Quadrati latini e di ordine superiore per la attenuazione dei disturbi nelle attività sperimentali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Quadrati latini e di ordine superiore per la attenuazione dei disturbi nelle attività sperimentali"

Transcript

1 Quadrati latini e di ordine superiore per la attenuazione dei disturbi nelle attività sperimentali Stefano Pirani Dipartimento di Ingegneria dell'informazione Università Politecnica delle Marche Ancona - AN Abstract Le tecniche di progettazione dell'esperimento sono fondamentali per una corretta attività sperimentale ed i quadrati latini e di ordine superiore sono utili quando si devono contrastare più grandezze di influenza. Nell'articolo viene presentata una tecnica generale per la costruzione di quadrati di ordine maggiore di 3. Keywords Misure, DOE, Grandezze di influenza I. INTRODUZIONE In ogni attività di misura è indispensabile una fase preliminare di studio finalizzata alla analisi delle grandezze che possono interferire con lo svolgimento della fase di misura alterando il valore del parametro misurando. Indicando tali grandezze con il nome di grandezze di influenza è possibile affermare che una corretta progettazione dell'esperimento (o DOE - Design Of the Experiment) deve includere la messa a punto di una strategia che consenta, ove necessario, di attenuare gli effetti delle grandezze di influenza fino a renderli compatibili con gli obiettivi dell'esperimento. Il quadrato latino, conosciuto da tempo da matematici ed enigmisti, è lo strumento che Ronald A. Fisher suggerì di utilizzare per la progettazione degli esperimenti nei casi in cui vi sono due distinte grandezze di influenza che possono alterare lo stato della grandezza sotto esame. Il quadrato grecolatino, una estensione del quadrato latino, è stato invece adottato nei casi in cui si debbano contrastare gli effetti di tre grandezze di influenza. Una ricerca bibliografia non ha messo in luce quadrati idonei ad operare con più di tre grandezze di influenza: in questo articolo si presenta una procedura originale con cui è possibile costruire quadrati di ordine superiore idonei a progettare esperimenti in cui si desidera contrastare l'effetto di un numero arbitrario di grandezze di influenza. II. UN CLASSICO ESEMPIO DI ESPERIMENTO A DUE GRANDEZZE DI INFLUENZA Volendo chiarire cosa sia e come operi un quadrato latino si può ricorrere al più classico esempio che si trova in letteratura e che fa riferimento ad una delle prime reali applicazioni delle tecniche DOE. Supponiamo di voler confrontare la resa di quattro razze diverse di frumento: ovviamente la sperimentazione dovrà essere condotta seminando, coltivando, mietendo ed infine trebbiando le quattro razze per poi stilare una graduatoria in funzione delle quantità trebbiate. L'ipotesi di seminare uno stesso appezzamento di terreno in quattro annate successive evidentemente non può essere accettata per vari motivi: il risultato si avrebbe solo dopo quattro anni di lavoro e le situazioni climatiche dei vari anni sarebbero inevitabilmente diverse apportando non accettabili alterazioni ai risultati sperimentali. Un'altra soluzione potrebbe essere quella di utilizzare quattro diversi appezzamenti di terreno in modo da condurre la sperimentazione in un solo anno: seminando una diversa razza di frumento in ciascun appezzamento si risolverebbe certamente il problema della durata della prova, che si riduce ad un solo ciclo semina-coltivazione-mieti-trebbiatura", e certamente si avrebbe una riduzione delle differenze climatiche, in special modo se i quattro lotti usati per l'esperimento si trovano l'uno in prossimità dell'altro. A rigore, pero, si deve considerare che il terreno agricolo non è un sistema omogeneo e isotropo per cui si possono ancora evidenziare delle differenze fra i quattro lotti tali da alterare i risultati sperimentali. Il terreno in cui organizzare i quattro lotti potrebbe non essere orizzontale e ciò provocherebbe una irrigazione a valle maggiore di quella a monte; anche le condizioni di soleggiamento potrebbero essere non uniformi se la superficie del terreno non fosse planare, cosa frequente nei terrreni collinari. Entrambe le caratteristiche influiscono sulla produttività delle seminagioni alterando il risultato della sperimentazione. Come evitare che queste due grandezze di influenza possano alterare in modo inaccettabile il risultato sperimentale? La soluzione richiede che la suddivisione del terreno seminativo in lotti sia fatta in modo non banale: se il terreno fosse suddiviso in quartieri (fig. 1) si avrebbe una esaltazione delle differenze. Una suddivisione in colonne (fig. 2) consentirebbe di attenuare l'effetto della drenaggio verso valle della pioggia, ma nulla potrebbe contro le differenze del soleggiamento mentre una suddivisione in righe (fig. 3) porterebbe ad una attenuazione delle differenze di soleggiamento, ma lascerebbe invariati gli effetti delle diversa distribuzione della acqua.

2 La suddivisione a scacchiere 4x4 (fig. 4) è invece in grado di attenuare gli effetti di entrambe le grandezze di influenza; per chiarezza indichiamo col termine parcella ciascuna delle 16 posizioni dello scacchiere. Fig. 1. Suddivisione del terreno seminativo in quartieri con esaltazione degli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità di irrigazione e soleggiamento Fig. 4. Suddivisione del terreno seminativo a scacchiere 4x4 Organizzando la semina delle quattro diverse razze di frumento in maniera tale da avere una sola parcella seminata con una stessa razza in ciascuna riga e in ciascuna colonna si ottiene una disposizione a quadrato latino. L'aggettivo latino discende dalla usanza di indicare le diverse razze di frumento (ed in generale: le diverse condizioni del misurando) con lettere dell'alfabeto latino. A C D B Fig. 2. Suddivisione del terreno seminativo in colonne con compensazione dei soli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità della irrigazione C A B D D B A C B D C A Fig. 5. Semina a quadrato latino 4x4 di quattro razze di frumento (indicate con le lettere A, B, C, D) Con la semina a quadrato latino il confronto fra le quattro razze di frumento viene effettuato attraverso il confronto fra le medie delle produzioni delle 4 parcelle seminate con la stessa razza. Fig. 3. Suddivisione del terreno seminativo in righe con compensazione dei soli effetti di disturbo dovuti alla non uniformità del soleggiamento III. ATTENUAZIONE DI DUE GRANDEZZE DI INFLUENZA: IL QUADRATO LATINO L'esempio precedente ha introdotto in modo implicito un quadrato latino sfruttando la fisicità del problema presentato.

