Cap. 5. Il progetto sperimentale

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1 Cap. 5 Il progetto sperimentale

2 Introduzione La sperimentazione è l orizzonte entro cui genera e sviluppa ogni processo progettazione. Per questo motivo in questo capitolo introduce un metodo progettazione basato sulla pianificazione esperimenti: il progetto dell esperimento (o la pianificazione statistica degli esperimenti) incato, in lingua inglese, con il termine Degn of Experiment (DOE), [35], [36], [37], [38], [39]. Il metodo, cui presentano i concetti fondamentali, rappresenta l ideale riferimento concettuale ogni tipo sperimentazione che intenda fare chiarezza su un processo e pertanto, applica molto bene al miglioramento progetti seguendo il percorso: problema - causa - rimeo 246

3 Schema della procedura ottimizzazione un processo [38] La procedura ottimizzazione un processo è riconducibile allo schema seguente: Processo Implementazione delle azioni Osservazioni Rilievo dei dati Decioni Formulazione delle azioni Diagno Scoperta dei punti deboli Valutazioni Anali dei dati 247

4 Progettazione dei parametri In particolare, nelle fa progettazione concettuale e costruttiva un prodotto o un processo, il DOE è utile nella ricerca dei valori ottimali delle variabili che influenzano il comportamento del stema, cioè dei parametri controllo, in quanto con questo metodo identificano quali tali parametri, detti fattori e quali loro combinazioni, ottimizzano il risultato del processo, in termini affidabilità, riduzione dei costi o quala altro criterio che rappresenti il miglioramento un ince qualità. E E importante importante stinguere stinguere tra tra il il concetto concetto sperimentazione sperimentazione e e il il concetto concetto prova prova La La prova prova è è una una attività attività da da condur condur su su un un processo processo estente estente con con lo lo scopo scopo verificare verificare se se esso esso sodsfi sodsfi alle alle attese, attese, nelle nelle conzioni conzioni operative operative reali. reali. Come Come conseguenza conseguenza dei dei risultati risultati delle delle prove prove introducono introducono varianti varianti e e sottopone sottopone il il processo processo moficato moficato a a nuove nuove prove prove controllo. controllo. La La sperimentazione, sperimentazione, viceversa, viceversa, consente consente verificare: verificare: - - quale quale variabile variabile ha ha influenza influenza sulla sulla risposta risposta del del stema, stema, - - per per quali quali valori valori delle delle variabili variabili ha ha una una risposta risposta ottimale. ottimale. 248

5 Il progetto dell esperimento punta alla caratterizzazione del processo e alla scoperta delle relazioni causa effetto tra le variabili ingresso e le variabili in uscita. Costituisce quin la premessa per un modo affrontare i problemi nell ottica dell ingegneria concorrente (ve oltre), che è la coddetta progettazione dei parametri o progettazione robusta che punta all operatività funzionalmente corretta del stema in ogni circostanza e a costi minimi. In altre parole opera una scelta oculata dei parametri controllo in modo tale che il stema svolga la funzione prevista correttamente anche in presenza variabili sturbo (rumore), non sempre prevebili e controllabili. In nte la procedura è la seguente: - identifica la risposta del stema interesse, cioè la (o le) variabile/i pendente/i in uscita (risultato dell esperimento) che ha/hanno il gnificato ince/i qualità e inviduano le variabili in ingresso (dette fattori ), che presumibilmente, sulla base della esperienza, hanno influenza sul risultato. Questi fattori possono essere qualitativi o quantitativi, e, in questo ultimo caso, possono variare in modo continuo o in modo screto. - pianifica un congruo numero prove, definendo il numero degli stati (o livelli) dei fattori in corrispondenza dei quali vuole determinare il valore della risposta del stema. 249

6 Piani prova con variazione un fattore alla volta Se sperimentasse variando un fattore alla volta pianificherebbero solo 4 prove in corrispondenza dei livelli incati nella figura, con rischio perta informazione sugli effetti dei fattori sul risultato del processo. Viceversa l esame tutte le 8 combinazioni, cioè un piano fattoriale completo, offre una informazione completa sugli effetti dei fattori. 4 Non Non può può inoltre inoltre a a priori priori escludere escludere che che i i risultati risultati migliori migliori della della risposta risposta del del processo processo realizzino realizzino per per valori valori ver ver dai dai valori valori estremi estremi sperimentati. sperimentati. Allora, Allora, quando quando è è posbile, posbile, cioè cioè quando quando i i fattori fattori sono sono quantitativi quantitativi e e variano variano in in modo modo continuo, continuo, può può interpolare interpolare la la risposta risposta del del stema stema con con un un modello modello matematico matematico in in punti punti del del dominio dominio ver ver da da quelli quelli rettamente rettamente sperimentati. sperimentati

