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1 CALCOLO DEL CAMPO LEGGE D AMPÈRE Da. Un conduttore cilindrico cavo, di raggio esterno a. cm e raggio interno b.6 cm, è percorso da una corrente A, distribuita uniormemente sulla sua sezione. Calcolare il modulo del campo magnetico per r.8 cm (all interno del conduttore). Disegnare il graico di (r). (A) 5.3( 4 ) T () T (C) 3.( 4 ) T (D) 4.5( 4 ) T (E).8( 4 ) T Soluzione: Per la simmetria cilindrica le linee di orza del campo magnetico sono delle circonerenze concentriche al conduttore, e è tangente ad esse. Quindi applichiamo il teorema di Ampère su una circonerenza di raggio r: per r < b (nel cavo del conduttore) d l dl perché la corrente concatenata è zero; per b < r < a (all interno del conduttore): la corrente concatenata si ricava moltiplicando la densità di corrente (rapporto ra la corrente e la sezione del conduttore) per la supericie del πr πb r b conduttore compresa nel cerchio di raggio r, cioè conc ; πa πb a b r b µ r b quindi dl µ conc π r ( r) µ ( r) a b π r a b Per il raggio r.8 cm speciicato, (r) 5.5( 4 ) T. per r > a (esterno al conduttore) la corrente concatenata è, quindi: dl µ conc µ ( r) π r π r ( r) µ (r) b a r b r a r Da. Sei ili conduttori entrano perpendicolarmente nel oglio come in igura. Ogni ilo è attraversato, nella direzione speciicata in igura, dalla corrente n n, dove n è il numero associato ad ogni ilo. Calcolare d l lungo la linea chiusa continua, percorsa nella direzione indicata dalla reccia. (A) 6µ () 3µ (C) 9µ (D) µ (E) Soluzione. La linea chiusa si avvolge intorno alle correnti,3,4,6 e quindi, tenendo conto del verso delle correnti secondo la regola del cacciavite, l integrale vale: d l µ ( ) 3µ

2 Da3. Due lunghi ili posti lungo gli assi cartesiani del disegno portano le correnti 3 A lungo + e 4A lungo. l modulo del campo nel punto di coordinate P(4 m, 3 m) vale: (A) µt (). µt (C).4 µt (D).4 µt (E). µt Soluzione. Ambedue le correnti danno contributi e perpendicolari al piano del disegno; nel punto P appartenente al primo quadrante i vettori e hanno verso uscente dal piano del oglio e perciò si sommano. Per quanto riguarda i moduli, si ha: k 3 4 m 7 ( ) T. µt; ( ) T. µt.4µt d Da4. Due avvolgimenti circolari coassiali sono percorsi dalla stessa corrente diretta in senso opposto e si trovano a distanza l m; il primo avvolgimento cm consiste di N 36 spire di cm di diametro (r. m); il secondo avvolgimento ha un diametro 5 cm 5 cm 3 cm di 3 cm (r.5 m). Quante spire N deve avere approssimativamente il secondo avvolgimento perché il campo si annulli nel punto medio della congiungente i centri delle due spire? (A) 6 () 4 (C) 7 (D) 54 (E) 37 Soluzione. l campo magnetico sull asse di una spira circolare di raggio r a distanza d dal suo centro è µ Nr d ( r + ) 3/ l problema si risolve imponendo l uguaglianza dei moduli dei due contributi a, ciascuno relativo a una spira che, lungo l asse, hanno sempre versi opposti. Sempliicando il attore comune µ / si ha: ( r d ) 3 / ( r + d ) ( r + d ) ( r + d ) 3 / Nr N r r N 3 / N 3 / + r O 3 / 36. ( ) 3 /.5 (. +.5 ) 7 Una soluzione approssimata si trova quando r e r possono essere considerati molto minori di d; in tal caso basta imporre l uguaglianza dei momenti magnetici dei due avvolgimenti: r N r N r N N 6. r π π Sono accettabili, perciò, sia la Soluzione (C) che la (A), anche se, in questo caso, la (A) è una approssimazione troppo grossolana. Da5. n un punto della supericie terrestre dove la componente orizzontale del campo magnetico vale 5 µt, una piccola bussola viene posta orizzontalmente nel centro di un avvolgimento circolare che appartiene al piano individuato dalla verticale e dalla direzione del Nord magnetico. Se l avvolgimento consiste di N 5 spire di raggio g Nord

