6 DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

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1 6 DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI Consdeao un sstea d n unt ateal con n > nteagent ta loo e con l esto dell unveso. Nello studo d un tale sstea sulta convenente scooe la foza agente ( et) sull eso unto nella soa della sultante delle foze estene F e quella delle foze ( nt) esectate sul unto da tutte le alte n atcelle F dette foze ntene: F = F + F ( nt) ( et). La dstnzone ta foze ntene ed estene è totalente abtaa n quanto è ossble estnsecae dal sstea d n unt ateal uno d quest e consdeae ta le foze estene agent sulle n estant atcelle del sstea la foza esectata su queste dal unto ateale seaato. In accodo con la teza legge d Newton la foza F j che l -eso unto del sstea esecta sul j eso unto è uguale ed oosta alla foza F j che l j-eso unto esecta sull eso unto: F = F j =... n j j etanto benché la sultante delle foze ntene agent sull -eso unto la sultante d tutte le foze ntene del sstea è nulla: ( nt) F (6.) è dvesa da zeo nt ( nt) F = F = F = 0. (6.) j j Natualente la teza legge d Newton s alca anche alle foze estene che eò s esectano ta unt del sstea e tutt gl alt unt dell unveso. Fssato un sstea d feento nezale e l -eso unto d vettoe oszone soggetto alla foza F defnao la veloctà v coe: d v z v F y l acceleazone a coe: a F = = d la quanttà d oto :

2 6- Dnaca de sste d unt ateal v l enega cnetca E k: E v k e l oento angolae L (setto all ogne del sstea d feento): L v. Inolte è ossble defne delle gandezze dnache etnent all nteo sstea qual la quanttà d oto totale: = v l oento angolae totale setto ad un olo (ad eseo l ogne ): L L = e l enega cnetca totale E E = v. k k 6. Cento d assa d un sstea d unt S defnsce cento d assa d un sstea d unt ateal l unto dello sazo l cu vettoe oszone è a a: = (6.3) z y dove (6.4) è la assa totale del sstea. Qualoa la veloctà de unt è dvesa da zeo d conseguenza lo saà anche la veloctà del cento d assa:

3 Dnaca de sste d unt ateal 6-3 d d d v = = v = = = coè: = v (6.5) ovveo la quanttà d oto totale concde con la quanttà d oto v del cento d assa asslato ad un unto ateale d assa a alla assa totale del sstea (6.4) vettoe oszone e veloctà v. Analogaente l acceleazone del cento d assa è: dv d d d a = = = a = =. Se l sstea d feento è nezale alloa: così: a = F = F + F ( et ) ( nt) a = a = F + F = F + F ( et ) ( nt) ( et) ( nt) d alta ate dalla (6.) la soa delle foze ntene è nulla alloa: ; a et F = e osto: F F ( et ) ( et ) segue: a = F ( et ). (6.6) Tale elazone aesenta l esessone del teoea del cento d assa l quale affea che n un sstea d feento nezale l cento d assa s uove coe un unto ateale d assa a alla assa totale del sstea d unt sul quale è alcata la sultante delle foze estene. Infne dalle (6.5) e (6.6) se la assa è costante s ha: ( et ) dv d d = = = =. F a v Da questa elazone e dalla ecedente segue qund che l oto del cento d assa è detenato dalle sole foze estene al sstea; al contao le foze ntene non ossono odfcae lo stato d

