Esercizi di cinematica

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1 Cinematica del punto: moti rettilinei. Esercizi di cinematica 1) In un lungo viale rettilineo nell istante in cui un semaforo diventa verde un automobile parte da ferma con un accelerazione costante a = 2 m/s 2. Nello stesso istante un camion, che viaggia con una velocità costante v C = 10 m/s affianca e sorpassa l auto. a) determinare dopo quanto tempo e a che distanza dal semaforo l automobile raggiunge il camion. b) Determinare la velocita dell auto nell istante del sorpasso. 2) Una palla viene lanciata verso l alto con velocità v 0 = 10 m/s. Determinare: a) dopo quanto tempo raggiunge la somità della traiettoria; b) l altezza massima H raggiunta dalla palla rispetto al punto di lancio; c) dopo quanto tempo ritorna al punto di partenza; d) con che velocità ritorna al punto di partenza. e) la velocità della palla ad una quota pari ah H/2; f) Se si fotografa il moto della palla a intervalli di tempo di 0.1 s determinare qual è la distanza fra le posizioni della palla in due istantanee consecutive. 3) Due treni A e B si muovono lungo uno stesso binario rettilineo, nello stesso verso e con B che precede A, con velocità rispettivamente v A = 120 Km/h e v B = 36 Km/h. Se il macchinista del treno A si accorge del treno B quando si trova ad una distanza da esso pari a d = 300 m ed aziona in quell istante i freni, determinare il minimo valore della decelerazione per cui si evita la collisione. 4) Una misura della profondità di un pozzo viene ottenuta per mezzo di un sasso e di un cronometro. Nell istante in cui si abbandona il sasso dalla sommità del pozzo si fa partire il cronometro e lo si arresta nell istante in cui si ode il tonfo del sasso sul suo fondo misurando così un tempo t* = 5 s. a) Determinare la profondità del pozzo considerando t come il tempo di caduta del sasso dalla sommità al fondo del pozzo. b) Determinare la profondità del pozzo considerando anche la velocità finita del suono v S = 331 m/s. c) Con riferimento al punto a) calcolare l errore che si ha nella determinazione della profondità se l operatore, a causa del suo tempo di reazione finito, arresta il cronometro con un ritardo t = 0.1 s. 5) Un corpo cade, partendo con velocità nulla, dalla finestra di un palazzo; da una della finestre sottostanti si osserva l oggetto che attraversa la luce della finistra di altezza l = 1.5 m impiegando un tempo t = 0.12 s. Determinare da quale altezza, rispetto alla finestra di osservazione, è caduto l oggetto. 6) La ripresa di un auto è specificata in termini del tempo T che essa impiega per passare da una velocità nulla ad una velocià V = 100 Km/h. Determinare le accelerazioni medie corrispondenti per una utilitaria ( T 1 = 14.5 s ) e per una Ferrari (T 2 = 4.5 s) e la distanza percorsa dai due autoveicoli per passare da 0 a 100 km/h. 7) er un auto che viaggia alla velocità di 60 Km/h si misura uno spazio di frenata s = 28 m. Supponendo che il moto, durante la frenata, sia uniformemente accelerato determinare: a) l accelerazione corrispondente; b) lo spazio di frenata con una velocità iniziale di 100 Km/h (considerando la stessa accelerazione media); c) di quanto si allunga nei due casi lo spazio di frenata ipotizzando un

