UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE OTTIMIZZAZIONE DI FORMA IN PROBLEMI INVERSI DI TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Dipartimento di Ingegneria Navale, del Mare e per l Ambiente Sezione di Fisica Tecnica Tesi di laurea in FISICA TECNICA OTTIMIZZAZIONE DI FORMA IN PROBLEMI INVERSI DI TRASMISSIONE DEL CALORE Laureando: Francesco PINTO Relatore: Chiar.mo Prof. Enrico NOBILE Correlatore: Dott. Ing. Luca FOGAR Anno Accademico

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3 Ai miei Genitori.

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5 I hold an image of the ashtray girl As the cigarette burns on my chest I wrote a poem that described her world That put my friendship to the test And late at night Whilst on all fours She used to watch me kiss the floor What s wrong with this picture? Placebo

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7 Indice Introduzione XI 1 Problema conduttivo bidimensionale Il problema: definizione Impostazione delle equazioni adimensionalizzate Il metodo risolutivo Considerazioni preliminari Un approccio parametrico Definizione della geometria Il processo di ottimizzazione Il solutore Parametrizzazione a due curve Caso A Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Caso B Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Commenti Parametrizzazione a tre curve Caso C Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Caso D Tentativi con algoritmo genetico Ottimizzazione simplex VII

8 VIII INDICE Commenti Parametrizzazione a quattro curve Caso C Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Caso D Ottimizzazione con MOGA Ottimizzazione con SIMPLEX Commenti Oneri computazionali Problema conduttivo bidimensionale: alcuni casi modificati Ricostruzione di forma con coefficiente convettivo discontinuo Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Ricostruzione di forma con coefficiente convettivo discontinuo e sorgente di calore modificata Ottimizzazione con MOGA Ottimizzazione con SIMPLEX Commenti Ottimizzazione di scambio termico in un profilo palare Considerazioni introduttive Definizione del problema Il processo di ottimizzazione Il solutore Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Problema conduttivo tridimensionale Definizione del problema Analisi non dimensionale Definizione della geometria Il processo di ottimizzazione Il solutore Caso A Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Caso B Prima ottimizzazione

9 INDICE IX Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Oneri computazionali Problema coniugato bidimensionale Definizione del problema Analisi non dimensionale Il processo di ottimizzazione Il solver Soluzione del problema diretto Test di indipendenza della griglia e del dominio Caso A Prima ottimizzazione Seconda ottimizzazione Terza ottimizzazione Caso B Parametrizzazione P4 I Parametrizzazione P4 II Caso C Parametrizzazione P4 II Parametrizzazione P4 III Caso D Ottimizzazione mono-obiettivo Ottimizzazione bi-obiettivo Commenti Oneri computazionali Conclusioni 127 A Software utilizzati: caratteristiche fondamentali 131 A.1 modefrontier c A.1.1 Il principio dell ottimizzazione A.1.2 Caratteristiche generali A.1.3 Multi Objective Genetic Algorithm A.1.4 SIMPLEX A.1.5 Multi Criteria Decision Making A.2 FEMLAB A.3 PDE in FEMLAB A.3.1 Il solutore lineare A.3.2 Il solutore non-lineare A.3.3 Il solutore adattativo A.3.4 Stabilizzazione Streamline diffusion

10 X INDICE B Superfici e curve di Bézier 145 B.1 Rappresentazioni geometriche B.2 Curve di Bézier B.3 Superfici di Bézier

