LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

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1 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI LE INTERSEZIONI Dispense didttiche di TOOGRFI r M unto di ollins O s θ 00 O d O d 00 θ θ ω ' ω θ c' ω ψ θ θq θ ' ' λ λ ' θ ' fiur fittizi simile ' λ ' θ Q ' ' Q' Q ' ' Q'

2 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI REMESSE INTERSEZIONI L determinzione plnimetric di un rete di ppoio può essere eseuit pplicndo il procedimento dell trinolzione, dell trilterzione oppure il metodo misto derivnte dll contemporne misur di noli e lti. Si può nturlmente procedere nche medinte polionli eodimetriche. Spesso è necessrio ricorrere lle intersezioni per:. ORIENTRE UN RILIEVO, HE UÒ ESSERE UN NUOV RETE D INQUDRMENTO, IN UN RETE ESISTENTE;. INSERIRE I UNTI DI DETTGLIO NEL SISTEM D INQUDRMENTO, RRESENTTO D TRINGOLZIONI, TRILTERZIONI E OLIGONLI. L scelt dell tipoloi dell intersezione dipende dlle condizioni di ccessiilià e visiilità dei punti del rilievo, si di dettlio che d inqudrmento. I punti trionometrici del 4 ordine dell IGM ed i punti di dettlio del tsto sono stti ottenuti per intersezioni, ppoindoli d ltri punti trionometrici di ordine superiore e di posizione not. Dl punto di vist opertivo si us clssificre le intersezioni in DIRETTE ED INDIRETTE O INVERSE. NELLE INTERSEZIONI DIRETTE le misure nolri necessrie per l definizione dei punti isolti sono effettute fcendo col teodolite su lmeno uno dei punti di coordinte note. NELLE INTERSEZIONI INDIRETTE le misure nolri sono effettute fcendo sul punto inconito isolto. ome ià premesso, l scelt di un metodo d intersezione piuttosto che un ltro dipenderà dlle confiurzioni morfoloiche del terreno, dll disponiilità e dll visiilità dei vertici di coordinte note, nonché dlle precisioni che occorre rispettre. oiché le intersezioni dirette richiedono lo stzionmento nei punti di coordinte note ( per esempio vertici dell rete eodetic ed essendo questi ultimi perlopiù in posizioni inccessiili ( m collimili per un intersezione invers, diviene spesso necessrio eseuire L STZIONE FUORI ENTRO, che costituisce un compliczione non indifferente nell procedur. l contrrio, le intersezioni inverse richiedono lo stzionmento del teodolite sui punti inconiti, spesso definite dl toporfo nelle posizioni meno difficoltose, perciò, in definitiv, esse risultno più convenienti rispetto le intersezioni dirette, nche se lo sviluppo numerico ppre più complesso. In relzione l NUMERO delle misure nolri effettute le intersezioni si possono ulteriormente suddividere in : SEMLII, se le misure nolri sono quelle strettmente necessrie (isosttiche; MULTILE, se le misure sono sovrondnti, permettendo di eseuire compenszioni empiriche o riorose (ipersttiche. Le intersezioni trdizionli prevedono unicmente misure nolri (LETTURE ZIMUTLI, mentre oiiorno si v estendendo l misur linere di lcune distnze che intervenono nello schem opertivo. INTERSEZIONI DIRETTE INVERSE SOLUZIONI Intersezione in vnti semplice Grfo-nlitic Intersezione in vnti multipl Grfo-nlitic Doppi intersezione in vnti (prolem dell distnz inccessiile Grfo-nlitic Intersezione lterle semplice Grfo-nlitic Intersezione lterle multipl Grfo-nlitic Intersezione rdile Grfo-nlitic L fuori centro nelle intersezioni dirette Il prolem di Snellius-othenot (intersezione invers o ll indietro Risoluzione rfic Il metodo dell nolo usilirio. Il metodo rfico-nlitico di ssini Risoluzione rfic di ollins Intersezione multipl ll indietro Grfo-nlitic Il prolem di Snellius-othenot mplito Risoluzione rfic punti Il metodo dell nolo usilirio. Il prolem di Hnsen Il metodo dell se fittizi (doppi intersezione invers Il metodo dell nolo usilirio.