2 tempo di reazione complessivo t = 1 s ( t corrisponde al tempo che intercorre fra l impulso mentale di frenata e l inizio effettivo della frenata). 8) Un auto che viaggia alla velocità di 50 km/h va a sbattere contro un muro e si arresta; si osserva che nell urto la parte anteriore della macchina ha subito una deformazione d = 30 cm. Determinare l accelerazione media della macchina durante l urto e la durata di quest ultimo. 9) Una goccia di pioggia cade da una nuvola che si trova ad un altezza h = 1000 m rispetto al suolo ed arriva a terra con una velocità circa pari a v 0 = 6.5 m/s ( questa velocità dipende, leggermente, dalla forma della goccia). a) Confrontare questa velocità con quella che avrebbe la goccia, quando arriva a terra, supponendo che sia soggetta solo all accelerazione di gravità. b) Calcolare il tempo impiegato ad arrivare a terra nel caso a) e nel caso in cui si muova con velocità costante pari a v o. 10) Una goccia di pioggia cade da una nuvola che si trova ad un altezza h = 1000 m rispetto al suolo ed arriva a terra con una velocità costante v 0, detta velocità limite, come conseguenza della resistenza viscosa dell aria che a seconda delle condizioni può essere proporzionale alla velocità o al quadrato della velocità e, in entrambi i casi, opposta ad essa. er una velocità limite v 0 = 6.5 m/s calcolare il valore della costante K nei seguenti casi: a) la goccia è soggetta all accelerazione di gravità e ad una accelerazione di resistenza viscosa proporzionale alla velocità ed opposta ed essa, ossia ad una accelerazione a = g Kv diretta verso il basso; b) la goccia è soggetta all accelerazione di gravità e ad una accelerazione di resistenza viscosa proporzionale al quadrato della velocità ed opposta ed essa, ossia ad una accelerazione a* = g Kvv diretta verso il basso. c) Con il valore di K calcolato nel caso a) si determini dopo quanto tempo, dal distacco dalla nuvola, la goccia raggiunge il 90% di v 0 e la corrispondente distanza percorsa. d) Con il valore di K calcolato nel caso b) si determini dopo quanto tempo, dal distacco dalla nuvola, la goccia raggiunge il 90% di v 0 e la corrispondente distanza percorsa. [Nota. Questo esercizio comporta delle nozioni di analisi matematica che lo studente all inizio del corso può non padronneggiare completamente. In questo caso lo studente può comunque provare ad impostare a grandi linee il problema e seguire poi i dettagli nella soluzione proposta.] Cinematica del punto: moti piani. 11) Un corpo viene lanciato con una velocità v 0 = 25 m/s lungo una direzione, rivolta verso l alto, che forma un angolo q rispetto al suolo. Determinare: a) la massima gittata, ossia il punto del suolo più distante che può essere colpito; b) il tempo che impiega il corpo a raggiungere questo punto; c) la velocità del corpo in questo punto; d) il punto più alto della traiettoria, la corrispondente velocità del corpo ed il tempo impiegato a raggiungerlo. 12) Un cannone spara proiettili con una velocità = 250 m/s e con un alzo (angolo di v rispetto all orizzontale) variabile fra 0 e 90. a) Determinare i punti del piano (individuato dalla verticale e da v 0 ) nei quali può essere raggiunto un possible bersaglio. b) Determinare l alzo che si deve impostare per colpire un bersaglio