7 Piani fattoriali prova completi Con un solo fattore e con n livelli devono pianificare n prove, con 2 fattori e con 2 livelli (per es. un livello minimo e un livello masmo o due stati ver del fattore) devono pianificare 2 2 prove. con k fattori, il numero combinazioni prova con 2 livelli è 2 k per 3 livelli hanno 3 k posbili combinazioni prova, ecc. Per es., nel caso particolare 3 fattori a 2 livelli, il dominio definizione delle variabili inpendenti, se normalizzano i livelli minimo e masmo ai valori -1 e +1, è rappresentato dallo spazio delimitato da un cubo con le coornate riportate nello specchietto: I I vertici vertici hanno hanno coornate: coornate: 1 1 (-1,-1,-1), (-1,-1,-1), 2 2 (+1,-1,-1), (+1,-1,-1), 3 3 (-1, (-1, +1,-1), +1,-1), 4 4 (+1, (+1, +1,-1), +1,-1), 5 5 (-1,-1, (-1,-1, +1), +1), 6 6 (+1,-1, (+1,-1, +1), +1), 7 7 (-1, (-1, +1, +1, +1), +1), 8 8 (+1, (+1, +1, +1, +1) +1) 251

8 I punti carni Riassumendo, l esperimento offre una interpretazione statistica della realtà, attraverso i seguenti strumenti: - L anali della variabilità dei dati - I test gnificatività (test delle ipote) - La ripetizione delle prove (per la stima dell errore sperimentale) - Il calcolo degli effetti dei fattori - L anali della eventuale interazione tra gli effetti - Il calcolo della varianza degli effetti - Lo sviluppo un eventuale modello matematico empirico come superficie risposta - Quando i fattori sono molto numero sviluppano piani fattoriali frazionari per la riduzione del numero delle prove limitando la perta della informazione rispetto ai piani fattoriali completi. La La ripetizione ripetizione delle delle prove prove ( ( inca inca con con m il il numero numero delle delle ripetizioni), ripetizioni), consente consente la la stima stima dell errore dell errore sperimentale sperimentale e e la la riduzione riduzione della della variabilità variabilità dovuta dovuta ad ad esso, esso, secondo secondo la la ben ben nota nota espresone espresone della della deviazione deviazione standard standard che che vale, vale, per per la la mea mea delle delle prove prove ripetute, ripetute, ( ( veda veda oltre): oltre): 252

9 L anali della variabilità dei dati. Progetto fattoriale a un fattore a più livelli [36] ε Disturbi (tutti i fattori ver da quelli ingresso) Ingres x Fattori controllo Sistema Uscite y Inci qualità Si illustra la base del metodo con un semplice esempio progetto un materiale: In un laboratorio metallurgico vuole scoprire quale percentuale un elemento lega è efficace per ridurre la temperatura tranzione (T.T.) un acciaio. Si programma un esperimento per scoprire l influenza del fattore, conderato a otto livelli: 1%, 2%, 8%. Quante prove devono programmare? Sia y = riduzione della T.T. rispetto a una fissata, per (%) crescente componente lega. Si prepara una matrice degli esperimenti così organizzata. Si pongono: - come ince riga il numero i=1 R delle ripetizioni (o repliche) dell esperimento, - come ince colonna il numero dei livelli j=1 C - nelle caselle i valori y determinati, (la riduzione della temperatura tranzione). 253

10 TABELLA 1: Risultati delle prove (ripetute 3 volte) (Mea generale tutti i dati del campione y.. = 20) La domanda è la seguente: Una variazione percentuale del componente lega come influenza l ince che dedera migliorare? Si calcolano le mee colonna per colonna e riportano nell ultima riga. - Le colonne sono C=8 - Le righe sono R=3 254

