METODI ITERATIVI PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI

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1 METODI ITERATIVI PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI Per l rsoluzone d un sstem lnere A b, oltre metod drett, è possble utlzzre nche metod tertv che rggungono l soluzone estt come lmte d un procedmento tertvo. Mentre metod drett s bsno su un fttorzzzone dell mtrce A e hnno un complesstà d On ) metod tertv s bsno su un decomposzone dell mtrce A e presentno un complesstà d On ). Pertnto tl metod rsultno prtcolrmente convenent qundo l mtrce A del sstem è d grnd dmenson e sprs. Inftt, qundo l mtrce A è sprs, coè l numero degl element non null è d molto nferore l numero degl element null, pplcndo metod drett può ccdere che vengno genert element non null n corrspondenz degl element null dell mtrce d prtenz fenomeno del fll-n). Questo non vvene pplcndo metod tertv n qunto ess s lmtno d utlzzre gl element non null dell mtrce senz toccre gl element null.. Metod tertv d decomposzone S A mtrce d ordne n e s dto l sstem A b, con deta 0. ) Un fmgl d metod tertv s ottene utlzzndo un decomposzone dell mtrce A nell form A M - N con det M 0. In tl modo l sstem ) dvent coè e qund s ottene equvlente l sstem ). M-N) b, M N + b M - N + M - b

2 L de de metod tertv è quell d prtre d un vettore nzle rbtrro, stm nzle dell soluzone del sstem ) e d costrure un successone d tert ) mednte l seguente procedmento tertvo ) M - N -) + M - b per,,. Defnendo TM - N, l mtrce d terzone del metodo tertvo, s h ) T -) + M - b per,,. ) Le prme domnde cu dobbmo dre rspost sono: l successone d tert ) è un successone convergente? In cso ffermtvo, l suo lmte è propro l soluzone del sstem )? Defnzone: Convergenz Il procedmento tertvo ) s dce convergente se, per ogn vettore nzle, l successone { ) } converge d un vettore lmte y; ) lm y coè se, per ogn ε>0, esste un ndce ν tle che per ogn >ν s h ) y ε. Il seguente teorem dà un rspost ffermtv ll second delle domnde che c ervmo post. Teorem: Se l sstem ) mmette un unc soluzone e se l processo tertvo ) è convergente, llor l vettore lmte y concde con l soluzone, coè ) lm.

3 Dmostrzone: Prtendo dll ) e pssndo l lmte s h M ) N -) + b My Ny + b d cu s ottene M-N)y b. Essendo M-NA, s h Ayb e qund y.. Convergenz de Metod Itertv Per effetture lo studo dell convergenz d un metodo tertvo s consder l mtrce d terzone T, tpc del metodo stesso. Inoltre s defnsce l errore commesso l psso come l vettore e e l vettore resduo l psso dto d,,,... r A b,,,... S osserv che queste due qunttà sono legte dll seguente relzone: ) r A b A A A ) Ae Consdermo or l relzone reltv l vlore estto M N + b e l relzone nlog, l generco psso, M ) N -) + b. Sottrendo l prm dll second, ottenmo ) Me Ne d cu. e M Ne ) Te ) T e )... T e

4 Affnché l procedmento s convergente s deve vere che, comunque s scegle, cscun componente del vettore e ) tend 0 per che tende. Questo equvle cercre delle condzon per cu che equvle lmt e 0 lm T 0. Teorem: Condzone necessr e suffcente ll Convergenz S AM-N un mtrce d ordne n, con deta) 0, e TM - N l mtrce d terzone del procedmento tertvo ). Condzone necessr e suffcente per l convergenz del procedmento tertvo, comunque s scelg l vettore nzle, l vettore A - b, è che ρ T ) < ovvero che l rggo spettrle che corrsponde ll utovlore d modulo mssmo) dell mtrce d terzone T s mnore d.. Esemp d metod tertv bst sull decomposzone d A ) Il metodo d Jcob o degl spostment smultne) ) Il metodo d Guss-Sedel o degl spostment successv). In entrmb metod s consder l mtrce A del sstem decompost come somm d mtrc, coè A D + E + F

5 con D O nn ; E O ; M 0 n nn 0 0 n 0 F O. nn 0 e s suppone che 0,,..n. Metodo d Jcob Nel metodo d Jcob l decomposzone d A nell form AM-N s ottene sceglendo MD e N-E+F). Pertnto l procedmento tertvo ) dvene ) -D - E+F) -) + D - b per,,.. ) In termn d component l ), equvle clcolre l -esm componente dell terto -esmo come n ) + b,.., n, ) n qunto l mtrce D - è un mtrce dgonle con element ugul recproc degl element d D. L mtrce d terzone del metodo d Jcob è qund dt d T J M - N -D - E+F) I - D - A. 5