4 6-4 Dnaca de sste d unt ateal oto del sstea. In atcolae se l sstea è solato dal nco d consevazone della quanttà d oto segue che è costante qund se l sstea è solato coè su cascuna atcella che lo costtusce agscono solo foze ntene l cento d assa s uove con veloctà costante n qualsas sstea d feento nezale. Eseo: Consdeao un sstea costtuto da due unt settvaente d assa e stuat a dstanza d l uno dall alto. Consdeando un sstea d feento con ogne stuata sulla etta congungente due unt; dalla (6.3) la oszone del cento d assa è: d + = + così sccoe d = s ha = + d + coè setto al cento d assa la oszone del unto d assa è: = d + ; ndcando con a e con b settvaente le dstanze de unt d asse e dalla oszone del cento d assa con: a + b + d d segue: a = b coè l cento d assa è stuato sul segento coeso ta due asse ed è osso al coo d assa aggoe. Ad 30 eseo nel sstea costtuto dalla Tea e dal Sole consdeando che la assa del Sole è d.99 0 kg e quella 4 5 della Tea è kg e la ecoca dstanza è d.5 0 l cento d assa s tova a dal cento del 8 Sole ossa oché l aggo solae è d 7 0 l cento d assa è all nteno del Sole. Eseo: Consdeao un coo d assa lancato ozzontalente da una quota h con veloctà v l quale n volo s oe n due faent d 0 asse e. Tale ottua essendo detenata da foze ntene non ovoca alcuna vaazone della taettoa del cento d assa così è ossble studae l oto d tale unto con le legg della cneatca: y h v 0 A = v0t y = h gt. Ionendo che sa y = 0 è ossble stable la coodnata d atto ( G) (G) B (G) (G)

5 Dnaca de sste d unt ateal 6-5 del cento d assa; elnando la vaable t nelle equazon ecedent e y = 0 segue t = h g e qund: ( G) = v 0 h g così dalla (6.3) sccoe la elazone ta e le coodnate de due faent è: = ( + ) segue che le cosondent coodnate d atto sono: ( G) ( G) = = ( G) ( G) ( G) ( G). Eseo: Una esona d assa è osta ad un estetà d una baca d assa e lunga l. La baca gallegga b sulla suefce dell acqua e nel contatto ta la baca e l acqua l attto uò essee consdeato tascuable. In accodo col sstea d feento ndcato n fgua ad un ceto stante la esona s sosta all estetà oosta della baca. Stablao l ascssa della esona nella seconda ccostanza elatvaente al sstea d feento secfcato. Nella stuazone nzale sccoe l ogne del sstea d feento concde con la oszone della esona e suonendo che l cento d assa della baca sa nel suo cento geoetco la oszone del cento d assa del sstea è: + b b b l = =. + + b b Quando la esona ha aggunto l alta estetà della baca l cento d assa del sstea dventa: b + b b = + b dove l = qund sosttuendo s ha: b = + b l. Poché sul sstea non agscono foze estene la oszone del cento d assa del sstea non deve essee vaata ossa coè: da cu segue: b l b l = + + b b b = l = + b. Qund nel assaggo dalla condzone nzale a quella fnale coe la esona s sosta da un esteo all alto la baca etocede n sua tale da consevae la oszone del cento d assa del sstea. b

6 6-6 Dnaca de sste d unt ateal 6. Moento angolae d un sstea d unt Consdeao un nsee d unt ateal d asse... n e veloctà v v... vn setto ad un sstea d feento nezale. Posto: v v (P) ( P) P l oento angolae del sstea setto al olo stuato nel unto P è: ( P) ; L v z ( P) P y (P) n v n n devando questa esessone setto al teo s ha: ( P) dl d ( P) dv = ( v ) +. (6.7) La devata d ( P) è: d ( P) = v v P dove v e v P sono settvaente la veloctà del unto d assa e del olo P setto al sstea d feento secfcato; nolte oché l sstea d feento è nezale segue: z P v P y P (P) v dv a F F = = + ( et) ( nt) qund sosttuendo nella elazone (6.7) s ha: dl P ( et) P ( nt) = v ( v ) vp ( v ) + F + F = ( et) ( nt = v v + τ + τ ) ; sccoe 0 P v v = e e la (6.5) dove τ F ( et) ( P) ( et) è l oento delle foze estene setto al olo P e