3 Il quadrato latino è una matrice NxN con cui è possibile organizzare un esperimento nel quale verificare il comportamento di N diversi sistemi (o di un solo sistema in corrispondenza di N diversi punti di lavoro) quando si debba contrastare l'effetto di 2 diverse grandezze di influenza variabili in modo deterministico. Nell'esempio si dovevano verificare 4 razze di frumento (indicate con A, B, C e D) per cui il corrispondente quadrato latino è costituito da una matrice 4x4. Il terreno seminativo è stato infatti suddiviso in uno scacchiere 4x4 che, di fatto, corrisponde alla matrice 4x4 del quadrato latino. Ciascuna delle 4 razze di frumento viene seminata in 4 parcelle in modo tale che in ogni riga ed in ogni colonna ci sia una ed una sola parcella seminata con ciascuna razza: nel quadrato latino ciò corrisponde ad avere ciascuna delle lettere A, B, C e D presente una ed una sola volta in ciascuna riga e ciascuna colonna. Le parcelle presenti in una riga dello scacchiere hanno la stessa condizione per quanto riguarda la irrigazione così come le parcelle che si trovano in una stessa colonna hanno la stessa condizione di soleggiamento. Il quadrato latino prevede, similmente, che le 2 grandezze di influenza, con le rispettive variazioni, vengano disposte l'una secondo le righe e l'altra secondo le colonne della matrice. Possiamo ora abbandonare l'esempio bucolico del frumento e passare ad applicazioni industriali: nulla cambia per quanto riguarda la organizzazione del quadrato latino e della sperimentazione da esso proposta: dovendo contrastare l'effetto di due grandezze di influenza in un esperimento in cui vogliamo studiare N condizioni del misurando andremo a costruire un quadrato latino NxN in cui le variazioni di una delle grandezze di influenza sono disposte secondo le righe e quelle dell'altra secondo le colonne della matrice. Fatto ciò dovremo trovare una disposizione degli elementi della matrice (le lettere con cui rappresentiamo le N condizioni del misurando) tale da avere una ed una sola volta ciascuna lettera in ciascuna riga ed in ciascuna colonna. IV. ATTENUAZIONE DI TRE GRANDEZZE DI INFLUENZA: IL QUADRATO GRECO-LATINO Dovendo attenuare gli effetti di tre grandezze di influenza si potrebbe pensare di ricorrere ad una matrice tridimensionale riportando ciascuna grandezza di influenza su di una dimensione della matrice. Il procedimento non è sbagliato, ma richiede un numero di prove che, essendo pari al numero delle condizioni del misurando elevato alla terza potenza, rapidamente raggiunge valori elevati rendendo poco o per nulla praticabile tale soluzione. Molti Autori, seguendo la strada aperta nel XVIII secolo da Eulero, chiamano una evoluzione del quadrato latino con il nome di quadrato greco-latino : esso è lo strumento idoneo per attenuare gli effetti di tre grandezze di influenza senza richiedere una esplosione del numero delle misurazioni da eseguire. La matrice del quadrato greco-latino resta di dimensioni NxN ma gli elementi di tale matrice non sono più le sole lettere latine che simboleggiano le possibili condizioni del misurando, ma sono coppie ordinate di lettere. Le possibili condizioni assunte dalla terza grandezza di influenza vengono simboleggiate da lettere dell'alfabeto greco e ciascuna di esse deve figurare una sola volta in ciascuna riga ed in ciascuna colonna e deve essere associata una sola volta a ciascuna lettera latina. G1 A C D B G2 C A B D G3 D B A C G1 G2 G3 G1 A C D B G1 G4 B D C A G4 G2 C A B D G2 G3 D B A C G3 G4 B D C A G4 Fig. 6. Quadrato latino 4x4 per due grandezze di influenza che assumono rispettivamente i valori G1, G2, G3, G4 (la prima) e g1, g2, g3, g4 (la seconda); A, B, C, D sono le condizioni del misurando da sottoporre alla sperimentazione. Fig. 7. Quadrato greco-latino 4x4 per tre grandezze di influenza che assumono rispettivamente i valori G1, G2, G3, G4 (la prima), g1, g2, g3, g4 (la seconda),,,, (la terza); A, B, C, D sono le condizioni del misurando da sottoporre alla sperimentazione. I due gruppi di lettere greche e latine di un quadrato grecolatino, separate per alfabeto, costituiscono due quadrati latini che vengono definiti ortogonali in quanto i rispettivi elementi omologhi (A ed, B e, ) si sovrappongono in un solo punto. La costruzione di due quadrati latini ortogonali di ordine superiore a 4 non è un problema banale e, per oltre un secolo, i matematici si sono interrogati per cercare risposta ad un problema sviluppato da Eulero e che è conosciuto come il