3 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI INTERSEZIONE IN VNTI SEMLIE SHEM Lo schem dell intersezione in vnti semplice viene usto per determinre le coordinte di un punto isolto m visiile d due punti e di coordinte note e che loro volt devono essere visiili reciprocmente. L intersezione in vnti viene ust in enere qundo il punto d determinre è inccessiile. ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y, ( ;Y θα θαβ O punto collimto inccessiile θ θ Si ricord che, se non fosse possiile fr su e su, occorreree fr fuori centro. Inoltre, per eliminre l miuità conness ll posizione del punto rispetto l lto, occorre stilire d che prte si colloc, se ll sinistr o ll destr di un osservtore posto in che osserv. I punti e di coordinte note possono pprtenere ll rete d inqudrmento IGM o ctstle, oppure possono essere stti definiti in operzioni d inqudrmento precedenti. Quest intersezione present limitte possiilità di controllo sulle operzioni di misur ( per questo è dett semplice che sono in numero strettmente indispensili. oordinte polri di rispetto d : x rct y x y pplicndo il teorem dei seni: sen sen[ 00 ( + ] sen sen[ 00 ( + ] ± 00 x x sen sen sen( + sen sen( + RIORD: N D + + no noli di direzione: + Si noti che li noli di direzione cmino l cmire delle posizioni reciproche di, e ; per cui è necessrio oni volt eseuire un diseno orienttivo dl qule risulterà chir l relzione fr li noli di direzione con e. x oordinte crtesine del vertice ssndo dll : ssndo dll : x + ( x p x x + sen x x + ( x p x x + sen y y + ( y p y y + cos y y + ( y p y y + cos 3

4 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI oordinte del vertice nel sistem di Guss o ssndo dll : ssndo dll : E E + ( E p E E + sen N N N + cos N + ( N p E E + ( E p E E + sen N N + ( N p N N + cos Le intersezioni sono un prolem essenzilmente plnimetrico, tuttvi, conoscendo l quot di lmeno di uno dei due punti e, è possiile determinre nche l quot del punto inconito. Di solito l distnz tr i punti noti e quello inconito sono elevte, per cui spesso si richiede un livellzione trionometric d un estremo. k Q Q + Q + [ cot + h l + ] R ONFIGURZIONE ONVENIENTE Si noti che l misur deli noli e deve essere eseuit con molt cur, perché l precisione che si ottiene nell determinzione delle coordinte di dipende strettmente dll precisione con l qule sono stti misurti questi due noli. Si potree dimostrre che l precisione nell determinzione delle coordinte di dipende nche dll confiurzione eometric del trinolo e precismente dll mpiezz dell nolo ˆ 00 ( + Le condizioni miliori sono quelle in cui l mpiezz di questo nolo è compres tr 0 e 30. INTERSEZIONE IN VNTI MULTIL SHEM L intersezione in vnti semplice non consente di eseuire un controllo delle misure ftte, essendo queste in numero strettmente indispensile perché il punto d rilevre si univocmente definito. Spesso perciò si ricorre ll intersezione multipl in vnti che consiste nel determinre l posizione di un punto fcendo in n vertici,, 3, n-, n. Questo schem offre nzitutto l possiilità di un controllo sull vlidità delle misure stesse. Un volt esclus l presenz di errori inccettili nelle misure, occorre procedere ll compenszione, onde iunere ll individuzione univoc dell coppi dei vlori che rppresentno le coordinte del punto. N punto collimto inccessiile λ n δ γ γ δ n- O E 3 Nell prtic opertiv è ene fr in tre punti,, secondo lo schem seuente: 4