3 situato ad un altezza h = 300 m, rispetto al suolo, e ad una distanza in orizzontale dal cannone d = 4000 m. 13) Un aereo in fase di decollo, mentre si trova ad un altezza h = 1200 m rispetto al suolo e si muove con una velocità v 0 = 500 Km/h lungo una direzione che forma un angolo q = 30 rispetto al suolo, perde un bullone. Determinare: a) a quale distanza dal punto di distacco, lungo l orizzontale, atterra il bullone; b) dopo quanto tempo; c) la sua velocità al momento dell impatto col terreno; d) la quota più alta da esso raggiunta; e) la massima e la minima velocità, in modulo, durante la sua traiettoria. 14) Il moto di un proiettile è seguito da una stazione radar, posta sul suolo nel piano di moto del proiettile, che ne rileva la velocità e la posizione, individuata tramite la distanza L fra proiettile e radar e l angolo q che essa forma con l orizzontale. Nel punto più alto della traiettoria, di coordinate L = 2700 m e q = 30, il proiettile ha una velocità V = 300 Km/h e si muove verso la stazione radar. Determinare: a) la distanza dalla stazione radar del punto di impatto sul suolo e dopo quanto tempo, dalla rilevazione considerata, esso avviene; b) la localizzazione, a livello del suolo, del cannone che ha sparato il proiettile; c) la velocità con cui viene sparato il proiettile dal cannone e l alzo del cannone (angolo di sparo rispetto all orizzontale). 15) Una mela si stacca dal ramo di un albero da un altezza h = 3 m rispetto al suolo; un bambino, distante d = 5m dalla linea di caduta della mela, lancia una freccetta, da un altezza l = 1 m, cercando di colpire la mela. a) Determinare quale deve essere la direzione di lancio se questo viene effettuato nello stesso istante del distacco della mela. b) Determinare la minima velocità di lancio necessaria per colpire la mela prima che essa tocchi terra. c) Con una velocità di lancio v 0 = 9 m/s determinare quale deve esssere la direzione e l istante di lancio, rispetto al momento del distacco della mela, per colpirla ad una quota pari ad l. Moto circolare 16) Si determinino la velocità lineare e l accelerazione centripeta nei seguenti casi: a) un corpo legato ad una funicella lunga 50 cm che viene fatto ruotare facendogli compiere, con velocità costante, 10 giri al secondo; b) un corpo posto sulla superficie terrestre all equatore ( raggio terrestre R T = 6370 Km ); c) la Terra nel suo moto attorno al Sole, considerando l orbita circolare ( distanza Terra-Sole R TS = m ); d) il Sole nel suo moto attorno al centro della galassia, considerando questo come un moto circolare uniforme ( distanza Sole-centro galassia R SG = m, periodo T SG = anni ). 17) Considerando le orbite dei pianeti attorno al Sole come circolari (l eccentricità delle orbite è per quasi tutti i pianeti < 0.1) la II legge di Keplero stabilisce che ciascun pianeta si muove di moto circolare uniforme. Detto R i il raggio dell orbita del pianeta i-esimo e T i il corrispondente periodo la III Legge di Keplero stabilisce che il rapporto R i3 /T i2 = K = m 3 /s 2 qualunque sia il pianeta considerato. Desumere da questi dati l andamento, in funzione del raggio dell orbita, della accelerazione a cui sono soggetti i vari pianeti in conseguenza dell interazione fra di essi ed il Sole.

4 18) In base alla Legge di Gravitazione universale qualsiasi oggetto in prossimità della Terra è soggetto ad una accelerazione inversamente proporzionale al quadrato della sua distanza dal centro della Terra e diretta verso di esso. a) Calcolare il valore della costante di proporzionalità a partire dal valore dell accelerazione di gravità g e del raggio della Terra R T = 6370 Km. b) In base alla relazione calcolata al punto a) si calcoli il periodo di rotazione della Luna attorno alla Terra conoscendo la distanza fra i due R TL = m e supponendo il moto della Luna circolare uniforme. c) Calcolare il raggio dell orbita di un satellite geostazionario, ossia di un satellite che rimane fisso relatativamente ad un punto della superficie terrestre situato all equatore. 19) In un ipotetico viaggio Terra-Luna si suppone che ad un razzo, lanciato da una base B situata all equatore, venga impressa una velocità in direzione radiale v = 638 m/s e che essa venga successivamente mantenuta costante. T B v L w T Considerando la Terra come una piattaforma di lancio ruotante con velocità angolare w T e che il razzo abbia una velocità angolare costante pari a w T, si determini: a) la durata del viaggio; b) l angolo che i raggi che uniscono la base B e la Luna al centro della Terra devono formare fra di loro, al momento del lancio, perchè il razzo colpisca effettivamente il pianeta e la posizione di quest ultimo; c) la velocità del razzo quando esso raggiunge la luna; d) la massima accelerazione tangenziale a cui è soggetto il razzo; e) la traiettoria del razzo. f) Determinare la traiettoria del razzo nel caso in cui invece la sua velocità angolare w vari in modo inversamente proporzionale al quadrato della sua distanza r dal centro della Terra, ossia risulti r 2 w = R T2 w T. ( Si suppone che l attrazione gravitazionale della Terra e della Luna siano ininfluenti e quindi che la velocità radiale iniziale rimanga inalterata; raggio della terra R T = 6370 Km ; raggio dell orbita lunare R TL = m ; si trascurino le dimensioni finite della Luna ). 20) Sulla pista circolare di un velodromo, di raggio R = 65 m, due ciclisti sono impegnati in una gara su 5 giri completi; al primo corridore è stato dato un vantaggio di un quarto di giro, quindi quando parte il secondo esso ha già

