Introduzione. MATLAB è l acronimo di MATrix LABoratory

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1 MatLab Lezione 1

2 Introduzione MATLAB è l acronimo di MATrix LABoratory E un ambiente per l analisi e la simulazione dei sistemi lineari e non lineari e per l analisi numerica Il sito ufficiale per informazioni utili su Matlab è:

3 L ambiente MATLAB L ambiente MATLAB si basa su un interprete di comandi; Gli eseguibili MATLAB coincidono con i file sorgente (file di script); In MATLAB esiste un unico tipo di dato: la MATRICE L ambiente MATLAB possiede i toolbox

4 MATLAB vs. C++ File sorgente C++: sono trasformati in linguaggio macchina dal compilatore; MATLAB: sono interpretati; Tipi di dato C++: è necessario specificare il tipo di dato affinchè il compilatore possa allocare le quantità di memoria in maniera appropriata; MATLAB: esiste unici tipo di dato. L'interprete si occupa dell'allocazione dinamica della memoria; Librerie C++: vanno specificate le librerie da caricare; MATLAB: tutte le funzioni di libreria sono immediatamente disponibili. Vanno caricati solo i toolbox;

5 Help Ogni comando Matlab ha un help contenente una sintetica spiegazione del comando e la sua descrizione sintattica Esempio: >> help >> help topic Lista dei Toolbox Manuale di uso di un comando

6 Acquisizione e Manipolazione di Matrici

7 Rappresentazione dei Dati Uno scalare è una matrice 1 x 1 >> X = 3.14; >> size(x) ans = 1 1 visualizza le dimensioni della matrice Un vettore è una matrice 1 x n >> Y = [ ]; >> size(y) ans = 1 2

8 L Input dei Dati Una matrice può essere memorizzata in una variabile Matlab in diversi modi: enumerata da tastiera letta da file un esterno generata come risultato di una funzione Matlab generata da un M-file

9 Input da Tastiera (1/2) Esempio >> a = [ ]; >> a = [1,2,3,4]; >> b = [ ; ]; >> b = [ ] b = metodi equivalenti metodi equivalenti un comando terminato col simbolo ; non produce output a video.

10 Input da Tastiera (2/2) Esempio >> c = [ ]; >> c = [ ] c = metodi equivalenti >> save var c; >> clear c; Salva la variabile c nel file var.mat in formato matlab Cancella la variabile c dalla memoria

11 Input da File Esterno Esempio (continua dall esempio precedente): >> load var >> c c = Carica in memoria tutte le variabili salvate nel file var.mat >> d = [1,2;4,5] d =

12 Output su File E possibile salvare su file le variabili definite durante la sessione di lavoro. Esempio salvare sul file var.txt le variabili c e d. >> d = [1,2;4,5]; >> save var.txt c d -ascii; Salva le variabili c e d nel file var.txt in formato ascii

13 Matrici come Risultato di una Funzione MatLab Una funzione Matlab può produrre come uscita una nuova matrice. Esempio >> a = [1,2;3,4]; >> b = [0,1;2,1]; >> C =a*b C = la matrice C è una nuova matrice generata dalla funzione di prodotto matriciale *

14 Estrazione di una Sottomatrice Data una matrice è semplice estrarne una sottomatrice. Ogni elemento è una sottomatrice di dimensione 1 x 1. Esempio >> t = Y(2,3) >> Y = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Y = t = 6 >> t = Y(1,2 : 3) t = 2 3 intervallo

15 Operatore di Trasposizione Sia Y una matrice. La trasposta di Y è ancora una matrice, delle stesse dimensioni di Y, in cui l elemento di posto ( i, j ) ha valore Y( j, i ). Esempio >> Y = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Y = >> Y Y =

16 Operatore di Rotazione Sia Y una matrice. L operatore di rot90(y) effettua una rotazione degli elementi di 90 in senso antiorario. Esempio >> rot90(y) Y =

17 Operatori di Flip L operatore fliplr(x) inverte l ordine delle colonne di X. L operatore flipud(x) inverte l ordine delle righe di X. Esempio >> Y = X ; >> X = [1,2,3,4]; >> fliplr(x) ans = >> flipud(y) ans =