7 Dnaca de sste d unt ateal 6-7 τ F ( nt) ( P) ( nt) è l oento delle foze ntene setto allo stesso olo. Relatvaente ad una qualsas coa d atcelle e j costtuent l sstea se F j e F j sono settvaente le foze ntene agent ( nt) su d esse la soa de cosondent oent ( nt) τ e τ j vale: ( nt) ( nt) ( P) ( P) ( P) ( P) τ + τ = F + F = ( F ) + F j j j j j j j essendo dalla (6.) Fj = F così sulta: j ( nt) ( nt) ( P) ( P) τ + τ = F ; j j j F j (P) (P) j - ( P) ( P) d alta ate l vettoe j è aallelo a F j così la soa al o ebo è nulla. Sccoe l oento totale delle foze ntene d un ( nt) sstea d atcelle τ è costtuto dalla soa d tutt ossbl ten ( nt) ( nt) τ + τ ne segue che ndendenteente dal olo scelto sulta: j τ ( nt) = 0. (6.8) Petanto la devata del oento angolae vale: dl = vp ( v) +τ Il tene v ( v ) ( et). (6.9) P sulta nullo se l olo P è n quete nel sstea d feento nezale e v P = 0 oue se è n quete l cento d assa del sstea d atcelle e v = 0 o se l olo concde col cento d assa e qund v P = v o nfne se v P è aallelo a v ; n tutte queste ccostanze la (6.9) dventa: dl =τ ( et) (6.0) e l evoluzone teoale del oento angolae del sstea d unt setto al olo P è detenata dal solo oento delle foze estene calcolato setto allo stesso olo. Nel caso n cu vale la elazone (6.0) ovveo vp ( v) = 0 se l oento delle foze estene τ ( et) è nullo l ( et) oento angolae s antene costante. Cò s vefca se l sstea è solato e cu F = 0 e L s conseva setto ad ogn olo e cu vp ( v) = 0 oue se τ ( et) è nullo setto ad un ceto olo algado sul sstea agscono delle foze estene. Nel o caso oché ( et F ) = 0 olte al oento angolae del sstea s conseva anche la sua quanttà d oto ente n geneale nel secondo caso questa gandezza non s conseva. (P) P (P) j j F j

8 6-8 Dnaca de sste d unt ateal 6.3 Sstea d feento del cento d assa Dato un nsee d atcelle sulta sesso d atcolae utltà un sstea d feento con ogne nel cento d assa d tale nsee. Soltaente assegnato un sstea d feento nezale è ootuno assuee gl ass coodnat del sstea del cento d assa aallel a quell del sstea nezale. Cò detena un oto taslatoo del sstea del cento d assa a non ettlneo unfoe a eno che non sa nulla la sultante delle foze estene agent sul sstea d atcelle ( et ) F e d conseguenza sa nulla l acceleazone del cento d assa a. Indcando con un ace le gandezze fete al cento d assa e l -esa atcella del sstea sulta: = + z y ' z' y' e d conseguenza: v = v + v (6.) essendo l oto d tascnaento taslatoo. vvaente n tale sstea sulta: = 0 v = 0 a = 0 (6.) e cu dalle elazon (6.3) e (6.5) s ha: = 0 v = 0 (6.3) (6.4) e qund : = v = 0 coè la quanttà d oto totale del sstea d atcelle è nulla se feta al sstea d feento del cento d assa. Poché l sstea d feento n geneale non è un sstea nezale su suo unt agsce la foza fttza a dovuta all acceleazone d tascnaento dell ogne ovveo del cento d assa. Petanto sul geneco unto del sstea d assa agsce olte alla foza F soa delle foze ntene ed estene anche tale foza fttza; qund l esessone della seconda legge d Newton è: ( et) ( nt) a = F a = F + F a. (6.5)