6 Osservzon: ) L lgortmo d Jcob è defnto se gl element dgonl d A sono dvers d 0, coè 0. In cso contrro, sempre sotto l potes che A s non sngolre, s possono rordnre le equzon, e le ncognte del sstem, n modo d rendere l metodo defnto. ) Nel metodo d Jcob ogn elemento dell terto ) è ndpendente dgl ltr, pertnto l metodo è progrmmble n form prllel. Esempo: S consder l seguente sstem lnere: Il metodo d Jcob consste nello sceglere un vettore nzle,..., ) e nel rcvre ) ) ) ) ) 0 0 ) + + 5) 8 + 5) ) 0 S v po vnt n questo modo fnché non s rtene d essere suffcentemente vcn ll soluzone. Occorre pertnto defnre un crtero d rresto. ved prgrfo 6) 6

7 Metodo d Guss-Sedel Nel metodo d Guss-Sedel l decomposzone d A nell form AM-N s ottene sceglendo ME+D e N-F. Pertnto l procedmento tertvo ) dvene e, n termn d component, ) -E+D) - F -) + E+D) - b per,,.. 5) n + b ) +,.., n ) 6) S not che quest ultm espressone può essere nche scrtt n form comptt come ) - D - E ) + F -) - b ) per,,... 7) Questo metodo h l crtterstc d utlzzre, per clcolre l nuov componente - esm d un terto, le nuove component gà clcolte dell terto stesso. L mtrce d terzone del metodo d Jcob è dt d T G M - N -E+D) - F. Osservzone: Il metodo d Guss-Sedel non s prest d essere prllelzzto n qunto ogn nuov componente dell terto ) dpende d tutte le nuove component dello stesso terto che sono stte ppen clcolte. Esempo: 7

8 S consder l sstem lnere dell esempo precedente; prtendo dll terto nzle 0 0 0,..., ) s ottene: ) ) ) ) ) + ) ) ) 0 ) ) + + 5) 8 + 5) ) 0 e s contnu così fno convergenz.. Condzon Suffcent per l Convergenz: Il clcolo del rggo spettrle dell mtrce d terzone T è, nche utlzzndo lgortm done, puttosto oneroso. S prefersce qund o consderre condzon nche pù restrttve, m fclmente verfcbl, o ndvdure clss d mtrc per cu l convergenz è grntt d rsultt teorc. I seguent teorem servono quest scop. Il teorem che segue c grntsce un condzone suffcente ll convergenz. Teorem: Se, per un qulche norm, rsult T <, llor l processo tertvo ) T -) + M - b per,,. è convergente per ogn. Dm: Dll defnzone d utovlore d un mtrce s h Tλ, con 0, d cu s ottene λ T T e qund λ T. Poché, per potes, s h T < llor nche l rggo spettrle d T rsult mnore d e, per l teorem precedente, l procedmento tertvo è convergente. 8

9 Seguono or due teorem che grntscono l convergenz per clss prtcolr d mtrc. Teorem: Se l mtrce A è dgonle strettmente domnnte, coè > n,,..., n Allor s l metodo d Jcob che quello d Guss-Sedel convergono e s h T G T J < Teorem: Se l mtrce A è smmetrc e defnt postv, l metodo d Guss-Sedel è convergente. 5. Veloctà d convergenz e condzonmento d un mtrce D qunto bbmo vsto prm s h che e ) ) T e e T e. Pertnto l qunttà T, dett fttore d convergenz per pss, d un stm per eccesso d qunto s s rdotto l errore dopo terzon. Tle stm serve per confrontre comportment d dfferent process tertv dopo terzon. S defnsce veloctà med d convergenz per terzon l qunttà / ln T ) R T ) ln T ) 9

10 ovvmente nel cso n cu T <. Purtroppo queste grndezze, che dpendono dll norm mtrcle scelt, sono troppo onerose d clcolre e s prefersce stmre l veloctà sntotc d convergenz, defnt come l lmte per dell veloctà med d convergenz, coè R T ) lm R T ) ln ρ T )). D queste consderzon è possble concludere che un procedmento tertvo, convergente se l utovlore d modulo mssmo è mnore d, è tnto pù velocemente convergente qunto pù pccolo è l utovlore d modulo mssmo dell mtrce d terzone T. Un problem strettmente legto ll convergenz del procedmento tertvo è quello del ml condzonmento dell mtrce A. L nfluenz del condzonmento d A è nftt responsble del rllentmento o ddrttur dell perdt dell convergenz ne metod tertv. Per spegre questo n modo semplce dobbmo rcordre che lvorre con numer fnt comport che, l psso -esmo, nzché ) s determn ) + δ ). Utlzzndo un procedmento d nls ll ndetro, questo vlore clcolto può essere pensto come l terto estto prodotto d un mtrce perturbt T + δt T. Se l mtrce A del sstem è ml condzont può ccdere che questo nevtble errore che s compe d ogn psso veng mplfcto tl punto che, nche se teorcmente T 0, s verfch che T tend zero molto pù lentmente o ddrttur non tend pù zero. In generle qund possmo concludere che l ml condzonmento d un mtrce rllent l convergenz d un metodo tertvo, sen non ddrttur f perdere l convergenz. Esempo: A b