18 Le Matrici Speciali: Eye, Zeros, Ones, Diag Esempio >> eye(3) ans = >> zeros(2) ans = >> ones(2,3) ans = >> diag([ ]) ans =

19 Affiancamento di Matrici Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> B = [3 1; 3 7]; >> C = [A, zeros(2) ; zeros(2), B] ans =

20 Dimensionamento Automatico di una Matrice Le dimensioni delle matrici sono automaticamente determinate da Matlab. Se è necessario le dimensioni sono ricalcolate dinamicamente. Ai valori aggiunti viene assegnato zero come valore di default Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> A(3,3) = -1 >> A = zeri aggiunti automaticamente

21 Dimensioni di una Matrice Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> A(3,4) = -1; >> [m,n] = size(a) m = 3 n = 4 >> length(a) ans = 4 numero di righe numero di colonne massima dimensione L operatore size(a) fornisce il numero di righe e di colonne di A. L operatore length(a) fornisce la massima dimensione della matrice.

22 Intervalli: Rappresentazione Lineare Esistono due diversi modi per generare intervalli con spaziatura lineare: scegliere il valore iniziale, il valore finale ed il passo. utilizzare la funzione linspace che ha come parametri di ingresso il valore iniziale e finale dell intervallo ed il numero di punti. Esempio 1 >> t = 0 : 2 : 10 ans = Esempio 2 >> t = linspace (0, 10, 6) ans =

23 Intervalli: Rappresentazione Logaritmica Per generare intervalli con spaziatura logaritmica (base 10), si utilizza la funzione logspace. Siano a = 10 x e b = 10 y gli estremi dell intervallo [ a, b ] = [ 10 x, 10 y ]. La funzione logspace ha come parametri di ingresso: x, y ed il numero di campioni presenti nell intervallo. Esempio Per rappresentare l intervallo di valori tra 1 e 10 (cioè 10 0 e 10 1 ) con 5 valori si scriverà: >> t = logspace (0, 1, 5) t =

24 Il Workspace Tutte le variabili definite durante la sessione di lavoro sono salvate in una zona di memoria chiamata Workspace. Le variabili presenti nel workspace si visualizzano con i comandi: who e whos; Altri comandi: - clear nomevar, cancella la variabile nomevar - save nomefile salva tutto la spazio di lavoro nel file nomefile - load nomefile carica in memoria le variabili definite nel file nomefile

25 Operazioni Scalari

26 Le Variabili Predefinite ans: risultato dell ultima operazione non memorizzata in una variabile eps: precisione della macchina pi: pi greco i, j: unità immaginarie inf, Inf: infinito Nan: Not a number clock: orologio di macchina cputime: tempo di CPU trascorso date: data flops: numero di operazioni in virgola mobile realmax: massimo numero in virgola mobile realmin: minimo numero in virgola mobile

27 Alcuni Operatori Aritmetici (1/2) In Matlab sono definiti gli operatori aritmetici sia per scalari che per matrici. La somma algebrica (+ o -), il prodotto ( * ), il quoziente ( / ), la potenza ( ^), la radice quadrata (sqrt) di due scalari sono definiti in accordo alle regole dell aritmetica. Esempi: >> 3 * ans = 22 >> sqrt (4 ^ 3) ans = 8

28 Alcuni Operatori Aritmetici (2/2) Il prodotto e la divisione di una matrice A per una costante c è ancora una matrice in cui l elemento di posto ( i, j ) vale rispettivamente c*a( i, j ) e A( i, j )/c. Esempi: >> A = [2 4; 6 8] A = >> 3*A /2 ans =

29 Altri Operatori round: arrotondamento all intero più vicino floor: arrotondamento per difetto all intero più vicino ceil: arrotondamento per eccesso all intero più vicino rem: resto modulo abs: valore assoluto o modulo Esempi >> rem ( 10, 3 ) ans = 1 >> floor ( 4.5 ) ans = 4