11 Introduzione I più comuni problemi inversi in trasmissione del calore consistono, stabilite a priori delle condizioni al contorno sovradeterminate per un dato sistema, nell individuazione della geometria che le soddisfi al meglio. Si tratta, in sostanza, di problemi mal-posti (ill-posed), che possono ammettere una soluzione se, e solo se, la forma del dominio può venire modificata in modo opportuno. Spesso, chi affronta problemi di questo tipo utilizza un approccio dedicato al particolare caso in questione, definendo una metodologia risolutiva ad hoc, con modellizzazioni matematiche difficilmente esportabili, in particolare nella pratica ingegneristica. In questo lavoro, nel quale si affrontano alcuni problemi, in parte già risolti da altri autori con le metodologie specifiche ora accennate, ci si propone di ottenere i medesimi risultati secondo una filosofia più flessibile ed aperta, e che meglio si configura per un possibile utilizzo applicativo. In particolare, ci si propone di utilizzare un solutore agli elementi finiti con griglia non strutturata, di tipo commerciale, accoppiato a un software che mette a disposizione vari algoritmi di ottimizzazione. In tal modo si vuole spostare l attenzione dalla formulazione matematica del metodo risolutivo alla parametrizzazione geometrica delle forme, che viene fatta per mezzo di curve o superfici di Beziér, compatibili e supportate dalla maggior parte dei sistemi CAD/CAE. Lo scopo è quello di dimostrare che un procedimento di ottimizzazione generale, applicabile in maniera similare a una vasta gamma di problemi, può essere considerato abbastanza efficiente da non richiedere una formulazione specifica per ogni caso. I primi problemi affrontati sono di tipo puramente conduttivo e bidimensionale; con essi si testano tre parametrizzazioni per la ricostruzione della geometria ottimale. Si comincerà col valutare la bontà di una parametrizzazione a due curve in serie, per poi passare ad una parametrizzazione con tre curve, ed infine con quattro. Durante il processo di test le condizioni al contorno verranno modificate per verificare la flessibilità delle parametrizzazioni. La base del problema rimane comunque inalterata, e lo scopo è quello di trovare una XI

12 XII Introduzione superficie isoterma per un mezzo conduttivo in cui è racchiusa una sorgente di calore a distribuzione di temperatura imposta. A questo punto verrà presentato un problema di pura ottimizzazione, che riguarda il raffreddamento di una pala di turbina a gas. In questo esempio si vuole ottimizzare la posizione e il diametro di tre fori al fine di minimizzare la temperatura media e quella massima del profilo palare. E un esempio di ottimzzazione multi-obiettivo, possibilità fornita solo dagli algoritmi genetici. La parte successiva della tesi riguarda l estensione al caso tridimensionale del problema di ricostruzione di forma in conduzione, svolta allo scopo di verificare le difficoltà incontrate nella parametrizzazione geometrica, poiché la scelta corretta dei parametri per la modellazione della superficie risulta meno intuitiva che nel caso bidimensionale. Infine il problema di scambio termico coniugato (conduzione + convezione) verrà affrontato, seppur in via preliminare nel solo caso bidimensionale in regime laminare, calcolando il campo di moto ed il campo di temperatura del fluido in cui il sistema è immerso. Si comincerà l analisi a partire delle considerazioni svolte per il caso puramente conduttivo, e si compiranno due successive modifiche alla parametrizzaione di partenza. Inoltre si sfrutterà la possibilità di affrontare problemi multi-obiettivo, offerta dagli algoritmi genetici, per facilitare il processo di convergenza alla soluzione ottimale. Come software di analisi termofluidodinamica si farà uso di FEMLAB, pacchetto agli elementi finiti basato su MATLAB, col quale si è in grado di creare geometrie e impostare un problema basato su equazioni differenziali alle derivate parziali. L ottimizzatore che verrà utilizzato, invece, è modefrontier, che rappresenta lo stato dell arte nell implementazione degli algoritmi di ottimizzazione.

13 1 Problema conduttivo bidimensionale Nell analisi della ricostruzione di profili per lo scambio termico ci soffermeremo, dapprima, su un caso bidimensionale, puramente conduttivo. Risolveremo un problema già studiato da altri autori [1, 2], al fine di avere un parametro di confronto. L impostazione e la nomenclatura vengono riprese dagli studi di Cheng e Wu [1]. Tale problema costituisce un eccellente banco di prova per verificare le migliori modalità di parametrizzazione geometrica con cui affrontare questioni più onerose dal punto di vista computazionale, quale il problema di scambio termico coniugato, che viene trattato nel capitolo Il problema: definizione Si consideri un corpo omogeneo e termicamente isotropico, allora l equazione che domina il fenomeno sulla regione di scambio termico è la seguente: ρc T t = k 2 T + q (1.1) dove ρ, C, T e q hanno, rispettivamente, il significato di densità, calore specifico, temperatura e generazione interna di calore. Nel problema in questione vi è una sorgente di calore a distribuzione di temperatura imposta di lunghezza L e spessore infinitesimo, contenuta in un corpo della fattispecie appena descritta. Sulla superficie esterna del mezzo le condizioni di flusso di calore sono a loro volta imposte, fissando il valore del coefficiente convettivo h tra il mezzo e l ipotetico ambiente fluido in cui si immagina immerso, per ogni punto della superficie di separazione. In un primo test lo si considererà costante, poi si imporrà una variazione di tipo quadratico. Nelle discussioni seguenti non verranno presi in considerazione fenomeni transitori, per concentrarsi sul comportamento a regime del sistema. 1