3 R 4 cm, in corrispondenza di quale intensità di corrente l ago magnetico deletterà di 45 rispetto alla direzione del Nord magnetico? (A).34 A ().64 A (C).8 ma (D).56 ma (E) 7.4 ma Da6. Un cavo di rame isolato, rettilineo e verticale, è percorso da una corrente di 3 A diretta verso il basso. Tenendo conto della presenza del campo magnetico terrestre, diretto verso Nord e del valore di.45( 4 ) T, a quale angolo rispetto al Nord punterà l ago di una bussola, se questa viene posta in un piano orizzontale e con il centro in un punto a cm a Sud del ilo? (angolo positivo in senso antiorario, ovvero verso Ovest). (A) 3 () 34 (C) (D) 3 (E) 34 Da7. Un primo ilo verticale è percorso da una corrente di A nel verso ascendente. Un secondo ilo, parallelo al primo e distante da questo m, è percorso da una corrente di A in senso ascendente. A che distanza dal primo ilo il campo sarà nullo? (A).5 m ().33 m (C).5 m (D) m (E) m Da8. Tre lunghissimi ili quasi complanari, percorsi ciascuno da una corrente di A nei versi indicati nella igura, si incrociano nei tre punti A,, C che si trovano ai vertici di un triangolo equilatero con lato lungo.73 m. Nel baricentro O del triangolo equilatero il campo di induzione magnetica vale in modulo: (A) (). µt (C).4 µt (D) 3.6 µt (E).8 µt A C C O Da9. Due ili verticali indeiniti, il primo percorso da una corrente 6 A uscente dal piano del disegno, il secondo da una corrente 8 A entrante nel piano del disegno sono distanti cm. Nel punto C del disegno, distante 5 cm dalla congiungente i due ili P P ed equidistante da questi, il campo vale in modulo: P 5 cm cm P (A) 8.8 µt () 6.97µT (C).63µT (D) 39.6µT (E) Da. Sei lunghi ili rettilinei complanari percorsi tutti da una corrente A nei versi indicati delimitano una regione esagonale di lato l cm. La componente di perpendicolare al piano nel centro O dell esagono vale (+ verso uscente dal oglio; verso entrante nel oglio) l O (A) 3.86 µt () 9.4µT (C) µt (D) 9.4 µt (E) µt Z P Da. Un ilo indeinito lungo l asse z porta una corrente A. Sul piano vi è una spira di raggio R 5 cm percorsa da una corrente s 5 A il cui centro si trova nel punto di coordinate 3

4 (, 7cm, ). Nel punto P di coordinate (, 7 cm, cm) il modulo del campo vale (A) 66 µt () 3 µt (C) 38 µt (D) 7 µt (E) 79 µt Da. Un ilo rettilineo sottile, percorso da una corrente da A, corre lungo l asse di un lungo solenoide di raggio R 3 cm, con 5 spire al metro, portanti una corrente di 7 A. l modulo del campo magnetico in un punto del solenoide a mm di distanza dall asse del solenoide è pari a: (A).9 mt ().7 mt (C) 3.7 mt (D) 4.8 mt (E) 6.5 mt Da3. Due lunghi solenoidi coassiali con asse lungo sono così costituiti: solenoide interno 5 spire al metro, corrente, raggio.3 m; solenoide esterno 35 spire al metro, corrente, raggio.5 m. Se, a distanza d. m dall asse dei solenoidi, il modulo del campo vale.57 mt e se la corrente è di A e luisce nello stesso verso di, il rapporto / vale, in valore assoluto: (A). ().86 (C) 3.4 (D) 3.7 (E) indeterminato Da4. Un anello di raggio r.6 m è ormato da 75 spire percorse da una corrente di intensità. Se tale corrente crea un campo magnetico di modulo. mt al centro dell anello, la corrente vale: (A) A ().3 A (C). A (D).65 A (E) Da5. Un ilo di rame di diametro 4 mm è percorso da una corrente A di densità uniorme. Utilizzando il teorema di Ampère si trovi il modulo del campo magnetico all interno del ilo a distanza di mm dal centro. (A) ( 4 ) T () 6( 4 ) T (C) T (D) ( 4 ) T (E) 4( 4 ) T Da6. Tre lunghi ili percorsi da correnti giacciono nel piano, e si incontrano nell origine degli assi cartesiani come da igura. valori delle correnti e dell angolo α sono 3 α 3 3 A 3 A 4 A α l valore di nel punto P(3,4) (coordinate espresse in metri) vale (A).7 µt ().39 µt (C).464 µt (D).488 µt (E).937 µt 4