11 Progetto a un fattore (con C=8 livelli e R=3 ripetizioni) i=1 i=2 i=3 Mea colon I risultati delle prove sono stati posti in grafico per mostrare l incertezza un giuzio sulla efficacia del fattore, se ci affida a una semplice impresone e prescinde da una interpretazione statistica. Le curve collegamento dei punti sono state inserite solo al fine visualizzare la fluttuazione dei dati. Le mee colonna sono unite da una linea continua. La linea mea ha una fluttuazione minore (ve l espresone vista per la deviazione della mea). Con sole due prove, percentuale min. e max., sarebbe ottenuto l andamento rettilineo incato. 255

12 Modello statistico (1) * (Più precisamente l effetto delle variabili non prese in conderazione). 256

13 Sostituendo ai valori incogniti le stime sul campione, ha un modo per misurare la variabilità della risposta del processo. è una stima μ (mea generale o gran mea) è una stima τ è una stima dell errore sperimentale Pertanto ha, al posto della (1), la stima incata nella figura precedente: Se esegue il quadrato entrambi i membri e sommano rispetto ai due inci delle prove (j) e delle ripetizioni (i), osserva che i termini del doppio prodotto danno contributo nullo; rimangono solo i termini incati nel seguito. 257

14 (2) 258

15 Uso dell anali della varianza per la valutazione della gnificatività dei fattori L espresone precedente scinde la variabilità totale, (somma del quadrato tutte le stanze dal valore meo) in due termini: la variabilità dei risultati dovuta agli effetti dei fattori controllo e la variabilità dovuta ai fattori non conderati, origini degli errori sperimentali. Tali variabilità vengono rese confrontabili una volta che ano vise per il numero dei confronti posbili fra i ver valori (gra libertà), che valgono rispettivamente C-1 (confronti tra le colonne) e C(R-1). (R-1 sono i confronti posbili tra i dati riga in ciascuna colonna e C(R-1) quelli posbili tra tutti i dati riga). Si ottengono così le mee quadratiche. Al fine condurre in modo razionale l anali della varianza (ANOVA) è bene organizzare i dati come nella tabella seguente: 259

16 Organizzazione dell ANOVA TABELLA 2 Nell ultima colonna riporta il rapporto tra la mea quadratica tra le colonne e la mea quadratica tra le righe che ha il gnificato errore sperimentale. 260

17 I risultati dell esperimento precedente in coornate polari mostrano il gnificato delle somme e delle mee quadratiche che costituiscono l ANOVA. La somma quadratica delle stanze tutti i punti dalla mea generale è data da: SStot= =724 Si osserva nella figura nella pagina succesva, una notevole sperone dei dati rispetto alla mea generale come effetto del fattore controllo sommato all influenza dei sturbi. Il solo effetto del fattore a 8 livelli è rappresentato dalla somma quadratica delle fferenze tra le mee colonna (contrassegno circolare della seconda figura) e la mea generale. Nella stessa figura il centro rappresenta la mea generale e la somma quadratica delle stanze dal centro è data dal valore 432. Poiché le mee sono 8 e quin il numero dei confronti posbili, cioè i gra libertà, è pari a 7, la mea quadratica è espressa dal rapporto MS B =SS B /7= 61,7. =432 SSB= =

18 Infine l effetto dell errore sperimentale (che comprende anche gli effetti delle variabili non prese in conderazione), è incato dalla somma quadratica delle fferenze tra ciascun valore e la corrispondente mea colonna. Nella figura è rappresentato dalla somma quadratica delle stanze tutti i punti dal centro che rappresenta le mee ciascuna colonna. Anche in questo caso la mea quadratica è ottenuta videndo la somma quadratica per il numero dei confronti posbili, cioè dei gra libertà, che è pari a C(R-1)= 16. SSW= =292 MSW=292/16=18,3 La sperone dei punti rispetto alla mea colonna è molto contenuta ed è dovuta all effetto dell errore. Le mee quadratiche sono grandezze confrontabili tra loro. 262

19 La Tabella 3 ntetizza l ANOVA. Il rapporto tra le mee quadratiche dà la stima della influenza sul risultato del processo dei fattori controllo rispetto a quella dei fattori non pre in conderazione o del tutto casuali (errore sperimentale). TABELLA 3 Causa variazione Somma dei quadrati Gra libertà DOF Mea quadratica Rapporto F % Ni ,7 61,7/18,3= 3,4 >1 Errore ,3 Totale Poiché quel rapporto F= 3,4 è maggiore 1 potrebbe concludere che esta un fondato sospetto che il fattore abbia influenza sul risultato. Si può dare supporto statistico a questa affermazione (quel rapporto è un numero casuale in funzione del campione scelto), ricordando che il rapporto tra mee quadratiche provenienti da una stessa stribuzione gausana, conderata rappresentativa per gli errori sperimentali, è anch essa variabile aleatoria che segue la stribuzione Fischer, con gra libertà 7 per il numeratore e 16 per il denominatore. 263