14 O N 2 1 Problema conduttivo bidimensionale Ponendosi l obiettivo di ottenere una temperatura superficiale definita, ed in particolare costante, le condizioni al contorno del problema risultano sovraspecificate, da cui, il grado di libertà in aggiunta al sistema dovrà essere la forma del mezzo di conduzione. Questo tipo di problema viene spesso chiamato, in letteratura, ill posed problem. La figura 1.1 è uno schema delle grandezze in gioco nel modello proposto. La rappresentazione della sola parte superiore del sistema sottolinea il fatto che, al fine di ridurre l onere computazionale, si è voluta sfruttare la simmetria rispetto all asse delle x, considerando solo metà del mezzo conduttivo. E A E I E A J H E = D D N 6 I? I E E G G Figura 1.1: problema conduttivo 2D: schema generale 1.2 Impostazione delle equazioni adimensionalizzate Al fine di rendere il più generale possibile la trattazione che si sta approntando, l impostazione delle equazioni e del dominio geometrico viene fatta in modo adimensionale, consentendone, così, l utilizzo in similitudine in eventuali casi reali. Come grandezza metrica di riferimento si utilizza la lunghezza L della sorgente di calore. Per quel che riguarda la temperatura, si prendono in considerazione il valore T dell ambiente fluido e quello del punto più freddo della sorgente T L (dove L significa lower temperature) per ottenere la seguente

15 1.3 Il metodo risolutivo 3 espressione non dimensionale: θ = T T T L T (1.2) Si è detto in precedenza che ci si pone nel caso stazionario; si tenga inoltre presente che vi è assenza di componenti generative di calore all interno del dominio. In tali condizioni l equazione della conduzione, in termini di temperatura adimensionalizzata, diventa: 2 θ = 2 θ x θ y 2 = 0 (1.3) Prendendo come riferimento la figura 1.1, le condizioni al contorno risultano le seguenti, dove n è il versore normale alla superficie, orientato verso l esterno: sulla sorgente di calore; lungo la linea di simmetria; θ = θ(x) (1.4) n θ = 0 (1.5) n θ = Bi θ (1.6) sulla superficie esterna. Il numero di Biot, Bi, è definito come il rapporto tra il coefficiente convettivo sulla superficie e la conduttività termica del mezzo dissipatore, moltiplicato per la lunghezza di riferimento: Bi = hl (1.7) k Infine, è ovvio, ma giusto, ricordare il fatto che le coordinate spaziali x e y si rendono adimensionali, dividendo il loro valore per il riferimento metrico. Perciò: X = x L ; Y = y L. (1.8) 1.3 Il metodo risolutivo Considerazioni preliminari Nel loro lavoro, Cheng e Wu [1] utilizzano la tecnica body-fitted coordinate transformation 1 associata al metodo conjugate gradient 1 per risolvere il problema. Il procedimento segue questi passi: 1 Per approfondimenti di sorta sul metodo risolutivo usato in [1, 2], si rimanda agli articoli stessi e alla bibliografia allegata.