5 FORZE SU CORRENT ELETTRCHE Db. Una spira rettangolare di dimensioni a cm e b 5 cm, percorsa da una corrente s 5 A, è collocata a cm in prossimità di un lungo ilo percorso dalla corrente A, come indicato nel disegno. La risultante s 5 A b 5 cm delle orze agenti sulla spira vale circa: (A).5 mn (). mn (C).6 mn d 4cm A (D) 3.4 mn (E).4 mn Soluzione. l lato lungo della spira, prossimo al ilo, è attirato verso questo da una orza: + a ( d) s a s µ π d mentre il lato della spira distante dal ilo è respinto dalla orza: a ( d + b) a s s µ. π ( d + b) Sui due lati normali al ilo agiscono due orze uguali e contrarie, una diretta verso destra e l altra verso sinistra, che si annullano. La risultante è perciò diretta verso il ilo e vale µ + a s π d d + b µ ab 7 5 s ( ) 5 N.4 mn π d( d + b) 4 9 Db. Un avvolgimento circolare di raggio R 7 cm è costituito da 3 spire percorse da una corrente s 5 A. L asse dell avvolgimento, orientato nella direzione che vede la corrente circolare in senso antiorario, è parallelo al versore i. L avvolgimento si trova in un campo magnetico.3i.4j+.5k (valori delle componenti in tesla). L avvolgimento è sottoposto a una coppia di circa (A) 3.4 N m () 4.4 N m (C) 34.6 N m (D) 44.4 N m (E) N m Soluzione. Si consideri il momento magnetico associato alla spira: m NSn, dove S è l area della spira e n un versore normale ad essa, orientato in accordo con il verso della corrente; in questo caso è m NSi. l momento agente sulla spira è M m e può essere calcolato con la matrice: i j k M m ( m ) j + ( m ) k z il cui modulo è z M NS z π (.7) Nm 44.4 Nm 5

6 Db3. Con rierimento al problema precedente, se l avvolgimento è libero di orientarsi nel campo, passando dall orientamento iniziale a quella di equilibrio l energia potenziale dell avvolgimento diminuisce di circa (A) 8. J () 4.35 J (C) 83.6 J (D).7 J (E) J Soluzione. Le orze magnetiche orientano l avvolgimento dalla posizione iniziale, nella quale il momento magnetico m della spira orma l angolo ϑ i con il campo, alla posizione di equilibrio nella quale m e sono paralleli e l angolo ϑ tra le loro direzioni è nullo. Poiché l energia potenziale è data dal prodotto scalare cambiato di segno dei vettori m e, le energie potenziali iniziali e inali nel nostro caso sono: E m m e E m P i P La variazione di energia potenziale è quindi (notare che ϑ i è maggiore di 9 e l energia potenziale iniziale è positiva) E P E P i NS( ) 3 5 π (.7) (.5 +.3)J J Db4. La spira triangolare della igura giace nel piano ed è percorsa da una corrente 3 A nel verso indicato mentre è immersa in un campo di induzione magnetica i (T). Se OA.3 m e O.4 m, la spira è A(,.3) sottoposta a una coppia Mj con M pari a (A) 9 N m () 8 N m (C) 36 N m θ (D) 36 N m (E) 8 N m Soluzione. La orza sul lato OA ha modulo OA (.3 3 ) N 9 N ed è diretta nel verso O(, ) (.4, ) entrante nel oglio. La orza su A vale in modulo A sinϑ OA 9 N ed esce dal piano del oglio. La orza su O è nulla. Si noti che la risultante delle orze agenti su una spira chiusa immersa in un campo magnetico uniorme è sempre nulla. Le orze agenti su OA e A si possono pensare applicate ai punti medi di questi lati, i quali sono distanti O /. m. Perciò il momento della coppia vale M (9.) Nm 8 N m Db5. Una spira rettangolare è posta su un piano inclinato di 3 rispetto all orizzontale. Un lato orizzontale della spira è isso e ha lunghezza l 5 cm; z l altro lato orizzontale è costituito da una barra conduttrice, di massa m. kg, che può scivolare senza attriti sul piano. Se il circuito è immerso in un campo magnetico (.8T)k, diretto come la verticale discendente, per quale valore della corrente l nella spira la barra mobile resterà erma? 3 (A).4 A () 3. A (C) 4.8 A (D) 9.8 A (E) 3.4 A Soluzione. La orza magnetica m sulla barra è diretta come l asse e vale in modulo m l ; la sua componente lungo il piano inclinato, m cos3, deve essere uguale alla componente della orza di gravità, g mgk, lungo il piano inclinato: gsen3 m cos3 mg sen 3 l cos3 mg. 9.8 tan 3 A.4 A l

