aperto (dove

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze 1 Completa correttamente ciascuna definizione: Un insieme in senso matematico è un raggruppamento di elementi che possono essere individuati con assoluta certezza

Dettagli

Cenni di teoria degli insiemi

Cenni di teoria degli insiemi Università degli Studi di Napoli «Federico II» Facoltà di rchitettura Upta Corso di laurea in Urbanistica e Scienze della Pianificazione Territoriale e mbientale Corso integrato di Matematica e statistica

Dettagli

insieme c n ce c r e t r ez e z z a a par a t r ien e e e o no distinguere l uno dall altro insieme degli animali a quattro zampe

insieme c n ce c r e t r ez e z z a a par a t r ien e e e o no distinguere l uno dall altro insieme degli animali a quattro zampe Parlando di oggetti, persone, elementi in genere, usiamo spesso il termine di insieme con il significato di un raggruppamento di oggetti, persone ecc. In matematica il termine insieme non è così generico;

Dettagli

Insiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi

Insiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Capitolo 1 Insiemistica Prerequisiti Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Obiettivi Sapere utilizzare opportunamente le diverse rappresentazioni insiemistiche Sapere

Dettagli

Anno 1. Teoria degli insiemi: definizioni principali

Anno 1. Teoria degli insiemi: definizioni principali Anno 1 Teoria degli insiemi: definizioni principali 1 Introduzione In questa lezione introdurremo gli elementi base della teoria degli insiemi. I matematici hanno costruito una vera e propria Teoria degli

Dettagli

Teoria intuitiva degli insiemi

Teoria intuitiva degli insiemi Teoria intuitiva degli insiemi Il concetto di insieme. lcuni esempi Tutta la matematica moderna è fondata sul concetto di insieme. Un insieme è da considerarsi nella sua nozione intuitiva di collezione,

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari) Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari). Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato

Dettagli

MATEMATICA DI BASE 1

MATEMATICA DI BASE 1 MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme

Dettagli

GLI INSIEMI. Il termine INSIEME è una parola primitiva, cioè un termine che ha bisogno di un esempio per essere spiegato e quindi compreso.

GLI INSIEMI. Il termine INSIEME è una parola primitiva, cioè un termine che ha bisogno di un esempio per essere spiegato e quindi compreso. GLI INSIEMI Il termine INSIEME è una parola primitiva, cioè un termine che ha bisogno di un esempio per essere spiegato e quindi compreso. Non ha alcun senso affermare : Io possiedo un insieme Lui fa parte

Dettagli

Daniela Tondini Fondamenti di Matematica. Volume zero

Daniela Tondini Fondamenti di Matematica. Volume zero A01 Daniela Tondini Fondamenti di Matematica Volume zero Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

INSIEMI ED INSIEMI NUMERICI Prof. Erasmo Modica

INSIEMI ED INSIEMI NUMERICI Prof. Erasmo Modica INSIEMI ED INSIEMI NUMERICI Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it SIMBOLI MATEMATICI Poiché in queste pagine verranno utilizzati differenti simboli matematici, è bene elencarne subito i principali. SIMBOLO

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino mariamargherita.obertino@unito.it Davide Ricauda davide.ricauda@unito.ii Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle

Dettagli

LA CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI

LA CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI LA CLASSIFICAZIONE DEI VIVENTI Cinque regni (Robert Whittaker-1959): Regno animale (eucarioti pluricellulari a nutrizione eterotrofa, per ingestione) Regno vegetale (autotrofi pluricellulari a nutrizione

Dettagli

Indice degli argomenti

Indice degli argomenti Gli Insiemi 1 Indice degli argomenti Definizione di insieme Rappresentazioni Operazioni tra gli insiemi 2 Definizione UN GRUPPO DI NVI FORM UN «FLOTT» UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIMTO «STORMO» QUINDI

Dettagli

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali.

L INSIEME DEI NUMERI REALI. DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali. PROF GIOVANNI IANNE L INSIEME DEI NUMERI REALI DEFINIZIONE DI INSIEME NUMERICO L insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri reali DEFINIZIONE DI INTERVALLO L intervallo è un particolare insieme

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

Il concetto di insieme ed i primi elementi di logica matematica

Il concetto di insieme ed i primi elementi di logica matematica Gli insiemi 1 Il concetto di insieme ed i primi elementi di logica matematica I concetti di insieme e di elemento di un insieme sono concetti primitivi, cioè non definiili mediante altri concetti più semplici.