16 4 1 Problema conduttivo bidimensionale 1. si definisce una geometria di partenza, che nel lavoro [1] è un semicerchio; 2. si genera una griglia di discretizzazione adattata alla geometria da studiare, come il nome stesso del metodo, body-fitted, suggerisce; 3. si risolve il problema ai volumi finiti e si calcola il valore della funzione obiettivo, che è una sommatoria della differenza al quadrato tra la temperatura dei punti di controllo sulla superficie e la temperatura obiettivo; 4. si fa un analisi di sensibilità per mezzo del metodo del gradiente coniugato [3]; 5. si calcolano le direzioni di variazione per la posizione dei punti di controllo, con i relativi step; 6. si aggiorna la geometria e si ritorna al punto 2. In sostanza, il primo passo consiste nell associare il dominio fisico del problema a una griglia rettangolare equispaziata per mezzo di una trasformazione di coordinate, che poggia su un equazione differenziale alle derivate parziali ellittica, per poi gestire il movimento dei punti corrispondenti alla superficie del corpo, fino al raggiungimento di una soluzione ottimale. Tralasciando la formulazione matematica, che non è scopo di questo lavoro, preme sottolineare il fatto che in [1] l attenzione viene focalizzata sul metodo analitico di soluzione. Implementare e gestire sia la trasformazione di coordinate, che il metodo numerico di soluzione, sono, entrambe, cose non banali. Gli stessi autori descrivono alcune problematiche del metodo. In primo luogo vi è la dipendenza della bontà della soluzione dalla configurazione geometrica iniziale che, se ad esempio fosse un rettangolo, porterebbe a risultati scadenti. In un successivo articolo [4], poi, implementano un sistema di riordino dei punti di controllo della superficie, che tendono a disallinersi, incrociarsi o concentrarsi in alcune zone. Ashrafizadeh et al. in [2], propongono un sistema diverso: invece di ricostruire la griglia ad ogni iterazione, mantengono quella iniziale e la deformano. In questo modo eliminano la trasformazione di coordinate a ogni iterazione, ma introducono un termine non lineare nell equazione del flusso di calore poichè, variando le coordinate nodali, varia la temperatura in riferimento ad esse. La sostanza, comunque, non cambia, e anche qui la definizione del problema risulta poco amichevole. Ciò su cui si vuol porre l attenzione è il fatto che un approccio dedicato al particolare problema, sebbene risulti molto efficiente, diventa il più delle volte complesso, e, soprattutto, difficilmente esportabile a casi differenti da quello trattato.

17 1.3 Il metodo risolutivo Un approccio parametrico Nella pratica ingegneristica non è comune affrontare problemi con un livello di trattazione matematica di base: doversi preoccupare della validità e dell efficienza di un codice di calcolo può risultare oneroso in termini sia economici che di tempo. Inoltre, l esistenza in commercio di pacchetti software proprietari, basati sul metodo degli elementi finiti o dei volumi finiti e implementati per i particolari settori di sviluppo, permette al progettista di svincolarsi dalla definizione del metodo matematico, sfruttando le potenzialità degli applicativi a sua disposizione. In questa sede si è deciso di utilizzare FEMLAB c 2, come solutore del problema diretto, unitamente a modefrontier c 2, come ottimizzatore della funzione obiettivo, nel tentativo di risolvere la tipologia di problemi sopra descritta con una filosofia di lavoro più flessibile e accessibile al mondo dell ingegneria applicata. In tal modo basterà impostare uno script in linguaggio MATLAB con le equazioni dominanti il fenomeno sul dominio di calcolo e le relative condizioni al contorno. Ciò sarà sufficiente per la soluzione del problema analitico, data una geometria da valutare. L ottimizzatore, invece, sarà in grado di generare i parametri che definiscono la geometria e di valutare i risultati ottenuti dal solutore per poterne incrementare la bontà. In [1, 2] la superficie del corpo è approssimata mediante una serie di punti che vengono interpolati. Anche su questo punto, ci si vuole avvicinare al problema per una via che sia il più generale possibile. Nella maggior parte dei sistemi di disegno e ingegnerizzazione assistiti (CAD/CAE), per approssimare curve e superfici vi è una serie di funzioni parametriche, come ad esempio le spline o le curve e superfici di Bézier 3. Queste ultime trovano largo impiego nella progettazione, nel rendering e nell animazione tridimensionale. Si è deciso, quindi, di approntare la ricostruzione di forma attraverso l uso di tali curve. In definitiva, l attenzione di colui che affronta l argomento va a concentrarsi su quale sia il modo migliore di costruire il modello utilizzando degli strumenti noti ai più. Il problema diventa quello di scegliere una combinazione di curve, o in caso tridimensionale di superfici, per realizzare una data forma. Il tema dell analisi si fa quasi unicamente parametrico e, quindi, l estensione a casi differenti risulta più facile poichè il metodo risolutivo diventa generale. 2 In appendice A vi è una breve introduzione ai software utilizzati in questo lavoro. 3 Si rimanda all appendice B per un approfondimento su questo argomento.