5 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y ( ;Y,, γ, γ ( ;Y O γ γ punto collimto inccessiile er l misur deli noli,, γ (come differenze di letture zimutli occorre fre per oni nolo lmeno tre strti di misur. Note le distnze,, si scelie quell miore ( nell esempio. Se si vuole che le coordinte ino un precisione di cm, l errore nolre dovrà essere dell ordine di: 0,0 rct d ε dove d mx è l distnz miore tr, e. mx Se d mx 5 km si h: ε 0,0 rct 0, Stilit l precisione necessri per il tipo di operzione, si può determinre il numero di REITERZIONI richieste per le misure nolri. Qundo si us un teodolite con l sensiilità di 0,000 on (decimillesimo di on non sinific che un misur nolre effettut medinte l ppliczione dell reol di essel permett di riunere quest precisione. Di solito, si per l imperfezione delle rettifiche nell mess in dello strumento, si per le condizioni tmosferiche, si per i limiti dell opertore nell eseuire le letture, si può riunere un precisione di circ 0,0005 on, cioè cinque volte miore dell sensiilità nominle del teodolite. Volendo ottenere nell misur deli noli un precisione di 0,00055 on, ricordndo dll teori deli errori che l errore qudrtico medio dell medi è dto d: sinol misur. In questo cso il numero delle REITERZIONI sono: µ ± m µ dove µ è l pprossimzione teoric di oni n µ 0,0005 µ m n 4strti n µ 0,00055 µ m Sono note le coordinte crtesine delle stzioni,,. e venono misurte li noli,, γ come differenze di letture zimutli. Si hnno così tre schemi d intersezione in vnti semplice:,,. Risolti i tre schemi si otterrnno tre vlori delle coordinte del punto collimto : x, x, x 3 e y, y, y 3. Se tli vlori sono di poco diversi uno dll ltro (poche decine di cm, si ssumono come coordinte definitive di le medie ritmetiche. x + x + x3 x 3 y + y + y3 y 3 5

6 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI DOI INTERSEZIONE IN VNTI (prolem dell distnz tr due punti visiili m non ccessiili Il metodo di rilievo dell distnz inccessiile, dett nche doppi intersezione in vnti, permette di determinre l distnz fr due punti inccessiili, fcendo con il oniometro in due punti usiliri ccessiili, di quli sino visiili li estremi dell distnz inconit. Il prolem è riconduciile quello dell intersezione in vnti, che può essere pplicto seprtmente per i punti di e D. O punto collimto inccessiile γ δ punto collimto inccessiile δ γ D ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE Se non si può misurre l distnz γ, γ toporfic D, occorre conoscere δ, δ Distnz toporfic le coordinte dei punti di : Distnz toporfic D ( ;Y ; ( ;Y Teorem dei seni l trinolo D: D sen sen 00 ( Teorem dei seni l trinolo D: D sen sen 00 ( Teorem di rnot (o del coseno l trinolo : γ + [ γ γ δ + [ δ δ ] ] D senγ sen ( γ + γ D senδ sen ( δ + δ + cos( γ δ Ovvimente li noli γ, γ, δ, δ sono ottenuti d differenze di letture zimutli: γ l D - l γ l D - l D δ l D - l δ l D - l D l l ld ld ld ld D 6

7 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI INTERSEZIONE LTERLE SEMLIE SHEM Questo metodo d intersezione viene impieto nell determinzione di un punto che deve essere ccessiile, vendo disposizione due punti e di coordinte note, reciprocmente visiili e, d lmeno uno dei due, si visiile ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y ε, (o in lterntiv si misur ( ;Y : punto di θα punto collimto O θαβ ε θ θ In effetti nell intersezione lterle semplice occorre eseuire l su un sol punto di coordinte note e quindi, l proilità di dover ricorrere ll fuori centro si riduce rispetto ll intersezione in vnti. Su quest intersezione non si possono effetture né controlli né compenszioni. oordinte polri di rispetto d : x x x x rct pplicndo il teorem dei seni: noli di direzione: [ 00 ( ε + ] y y ± 00 sen sen senε senε sen sen( ε + sen[ 00 ( ε + ] senε senε + oordinte crtesine del vertice ssndo dll : ssndo dll : x x + ( x x x + sen x x + ( x p x x + p Occorre fre su per misurre l nolo ε (ttrverso l differenz di letture zimutli e su uno dei due punti di coordinte note, nel nostro cso, per misurre l nolo. onseuentemente: 00 (ε+ questo punto lo sviluppo divent identico quello dell intersezione in vnti semplice con l fcile determinzione delle coordinte crtesine del punto di. L ver differenz con l intersezione in vnti è nel lvoro di cmpn. sen y y y + cos y + ( y p y y + ( y p y y + cos 7