30 Operatori di Relazione e Logici Gli operatori relazionali e logici restituiscono 1 se la relazione risulta vera, 0 altrimenti. < <= > >= = = minore minore o uguale maggiore maggiore o uguale uguale & ~ xor and or not or esclusivo ~ = diverso

31 Funzioni Matematiche In Matlab sono definite molte funzioni matematiche, tra le altre: pow2 exp log log2 log10 Esponente in base 2 Esponente in base e log. Naturale log. in base 2 log. in base 10 sin cos tan asin acos atan seno coseno tangente arcoseno arcocoseno arcotangente sec secante csc cosecante cot cotangente

32 Operatori Matriciali

33 Trasposizione Nel caso in cui gli elementi della matrice siano numeri complessi, l operatore di trasposizione fornisce la coniugata trasposta. Esempio: >> Y = [1+i,2; -3*i, 1+i] Y = i i i >> Y ans = i i i

34 Sistemi Lineari (1/2) Consideriamo il seguente sistema di equazioni: { 3x 2y 4z = 5 } 4x 6y 3z = 2 2x 4y 2z = 7 E possibile rappresentare il sistema tramite l equazione matriciale: A x = b 3 A x b 2 4 x y = z termini noti coefficienti variabili

35 Sistemi Lineari (2/2) Se il sistema lineare è rappresentato nella forma A x = b, e il determinante della matrice A non è nullo, la soluzione del sistema è: x = A -1 b Esempio: >> A = [3,2,4;4,-6,-3;2,-4,2]; >> b = [5;2;7]; >> x = A \ b x = inversa della matrice A equivale a x = A -1 b grazie all operatore \

36 Funzioni Matriciali (1/3) In Matlab sono definite alcuni operatori su matrici, tra gli altri: det(a) : determinante trace(a) : calcolo della traccia della matrice rank(a) : rango della matrice expm(a) : e A logm(a) : log(a) sqrtm(a) : radice quadrata di A;

37 Funzioni Matriciali (1/3) Sia A una matrice. Ecco alcuni operatori matriciali: max(a) min(a) restituisce due vettori. Il primo contiene i massimi di tutte le colonne, il secondo contiene le loro posizioni. restituisce due vettori. Il primo contiene i massimi di tutte le colonne, il secondo contiene le loro posizioni sort(a) ordina tutti gli elementi della matrice, per colonne, e restituisce la matrice ordinata e le posizioni di provenienza dei suoi elementi.

38 L operatore max: un esempio calcolo del massimo di una matrice e della sua posizione. >> A = [3,2,4;5,-6,-3;2,-4,2]; >> [m1,h1] = max (A); >> [m,k] = max (m1); >> h = h1(k); max dei massimi di colonna e suo indice massimi di colonna e loro indici >> A A = >> [m,h,k] ans = 5 2 1

39 Funzioni Logiche su Matrici: find La funzione find effettua la ricerca su un predicato e restituisce gli indici degli elementi che soddisfano tale predicato. Esempio: Si vogliano trovare tutti gli elementi di una matrice il cui valore sia compreso tra 2 e 3. >> A = [3,2,4;5,-6,-3;2,-4,2] A = >> [h,k] ans = >> [h,k]=find(a>=2 & A<=3);

40 Operatori per Componenti (1/2) Il prodotto scalare tra due vettori x e y di lunghezza n è un numero p così definito: n p= i=1 x i y i In Matlab scriveremo: p = x * y. Con MatLab è possibile effettuare operazioni su matrici componente per componente. Dati due vettori, si vuol ottenere un terzo vettore in cui la componente di posto k è il prodotto delle componenti di posto k dei due vettori di partenza: z = [x 1 *y 1, x 2 *y 2,, x n-1 *y n-1, x n *y n ].

41 Operatori per Componenti (2/2) Dati i vettori x e y: x =[x 1, x 2,, x n ] y =[y 1, y 2,, y n ] L operazione z = [x 1 *y 1, x 2 *y 2,, x n-1 *y n-1, x n *y n ]. è definita in MatLab tramite l operatore.*, si avrà z = x.* y. Per la divisione invece si avrà z = x.\ y.