18 " #! $ % 6 1 Problema conduttivo bidimensionale 1.4 Definizione della geometria Nel seguito di questo capitolo si mostreranno i risultati ottenuti utilizzando parametrizzazioni geometriche leggermente differenti l una dall altra. Precisamente, si utilizzeranno 2, 3 e, infine, 4 curve, in serie l una all altra. Una curva di Bézier del terzo ordine è univocamente determinata da quattro punti. Ciò implica che, nel piano, sono otto i parametri scalari indipendenti che la caratterizzano. Si è deciso di utilizzare una funzione di classe almeno C 1, ovvero con derivata prima continua, per approssimare il profilo reale del mezzo conduttivo, in modo da dare una certa regolarità alla geometria. Prendiamo a riferimento la figura 1.2, ove si mostrano due curve. Per soddisfare un tale vincolo, è necessario che i punti 3, 4 e 5 siano allineati. Figura 1.2: Punti di controllo di due curve di Bézier in serie Di seguito vengono presentati congiuntamente i tre modelli con i rispettivi vincoli geometrici. Il profilo a due curve, in figura 1.3-a, è caratterizzato univocamente da undici parametri, che si possono evincere dalla tabella 1.1, ove ad ogni punto sono associati i gradi di libertà da cui dipende. I punti 1 e 7 si spostano sull asse di simmetria, da cui, la loro posizione dipende solo dalla coordinata x. I punti 2 e 6 sono determinati dalla posizione relativa ai punti estremi della curva 1 e 7. La loro posizione è facilmente esprimibile in coordinate polari, con un angolo e un raggio. Il punto 4 dipende dalle coordinate assolute x e y, mentre i punti 3 e 5, che devono essere allineati con 4, vengono nuovamente espressi

19 ! G G! " G! # " $ O % O # " O N $ N & N ' # % & % $ ' 1.4 Definizione della geometria 7 G! # (a) 2 curve G $ G! # G $ & G ' (b) 3 curve G! # G $ & G ' G (c) 4 curve! Figura 1.3: Parametrizzazioni del profilo

20 8 1 Problema conduttivo bidimensionale punto variabili 1 x 1 2 ρ 2, ϑ 2 3 ρ 3, ϑ x 4, y 4 5 ρ 5, ϑ ρ 6, ϑ 6 7 x 7 Tabella 1.1: Punti e variabili per 2 curve in serie in coordinate polari relative allo stesso. Le variabili indipendenti sono tre per entrambi i punti: i due raggi e l angolo rispetto all orizzontale. punto variabili 1 x 1 2 ρ 2, ϑ 2 3 ρ 3, ϑ x 4, y 4 5 ρ 5, ϑ ρ 6, ϑ x 7, y 7 8 ρ 8, ϑ ρ 9, ϑ 9 10 x 10 Tabella 1.2: Punti e variabili per 3 curve in serie In tabella 1.2, invece, sono rappresentati i gradi di libertà per la parametrizzazione a tre curve di Bézier (fig 1.3-b), ove i punti 1 e 10 dipendono in modo assoluto dalle coordinate spaziali x e y e giacciono sull asse di simmetria. Le ascisse dei punti 4 e 7 sono espresse come frazione percentuale di 1 e 10, per controllare meglio la distorsione della geometria. Si possono evitare situazioni come quella di figura 1.4, in cui il punto 4 si trova spostato a sinistra rispetto al punto 1. Le ordinate, invece, sono espresse in termini assoluti. Per gli altri punti, la posizione è relativa a quella dei primi, nel modo in cui è facile intuire. Nel terzo caso, sono i punti 1, 7 e 13 ad avere variabili espresse in termini assoluti in riferimento all origine degli assi, con i restanti dodici, relativi a questi in modo analogo a quanto descritto per la parametrizzazione a tre curve. La tabella 1.3 è di riassunto a quest ultima parametrizzazione. Le ascisse dei punti 4 e 10 sono espresse in percentuale del valore di quelle di 1 e 13, mentre il punto