20 Test dell ipote Si supponga ora, con riferimento alla figura che, per esempio, un valore F minore 2,2 abbia una probabilità presentar del 95 %. Se il valore calcolato cade oltre quella soglia, la probabilità che questo valore appartenga a questa stribuzione è minore del 5 % ed è rappresentata da una area uguale o minore quella incata in grigio. Si scrive anche α=0,05. Si può concludere che un valore F pari a 3,4 è improbabile che sodsfi a quella stribuzione e quin che le due mee quadratiche, quella che stabilisce l effetto dei fattori e quella che deriva dalla ripetizione delle prove, derivino dalla stessa popolazione con la stribuzione tipica dell errore sperimentale. 264

21 Errori del I e del II tipo In altre parole l effetto dei fattori è gnificativo (rispetto all errore sperimentale) nel rapporto 100 a 5. In ogni caso può commettere un errore valutazione: se ritiene infatti l effetto dei fattori non gnificativo, o come ce, accetta l ipote nullità H o, rischia un errore I tipo, pari almeno al 95%, mentre se rifiuta l ipote H o e accetta l ipote alternativa H 1 efficacia dei fattori, rischia un errore II tipo, pari al più, al 5%. Si può anche re alternativamente che ha fiducia almeno al 95% avere preso la decione giusta. Concludendo l esempio visto, può affermare che l elemento ha efficacia nel ridurre la temperatura tranzione con una probabilità 20 ad

22 Il concetto interazione Si ha interazione tra gli effetti quando verifica una variazione della risposta rispetto al valore che essa avrebbe se i ngoli effetti agissero ngolarmente. In altre parole la risposta è versa dalla somma delle risposte dovute agli effetti separati. Ci limita a un esempio un piano a due fattori, dove R = livelli x 1 C = livelli x 2 (avendo rappresentato i fattori in modo amenonale, con -1, o semplicemente per il valore più basso e +1 oppure + per il valore più alto). Ci domanda quale è il valore della risposta y = ab quando entrambe le variabili sono al loro valore superiore. TABELLA 4 x1 x =5 b=9 +1 a=11 ab =? Il Il valore valore ottenuto ottenuto per per -1,-1-1,-1 inca inca con con 1 1 Il Il valore valore ottenuto ottenuto per per +1,-1 +1,-1 inca inca con con a a Il Il valore valore ottenuto ottenuto per per -1,+1-1,+1 inca inca con con b b Il Il valore valore ottenuto ottenuto per per +1,+1 +1,+1 inca inca con con ab ab (Notazione (Notazione Yates) Yates) Dall esame Dall esame della della matrice matrice deduce deduce che, che, se se ab ab = non non c è c è interazione, interazione, mentre mentre se se ab ab > c è c è interazione interazione potiva potiva e e se se ab ab < c è c è interazione interazione negativa. negativa. 266

23 La rappresentazione grafica della risposta I punti che rappresentano la risposta del stema sono stati collegati tra loro per mettere in luce il fatto che, nel ca assenza interazione es giacciono su un piano, mentre nel caso interazione appartengono ad una superficie curva che verrà definita in seguito. ab=? b=9 a=11 1=5 x 2 (-1,+1) (+1,+1) (-1,-1) x 1 (+1,-1) 267

24 Progetti fattoriali a 2 fattori e a 2 livelli con prove ripetute La Tabella seguente offre un esempio esperimento fattoriale completo a 2 livelli. Ogni casella riporta i due valori ciascuna prova ripetuta (k=2) e la casella sottostante la loro mea. Le mee riga e colonna sono incate rispettivamente nell ultima colonna e nella riga più in basso. i=1 x1 x2 TABELLA 5 j=1 j= mea riga mea cella 1=5,5 b=8,5 7 i= mea cella a=9,5 ab=17,5 13,5 mea colonna 7,5 13 gran mea 10,25 268