7 Db6. l modulo del campo magnetico terrestre all equatore vale circa 5 µt ed è diretto verso Nord. Su un tratto di ilo lungo l m, percorso da una corrente 4 A diretta da Est ad Ovest, il campo magnetico esercita una orza di: (A) 4 mn in giù () N (C) mn in su (D) 4 N verso Est (E) 4 mn verso Nord Soluzione. l modulo della orza è: l l sinϑ (4 5( 6 ))N 4 mn. Ovest Applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, si trova che la orza è diretta verso il basso. giù Nord Db7. La bobina rettangolare del disegno è costituita da spire ed è percorsa da una corrente di intensità 8 A, nel verso indicato. l campo di induzione magnetica è uniorme e di modulo.33 T. La bobina è sottoposta ad una coppia pari a (in N m): (A) 6.84 () 3.4 (C).6 (D) 5.3 (E) cm a b 8 cm Db8. Un avvolgimento quadrato di lato l cm composto da N 6 spire e percorso da una corrente antioraria di intensità s A giace in un piano a cui appartiene anche un ilo percorso da una corrente di intensità 5 A ad una distanza di cm dal centro dell avvolgimento e avente la stessa direzione e verso della corrente nel lato prossimo dell avvolgimento. l momento cm s delle orze magnetiche sull avvolgimento vale (in N m) (A) 4.8( 4 ) ().4( 4 ) (C).( 4 ) cm (D).8( 4 ) (E) Db9. Una spira rettangolare rigida è percorsa da una corrente s A nel verso indicato ed è complanare a un ilo indeinito percorso da una corrente 5 A (vedi igura). La risultante delle orze sulla spira prodotte dal campo generato dalla corrente del ilo vale in modulo circa (A).5 mn () 4 mn (C) 5 mn (D) 6 mn (E) 8 mn Db. La componente orizzontale del campo magnetico terrestre a ergamo è di ( 5 )T. La orza che si esercita su un metro di ilo verticale, percorso da una corrente di A diretta verso l alto (in su), è di: (A).4 mn verso Est ().4 mn verso Ovest (C).4 mn verso Nord (D).4 mn verso Sud (E).4 mn in giù cm cm s cm 7

8 Db. Due conduttori lunghi, rettilinei e paralleli sono nel vuoto a una distanza d cm e sono percorsi da correnti equiverse, di intensità rispettive A e 3 A. La orza per unità di lunghezza con la quale si attirano vale (A).4 N/m ().6 3 N/m (C). 3 N/m (D).4 3 N/m (E) Db. n un campo uniorme di componenti 5 mt, e z, vi è un tratto di ilo percorso da una corrente A tra i punti P (,,) e P (, 4, 5) (le coordinate sono espresse in metri). l modulo della orza agente sul tratto di ilo vale: (A) N ().4 N (C) 3.4 N (D) 4.4 N (E) 5. N Db3. L avvolgimento della igura è costitutito da spire percorse da ma ed è libero di ruotare attorno all asse. Se si ha un campo uniorme i con.5 T e l area dell avvolgimento è di 7 cm, il momento della coppia agente sull avvolgimento quando questo è nel piano del disegno vale: (A) 7( 4 ) N m () 5( 4 ) N m (C) 4( 4 ) N m (D) ( 4 ) N m (E) ( 4 ) N m Db4. Un avvolgimento costituito da spire circolari di raggio R cm appartenenti al piano e percorse da una corrente è immerso in un campo uniorme di componenti cartesiane. T,.3 T, z.5 T. Se il momento torcente sull avvolgimento vale in modulo M 5 Nm, la corrente dell avvolgimento è pari a circa (A). A ().5 A (C) 3.3 A (D) 4.8 A (E) Db5. Un avvolgimento rettangolare di ( 3)cm è costituito da 8 spire e giace inizialmente nel piano z, dove è percorso da una corrente antioraria (il verso della corrente individua il terzo asse con la regola della mano destra). L avvolgimento è libero di orientarsi nel campo magnetico uniorme di componenti cartesiane.7 T,.3 T, z. T. Nel portarsi dalla posizione iniziale a quella di equilibrio, la orza magnetica compie un lavoro di 6 J. L intensità della corrente che percorre l avvolgimento vale (A).85A ().44 A (C).87 A (D).67 A (E) 8.35 A Db6. Un tratto di conduttore rettilineo congiunge i punti A(,) e (3m,4m) del piano, ed è percorso da una corrente 5 A. n presenza di un campo magnetico giacente nel piano,.3t i+.4t j, il conduttore è sottoposto ad una orza che in modulo vale (A) N () N (C) 3.5 N (D) N (E).5 N Db7. Un avvolgimento circolare giace nel piano ed è costituito da spire di raggio R cm. L avvolgimento è posto in un campo magnetico uniorme di modulo pari a.5 T che orma un angolo ϑ 5 con la direzione positiva dell asse delle z (k). Se la spira è sottoposta ad una coppia di momento M Nm, essa è percorsa da una corrente di circa (A) 4.9 A ().55 A (C).98 A (D).47 A (E).3 A 8