4 problema dei 36 Ufficiali. Secondo Eulero non sarebbe stato possibile costruire quadrati greco-latini di ordine multiplo di 6 e gli studi di Gaston Tarry, che nel 1901 dimostrò la non esistenza di un quadrato greco-latino di ordine 6, parvero confermare la congettura euleriana. Solo nel 1959, grazie all'uso di un calcolatore elettronico UNIVAC, Parker, Bose e Shrikhande furono in grado di correggere la affermazione di Eulero: oggi infatti sappiamo che esistono quadrati greco-latini di ogni ordine superiore a 3 con la sola eccezione dell'ordine 6. È quindi possibile organizzare il piano sperimentale in modo da attenuare 3 grandezze di influenza con grande libertà per quanto riguarda il numero di valori del misurando che si desidera sottoporre alla sperimentazione. Ma come operare se le grandezze di influenza fossero più di tre? Prima di rispondere a questa domanda è opportuno che si consideri anche un altro aspetto del problema che in questo lavoro è stato fino ad ora trascurato. V. LA ORGANIZZAZIONE DEI TURNI DI PROVA Nell'esempio di quadrato latino che è stato presentato nella introduzione si è operato in un solo turno di prova: tale situazione è resa possibile dalla ipotesi (implicita) che tutti i semi del frumento di una stessa razza siano perfettamente uguali fra loro e si è motivata la scelta di operare con un solo turno con varie considerazioni. Nelle applicazioni industriale è più frequente il caso in cui si debba ricorrere all'uso di prototipi che, per le inevitabili imperfezioni dei processi produttivi, non possono essere considerati identici l'uno all'altro. Per questo motivo, e per non dover essere costretti ad usare un numero elevato di prototipi, si opera in più turni di prova. Supponiamo di dover esaminare il comportamento di tre diversi dispositivi elettronici nominalmente simili, ma diversi per comportamento effettivo a causa, per esempio, del fatto di essere stati prodotti in stabilimenti diversi. Per consentire il funzionamento di ogni dispositivo dovremo montarlo in un circuito e fornirgli la necessaria alimentazione. A causa delle inevitabili imperfezioni e tolleranze costruttive i circuiti in cui montare i dispositivi saranno tutti leggermente diversi l'uno dall'altro e stesso dicasi per i circuiti di alimentazione: sia i circuiti sia gli alimentatori assumono il ruolo di grandezze di influenza sul comportamento dei dispositivi elettronici sottoposti al test. Sappiamo che per attenuare tali grandezze di influenza potremmo ricorrere ad un quadrato latino 3x3 con cui individuare la più opportuna disposizione dei gruppi dispositivo-circuito-alimentatore ma in questo caso dobbiamo anche tener conto del fatto che la sperimentazione avviene in più turni di prova: al termine di ciascun turno ogni dispositivo verrà smontato da un circuito per essere montato su un altro circuito e lo stesso accadrà per le alimentazioni. Facendo in modo che ogni dispositivo sia montato su ogni circuito di prova e sia alimentato da ogni sorgente di alimentazione si realizza una sperimentazione corretta ed è evidente che bisogna anche cercare di minimizzare il numero di turni di prova. Con un poco di attenzione è possibile notare che il quadrato latino 3x3 che è stato sviluppato (fig. 8) permette di organizzare la prova in tre soli turni, ma quando la dimensione della matrice aumenta la organizzazione di turni può diventare laboriosa. c1 A C B c1 c2 B A C c2 c3 C B A c3 Fig. 8. Quadrato latino 3x3 per la sperimentazione di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) Il problema della organizzazione dei turni di prova può essere risolta ricorrendo non ad un quadrato latino, ma ad un quadrato greco-latino in cui le lettere greche indicano non gli stati di una grandezza di influenza, ma i turni di prova. Supponiamo di avere tre dispositivi da sottoporre a sperimentazione, tre circuiti e tre alimentatori. Costruiamo un quadrato 3x3 e disponiamo sulle righe e sulle colonne rispettivamente i circuiti di prova (c1, c2,c3) e gli alimentatori (a1, a2, a3) poi indichiamo con,, e rispettivamente il primo, il secondo ed il terzo turno di prova. I tre dispositivi sotto sperimentazione saranno indicati, classicamente, con A, B e C. Il quadrato greco-latino di questo esperimento (fig. 9) ci mostra che nel primo turno () il dispositivo A sarà montato sul circuito c1 per essere alimentato da a1, il dispositivo B sarà montato su c2 e alimentato da a3, il dispositivo C sarà montato su c3 e alimentato da a2. Nel secondo turno () gli abbinamenti saranno: A-c2-a2; B- c3-a1; C-c1-a3 per terminare, al terzo turno () con: A-c3-a3; B-c1-a2; C-c2-a1. c1 A C B c2 B A C c3 C B A Fig. 9. Quadrato greco-latino 3x3 per la sperimentazione di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) e sperimentazione in tre turni (,, ) c1 c2 c3