9 Dnaca de sste d unt ateal 6-9 Soando tale elazone e tutt unt del sstea dalle esesson (6.) e (6.6) s ha: a F F a F a ( et) ( nt) ( et ) = + = = Pealto tale sultato segue dalla elazone (6.). Il oento sultante del sstea calcolato setto al olo stuato nel cento d assa e feto al sstea del cento d assa è: ( et ) ( nt) ( et) ( nt) τ F F a F F = + = + ( a ) = ( et) ( nt) = τ + τ a; ( nt) n questa esessone τ è nullo e la (6.8) ed è nullo anche l tezo addendo dalla elazone (6.3). Ne segue che l oento sultante è dovuto alle sole foze estene: τ τ = = F ( et ) ( et). Infne l oento angolae del sstea calcolato setto al olo stuato nel cento d assa e feto al sstea del cento d assa vale: L = v e devando setto al teo s ha: dl d ( et) ( nt) ( et = ) F + F a = τ 0. dv ( v ) v ( v ) ( a ) = + = + = eché v e v sono aallel e e la elazone ecedente (6.5). Qund dl = τ ( et ) ossa uché coe olo s assua l cento d assa del sstea d atcelle l teoea del oento angolae contnua a valee. z Eseo: Consdeao un sstea costtuto da due atcelle soggette alla sola utua nteazone ossa tal che sa nulla la sultante delle foze estene. Alcando la seconda legge d Newton s ha: dv = F dv = F; F F y

10 6-0 Dnaca de sste d unt ateal sottaendo ebo a ebo queste elazon e consdeando che dalla (6.) sulta F = F segue: la veloctà: d + ( v v ) = F F = + F = F ; v v v è la veloctà elatva d setto a e qund: d dv v v = a è l acceleazone elatva cosondente. Petanto osto: µ + detto assa dotta della coa d atcelle d asse e segue: µ a = F ; coè l oto elatvo d due atcelle soggette alla loo utua nteazone è equvalente al oto elatvo ad un ossevatoe nezale d una atcella avente assa a alla assa dotta e soggetta ad una foza a alla loo foza d utua nteazone. Tale scheatzzazone consente d due qund l oto d una coa d atcelle solate al oto d una sngola atcella d assa a alla assa dotta del sstea. Inolte se << sulta µ e così ad eseo nella desczone del oto d un satellte atfcale attono alla Tea è ossble usae la assa del satellte anzché la assa dotta del sstea Tea satellte. D alta ate se = s ha µ = coe accade ad eseo nello studo dell nteazone ta una coa d oton o aossatvaente nello studo dell nteazone ta un otone e un neutone. Eseo: Consdeao un sstea costtuto da due atcelle d assa e e veloctà v e v setto ad un sstea d feento nezale. Il vettoe oszone e la veloctà del cento d assa valgono settvaente: + = + v + v v =. + z ' z' y' Nel sstea del cento d assa le veloctà delle due atcelle sono: v + v v = v v = v = v v = v v + v v = v v = v = v v = v y dove v = v v

11 Dnaca de sste d unt ateal 6- è la veloctà elatva d una atcella setto all alta. Rsulta qund v = v coè le due atcelle s uovono lungo la edesa dezone a con ves oost. Le quanttà d oto delle due atcelle nel sstea del cento d assa sono: = v = v = µ v + = v = v = µ v + coè: = coe consegue n geneale dal fatto che la quanttà d oto totale del sstea d atcelle è nulla se feta al cento d assa. Qund n questo sstea d feento le atcelle s uovono con quanttà d oto ugual n odulo e dezone a ooste n veso. Eseo: Consdeao due unt ateal d assa e ugual collegat ta loo attaveso una sbaetta gda d assa tascuable che uotano senza attto attono ad un asse assante e l unto edo della sbaetta con veloctà angolae costante ω. Il oento angolae del sstea setto all ogne stuata nel unto edo è: L = ω + ω = + ω = ω w w dove = e =. Suonao che le dstanze de unt dall asse n un ceto stante vengano cabate e valgano settvaente e. Il oento angolae n tale ccostanza dventa: L =. ω Su tale sstea le unche foze agent sono la tensone della sbaetta e la foza eso. La a fonsce a unt la foza centeta necessaa al oto ccolae e tattandos d foza ntena ha oento nullo. La seconda ha oento sultante nullo setto ad. Petanto sccoe l oento delle foze estene agent sul sstea è nullo segue che l oento angolae s conseva e L = L da cu s ha: ovveo: ω = ω g T t t w T g ω = ω sccoe > segue ω < ω coè la otazone allenta a seguto dell allungaento secfcato. Consdeao un nsee d atcelle d asse ; n un sstea d feento nezale l oento angolae setto all ogne assunta coe olo è:

12 6- Dnaca de sste d unt ateal L = ( v ) = ( + ) ( v + v ) = = v + v + v + v = = L + v + v + v e utlzzando le elazon (6.3) e (6.4) s ottene: L = L + v = L + L coè l oento angolae del sstea d unt uò eses tate le gandezze oe del sstea d feento del cento d assa coe soa del oento angolae del sstea d unt setto al cento d assa L e dal oento del cento d assa setto al sstea d feento nezale. Dall esessone ecedente è ossble ossevae che sebbene e un unto ateale la nulltà della quanttà d oto lca la nulltà del oento angolae nel caso d un sstea d atcelle se è nulla la quanttà d oto del cento d assa v non è n geneale nullo L sccoe unt ossono essee dotat d oto; vcevesa se L è nullo alloa n geneale non è necessaaente nulla la quanttà d oto del cento d assa a sulta L = L. ; 6.4 Enega d un sstea d atcelle Consdeao un nsee d n unt ateal d asse... n ; l lavoo eleentae dw della foza F agente sull eso unto n cosondenza d uno sostaento d vale: dw = F d ; (6.6) decoonendo la foza F n soa della foza estena ( et) F e della foza ntena dw = F d = F + F d = F d + F d = dw + dw ( et) ( nt) ( et) ( nt) ( et ) ( nt) ( nt) F s ha: e cu ntegando tale esessone lungo le taettoe ecose da unt e soando su tutt unt s ottene: ( et) ( nt ). W = W + W In atcolae l tene ( nt) dw è costtuto dalla soa d ten del to: F d + F d = F d F d = F d = F d j j j j j j j j j j qund l contbuto al lavoo da ate delle foze ntene non è n geneale nullo ed è detenato dal cabaento delle dstanze utue ta unt ateal. Infatt laddove tal dstanze estano

13 Dnaca de sste d unt ateal 6-3 utate coe accade e un sstea gdo sulta esessa tate la veloctà v dell -eso unto coe: ( nt) W = 0. La elazone (6.6) uò essee dw = F d = v dv così ntegando sulle taettoe e soando su tutt unt s ottene: W = v v = E E B A k B k A n cu v A e v B sono settvaente le veloctà dell eso unto nella confguazone nzale A e nella confguazone fnale B e E ka e E kb sono settvaente l enega cnetca del sstea nella confguazone nzale e fnale. Così s ottene: ( et) ( nt) W + W = E E. kb ka Se le foze ntene e quelle estene sono consevatve cosondent lavo ossono essee esess coe vaazone dell enega otenzale: ( et ) ( et) ( et) W = E E A B ( nt) ( nt) ( nt) W = E E A In tale ccostanza sulta: B. ( et) ( nt) ( et) ( nt) E + E + E = E + E + E ka A A kb B B ovveo s ha la consevazone dell enega eccanca del sstea d unt. In esenza d foze non ( nc) consevatve se l cosondente lavoo è W s ha: ( kb B B ) ( ka A A ) W nc = E + E et + E nt E + E et + E nt. S not che la consevazone dell enega e l sstea d unt chede che sa le foze ntene che quelle estene sano consevatve e cu n un sstea solato coè tale che le foze estene agent sul sstea sono nulle l enega eccanca s conseva solo se le foze ntene sono consevatve. Anzché fee l enega cnetca ad un sstea d feento nezale sulta sesso utle fee tale gandezza al cento d assa. In tale caso dalla elazone (6.) s ha: Ek = v = ( v + v) = ( v + v + v v) = v + v + v v = E + v + v v = E k + v = E k + Ek k