8 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI Si potree dimostrre che, nell determinzione delle coordinte di un punto, è più conveniente, in termini di precisione, l intersezione in vnti per i punti vicini e quell lterle per i punti lontni. er definire melio tle ffermzione, pensimo di trccire un circonferenz con centro in e rio. Si dimostr che i punti che sono dentro ll circonferenz si determinno melio con l intersezione in vnti, mentre, per quelli esterni ll stess circonferenz, risult più conveniente l intersezione lterle. Tle ffermzione definisce unicmente un criterio di convenienz in termini di precisione, in reltà l scelt dell uno o dell ltro tipo d intersezione srà fortemente condiziont dlle situzioni loistiche e morfoloiche dei punti sui quli occorrerà eseuire le stzioni. on ciò si ricord che, nelle ordinrie operzioni toporfiche, verrà dottto quel metodo d intersezione con il qule si possiile misurre li noli senz ricorrere procedure prticolri, come le stzioni fuori centro, che comunque sono qusi sempre necessrie qundo si deno misurre li noli di vertici trionometrici. punto collimto ε punto collimto "IN VNTI" "LTERLE" INTERSEZIONE LTERLE MULTIL SHEM Questo metodo d intersezione viene impieto nell determinzione di un punto che deve essere ccessiile, vendo disposizione tre punti, e di coordinte note, reciprocmente visiili. Inftti, per poter rendere l struttur eometric controllile, occorre vere disposizione lmeno un terzo punto di coordinte note (punto collimile d. Si f quindi in, dove si misurno li noli orizzontli ε e δ, e nel punto, dove si misurno li noli e. ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y ( ;Y, δ, δ ( ;Y : secondo punto di 8

9 O θ punto collimto θ δ lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI θ δ punto collimto θ θ θ INTERSEZIONE RDILE L risoluzione di ciscun trinolo fornirà un coppi di coordinte (nevitilmente diverse per li errori di misur deli noli, δ nel primo trinolo e, δ nel secondo trinolo: l loro medi ritmetic fornirà il vlore definitivo delle coordinte del punto. SHEM L impieo dei distnziometri d onde modulte o delle stzioni totli permette l determinzione rpid e molto precis di un punto misurndo le distnze di esso di due punti e dei quli sino note le coordinte crtesine. Inoltre non è necessrio che i punti e sino visiili tr loro, st che lo sino d. ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI ELEMENTI LOLTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y Distnze toporfiche e. noli orizzontli e ( ;Y : Dll conoscenz delle coordinte crtesine di e si ricvvno, come nell intersezione semplice, le coordinte polri di rispetto d : RIORD: x x N D x x rct ± no y y sen Fcendo in si misurno le distnze toporfiche &. on le formule di ris si ricvno li noli &. θα punto collimto rct ( p ( p c p ( p punto collimto O θαβ c θ θ rct ( p ( p c p ( p dove p è il semiperimetro. In lterntiv lle formule di ris si può pplicre l relzione invers del teorem di rnot. 9

10 Noto o si ricv l zimut θ oppure θ. lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI + c + c c cos rccos c + c + c c cos rccos c + oordinte crtesine del punto di ssndo dll : ssndo dll : x x + ( x x x + sen x x + ( x p y y + cos y + ( y p y y y + ( y p p x y x y + sen + cos L STZIONE FUORI ENTRO NELLE INTERSEZIONI DIRETTE Le intersezioni dirette (in vnti e lterle sono più ffidili, in termini di pur precisione, rispetto lle intersezioni inverse. Tuttvi, le intersezioni dirette sono spesso, nelle operzioni di cmpn, più complicte d eseuire, perché tlvolt richiedono l esecuzione di STZIONI FUORI ENTRO, llo scopo di misurre li noli in corrispondenz dei punti noti. Supponimo di dover determinre le coordinte crtesine del punto inccessiile con un intersezione in vnti semplice di due vertici trionometrici e di coordinte note, sui quli tuttvi non è possiile fr con il teodolite. Si frnno perciò due stzioni fuori centro, l prim sul punto prossimo d (eccentricità e e l second sul punto prossimo (eccentricità e. ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI ELEMENTI LOLTI INOGNITE Dll : l - l - l ( ;Y Dll : l - l - l noli: ( ;Y Eccentricità: e - e orrezioni nolri: 3 4 ( ;Y : Distnze e Dll si collimno i punti, ed e si fnno le corrispondenti letture l.o. Dll si collimno i punti, ed e si fnno le corrispondenti letture l.o. ison conoscere le distnze e che enerlmente non sono note. er determinrle isoneree conoscere li noli e. Si suppone, in un primo momento, che le letture ftte in e sino poco differenti d quelle ftte in e. Si ricvno perciò i seuenti vlori: ' l ' l' ' l ' l' Servendoci di questi vlori pprossimti di e, si clcolno con il teorem dei seni le distnze e, per le quli si otterrnno vlori pprossimti, m molto vicini quelli reli. x x x x rct ± 00 y y sen pplicndo il teorem dei seni: sen sen( + sen sen[ 00 ( + ] sen sen[ 00 ( + ] sen sen( + Riduzione l centro delle stzioni: l l - l l + 3 l l - l l + 4 0