5 Come si è visto la progettazione dell'esperimento potrebbe essere condotta tramite un classico quadrato greco-latino 3x3; possiamo però introdurre un diverso modo di operare in modo da rendere più chiara la organizzazione della sperimentazione. Costruiamo ancora una matrice 3x3, ma anziché considerare le grandezze di influenza sulle righe e sulle colonne le andremo a disporre come coppie ordinate negli elementi della matrice. Nel nostro nuovo schema le righe rappresentano i diversi dispositivi e le colonne rappresentano i turni di prova: gli elementi della matrice, come anticipato, saranno delle coppie ordinate che rappresentano circuiti ed alimentazioni: la matrice sotto riportata corrisponde alla sperimentazione dell'esempio precedente. T1 T2 T3 A c1 a1 c2 a2 c3 a3 A B c3 a2 c1 a3 c2 a1 B C c2 a3 c3 a1 c1 a2 C T1 T2 T3 Fig. 10. Matrice 3x3 descrittiva della sperimentazione in tre turni (T1, T2, T3) di tre diversi dispositivi elettronici (A, B, C) con l'uso di tre circuiti (c1, c2, c3) e di tre alimentatori (a1, a2, a3) La maggiore chiarezza di tale soluzione nei confronti del classico quadrato greco-latino è già evidente, ma la utilità di questa nuova disposizione sarà ben più evidente non appena si affronterà il problema della attenuazione di 4 o più grandezze di influenza. VI. QUADRATI NXN DI ORDINE SUPERIORE Dovendo organizzare una prova su più turni con l'obbiettivo di contrastare più di due grandezze di influenza si può fare ricorso ad una regola di uso generale che consente di costruire il quadrato NxN che descrive la conduzione della prova. Il numero N è pari al più piccolo numero primo che soddisfa le due condizioni: { N > G N L in cui G è il numero di grandezze di influenza che si desidera contrastare e L è il numero di condizioni che il misurando deve assumere. Supponiamo di voler condurre un esperimento in più turni in cui si devono esaminare 4 diverse condizioni del misurando con la presenza di 3 grandezze di influenza: dalle condizioni sopra citate si desume che dovremo approntare un quadrato 5x5 e ciò significa che si dovranno organizzare 5 turni di prova. Come risolvere il problema determinato dal fatto che si intendono esaminare solo 4 condizioni per il misurando? Come vedremo nel seguito ci saranno due possibili soluzioni, per ora portiamo la nostra attenzione sulla procedura di costruzione del quadrato 5x5. Per prima cosa disponiamo sulle righe della matrice 5 diverse condizioni del misurando (A, B, C, D, E) e sulle colonne i 5 turni di prova (T1, T2, T3, T4, T5). Dovendo considerare 3 grandezze di influenza gli elementi della matrice sono delle terne ordinate. Conviene utilizzare delle terne numeriche nelle quali ciascuna cifra indica uno degli stati di una grandezza di influenza: la prima cifra di ciascuna terna rappresenta lo stato della prima grandezza di influenza, la seconda cifra di ciascuna terna rappresenta la seconda grandezza di influenza, ecc. La fase più ostica nella preparazione del quadrato è rappresentato dalla individuazione delle terne che rispettino le regole base: ciascuna cifra deve comparire una ed una sola volta in ciascuna riga e ciascuna colonna e non possono esistere due terne in cui si ripete la combinazione di due o più cifre. Il metodo originale per la costruzione delle terne che si propone risolve questo problema. Nella prima riga si introducono le terne base costituite dai gruppi 111, 222, 333, 444 e 555. Per costruire le altre righe si opera col seguente schema: passando da una riga a quella sottostante: le cifre al primo posto (da sinistra) si spostano a destra di una posizione; le cifre al secondo posto (da sinistra) si spostano a destra di due posizioni; le cifre al terzo posto (da sinistra) si spostano a destra di tre posizioni. in tutti i casi si ha un rientro a sinistra per quelle cifre che escono a destra dalla matrice. La applicazione delle regole sopra indicate è schematizzata nella figura 11 che mostra la costruzione di un quadrato 5x5. T1 T2 T3 T4 T5 A B 1 x x x 1 x x x 1 C x x 1 1 x x x 1 x D x 1 x 1 x x x x 1 E x x 1 x 1 x 1 x x Fig. 11. Costruzione del quadrato 5x5 di ordine 3 per la sperimentazione in 5 turni con azioni di contrasto verso tre grandezze di influenza

6 In precedenza si era notato che il processo prevede di esaminare 5 diverse condizioni del misurando mentre l'esperimento che si vorrebbe condurre ne dovrebbe esaminare solamente 4. Le soluzioni a questo problema sono due: per come è stato costruito il quadrato è possibile censurare la sua ultima riga limitando al numero desiderato le condizioni del misurando. La seconda soluzione prevede la ripetizione delle prove relative ad una condizione (ovviamente questa seconda soluzione richiede che si possano considerare equivalenti due distinti elementi in prova): i risultati delle misurazioni condotte sulla ripetizione vanno tenuti separati da quelli ottenuti sull'elemento primo e possono servire per validare tali risultati. La procedura descritta consente con facilità la costruzione della matrice per qualsiasi numero di grandezze di influenza si desideri attenuare: le n-ple ordinate che costituiscono gli elementi della matrice avranno tante cifre quante sono le grandezze di influenza e verranno determinate generalizzando le regole sopra riportate: nella costruzione delle n-ple ordinate, passando da una riga a quella sottostante, la cifra che si trova al i-posto (da sinistra) della n-pla si sposta a destra di i posizioni. APPENDICE 1. IL CASO PARTICOLARE G=3, L=4 La regola di costruzione della matrice NxN è di validità generale, ma non si deve tacere che nel caso particolare di quattro condizioni di prova con tre sole grandezze di influenza è possibile costruire una quadrato 4x4 (e non 5x5 come vorrebbe la regola presentata) per una prova in 4 turni. In vari libri di statistica possono essere trovati quadrati greco-latini in grado di operare questa prova e da essi si possono desumere le matrici organizzate nel modo descritto in questo lavoro. Per completezza si riporta una di tali matrici. T1 T2 T3 T4 A B C D Fig. 12. Quadrato 4x4 di ordine 3 per la sperimentazione in 4 turni con azioni di contrasto verso tre grandezze di influenza VII. CONCLUSIONI Nella letteratura è molto facile trovare esempi di quadrati latini per operare con due grandezze di influenza; più rari gli esempi di quadrati greco-latini. Ad una approfondita indagine bibliografica non si sono trovati esempi di metodi per il contrasto di più di tre grandezze di influenza. Ciò è probabilmente da ascriversi alla difficoltà che si incontra nel costruire una matrice che soddisfi i vincoli del problema e per tale motivo assume particolare interesse la procedura che si è sviluppata per la costruzione della matrice. BIBLIOGRAFIA [1] J.W.Cotton, Latin Squares Design in Encyclopedia of Statistics in Behavioral Science, Vol 2, pp , John Wiley & Sons, Chichester, 2005 [2] D.R. Cox, N. Reid, The Theory of the Design of Experiments, Chapman & Hall/CRC, 2000 [3] D. Raghavarao, Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments New York: Dover, 1988

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing

Appunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso

Dettagli

I Modelli della Ricerca Operativa

I Modelli della Ricerca Operativa Capitolo 1 I Modelli della Ricerca Operativa 1.1 L approccio modellistico Il termine modello è di solito usato per indicare una costruzione artificiale realizzata per evidenziare proprietà specifiche di

Dettagli

DoE - Design of Experiment

DoE - Design of Experiment 3 Tecniche di DoE DoE - Design of Experiment Sequenza di Prove Sperimentali da Effettuare per Studiare e Ottimizzare un Processo Un esperimento programmato è una prova o una serie di prove in cui vengono

Dettagli

DEFINIZIONE Una grandezza fisica è una classe di equivalenza di proprietà fisiche che possono essere misurate mediante un rapporto.