5 percorso un quarto del primo giro. I due ciclisti giungono appaiati sul traguardo del quinto giro dopo un tempo t* = 3 min. Supponendo che il primo ciclista si muova con velocità costante ed il secondo con accelerazione costante determinare: a) la velocità angolare e lineare del primo ciclista; b) l accelerazione angolare e tangenziale del secondo ciclista; c) la velocità angolare e lineare del secondo ciclista al traguardo; d) il modulo delle accelerazioni dei due ciclisti al traguardo. 21) Un proiettile viene lanciato da terra con una velocità v 0 = 250 m/s lungo una direzione che forma un angolo q = 30 con l orizzontale. Determinare l accelerazione tangenziale e normale del proiettile ed il raggio di curvatura nei seguenti punti della traiettoria: a) il punto di lancio; b) l apice della traiettoria; c) il punto di impatto a livello del suolo. Moti relativi. 22) In un tratto rettilineo del suo corso un fiume ha larghezza L = 60 m e la velocità della corrente è V = 3 m/s. Avendo a disposizione una barca e volendo attraversare il fiume determinare, rispetto alla posizione sulla sponda di partenza: a) il punto di attracco sulla sponda opposta se si imprime alla barca una velocità v 0 = 1.2 m/s in direzione perpendicolare alla riva; b) la minima velocità v* che si deve imprimere alla barca per raggiungere la riva opposta compiendo il tragitto spazialmente più breve; c) la direzione verso cui si deve rivolgere la prua della barca, imprimendo ad essa una velocità pari a 3v*, per raggiungere la riva opposta facendo compiere ad essa il tragitto spazialmente più breve ed il tempo impiegato; d) la direzione verso cui si deve rivolgere la prua della barca, imprimendo ad essa una velocità pari a 3v*, per raggiungere la riva opposta nel minor tempo possible ed il punto di arrivo. 23) Un passeggero di un auto osserva la traccia lasciata dalle gocce di pioggia sul finestrino. q 0 q v A = 0 v A Quando l auto è ferma la traccia (rettilinea) forma, rispetto alla direzione verticale discendente, un angolo q 0 = 30, mentre quando l auto si muove con velocità v A = 25 Km/h la traccia forma, con la verticale, un angolo q = -18. Determinare la componente verticale della velocità delle gocce e la velocità del vento, che dà luogo alla loro componente orizzontale. 24) Mentre una nave A sta uscendo dall imboccatura di un porto una nave B che si trova ad una distanza D = 1 Km, si sta muovendo verso di esso puntando dritto sull imboccatura ; le velocità v delle due navi sono costanti ed uguali in modulo, v = 10 Km/h, e formano fra di loro un angolo b = 150. Determinare: a) la

6 minima distanza d a cui si vengono a trovare la due navi; b) dopo quanto tempo, dall istante in cui A lascia l imboccatura del porto, le navi si vengono a trovare a distanza d; c) a che distanza da si trovano le due navi quando esse sono a distanza d. v A v B 25) Mentre un ascensore si mette in moto verso l alto con accelerazione costante A = 2 m/s un bullone si stacca dal soffitto della gabina la cui altezza è h = 2.2 m. Determinare il tempo che impiega il bullone a raggiungere il pavimento dell ascensore e la sua velocità rispetto ad esso al momento dell impatto. Si risolva il problema utilizzando: a) il sistema di riferimento solidale con la tromba dell ascensore; b) il sistema di riferimento solidale con l ascensore. c) Determinare come variano le quantità precedentemente determinate se adesso l ascensore si mette in moto verso il basso con la stessa accelerazione A. 26) Il passeggero di un treno osserva un corpo puntiforme, inizialmente fermo, che cade da una certa altezza h = 3 m; nell istante in cui il corpo inizia a cadere il treno ha una velocità v 0 ed una accelerazione costante A (Si suppone che accelerazione e velocità siano equiversi). Determinare la traiettoria del corpo osservata dal passeggero del treno nei seguenti casi: a) v 0 = 15 m/s ed A = 0 ; b) v 0 = 0 ed A = 2 m/s; c) v 0 = 15 m/s ed A = 5 m/s. h A v 0