14 6-4 Dnaca de sste d unt ateal = è l enega cnetca del sstea d atcelle feta al cento d assa l dove E v k tene Ek = v è l enega cnetca del cento d assa nteso coe un unto ateale la cu assa è data dalla elazone (6.4) e l tene v v è nullo e la (6.4). La elazone k k k E = E + E (6.7) aesenta l esessone del teoea d Köng. 6.5 Azone d foze su unt dves d un sstea d unt Consdeao un nsee d n unt ateal soggett alle foze F F... Fn. Il oento τ sultante d tal foze setto all ogne assunta coe olo vale: τ = F uuuu F dove è l vettoe oszone condotto dal olo all eso unto del sstea. Posto: l oento τ setto al olo vale: τ = F = F = F F = τ F dove F F è la sultante d tutte le foze agent sul sstea. Dalla ecedente esessone s evnce che l oento dende n geneale dalla scelta del olo a eno che la sultante delle foze agent sul sstea non sa nulla. Eseo: Consdeao l sstea costtuto da due unt ateal su qual agscono due foze F e F d uguale ntenstà alcate su due ette aallele e d veso oosto. In questa ccostanza s dce che l sstea foa una coa la cu sultante è nulla essendo F = F. Il oento setto ad un geneco olo vale: τ = F t F τ = F t F F D t così l oento sultante è: τ = τ + τ = + = = F F F F F F essendo. Sccoe la sultante delle foze agent sul sstea è nulla tale sultato sulta ndendente dalla oszone del olo. Il odulo

15 Dnaca de sste d unt ateal 6-5 d τ vale: dove quanttà τ = F snϑ = sn ϑ F F J J D b b snϑ F ende l noe d bacco della coa e aesenta la dstanza ta le due ette d alcazone delle foze. Petanto: τ = bf. Quanto ottenuto nell eseo ecedente è n accodo con la elazone (6.8) secondo la quale l oento delle foze ntene è nullo; cò n quanto le foze ntene costtuscono un nsee d coe con bacco d lunghezza nulla e cu l cosondente oento è nullo setto a qualsas olo. 6.6 Genealtà sulla dnaca de sste d unt Abbao vsto che le equazon che descvono l oto d un sstea d unt ateal sono: ( et ) d F = a = ( et) dl τ = dove L è valutato setto al cento d assa del sstea. Tal equazon stablscono l evoluzone teoale del vetto ed L e e quanto vsto sono ta loo ndendent; cò lca che e una coleta desczone dnaca del sstea d unt occoe conoscee conteoaneaente sa ( et ) la sultante F delle foze estene agent sul sstea che la sultante τ ( et) del oento delle foze estene setto al cento d assa. La vaazone d enega cnetca è: k ( et) ( nt) E = W + W ; nolte qualoa sul sstea agscano delle foze non consevatve s ha: ( nc) E = W dove E è la vaazone d enega eccanca E k + E. Sa l oento angolae che l enega cnetca ossono essee esesse tate l oto del cento d assa: L = L + ( v ) Ek = E k + v. Dalle ecedent equazon devano te legg d consevazone: se la sultante delle foze estene agent sul sstea è nulla s conseva la quanttà d oto totale del sstea; se l oento delle foze estene è nullo s conseva l oento angolae feto al cento d assa; se tutte le foze

16 6-6 Dnaca de sste d unt ateal agent sul sstea sono consevatve s conseva l enega eccanca. In geneale tal legg d consevazone sono ndendent ta loo.

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