9 MOTO D CARCHE N CAMP MAGNETC Ea. Un protone (q.6( 9 )C, m.67( 7 )kg) con una velocità iniziale v 4(6 m/s)i + 4(6 m/s)j entra in una zona dove vi è un campo magnetico uniorme.3 T i. La traiettoria del protone sarà un elica con passo di (A) m () 3.4 m (C).7 m (D).87 m (E) 98 mm Soluzione. ndicata con v la componente della velocità normale a, il raggio r dell elica ed il periodo di rivoluzione T sono rispettivamente mv r q πr T v πm π q ( ) 9 ( ).3 7 s.86( )s l passo dell elica è v T (4(6).86( 7 ))m.87 m Ea. Un protone e una particella pesante circa quattro volte il protone e con carica doppia vengono accelerati dalla stessa dierenza di potenziale V ed entrano in una regione dello spazio con un campo magnetico perpendicolare alla loro velocità di entrata. Se il protone descrive in tale regione una traiettoria con raggio di curvatura R p, il raggio di curvatura della particella nel limite classico è di circa (A).4 R p ().73 R p (C).53 R p (D) 3.3 R p (E) Soluzione. Scriviamo per una particella generica le uguaglianze tra l energia cinetica e l energia potenziale elettrica e tra la orza di Lorentz e la orza centripeta. m v / q V e qv mv / R Da quest ultima ricaviamo il raggio R di curvatura della traiettoria e sostituiamo la velocità v ottenuta dalla prima relazione: R m V / q costante m / q Si ottiene la relazione unzionale tra raggio, massa e carica. Quadruplicando la massa e raddoppiando la carica, il raggio aumenta di un attore. 4 Ea3. Un elettrone con velocità v (3 6 m/s)i +(4 6 m/s)j si muove in un campo magnetico (.4 T)i (.3T)j. l modulo della orza agente sull'elettrone è di (A).6 4 N ().9 4 N (C) N (D) 4. 4 N (E) Soluzione. Dato che i vettori v e giacciono nel piano, il vettore F qv è parallelo all asse z. La sua componente lungo tale asse, che perciò è anche uguale al modulo del vettore, è data da: F z (qv qv ).6 9 C[( 3 6 m/s.3t) (4 6 m/s.4t)] 4. 4 N Ea4. Un protone (m p.67 7 kg, q.6 9 C) entra con velocità di modulo v 6( 6 ) m/s in un campo magnetico uniorme z k e descrive una spirale di raggio R m e passo d m. L angolo acuto α ormato tra le direzioni di e di v vale circa (A) () 45 (C) 6 (D) 8 (E) 9 Soluzione. Dato che è diretto come l asse z, la orza F qv non ha componenti lungo tale asse, per cui la traiettoria della carica è una spirale che risulta dalla combinazione del moto circolare nel piano e del moto rettilineo uniorme lungo l asse z. ndicata v la 9

10 componente della velocità che giace nel piano ed è perciò normale a e con v z la componente parallela a, il raggio R della spirale, il periodo T e il passo d sono rispettivamente mv πr πm R e T q v q d v z T L angolo richiesto si ricava dalla relazione v TqR πr tanϑ 6.8 ϑ 8 v dm d z Ea5. Dopo essere stato accelerato da una dierenza di potenziale di 3 V un protone entra in una regione dove il campo di induzione magnetica è perpendicolare alla direzione del moto e in cui descrive una traiettoria circolare di cm di raggio; il modulo di vale (A).44 mt () 7.6 mt (C).5 mt (D) 3.4 mt (E) 74.5 mt Ea6. La orza che si esercita su uno ione He + (e.6 9 C, massa di circa 4 uma) in moto con velocità v 5 m/s in un campo magnetico di.8 T perpendicolare alla direzione del moto vale (A) 9.8( 7 ) N ().56( 4 ) N (C)3.( 4 ) N (D).5( 4 )N (E).6( 9 )N Ea7. Uno ione diretto lungo l asse non viene delesso in una regione dello spazio in cui vi è un campo elettrico di.37 kv /cm nella direzione ed un campo magnetico di.4 T lungo z. La velocità dello ione è di (A) 8.8( 5 ) m/s () 3.43( 3 ) m/s (C) 98 km/s (D) 55 km/s (E)

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