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24 1 Generalità 2 Funzioni reali

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

1 Cenni di teoria degli insiemi

1 Cenni di teoria degli insiemi 1 Cenni di teoria degli insiemi 1.1. Siano A, B, C,... insiemi. Scriveremo a A, a / A per affermare rispettivamente che l elemento a appartiene all insieme A e che l elemento a non appartiene ad A. Diremo

Dettagli

x appartiene ad N, tale che x è maggiore uguale a 9, e ( x minore uguale a 12.

x appartiene ad N, tale che x è maggiore uguale a 9, e ( x minore uguale a 12. Cos è un insieme? Gruppo d oggetti, detti elementi, aventi la/e stessa/e caratteristica/che. 1) Come lo definisco? Utilizziamo sempre una lettera Maiuscola per nominarlo. Un insieme può essere definito

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali

Corso di Analisi Matematica. L insieme dei numeri reali a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi

INSIEMI E RELAZIONI. 1. Insiemi e operazioni su di essi INSIEMI E RELAZIONI 1. Insiemi e operazioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità. Sia A un insieme di elementi qualunque. Per indicare che a è un elemento di

Dettagli

1.3. Logaritmi ed esponenziali

1.3. Logaritmi ed esponenziali 1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

IL LINGUAGGIO MATEMATICO

IL LINGUAGGIO MATEMATICO 1 Lezioni 1-2 Connettivi logici IL LINGUAGGIO MATEMATICO (non); (e); (oppure); = (se...allora/...implica...); (...se e solo se...) Quantificatori (per ogni);... :... (esiste...tale che...) Proposizioni

Dettagli

c) La rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn. Scriveremo: A Marte. lunedì A ; Marte A

c) La rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn. Scriveremo: A Marte. lunedì A ; Marte A Insiemi. ( teoria pag. 25 30 ; esercizi 113-116) Situazione: 1) Elenca i giorni della settimana: Gli elementi che hai enumerato hanno una caratteristica ben precisa e possono essere raggruppati, matematicamente

Dettagli

LA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA

LA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA LA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA L impostazione logico-deduttiva propria della matematica affida un importanza basilare alle definizioni. La ricerca, poi,

Dettagli

FUNZIONI. }, oppure la

FUNZIONI. }, oppure la FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi.

Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. (1) Sia A l insieme dei numeri dispari minori di 56 e divisibili per 3. Quale delle seguenti affermazioni

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Conoscenze 1. Completa correttamente ciascuna definizione: Un insieme in senso matematico è... Un insieme si dice infinito se... Un insieme si dice vuoto se... 2. Indica con

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

L1 L2 L3 L4 L5 L6. Esercizio. [1] ha infinite soluzioni [2] non ha soluzioni [3] ha esattamente due soluzioni

L1 L2 L3 L4 L5 L6. Esercizio. [1] ha infinite soluzioni [2] non ha soluzioni [3] ha esattamente due soluzioni La disequazione x x + 1 0 [1] ha infinite soluzioni [] non ha soluzioni [3] ha esattamente due soluzioni [4] nessuna delle precedenti possibilità è corretta Introduciamo la funzione f : R R definita da

Dettagli

INTERPOLAZIONE. Introduzione

INTERPOLAZIONE. Introduzione Introduzione INTERPOLAZIONE Quando ci si propone di indagare sperimentalmente la legge di un fenomeno, nel quale intervengono due grandezze x, y simultaneamente variabili, e una dipendente dall altra,

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona Matematica per le scienze sociali Elementi di base Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 24 Outline 1 Struttura del corso 2 Algebra booleana 3 Algebra degli

Dettagli

Elementi di teoria degli insiemi

Elementi di teoria degli insiemi www.matematicamente.it Elementi di teoria degli insiemi 1 Elementi di teoria degli insiemi Cognome e nome: Classe: Data: 1. Quali dei seguenti raggruppamenti costituiscono un insieme in senso matematico?.

Dettagli

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3)

Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Lezioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA (gruppo 3) Nicola Durante 2011-12 Abstract 1 Insiemi numerici (Lezione del 5.10.11) 1.1 Cenni di teoria degli insiemi Richiamiamo brevemente alcuni simboli usati in

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

Esercitazione di Matematica sugli insiemi

Esercitazione di Matematica sugli insiemi Esercitazione di Matematica sugli insiemi 1. Considerato l'insieme A formato dai numeri interi relativi compresi tra 10 e 2 (estremi inclusi), darne una rappresentazione nei tre modi. 2. Considerati gli

Dettagli

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;

Dettagli

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b,

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b, Matematica II 161110 1 Equazioni lineari in una incognita Per equazione lineare nell incognita x intendo un equazione del tipo ax = b dove a b sono due costanti reali a e il coefficiente e b e il termine

Dettagli