DEFINIZIONE Una grandezza fisica è una classe di equivalenza di proprietà fisiche che possono essere misurate mediante un rapporto. «Possiamo conoscere qualcosa dell'oggetto di cui stiamo parlando solo se possiamo eseguirvi misurazioni, per descriverlo mediante numeri; altrimenti la nostra conoscenza è scarsa e insoddisfacente.» (Lord

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Progettazione del processo

Progettazione del processo Progettazione del processo produttivo Il miglioramento della qualità e della produttività ha maggiore efficacia quando è parte integrante del processo di realizzazione del prodotto. In particolare l uso

Dettagli

10.1 Corrente, densità di corrente e Legge di Ohm

10.1 Corrente, densità di corrente e Legge di Ohm Capitolo 10 Correnti elettriche 10.1 Corrente, densità di corrente e Legge di Ohm Esercizio 10.1.1 Un centro di calcolo è dotato di un UPS (Uninterruptible Power Supply) costituito da un insieme di 20

Dettagli

Imposte ed efficienza economica

Imposte ed efficienza economica Imposte ed efficienza economica Imposte ed efficienza economica Nell immediato, ogni aumento delle imposte fa diminuire il benessere dei contribuenti. Nel lungo periodo, tale diminuzione è compensata dai

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

9. La distribuzione 2 e i test per dati su scala nominale

9. La distribuzione 2 e i test per dati su scala nominale 9. La distribuzione e i test per dati su scala nominale 9.1. La distribuzione 9. 1. 1. La statistica e la sua distribuzione In una popolazione distribuita normalmente con parametri e estraiamo un campione

Dettagli

1 Calcolo combinatorio

1 Calcolo combinatorio 1 Calcolo combinatorio In questo capitolo andremo ad introdurre le basi del calcolo combinatorio e le analizzeremo partendo dal caso pratico della risoluzione di un esercizio per poi dare la formulazione

Dettagli

1 - I segnali analogici e digitali

1 - I segnali analogici e digitali 1 - I segnali analogici e digitali Segnali analogici Un segnale analogico può essere rappresentato mediante una funzione del tempo che gode delle seguenti caratteristiche: 1) la funzione è definita per

Dettagli

TEORIA MODALE IN UNA GUIDA CIRCOLARE

TEORIA MODALE IN UNA GUIDA CIRCOLARE 3 TEORIA MODALE IN UNA GUIDA CIRCOLARE Per studiare la propagazione in fibra ottica dal punto di vista della teoria elettromagnetica bisogna partire dalle equazioni di Maxwell, in questo capitolo si discute

Dettagli

D R (S) = ϱ 1 D R (S), e ovviamente per quella passiva

D R (S) = ϱ 1 D R (S), e ovviamente per quella passiva CAPITOLO 1 Introduzione Nella fisica moderna i metodi algebrici e in particolare la teoria dei gruppi hanno acquistato un interesse sconosciuto alla fisica del secolo scorso. Si può vedere la cosa in una

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 Capitolo 3. L'analisi della varianza. Il problema dei confronti multipli. La soluzione drastica di Bonferroni ed il test

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Capitolo 11 Test chi-quadro

Capitolo 11 Test chi-quadro Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 11 Test chi-quadro Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università di Padova

Dettagli

Da Solow alla curva IS

Da Solow alla curva IS Da Solow alla curva IS Luigi Balletta, Salvatore Modica 30 giugno 2014 Indice 1 Dal lungo al breve periodo 1 2 Paradosso del risparmio 2 3 Risparmi e investimenti 3 4 Domanda eettiva 4 5 Spostamenti della

Dettagli

Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea

Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea Testo alla base del Pitgame redatto dal prof. Yvan Lengwiler, Università di Basilea Funzionamento di un mercato ben organizzato Nel Pitgame i giocatori che hanno poche informazioni private interagiscono

Dettagli

Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery

Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery Tecniche di DM: Link analysis e Association discovery Vincenzo Antonio Manganaro vincenzomang@virgilio.it, www.statistica.too.it Indice 1 Architettura di un generico algoritmo di DM. 2 2 Regole di associazione:

Dettagli

Progettazione del processo produttivo

Progettazione del processo produttivo Progettazione del processo produttivo Il miglioramento della qualità e della produttività ha maggiore efficacia quando è parte integrante del processo di realizzazione del prodotto. In particolare l uso

Dettagli

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2014/15 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola primaria

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2014/15 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola primaria Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2014/15 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola primaria I quesiti sono distribuiti negli ambiti secondo la tabella seguente Ambito Numero di

Dettagli

Introduzione. è uguale a 0, spostamento di dati da una parte della memoria del calcolatore ad un altra.

Introduzione. è uguale a 0, spostamento di dati da una parte della memoria del calcolatore ad un altra. Appunti di Calcolatori Elettronici Modello di macchina multilivello Introduzione... 1 Linguaggi, livelli e macchine virtuali... 3 La struttura a livelli delle macchine odierne... 4 Evoluzione delle macchine

Dettagli

UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Corso di Controlli Automatici Prof.

UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Corso di Controlli Automatici Prof. UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo 1 Indice UNIT 2 I modelli matematici ricchi di informazione

Dettagli

USO DI EXCEL CLASSE PRIMAI

USO DI EXCEL CLASSE PRIMAI USO DI EXCEL CLASSE PRIMAI In queste lezioni impareremo ad usare i fogli di calcolo EXCEL per l elaborazione statistica dei dati, per esempio, di un esperienza di laboratorio. Verrà nel seguito spiegato:

Dettagli

INTRODUZIONE AL DESIGN OF EXPERIMENTS (Parte 1)

INTRODUZIONE AL DESIGN OF EXPERIMENTS (Parte 1) INTRODUZIONE AL DESIGN OF EXPERIMENTS (Parte 1) 151 Introduzione Un esperimento è una prova o una serie di prove. Gli esperimenti sono largamente utilizzati nel campo dell ingegneria. Tra le varie applicazioni;

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Optimization and control: CFD as a design tool

Optimization and control: CFD as a design tool Relazione di attività del PhD student Samuele Zampini Supervisore: Prof. Maurizio Quadrio, Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aereospaziali Optimization and control: CFD as a design tool Attività di

Dettagli

Insegnare relatività. nel XXI secolo

Insegnare relatività. nel XXI secolo Insegnare relatività nel XXI secolo L ' e s p e r i m e n t o d i H a f e l e e K e a t i n g È il primo dei nuovi esperimenti, realizzato nel 1971. Due orologi atomici sono stati montati su due aerei

Dettagli

Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio Capitolo S-09 Calcolo Combinatorio Autore: Mirto Moressa Contatto: mirtomo@tiscali.it Sito: www.mirtomoressa.altervista.org Data inizio: 16/10/2010 Data fine: 21/10/2010 Ultima modifica: 21/10/2010 Versione:

Dettagli

8 Elementi di Statistica

8 Elementi di Statistica 8 Elementi di Statistica La conoscenza di alcuni elementi di statistica e di analisi degli errori è importante quando si vogliano realizzare delle osservazioni sperimentali significative, ed anche per

Dettagli

e-dva - eni-depth Velocity Analysis

e-dva - eni-depth Velocity Analysis Lo scopo dell Analisi di Velocità di Migrazione (MVA) è quello di ottenere un modello della velocità nel sottosuolo che abbia dei tempi di riflessione compatibili con quelli osservati nei dati. Ciò significa

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Come scrivere una relazione di laboratorio completa sintetica

Come scrivere una relazione di laboratorio completa sintetica Come scrivere una relazione di laboratorio Premesso che durante l esperienza di laboratorio è necessario annotare tutto ciò che è utile per poter redigere la relazione, questa deve contenere: gli strumenti

Dettagli

Esperimenti in vaso: disegni a randomizzazione completa

Esperimenti in vaso: disegni a randomizzazione completa Esperimenti in vaso: disegni a randomizzazione completa Andrea Onofri 10 marzo 2015 Indice 1 Disegno sperimentale 2 2 Analisi dei dati 3 2.1 Analisi della varianza (ANOVA).................. 4 2.2 Errore

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010 elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre

Dettagli

Sommario della lezione

Sommario della lezione Sommario della lezione Ulteriori applicazioni del Massimo Flusso 1. Connettività di grafi. Selezione di progetti 3. Trasporto in reti 4. Eliminazione in tornei Università degli Studi di Salerno Corso di

Dettagli

Design of Experiments

Design of Experiments Design of Experiments Luigi Amedeo Bianchi 1 Introduzione Cominciamo spiegando cosa intendiamo con esperimento, ossia l investigare un processo cambiando i dati in ingresso, osservando i cambiamenti che

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI Il Sistema di Numerazione Decimale Il sistema decimale o sistema di numerazione a base dieci usa dieci cifre, dette cifre decimali, da O a 9. Il sistema decimale è un sistema

Dettagli

MMSC3 Sistema di calibrazione per guida robot bidimensionale e tridimensionale basato su visione artificiale

MMSC3 Sistema di calibrazione per guida robot bidimensionale e tridimensionale basato su visione artificiale Atti del V Congresso Metrologia & Qualità (Marzo 2007) MMSC3 Sistema di calibrazione per guida robot bidimensionale e tridimensionale basato su visione artificiale M. GALIMBERTI (1), R.SALA (2), N.CAPELLI

Dettagli

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale 1. Che cos'è un numero casuale Stiamo per lanciare un dado. Fermiamo la situazione un attimo prima che il dado cada e mostri la faccia superiore. Finché è in aria esso costituisce

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Breve introduzione al Calcolo Evoluzionistico

Breve introduzione al Calcolo Evoluzionistico Breve introduzione al Calcolo Evoluzionistico Stefano Cagnoni Dipartimento di Ingegneria dell Informazione, Università di Parma cagnoni@ce.unipr.it 1 Introduzione Il mondo fisico ed i fenomeni naturali

Dettagli

Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/2010

Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/2010 Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/010 L esperienza, basata sullo studio di una molla a spirale in condizioni di equilibrio e di oscillazione, ha diversi scopi e finalità, tra

Dettagli

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 INTRODUZIONE 1.0 PREVENZIONE CONTRO INDIVIDUAZIONE. L'approccio tradizionale nella fabbricazione dei prodotti consiste nel controllo

Dettagli

Automi. Sono così esempi di automi una lavatrice, un distributore automatico di bibite, un interruttore, una calcolatrice tascabile,...

Automi. Sono così esempi di automi una lavatrice, un distributore automatico di bibite, un interruttore, una calcolatrice tascabile,... Automi Con il termine automa 1 s intende un qualunque dispositivo o un suo modello, un qualunque oggetto, che esegue da se stesso un particolare compito, sulla base degli stimoli od ordini ricevuti detti

Dettagli

Carlo Marchini Dipartimento di Matematica dell Università di Parma

Carlo Marchini Dipartimento di Matematica dell Università di Parma Carlo Marchini Dipartimento di Matematica dell Università di Parma Presento qui alcuni esempi citati da libri di testo italiani per la scuola Primaria 1: Si consideri il testo di Figura 1 (Esercizio 5).

Dettagli

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti)

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) del provider IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) 1 del provider - premessa (1) in merito alla fase di gestione ordinaria dell outsourcing sono state richiamate le prassi di miglioramento

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,...