21 1.4 Definizione della geometria Figura 1.4: esempio di shape molto distorto punto variabili 1 x 1 2 ρ 2 3 ρ 3, ϑ x 4, y 4 5 ρ 5, ϑ ρ 6, ϑ y 7 8 ρ 8, ϑ ρ 9, ϑ x 10, y ρ 11, ϑ ρ x 13 Tabella 1.3: Punti e variabili per 4 curve in serie

22 10 1 Problema conduttivo bidimensionale 7 scorre sull asse delle ordinate. 1.5 Il processo di ottimizzazione Le strategie che si possono utilizzare per ottimizzare un qualsiasi problema sono di vario tipo, e la scelta deve essere effettuata in funzione di ciò che si ha in mano e di ciò che si vuole ottenere (vedi appendice A). Nel caso in questione l obiettivo è quello, come già detto, di sviluppare una procedura che sia il più possibile generale. A tal fine si immagina di voler investigare un problema non noto. Di fatto, si sa che per l equazione di Fourier (1.3), con le condizioni al contorno sopra specificate e con l ipotesi di poter modificare la geometria a piacere per ottenere la temperatura superficiale desiderata, vi è una soluzione univoca. Il metodo proposto in [1], che si basa sullo studio del gradiente di un funzionale, è sicuramente tra i più efficienti. Il modello geometrico proposto in questa sede non si presta facilmente ad uno studio di questo tipo, poichè ogni parametro influenza la geometria a livello globale, modificando la curva in modo sensibile per gran parte della sua lunghezza. Una modellazione per punti interpolati permette una gestione più semplice della forma a livello locale, pur presentando tutti gli svantaggi già enunciati. Inoltre, in generale, gli algoritmi di ottimizzazione basati sul gradiente sono veloci, ma poco robusti. C è il rischio, partendo da un punto casuale nello spazio delle soluzioni, di raggiungere un punto di ottimo locale. La famiglia di algoritmi che meglio si presta all investigazione di una funzione sconosciuta è quella degli algoritmi genetici (GA). Tra gli scheduler messi a disposizione da modefrontier c, uno tra quelli di base è il MOGA (Multi Objective Genetic Algorithm). Gli algoritmi genetici sono molto robusti e permettono di studiare l intero campo delle soluzioni simulando la strategia evolutiva degli esseri viventi, per cui solo gli individui migliori sopravvivono e figliano una nuova generazione. Lo svantaggio che presentano tali algoritmi, però, è quello di avere una convergenza più lenta rispetto a quelli basati sul gradiente. In ogni ottimizzazione di cui verranno illustrati i risultati, la prima analisi viene fatta per mezzo del MOGA. Per la ricerca di una superficie isoterma si sfrutta una funzione che rende il processo monobiettivo. In pratica si ricerca il minimo di un errore calcolato in norma quadratica nel seguente modo: ɛ = S (θ θ s) 2 ds θ s S ds 100 (1.9) dove θ s è la temperatura superficiale desiderata e ds rappresenta l area elementare del dominio d integrazione. Il vettore di input per l ottimizzazione è quello dei parametri di curva, da cui le funzioni in studio per le tre differenti