25 Modello statistico Il modello statistico è il seguente: (3) dove: i= 1.R livello riga J= 1.C livello colonna k = 1 n repliche I ij è l effetto interazione con il seguente gnificato dei mboli: mea generale o gran mea mea riga mea colonna mea cella 269

26 Per k ripetizioni della prova, in analogia col modello ad un solo fattore, per un campione finito, può scrivere : (4) dove il primo termine a secondo membro è la mea, il secondo termine in parente l effetto riga, il terzo l effetto colonna, il quarto l interazione e il quinto l errore. Il termine interazione può scriver, in modo più facilmente interpretabile, come: Esso esprime l effetto interazione come costituito dalla fferenza tra la mea cella e la mea generale, minuita dell effetto della variabile riga e dell effetto della variabile colonna. L interazione infatti rappresenta proprio l eccedenza o la minuzione rispetto agli effetti delle ngole variabili. 270

27 Quadrando entrambi i membri della (4) e sommando rispetto ai tre inci ottiene: ) 2 5) e, per i corrispondenti gra libertà, incati con DOF (Degree of Freedom), ha la relazione seguente, dove il primo termine rappresenta i gra libertà riga, il secondo colonna, il terzo dell effetto interazione e il quarto dell errore. 271

28 Si può ora organizzare l anali della varianza secondo la Tabella 6: TABELLA 6 272

29 che dà il risultato seguente: TABELLA 7 Test delle ipote. Il gnificato delle ipote è il seguente: per α=0,05 (DOF=1 per il numeratore e 4 per il denominatore), F=7,71 H 0: tutte le mee riga nella Tabella 5 sono da conderar uguali se F è minore o uguale 7,71. (Differiscono solo per l errore sperimentale) H 1 : non tutte le mee riga sono da conderar uguali, se F è maggiore 7,71 Poiché F c >7,71 scarta l ipote H 0 Analogamente per le mee colonna. Poiché F c >7,71 scarta l ipote H 0 Poiché anche per l interazione tra i fattori ha F c >7,71 scarta l ipote H 0 e condera l ipote H

30 Effetti principali ed effetti interazione dei fattori Si definisce effetto un fattore la variazione mea della risposta del stema prodotta da una variazione del livello del fattore. Per esempio, nel caso visto della Tabella 5, l effetto principale del fattore x 1 può essere pensato come fferenza tra la mea delle risposte del livello più alto x 1 meno la mea delle risposte al livello più basso x 1, cioè: A=(a+ab)/2- (1+b)/2 =13,5 7=6,5 che è l aumento della risposta sul piano meo incato. ab x 2 8,5 17,5 b 5,5 9,5 a x 1 1 x 2 (-1,+1) (+1,+1) (-1,-1) x 1 (+1,-1) 274

31 Se il valore ab sta sul piano inviduato dai tre punti 1,a,b, non ha interazione tra i fattori e ab assumerebbe il valore 12,5. Poiché 17,5>12,5 i quattro punti inviduano una superficie ( rigata ). Il valore ab eccede quello che avrebbe in assenza interazione, della quantità: (ab-b)-(a-1) Sul piano meo incato, poiché b è immutato, questa eccedenza vale la metà: [(ab-b)-(a-1)]/2 ab In In altre altre parole, parole, poiché poiché l effetto l effetto x x 1 pende 1 pende dal dal livello livello scelto scelto per per x x 2 ( 2 ( a a livello livello inferiore inferiore x x 2 2 A= A= 9,5-5,5= 9,5-5,5= 4, 4, mentre mentre b al al livello livello superiore superiore x x 2 2 A= A= 17,5-8,5=9), 17,5-8,5=9), 1 x 2 (-1,-1) (-1,+1) (+1,+1) x 1 (+1,-1) a este este un un effetto effetto interazione interazione che che è è appunto appunto la la fferenza fferenza mea mea tra tra i i due due effetti effetti A A calcolati calcolati per per il il valore valore più più alto alto e e per per il il valore valore più più basso basso x x 2 : 2 : AB=(9- AB=(9-4)/2=2,5 4)/2=2,5 275