11 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI fuori centro ' ' punto collimto inccessiile ' fuori centro ' Un volt determinte le correzioni nolri pplicndo quttro volte il teorem dei seni i trinoli dei fuori centro e ponendo rd 00 sen 00 π π, si ottenono le letture l.o. che si sreero vute se si vesse potuto fr in e. Si clcolno i vlori veri deli noli e. on questi ultimi risultti si possono poi riclcolre nuovmente le distnze e. Seue il clcolo delle coordinte di come nell intersezione in vnti semplice. 4 noto 4 noto e ' ' e e ' 3 noto 3 ' e noto

12 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI IL ROLEM DI SNELLIUS-OTHENOT (intersezione invers o ll indietro Nelle intersezioni dirette si è visto che i metodi di rittcco, pur richiedendo un semplice lvoro di tvolino, risultno ssi scomodi nel lvoro di cmpn. Inftti occorre fre su lmeno uno dei punti i quli si rittcc e tli punti di solito coincidono con vertici trionometrici individuti d cmpnili o d prti di fricti per i quli risult difficile l relizzzione dell. Rion per cui risulteree en più comodo determinre l posizione del punto inconito senz ver l necessità di fr sui vertici trionometrici, m fcendo un sol sul punto d determinre e collimndo tre punti noti. Questo procedimento di rilievo, conosciuto sotto molte denominzioni, è stto storicmente proposto dl fisico e eodet olndese Willerord Snell vn Royen melio conosciuto con il nome umnistico di Snellius (58? 66 che fu nche l idetore dell trinolzione. Snellius fu il primo che pplicò il metodo dell trinolzione in occsione dell misur di un rco di meridino vicino Leid. Snellius indicò un soluzione dell intersezione invers di tipo rfico verso il 600: Trium locorum intervllis inter se dtis, qurti distntim omnius unic definire. Fr i principli studi su questo prolem, si ricordno quelli di ollins (680, di othenot (69 e di Jcques ssini ( rii, ollins propose ncor un soluzione rfic. Fu poi othenot che sviluppò un procedur nlitic conenile l clcolo loritmico. L stronomo e crtorfo frncese di oriine itlin Jcques ssini sviluppò un soluzione rfic che, solo recentemente, è stt ripres come se di un clcolo nlitico fcilmente estiile dlle moderne clcoltrici. SHEM Dte le posizioni di tre punti, determinre l posizione di un qurto punto, medinte l misur deli noli che formno tr di loro le tre visuli condotte d questo i tre punti dti. ll semplificzione delle misure rispetto lle intersezioni dirette, corrisponde, nelle intersezioni inverse, un mior complessità dello schem eometrico e dei reltivi clcoli, che tuttvi è preferiile rispetto lle più semplici operzioni di cmpn. ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y ( ;Y ( ;Y, ( ;Y : punto di SOLUZIONE GRFI DI OLLINS Fr le soluzioni rfiche del prolem di Snellius othenot, prticolrmente rillnte, per rpidità ed efficci, ppre quell propost d ollins. Sino, e i punti noti. Si coniune con e, su si riport in l nolo ed in l nolo, trccindo le semirette r ed s. L intersezione M delle rette r ed s viene dett UNTO DI OLLINS. Si trccino li ssi dei sementi M ed M che si intersecno nel punto O: centro dell circonferenz circoscritt l trinolo M. L coniunente M con (o il suo prolunmento incontr l circonferenz nel punto, che è quello cercto. Inftti ˆ ˆ M perché insistono sullo stesso rco M e nlomente M ˆ Mˆ perché insistono sullo stesso rco M. oiché vede e sotto li noli e, esso è il punto che s intendev determinre l posizione.