11 A è un mtrce smmetrc defnt postv.. 6 Il metodo d Guss-Sedel, prtendo d vlor nzl non converge ll soluzone. 97 * Questo comportmento s verfc per qulss scelt d compres tr. e.8. Inftt l ndce d condzonmento d A è KA) Accelerzone d un metodo tertvo Or c s chede se è possble ccelerre l convergenz d un metodo tertvo e ddrttur se è possble rendere convergente un metodo che non lo è. Come rspost questo questo è nt un fmgl d metod not come metod d rlssmento. L de ll bse d quest metod è l seguente: poché l veloctà d convergenz d un metodo tertvo dpende dl rggo spettrle dell mtrce d terzone ssoct l metodo, un modo per cercre d ccelerre l convergenz è quello d fr dpendere l mtrce d terzone d un prmetro, detto prmetro d rlssmento, e d sceglere tle prmetro n modo tle che l mtrce bb mnmo rggo spettrle. Vedmo come vene generto un metodo d rlssmento prtre dl metodo d Guss-Sedel. Il metodo d Guss-Sedel dto dll 7) può essere rscrtto nell form dove + r ) ) ) ) r D [ E + F b]. 8)

12 Modfcndo l metodo d Guss-Sedel come + ωr ) e sceglendo opportunmente l prmetro?>0 s può ccelerre l convergenz n modo sgnfctvo. A second d come vene scelto tle prmetro s dstnguono metod d rlssmento n 9) ) under-relton methods con 0<? < b) over-relton methods? >. I metod d under-relton possono essere ust per ottenere convergenz su cert sstem per cu non s h convergenz con l metodo d Guss-Sedel, mentre metod d over-relton possono essere ust per ccelerre l convergenz n sstem n cu l metodo d Guss-Sedel converge m lentmente. Quest ultm metod vengono chmt metod SOR Successve Over-Relton) e vengono spesso mpegt per rsolvere sstem lner che s ncontrno nell soluzone numerc d lcune equzon lle dervte przl. Il metodo SOR s ottene sosttuendo l 8) nell 9), ovvero: d cu s rcv ) ) ω ) ωd [ E + F b], ) ) ω ) + ω[ D [ E + F b]], ) In termn d component s h che l componente -esm dell soluzone l psso, ), dvene n ) ω ω) + b + ),.., n Quest vrnte del metodo d Guss Sedel, dpendente dl prmetro?, è dett nche metodo d Guss-Sedel estrpolto e può essere vst come.

13 + + ) ) ) ) ) ) ~ ) ~ n b ω ω L mtrce d terzone del metodo è ]. ) [ ) F D E D T ω ω ω ω + ) Nell pplczone d un metodo d rlssmento dpendente dl prmetro nsce l problem dell scelt ottmle del prmetro? che, oltre d sscurre l convergenz, rend mnmo l rggo spettrle dell mtrce d terzone T? n modo d ottenere l mssm veloctà d convergenz. E noto nftt che, per mtrc smmetrche defnte postve e per 0 <? <, l vlore d ρt? ) s mntene <, m c è un punto n cu è mnmo. Il vlore corrspondente l mnmo del rggo spettrle è detto? ottmo. In genere l clcolo d? ottmo è un problem molto lboroso, per cu s suole ndre per tenttv.

14 6. Crtero d rresto Poché con un metodo tertvo non è ovvmente possble clcolre n generle l soluzone n un numero fnto d terzon, occorre ndvdure de crter per l rresto del procedmento. I crter pù comunemente ust consstono nel fssre un tollernz ε, che tene conto nche dell precsone utlzzt ne clcol, sono seguent: ) ) ε ) oppure se 0 ) ε. ) L scelt dell tollernz ε, nel crtero d rresto, vene ftt consderndo l percentule d errore d cu sono ffett dt nzl. L scelt del tpo d norm, n genere, dpende dllo specfco problem n esme; comunque norme comunemente uste sono l norm e l norm.