32 Risposta y Risposta y Rappresentazione grafica degli effetti Si può illustrare la presenza interazione con i grafici seguenti Fattore x 1 Fattore x 1 x2=-1 x2=+1 x2=-1 x2=+1 8,5 x 2 5,5 9,5 8,5 x 2 x 1 4 5,5 9,5 x 1 17,5 Il Il non non parallelismo parallelismo inca inca appunto appunto un un effetto effetto interazione interazione (potiva (potiva nel nel caso caso prima prima esaminato). esaminato). Viceversa Viceversa nel nel secondo secondo grafico grafico che che riferisce riferisce ad ad un un posbile posbile piano piano fattoriale fattoriale riportato riportato a a fianco, fianco, verso verso da da quello quello scusso, scusso, manifesta manifesta una una interazione interazione negativa. negativa. Si Si può può concludere concludere che che in in generale, generale, quando quando riscontra riscontra che che la la fferenza fferenza nella nella risposta risposta tra tra i i livelli livelli un un fattore fattore non non è è la la stessa stessa a a tutti tutti i i livelli livelli dell altro dell altro fattore, fattore, ha ha interazione interazione tra tra i i fattori. fattori. 276

33 Un algoritmo per il calcolo degli effetti Riassumendo, gli effetti sulla variabile pendente y sono: A = dovuto alla prima variabile inpendente x 1 B = dovuto alla seconda variabile inpendente x 2 AB = dovuto all effetto combinato entrambe le variabili inpendenti calcolano in questo modo: Si può automatizzare questo processo calcolo preparando una tabella organizzata nel modo seguente, valida per m=rc=4, numero delle combinazioni prova e per n=2, numero delle ripetizioni e per Ў che inca la mea delle due ripetizioni. 277

34 Matrice calcolo degli effetti TABELLA = 5 6 5, a= , b= 8 9 8, ab= ,5 Effetti b 0 =Σ/4 =10,25 A=Σ/2 =6,5 B=Σ/2 =5,5 AB = Σ/2=2,5 Gli effetti A, B, AB calcolano moltiplicando i risultati me tutte le prove per i valori corrispondenti colonna e sommando i contributi. Il risultato così ottenuto va viso per la metà del numero delle combinazioni prova (in questo caso 4/2), al fine ricavare correttamente i valori degli effetti. 278

35 Matrice calcolo per un piano fattoriale completo a tre fattori e due livelli 2 3 TABELLA 9 N I x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 y a b ab c ac bc abc Effetti Σ/8 A= Σ/4 B= Σ/4 AB= Σ/4 C= Σ/4 AC= Σ/4 BC= Σ/4 ABC= Σ/4 Diviso per N/2 Coeffic. b (Ve oltre) b 0 = Σ/8 b 1 = A/2 b 2 = B/2 b 12 = AB/2 b 3 = C/2 b 13 = AC/2 b 23 = BC/2 b 123 = ABC/2 279

36 Lo sviluppo un modello matematico empirico Una volta calcolati gli effetti (principali e interazione) tutte le variabili, risulta immeato il riconoscimento della combinazione prova che dà il risultato migliore. Se inoltre le variabili sono quantitative e continue possono interpolare i risultati, utilizzando una funzione bilineare (rigata), idonea per i piani fattoriali a due livelli, che nel caso due fattori è: Nel caso tre fattori a due livelli impiega una funzione multilineare: (è facile riconoscere che i coefficienti delle variabili sono costituiti dagli effetti vi per 2, per tenere conto del fatto che gli effetti rappresentano l incremento della variabile in uscita per due unità variazione delle variabili ingresso, da -1 a 0 e da 0 a +1). La relazione generale a tre fattori ( con l incazione dei termini per quella a due fattori) è la seguente: 280

37 Uso dell anali della varianza per la valutazione della gnificatività degli effetti La relazione generale precedente riferita a due fattori: dove ε è l errore. può essere scritta per ciascuno delle i prove, con i=1..m = RC (numero totale delle prove), come: ŷ i =b 0 +A/2 x i1 +B/2 x i2 +AB/2 x i1 x i2 dove i coefficienti rappresentano la stima degli effetti ottenuta per una prova. Nell esempio visto a due fattori i coefficienti sono i seguenti: ŷ i =10,25 +6,50/2 x i1 +5,50/2 x i2 +2,50/2 x i1 x i2 E ora posbile condurre un anali della varianza dei coefficienti per tutto il numero delle prove e per tutte le ripetizioni, per valutare quali es sono statisticamente gnificativi. 281