13 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI r M unto di ollins O s 00 t O r O r s 00 SOLUZIONE GRFI DI SSINI ssini propose l soluzione rfic dett nche delle due circonferenze. Quest eometri servirà poi per impostre un soluzione numeric che si prest l clcolo con l clcoltrice tscile. Dl punti strcci l rett t che form un nolo con l distnz. Si trcci l sse del semento ed in l perpendicolre t. Il punto d incontro O è il centro di un circonferenz che pss per e per e risult tnente ll rett t. Tutti i punti di quest circonferenz compresi nell rco dll prte di fnno vedere il semento sotto noli uuli di mpiezz. on procedimento del tutto nloo si trcci l second circonferenz di centro O pssnte per i punti e. I punti di quest second circonferenz, compresi nell rco dll prte di, fnno vedere l cord sotto l nolo, pertnto il punto dovrà trovrsi nche su quest second circonferenz. L INTERSEZIONE DEI DUE ERHI INDIVIDU L OSIZIONE DI. Le due circonferenze pssno entrme per e s incontrno in un secondo punto che è il punto cercto. Esso ode inftti dell proprietà di fr vedere simultnemente il semento sotto l nolo e quello sotto l nolo. SOLUZIONE NLITI DLLO SHEM DI SSINI In pssto il clcolo numerico er condizionto dll ricerc di espressioni in form loritmic. Oi, con l uso delle clcoltici tscili, viene mncre il condizionmento di rrivre d un espressione loritmic, dndo spzio soluzioni più lineri sotto l spetto eometrico e semplici d memorizzre. lcolo dei lti e e dei reltivi zimut θ e θ : x x x x y rct ± 00 oppure y y y sen cos rct x y x y ± 00 x x sen oppure y y cos 3

14 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI θ 00 O 00 θ d O d on riferimento ll soluzione rfic delle due circonferenze, si prolun il rio O fino d intersecre in l prim circonferenz dove è il dimetro. Similmente si prolun il rio O fino d intersecre in l second circonferenz dove è il dimetro. lcolo delle coordinte polri di rispetto d e quelle di rispetto. Si osserv che i trinoli e sono rettnoli, perché inscritti in un circonferenz con l ipotenus uule l dimetro e sono risolviili. cot cot oordinte crtesine di : + sen + cot sen( + 00 Y Y + cos Y cot cos( oordinte crtesine di : Ricordndo le funzioni trionometriche tr i vri qudrnti: sen(θ + 00 cosθ cos(θ sen θ + sen + cot sen( 00 sen(θ cos θ cos(θ - 00 sen θ Y Y + cos Y cot cos( + 00 Ricordndo le funzioni trionometriche tr i vri qudrnti e che i lti e possono essere espressi come Y Y Y e Y, le coordinte crtesine dei punti usiliri e si cos cos trsformno secondo le successive espressioni. 4

15 oordinte crtesine di : + cot cosθ lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI Y Y Y Y cos Y cot ( Y + sen cosθ oordinte crtesine di : Y Y Y Y + cot ( cos Y Y + cot ( sen cos cos Semplificndo si ottiene qunto seue. oordinte crtesine di : + ( Y Y cot Y Y ( Y Y cot t oordinte crtesine di : ( Y Y cot Y Y + ( Y Y cot t oiché t e Y Y t si ottenono le relzioni finli di Y e Y. Y Y oordinte crtesine di : oordinte crtesine di : + ( Y Y cot Y Y ( cot ( Y Y cot Y Y + ( cot Osservndo l fiur si not che i trinoli e sono rettnoli in, perché inscritti in un circonferenz con l ipotenus uule l dimetro. Dunque i punti, e sono llineti ed il semento risult perpendicolre ll rett che pss per e nel punto. er clcolre le coordinte del punto si trtt di risolvere il prolem del clcolo delle coordinte del piede delle perpendicolre (punto. ( ( Y Y + ( Y Y ( OEFFIIENTE INTERMEDIO: Ω ( + ( Y Y OORDINTE DEL UNTO DI STZIONE : ( Y Y Ω Y Y + ( Ω 5