23 1.5 Il processo di ottimizzazione 11 parametrizzazioni sono 4 : ɛ = f 2 (x 1, ρ 2, ϑ 2, ρ 3, x 4, y 4, ρ 5, ϑ 3 5, ρ 6, ϑ 6, x 7 ) ɛ = f 3 (x 1, ρ 2, ϑ 2, ρ 3, x 4, y 4, ρ 5, ϑ 3 5, ρ 6, x 7, y 7, ρ 8, ϑ 6 8, ρ 9, ϑ 9, x 10 ) ɛ = f 4 (x 1, ρ 2, ρ 3, x 4, y 4, ρ 5, ϑ 3 5, ρ 6, y 7, ρ 8, ϑ 6 8, ρ 9, x 10, y 10, ρ 11, ϑ 9 11, ρ 12, x 13 ) (1.10) che su un dominio abbastanza largo, come quello che prenderemo in considerazione inizialmente, sono discontinue e potrebbero risultare sconnesse. Il principio di funzionamento di un algoritmo genetico è quello di studiare una popolazione iniziale, valutarne la fitness, ovvero la bontà dei singoli individui, creare una nuova generazione attraverso processi di mutazione, cross-over e selezione, fino al raggiungimento del numero desiderato di generazioni. L ampiezza della popolazione iniziale influisce molto sulla robustezza del processo, come anche sulla sua efficienza. Gli sviluppatori di modefrontier c suggeriscono di utilizzare una popolazione iniziale di numerosità pari a (2 n variabili n obiettivi) e, comunque, non inferiore a 16. In [5], in cui si sono già affrontati problemi di questo tipo, si consiglia un fattore moltiplicativo pari a 2,5. In modefrontier vi è una serie di algoritmi per generare il DOE (Design Of Experiment), ovvero la popolazione iniziale di studio. L algoritmo sobol, di tipo quasi-random, permette una distribuzione uniforme dei punti all interno del dominio di studio ed è il più indicato per creare la generazione di partenza per un algoritmo genetico. Successivamente, una volta individuata una zona limitata in cui ricercare il punto di minimo per l errore, l ottimizzazione viene affrontata con l utilizzo dell algoritmo SIMPLEX, che permette una convergenza più rapida. A questo punto non resta che definire la logica che domina il processo di ottimizzazione. In FRONTIER si incrociano due flussi, quello logico e quello dei dati. Tali flussi si incontrano ove vi è l application, ovvero dove l ottimizzatore scambia informazioni con l esterno. L applicazione esterna in uso è MATLAB, che è il solutore dell ottimizzazione. In figura 1.5 è rappresentato il process flow, lo schema di flusso del processo, nel caso della parametrizzazione a due curve. Per gli altri due modelli la situazione è del tutto analoga, cambia soltanto il numero delle variabili in ingresso. E facile notare come da un lato vi sia il percorso logico che parte dal DOE, prosegue nello scheduler (MOGA nella figura), continua nell applicazione, che è uno script MATLAB/FEMLAB di nome ShapeSolver, e termina con una verifica di logic end. Il flusso dei dati parte con la definizione delle variabili in ingresso, dei parametri geometrici e di una costante, la temperatura obiettivo, che vengono scritti su due file e passati all applicazione. Quest ultima dà di ritorno un file che contiene il 4 I pedici associati ai simboli di funzione, f, corrispondono al numero di curve di Bézier.

24 12 1 Problema conduttivo bidimensionale Xpoint1 rho2 theta2 temp rho3 Xpoint4 Ypoint4 21 temp.dat =0 rho5 theta3and5 rho6 =0 shape.dat ShapeSolver obj.dat obj ObjectiveFunction theta6 Xpoint7 DOE MOGA Figura 1.5: Process Flow per la parametrizzazione a due curve valore dell errore calcolato come in (1.9) e che diventa la funzione obiettivo dello scheduler. 1.6 Il solutore La parte di calcolo, per ogni individuo generato, è assolta dal solver. FEMLAB c è un applicativo per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo numerico FEM (finite element method), che poggia su motore MATLAB, un software orientato al calcolo matriciale. Lasciando il compito di spiegare meglio le potenzialità del software all appendice dedicata e alla bibliografia citata, si elencano, di seguito, alcune impostazioni che si sono volute dare. Tra le varie possibilità messe a disposizione si è deciso di scrivere il problema in general form. Il solutore FEM è di tipo a griglia non strutturata e permette di utilizzare funzioni di forma di Lagrange fino al terzo ordine. Alcuni test hanno mostrato che la scelta di funzioni del secondo ordine con solver adattativo risulta essere un buon compromesso tra tempo di calcolo e precisione della soluzione, anche se questi fattori dipendono dalla forma e dal volume del dominio, che sono incognite del problema. Il solver adattativo calcola la soluzione, fa una stima dell errore e raffina la griglia dove è necessario. La mesh di partenza consta di 1500 elementi e non viene effettuato alcun raffinamento per individui con un errore superiore a 1,5. Il raffinamento viene effettuato solo sotto questo valore per ridurre l ordine di grandezza del residuo dell integrazione numerica, ovvero per assicurare il fatto che l errore di calcolo non sia dello stesso ordine di grandezza della funzione obiettivo, il che creerebbe

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