38 Variabilità del modello dovuta agli effetti Se porta b 0 a primo membro e calcolano le somme quadratiche estese a tutte le ripetizioni della prova j =1 n e a tutte le combinazioni i = 1. m = = RC (Tab.5) ottiene, (le sommatorie per i doppi prodotti annullano): j o j 282

39 Somme quadratiche Se incano con: SS(A)= nm A 2 /4 SS(B)= nm B 2 /4 SS(AB)= nm AB 2 /4 SS(modello) = Σ Σ y 2 ij SS(mea)= nm b 2 0 le relazioni viste, può scrivere nel caso 2 fattori a 2 livelli : SS(modello)- SS(mea)=SS(A)+SS(B)+SS(AB) e, nel caso tre fattori a due livelli: SS(modello)- SS(mea)= =SS(A)+SS(B)+SS(AB)+SS(AC)+SS(BC)+SS(ABC) 283

40 Significatività degli effetti Riassumendo, nel caso particolare due variabili a due livelli, ha: SS(modello)- SS(mea) = SS(A) + SS(B) + SS(AB) In generale per un piano 2 k dove ognuna delle m=2 k combinazioni prova è ripetuta n volte, la somma dei quadrati dovuta a ciascun effetto E è data da: con un grado libertà. SS(E)= (nm) E 2 /4 Per valutare la correttezza del modello proposto con gli effetti stimati dall esperimento, è necessario determinare il gnificato del contributo ogni effetto nella somma totale dei quadrati tutti i dati ricavati. Soltanto gli effetti che danno elevata variazione contribuiscono gnificativamente al modello, mentre quelli con variazione paragonabile a quella dell errore sperimentale vanno esclu. La varianza dell errore può essere stimata come reduo tra SS(modello) e la somma tutte le altre somme quadratiche, con il relativo grado libertà. 284

41 Tabella ANOVA per gli effetti La tabella ANOVA precedente può ancora essere utilizzata ricordando che m è il numero totale delle prove (pari a R.C=4) e n=2 è il numero delle ripetizioni. L ANOVA è organizzata in questo modo: TABELLA 10 Sorgente variazione Somma dei quadrati Gra libertà Mee quadratiche Valori calcolati F Dovuta ad A SS(A) 1 MS(A) MS(A)/σ 2 > C Dovuta a B SS(B) 1 MS(B) MS(B)/σ 2 > C Dovuta ad AB SS(AB) 1 MS(AB) MS(AB)/σ 2 > C Totale - Mea Reduo dovuto all errore sperimentale puro SS Tot- SS(mea) SS Tot- SS(mea) - SS(A)- SS(B)- SS(AB) mn-1= =4x2-1=7 7-3=4 σ 2 Ciascun valore calcolato F calc deve essere confrontato con il valore soglia C per una curva corrispondente a 1 e 4 gra libertà. 285

42 I valori numerici dell esempio visto sono: Effetti b 0 =10,25 A=6,5 B=5,5 AB=2,5 Σ Σ y ij 2 =1000 Se sostituiscono i valori numerici nelle espresoni delle somme quadratiche ha (n=2, m=4): SS(A)= nm A 2 /4=84,50 SS(B)= nm B 2 /4= 60,50 SS(AB)= nm AB 2 /4=12,50 SS(modello) = Σ Σ y ij 2 =1000 SS(mea)= nm b 02 =840,50 TABELLA 10 Sorgente variazione Somma dei quadrati Gra lib. Mee quadratiche Valori calcolati F Dovuta ad A 84, , Dovuta a B 60, , Dovuta ad AB 12, ,50 25 Totale - Mea ,50=159,50 7 Reduo (err. sp.) 2,00 4 0,5 286

43 Effetti gnificativi Nella Tabella esaminano ver livelli gnificatività TABELLA 10 Significatività C ( DOF 1 num. e 4 den.) Confronto Conseguenza 0,750 1,81 Fcalc>C A, B e AB sono gnificativi 0,900 4,55 A,B e AB sono gnificativi 0,950 7,71 A,B e AB sono gnificativi 0,990 21,20 Fcalc<C Solo A e B sono gnificativi 0,999 74,14 Fcalc<C Solo A è gnificativa Per i tre ca il modello matematico riduce rispettivamente a: y=10,25 +6,50/2 x 1 +5,50/2 x 2 +2,50/2 x 1 x 2 y=10,25 +6,50/2 x 1 +5,50/2 x 2 y=10,25 +6,50/2 x 1 287