16 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI METODO DELLE ERENDIOLRI (Soluzione nlitic dllo schem di ssini propost d Selvini θ 00 ω γ 00 O ψ θ O d d Mentre il metodo precedente proponev un soluzione nlitic dtt per le clcoltrici tscili prormmili, questo metodo proposto dl rof. Selvini del olitecnico di Milno permette di clcolre le coordinte del punto di in modo rionto, percorrendo psso per psso un semplice percorso. Si s sempre sull intuizione rfic di ssini ed è detto METODO DELLE ERENDIOLRI. lcolo dei dimetri: d sen d sen d sen d sen nolo ˆ γ γ ω ω ( 00 (00 ω er il teorem di rnot: d + d d d cosγ re del trinolo : S d d senγ S d d senγ L re del trinolo si può nche esprimere in form semplice come: S e ricvre ssndo d si pplic il teorem dei seni l trinolo : sen sen sen sen S sen rcsen 6

17 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI sen( + sen[ 00 ( + ] sen sen ssndo sempre d si clcolno le coordinte crtesine di : + sen( + Y Y + cos( + ssndo d si pplic il teorem dei seni l trinolo : sen sen ψ senψ sen sen ψ rcsen sen( ψ + sen[ 00 ( ψ + ] sen sen ssndo sempre d si clcolno le coordinte crtesine di : + sen( ψ Y Y + cos( ψ Le coordinte definitive del punto di si ottenono, se poco differenti come dovree essere, fcendo l medi ritmetic tr quelle pssndo d e le corrispondenti pssndo d. SOLUZIONE DI OTHENOT (Metodo dell nolo usilirio SEMISOMM: + ψ + + ω 00 θ θ θ ω θ θ ψ θ NGOLO USILIRIO: SEMIDIFFERENZ: sen λ rct sen ψ + ψ rct [ t t(50 λ] Sommndo e sottrendo si h: + ψ ψ + + ψ ψ ψ 7

18 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI OSSERVZIONI SUL ROLEM DI Snellius-othenot SO DI INDETERMINZIONE: SITUZIONE RITI er il prolem di Snellius othenot esiste un cso di INDETERMINZIONE in corrispondenz del qule tutte le soluzioni, si rfiche che nlitiche, non sono in rdo di definire il punto inconito. Se l somm dei tre noli noti, (misurti e ω ( dto come differenz di noli zimutli è uule d un nolo pitto ( + + ω 00 SIGNIFI HE IL QUDRILTERO E INSRITTO IN UN UNI IRONFERENZ; IL QUDRILTERO RISULT ILIO. Oltre l punto, nche tutti li infiniti punti situti sull circonferenz vedono li rchi e sotto i medesimi noli e, poiché li noli ll circonferenz sottesi d uno stesso rco sono uuli. Dl punto di vist prtico questo cso non permette di risolvere il prolem perché, viste le infinite soluzioni, non è possiile rislire l punto dl qule si sono misurti li noli e. oiché il prolem si determinto deve essere: + + ω ω 00 è ssi remot. Tuttvi è molto temiile Nturlmente l proilità che si relizzi e critic l seuente situzione: se l somm dei tre noli + + ω non si discost decismente (lmeno di 5 0 d 00, il prolem, nche se non più indeterminto, fornisce però soluzioni imprecise, perché piccoli errori nell misur deli noli e cusno rndissimi errori nelle coordinte di. ertnto, qundo è possiile, l scelt dei punti noti, e deve essere effettut in modo d rimnere en lontni dll situzione critic. Risult evidente che l precisione otteniile per le coordinte plnimetriche del punto dipende unicmente dll ontà dell misur deli noli e. Volendo vere un controllo per tli noli misurti in cmpn, occorre vere disposizione, oltre i punti,,, nche un qurto punto D. Questo schem eometrico risult IERDETERMINTO e viene chimto INTERSEZIONE INVERS MULTIL. INTERSEZIONE INVERS MULTIL (Intersezione multipl ll indietro L intersezione invers multipl o intersezione multipl ll indietro permette di definire le coordinte del punto in quttro modi diversi. Si risolvono le quttro intersezioni di Snellius usndo preferiilmente IL METODO DELL NGOLO USILIRIO. Nturlmente queste quttro soluzioni di srnno diverse. Un volt controllt e verifict l ccettilità di questi vlori, si ssumernno come coordinte del punto l medi ritmetic dei quttro risultti Y Y + Y + Y 4 + Y 3 4 8