7 27) Il passeggero di una giostra, che compie 3 giri al minuto, osserva il moto di un corpo puntiforme che si muove, rispetto ad un osservatore fermo a terra, con velocità costante v = 0.25 m/s lungo una traiettoria rettilinea, orizzontale e passante per l asse di rotazione della giostra. Determinare nel sistema di riferimento solidale con la giostra la traiettoria del corpo a tempi successivi all istante di passaggio per l asse di rotazione. w v Cinematica dei corpi rigidi. 28) Un disco di centro e raggio R si muove su un piano orizzontale con velocità v 0, costante, del suo centro e ruota con velocità angolare costante w attorno ad un asse perpendicolare al piano del moto. a) Determinare le componenti ed il modulo della velocità dei punti A, B, C, D indicati in figura. b) Determinare le componenti ed il modulo della velocità dei punti A, C nel caso particolare v 0 = wr con il disco che si muove verso destra e ruota in verso orario. c) Sempre nel caso particolare del punto b) si verifichi che la velocità di un qualsiasi punto del disco è perpendicolare al segmento C ed è uguale in modulo al prodotto di w per la distanza C. A w B D v 0 C 29) er un disco di centro e raggio R che si muove lungo un piano orizzontale con moto di puro rotolamento (v 0 = wr ) determinare: a) la traiettoria di un punto del bordo del disco; b) l accelerazione a cui è soggetto ; c) le componenti tangenziale e normale dell accelerazione, in particolare per il punto più alto e più basso della traiettoria; d) il raggio di curvatura della traiettoria, utilizzando i risultati del punto c). 30) Si consideri il sistema di figura costituito da un disco di raggio R che ruota attorno al suo centro ed un asta B di lunghezza R imperniata liberamente con

8 un estremo al punto del bordo della ruota e con l altro estremo ad un manicotto M vincolato a scorrere liberamente lungo una guida rettilinea passante per. a) Determinare la relazione che intercorre fra la velocità e l accelerazione angolare del disco e la velocità e l accelerazione lineare dei punti ed M B. b) Determinare la velocità e l accelerazione dell estremo B dell asta in termini della velocità angolare del disco nel caso in cui questa sia costante. c) Nel caso in cui l estremo B non sia più collegato al manicotto, e quindi libero, determinare la relazione che intercorre fra la velocità e l accelerazione angolare del disco e dell asta B e la velocità e l accelerazione lineare dei punti e B. B 31) Si consideri il sistema di figura in cui la funicella a cui è appeso il corpo viene fatta passare attraverso una piccola carrucola A e congiunta ad una seconda funicella, appesa in alla stessa quota di A, nel punto B da cui pende un secondo corpo. Fissata le distanze A = B = l determinare le relazioni che intercorrono fra la velocità e l accelerazione di e di. (Si suppone che i vari tratti di corda siano sempre ben tesi durante il moto). 32) A B 32) Il sistema di figura è costituito da un asta A di lunghezza l = 4R appoggiata con l estremo A ad un piano verticale e incernierata liberamente in all asse di un

9 cilindro di raggio R che si può muovere lungo un piano orizzontale. Determinare, quando il sistema si muove mantenendo A a contatto col piano verticale, le relazioni che intercorrono fra la velocità di A, la velocità angolare dell asta, la velocità di e la velocità angolare del cilindro nei seguenti casi: a) la rotazione del cilindro è bloccata; b) il cilindro rotola senza strisciare; c) il cilindro rotola e striscia. d) Si ripetano i calcoli dei precedenti tre punti per il caso in cui l estremo A della sbarra non sia più appoggiato al piano verticale. 33) A a) A d)