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... Entropia Motivazione Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... ) s,s 2,s 3,... ognuno dei quali appartiene ad un alfabeto A di M elementi.? Quant è l informazione portata

Dettagli

Corso introduttivo all utilizzo di TQ Qualifica

Corso introduttivo all utilizzo di TQ Qualifica Corso introduttivo all utilizzo di TQ Qualifica Le pagine che seguono introducono l utente all uso delle principali funzionalità di TQ Qualifica mediante un corso organizzato in quattro lezioni. Ogni lezione

Dettagli

1 - I segnali analogici e digitali

1 - I segnali analogici e digitali 1 1 - I segnali analogici e digitali Segnali analogici Un segnale analogico può essere rappresentato mediante una funzione del tempo che gode delle seguenti caratteristiche: 1) la funzione è definita per

Dettagli

La progettazione degli esperimenti (DOE) mediante l uso delle matrici ortogonali

La progettazione degli esperimenti (DOE) mediante l uso delle matrici ortogonali La progettazione degli esperimenti (DOE) mediante l uso delle matrici ortogonali Anno Accademico 2005-2006 1 Introduzione... 3 2 Glossario... 3 3 La sperimentazione campione: la saldatura laser ad alta

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

1. I database. La schermata di avvio di Access

1. I database. La schermata di avvio di Access 7 Microsoft Access 1. I database Con il termine database (o base di dati) si intende una raccolta organizzata di dati, strutturati in maniera tale che, effettuandovi operazioni di vario tipo (inserimento

Dettagli

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Prendiamo in considerazione altre rappresentazioni di dati che sono strumenti utili anche in altre discipline di studio o altri settori della vita quotidiana. Questi strumenti

Dettagli

LE ASSUNZIONI DELL'ANOVA

LE ASSUNZIONI DELL'ANOVA LE ASSUNZIONI DELL'ANOVA Sono le assunzioni del test t, ma estese a tutti i gruppi: o La variabile deve avere una distribuzione normale in tutte le popolazioni corrispondenti ai gruppi campionati o Le

Dettagli

Creare esperimenti di psicologia e neuroscienze con PsychoPy: una brevissima introduzione

Creare esperimenti di psicologia e neuroscienze con PsychoPy: una brevissima introduzione Indice Creare esperimenti di psicologia e neuroscienze con PsychoPy: una brevissima introduzione Davide Massidda davide.massidda@gmail.com L'effetto Simon: disegno della ricerca Python e PsychoPy L'apparato

Dettagli

4. Matrici e Minimi Quadrati

4. Matrici e Minimi Quadrati & C. Di Natale: Matrici e sistemi di equazioni di lineari Formulazione matriciale del metodo dei minimi quadrati Regressione polinomiale Regressione non lineare Cross-validazione e overfitting Regressione

Dettagli

I Sistemi di numerazione e la rappresentazione dei dati

I Sistemi di numerazione e la rappresentazione dei dati I Sistemi di numerazione e la rappresentazione dei dati LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI (1) Per utilizzare un computer è necessario rappresentare in qualche modo le informazioni da elaborare e il

Dettagli

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di

Dettagli

Cap. VIII AZIONAMENTI PASSO-PASSO.

Cap. VIII AZIONAMENTI PASSO-PASSO. Cap. VIII AZIONAMENTI PASSO-PASSO. VIII-1. Introduzione. Il controllo del moto incrementale dei motori passo-passo si ottiene attraverso il software di un computer, programmando opportunamente gli impulsi

Dettagli

Metodologia di impiego delle tecniche di Taguchi nel Design Of Experiments nel campo della saldatura laser ad alta potenza

Metodologia di impiego delle tecniche di Taguchi nel Design Of Experiments nel campo della saldatura laser ad alta potenza Metodologia di impiego delle tecniche di Taguchi nel Design Of Experiments nel campo della saldatura laser ad alta potenza INDICE 1 Introduzione...3 2 L applicazione del Metodo Taguchi...3 2.1 Formulazione

Dettagli

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),

Dettagli

Modulo 8. Elettronica Digitale. Contenuti: Obiettivi:

Modulo 8. Elettronica Digitale. Contenuti: Obiettivi: Modulo 8 Elettronica Digitale Contenuti: Introduzione Sistemi di numerazione posizionali Sistema binario Porte logiche fondamentali Porte logiche universali Metodo della forma canonica della somma per

Dettagli

Capitolo 1 - Numerazione binaria

Capitolo 1 - Numerazione binaria Appunti di Elettronica Digitale Capitolo - Numerazione binaria Numerazione binaria... Addizione binaria... Sottrazione binaria... Moltiplicazione binaria... Divisione binaria... Complementazione... Numeri

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

14.6 Effettuare scelte in presenza di vincoli 15

14.6 Effettuare scelte in presenza di vincoli 15 14 18-12-2007 19:04 Pagina 403 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 403 Fig. 14.5 Il trattamento analitico dei costi a gradino Costo Comportamento reale del costo Trattamento analitico

Dettagli

Risoluzione. Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005

Risoluzione. Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005 Risoluzione Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005 1 Risoluzione Introdurremo ora un metodo per capire se un insieme di formule è soddisfacibile o meno. Lo vedremo prima per insiemi

Dettagli

1. LE GRANDEZZE FISICHE

1. LE GRANDEZZE FISICHE 1. LE GRANDEZZE FISICHE La fisica (dal greco physis, natura ) è una scienza che ha come scopo guardare, descrivere e tentare di comprendere il mondo che ci circonda. La fisica si propone di descrivere

Dettagli

Capitolo II Le reti elettriche

Capitolo II Le reti elettriche Capitolo II Le reti elettriche Fino ad ora abbiamo immaginato di disporre di due soli bipoli da collegare attraverso i loro morsetti; supponiamo ora, invece, di disporre di l bipoli e di collegarli tra

Dettagli

NUMERI PIENI FIGURE DI 2 A MODALITA' 3

NUMERI PIENI FIGURE DI 2 A MODALITA' 3 NUMERI PIENI FIGURE DI 2 A MODALITA' 3 Se escludiamo i giochi sulle NONARIE, finora abbiamo visto sistemi su figure di 2 o di 3 sempre a modalità 2. Ora è arrivato il momento di ritornare su un gioco a