19 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI e d c D SNELLIUS n. ω ψ SNELLIUS n. ω c γ ψ D SNELLIUS n. 3 ω 3 3 d ψ 3 D γ e ω 4 c + γ 4 ψ 4 D + γ SNELLIUS n. 4 SNELLIUS n. SEMISOMM: + ψ + + ω 00 NGOLO USILIRIO: sen λ rct sen SEMIDIFFERENZ: ψ + ψ rct [ t t(50 λ SNELLIUS n. 3 SEMISOMM: + ψ γ + 00 NGOLO USILIRIO: sen( + γ λ3 rct d sen SEMIDIFFERENZ: ψ ψ 3 rct [ t t(50 3 ω3 3 λ3 ] ] SNELLIUS n. SEMISOMM: + ψ + γ + ω 00 NGOLO USILIRIO: senγ λ rct c sen SEMIDIFFERENZ: ψ + ψ rct [ t t(50 λ SEMISOMM: SNELLIUS n. 4 + ψ γ ω4 NGOLO USILIRIO: SEMIDIFFERENZ: e senγ λ4 rct c sen( + 4 ψ ψ 4 rct [ t t(50 λ4] ] 9

20 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI IL ROLEM DI SNELLIUS-OTHENOT MLITO UNTI (risolto con il metodo dell nolo usilirio SHEM Il prolem di Snellius othenot mplito DUE UNTI può essere così sintetizzto: si conoscono le coordinte di tre punti,, e si voliono determinre le coordinte di due punti e Q, REIROMENTE VISIILI, nei quli si f per misurre i seuenti noli: ˆ ˆ Q Q Q ELEMENTI NOTI ELEMENTI MISURTI INOGNITE ( ;Y, ( ( ;Y ;Y :, Q( ( ;Y Q ;Y Q : ˆ ˆ θ ω ' ω θ c' ω ψ θ θq Dl punto si devono vedere, e Q; dl punto Q si devono vedere, e. ome nel prolem di othenot storico risolto con il metodo dell NGOLO USILIRIO, tutt l risoluzione del prolem è st sull ricerc deli noli e ψ. SEMISOMM: + ψ ω ψ ω θ NGOLO USILIRIO: Q lcolo deli noli e ψ : Dl trinolo si ricv : Dl trinolo Q si ricv Q : SEMIDIFFERENZ: + ψ ψ + ψ ψ + ψ dove: 00 ω ( + senω sen Q dove: 00 ω ( ψ + senω sen sen sen λ rct sen sen ψ + ψ rct [ t t(50 λ] Seue il clcolo delle coordinte dei punti di e Q: 0

21 lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI + sen( + Y Y + cos( + + Q sen( ψ Y Y + Q cos( ψ Q Q RISOLUZIONE GRFI DEL OTHENOT MLITO O O ( ' Q' Q ( Sino,, i tre punti noti e supponimo d qule prte si trov e Q rispetto i punti noti predetti.. Si trcci con l solit costruzione l circonferenz con centro O e l circonferenz con centro O D si trcci l semirett ' che form un nolo con l direzione. D si trcci l semirett Q ' che form un nolo con l direzione. Restno così individuti i UNTI USILIRI e Q. oniunendo con Q e prolunndo, d un prte e dll ltr, sino d intersecre le due circonferenze, restno determinti i punti di e Q.

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