Dettagli

Prob(CCCCCCCCCC) = 1 2 10

Prob(CCCCCCCCCC) = 1 2 10 12. Contenuto di Informazione Algoritmico (AIC) - 17/05/12 Vogliamo adesso introdurre una nozione di contenuto di informazione di una stringa infinita, prodotta da una sorgente di informazione, che non

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

SISTEMA DI CONTROLLO ORIENTAMENTO PANNELLI SOLARI

SISTEMA DI CONTROLLO ORIENTAMENTO PANNELLI SOLARI SISTEMA DI CONTROLLO ORIENTAMENTO PANNELLI SOLARI Lezione 1: User Requirements, Modellizzazione e Identificazione. 1.1 Introduzione: Un cliente ha chiesto la realizzazione di un sistema per l'orientamento

Dettagli

Parte I. Relazioni di ricorrenza

Parte I. Relazioni di ricorrenza Parte I Relazioni di ricorrenza 1 Capitolo 1 Relazioni di ricorrenza 1.1 Modelli Nel seguente capitolo studieremo le relazioni di ricorrenza. Ad esempio sono relazioni di ricorrenza a n = a n 1 + n, a

Dettagli

Altri metodi di indicizzazione

Altri metodi di indicizzazione Organizzazione a indici su più livelli Altri metodi di indicizzazione Al crescere della dimensione del file l organizzazione sequenziale a indice diventa inefficiente: in lettura a causa del crescere del

Dettagli

MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE PRIMI PASSI

MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE PRIMI PASSI MICROSOFT EXCEL INTRODUZIONE Si tratta di un software appartenente alla categoria dei fogli di calcolo: con essi si intendono veri e propri fogli elettronici, ciascuno dei quali è diviso in righe e colonne,

Dettagli

IL MIO PRIMO SITO: NEWS

IL MIO PRIMO SITO: NEWS Pagina 1 IL MIO PRIMO SITO: NEWS Sommario IL MIO PRIMO SITO: NEWS...1 Introduzione...2 I Contenitori...2 Creo un Contenitore...3 I Tracciati...4 Creo le Notizie...6 Inserisco il Testo...6 Inserisco un

Dettagli

IL CONTROLLO DI QUALITÀ TRAMITE I DISEGNI SPERIMENTALI. Rossella BERNI

IL CONTROLLO DI QUALITÀ TRAMITE I DISEGNI SPERIMENTALI. Rossella BERNI IL CONTROLLO DI QUALITÀ TRAMITE I DISEGNI SPERIMENTALI Rossella BERNI Prefazione Il presente lavoro vuole essere una breve e semplice presentazione del metodo del disegno degli esperimenti applicato al

Dettagli

Matlab per applicazioni statistiche

Matlab per applicazioni statistiche Matlab per applicazioni statistiche Marco J. Lombardi 19 aprile 2005 1 Introduzione Il sistema Matlab è ormai uno standard per quanto riguarda le applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma non ha

Dettagli

Fondamenti di Informatica Ingegneria Clinica Lezione 19/11/2009. Prof. Raffaele Nicolussi

Fondamenti di Informatica Ingegneria Clinica Lezione 19/11/2009. Prof. Raffaele Nicolussi Fondamenti di Informatica Ingegneria Clinica Lezione 19/11/2009 Prof. Raffaele Nicolussi FUB - Fondazione Ugo Bordoni Via B. Castiglione 59-00142 Roma Docente Raffaele Nicolussi rnicolussi@fub.it Lezioni

Dettagli

INTRODUZIONE Codici correttori di errori Codici rivelatori di errori

INTRODUZIONE Codici correttori di errori Codici rivelatori di errori IL CODICE EN INTRODUZIONE... 2 CODICI RIVELTORI DI ERRORI... 3 IL CODICE RRE... 5 Struttura di un simbolo... 5 IL CODICE EN... 7 Codifica dei Caratteri... 7 Struttura di un simbolo EN 13... 8 Struttura

Dettagli

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Dispensa 05 La rappresentazione dell informazione Carla Limongelli Ottobre 2011 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf/ La rappresentazione

Dettagli

Sistemi fisici, modelli, circuiti.

Sistemi fisici, modelli, circuiti. Sistemi fisici, modelli, circuiti. 1 Sistemi fisici, modelli, circuiti. Osservazioni fisiche Modello matematico Progetto Analisi Prototipo Fig. 1 - Studio di un sistema fisico. Studio di un sistema fisico,

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Un gioco con tre dadi

Un gioco con tre dadi Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.

Dettagli

L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO

L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO L ERRORE A REGIME NELLE CATENE DI REGOLAZIONE E CONTROLLO Per errore a regime si intende quello rilevato dopo un intervallo sufficientemente lungo dal verificarsi di variazioni del riferimento o da eventuali

Dettagli

Strumenti Digitali. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Strumenti Digitali. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Strumenti Digitali Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione:

della funzione obiettivo. Questo punto dovrebbe risultare chiaro se consideriamo una generica funzione: Corso di laurea in Economia e finanza CLEF) Economia pubblica ************************************************************************************ Una nota elementare sulla ottimizzazione in presenza di

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

ARTE del COLORE Data: Venerdì, 15 febbraio @ 10:21:19 CET Argomento: Educazione alle Tecniche della Luce

ARTE del COLORE Data: Venerdì, 15 febbraio @ 10:21:19 CET Argomento: Educazione alle Tecniche della Luce ARTE del COLORE Data: Venerdì, 15 febbraio @ 10:21:19 CET Argomento: Educazione alle Tecniche della Luce I colori primari Il disco di Newton L'armonia I colori complementari I colori secondari I colori

Dettagli

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM

Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM Capitolo V. I mercati dei beni e i mercati finanziari: il modello IS-LM 2 OBIETTIVO: Il modello IS-LM Fornire uno schema concettuale per analizzare la determinazione congiunta della produzione e del tasso

Dettagli