Esercitazione di ripasso sul consumo (soluzioni)

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1 Esercitazione di ripasso sul consumo (soluzioni) Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a Dato che si tratta di un esercitazione di ripasso le soluzioni che vi vengono fornite sono volutamente brevi. Def. 1 Soluzione interna. Si ha una soluzione interna quando il paniere ottimo di consumo contiene una certa quantità di tutti i beni scambiati nell economia. Def. 2 Curva di domanda perfettamente elastica. Viene così de nita la curva di domanda di un bene quando la sua elasticità al prezzo è pari a in nito. Def. 3 Paniere ottimo per un consumatore. Paniere, tra quelli accessibili, che assicura al consumatore la massima soddisfazione. Def. 4 Assioma di non sazietà. Descrive (unitamente agli assiomi di completezza, transitività e convessità) il comportamento di un consumatore razionale. Per l assioma di non sazietà di più è meglio: possibilità di consumo maggiori sono sempre preferibili. Def. 5 Spesa totale per un bene (ad esempio il bene X). Parte del reddito destinata all acquisto di un certo bene (ad esempio il bene x). Vero/Falso 1. Al ne di massimizzare l utilità un consumatore deve scegliere un paniere in corrispondenza del quale il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto fra i prezzi dei due beni. Falso. La condizione di tangenza tra curva di indi erenza e vincolo di bilancio è veri cata solo in presenza di preferenze di tipo Cobb-Douglas. 1

2 Vero/Falso 2. Se il consumatore ha preferenze del tipo Cobb-Douglas sugli unici due beni (x e y) presenti nell economia considerata, una diminuzione del prezzo del bene x comporta un aumento della domanda di bene y. Falso. La domanda di bene y non dipende dal prezzo del bene x (preferenze Cobb- Douglas). Vero/Falso 3. La curva di Engel è sempre inclinata positivamente. Falso. La curva di Engel è inclinata positivamente nel caso di beni normali, ed inclinata negativamente nel caso di beni inferiori. Vero/Falso 4. Se la curva di domanda di x è anelastica, allora un aumento del prezzo del bene x comporta una riduzione della spesa totale. Falso. La spesa totale aumenta in quanto la riduzione nella quantità domandata è meno che proporzionale all aumento nel prezzo (domanda anelastica). Vero/Falso 5. Giovanna considera pane e latte perfetti sostituti. Sapendo che il saggio marginale di sostituzione è 5, possiamo concludere che Giovanna preferirà il paniere (10, 30) al paniere (9, 36). Falso. Giovanna è disposta a cedere 1 unità di bene x per 5 unità in più di bene y (MRS=5); quindi il paniere (9, 36) è strettamente preferito al peniere (10, 30). Esercizio 1. Le vacanze estive si avvicinano e Marcella deve decidere come ripartire il suo reddito tra costumi da bagno (bene X) e riviste di enigmistica (bene Y). La funzione di utilità di Marcella è U(X; Y ) = 2X + Y. (a) Supponete che Marcella disponga di un reddito pari a 120 e, il prezzo dei costumi da bagno sia pari a 20e ed il prezzo delle riviste di enigmistica sia di 5e. De nite e calcolate, sulla base delle preferenze di Marcella, i valori delle utilità marginali e del saggio marginale di sostituzione. Discutete la relazione che sussiste tra costumi da bagno e riviste di enigmistica. (b) Individuate, sia analiticamente che gra camente, la scelta ottima di Marcella. (c) Il prezzo dei costumi da bagno si dimezza. Discutete le conseguenze di tale contrazione sulla scelta ottima della consumatrice. (a) L utilità marginale è la variazione dell utilità totale conseguente al consumo di un unità aggiuntiva di un bene. Nel caso in esame MU x Y )=@X = 2, MU y Y )=@Y = 1. In ogni punto di una curva di indi erenza il saggio marginale di sostituzione è pari al valore assoluto della pendenza della curva di indi erenza nel punto ed indica la quantità aggiuntiva di bene misurato in ascissa necessaria per mantenere il livello di utilità invariato quando il consumo del bene in ordinata diminuisce di un unità. Nel nostro caso MRS=-Y=X =MU x =MU y =2. Il saggio marginale di sostituzione è costante; quindi i beni considerati sono perfetti sostituti. (b) Dato che il valore assoluto della pendenza del vincolo di bilancio (p x =p y = 20=5 = 4) è superiore al valore assoluto della pendenza delle curve di indi erenza (MRS=2), ne consegue che il paniere ottimo scelto da Marcella conterrà solo bene Y (soluzione d angolo). In particolare l ottimo di Marcella stante il reddito a disposizione sarà X = 0 Y = 120=5 = 24 2

3 [a voi la rappresentazione gra ca] (c) La contrazione del prezzo dei costumi da bagno aumenta i panieri accessibili alla consumatrice. Si noti che il nuovo vincolo di bilancio avrà pendenza, in valore assoluto, pari a 2 (p 0 x=p y = 10=5 = 2). In questo caso curve di indi erenza e vincolo di bilancio presentano la medesima pendenza: tutti i panieri che appartengono al vincolo di bilancio sono panieri ottimi per Marcella. [a voi la nuova rappresentazione gra ca] Esercizio 2. Andrea ed Emanuele sono i soli consumatori presenti sul mercato delle fascine di faggio, in una piccola cittadina delle Alpi. Le loro curve di domanda sono q a = 10 (P=3) e q e = 15 (P=2), dove q a e q e sono le quantità domandate rispettivamente da Andrea ed Emanuele. (a) Calcolate l elasticità delle due domande al prezzo. Discutete i risultati ottenuti. (b) Trovate la curva di domanda inversa di mercato. Se il prezzo delle fascine di faggio fosse di 12e, quante fascine sarebbero acquistate? (c) De nite, rappresentate in un opportuno gra co e calcolate il surplus dei consumatori in corrispondenza dell equilibrio al punto (b). (d) Vi aspettate che un (seppur lieve) aumento del prezzo delle fascine di faggio porti ad un aumento del surplus dei consumatori? Argomentate la risposta. (a) L elasticità della domanda al prezzo di Andrea è mentre quella di Emanuele è " a = (dq a =dp )P=q a = (1=3)P=q a = P=(30 P ) " e = (dq e =dp )P=q e = (1=2)P=q e = P=(30 P ) Dato che " a = " e, ne consegue che i due consumatori reagiranno in maniera analoga a variazioni nel prezzo delle fascine di faggio. (b) La curva di domanda di mercato è Q = q a + q e = 10 (P=3) + 15 (P=2) = 25 5P=6; quindi in corrispondenza di un prezzo pari a 12 (P = 12) verranno acquistate Q = 25 5(P )=6 = = fascine di faggio. (c) Il surplus (o rendita) di un consumatore è la di erenza tra il prezzo massimo che il consumatore è disposto a pagare per ricevere un determinato bene (o servizio) ed il prezzo di mercato dello stesso bene (o servizio). Nel caso in esame il surplus dei consumatori è SC = (25 P )Q =2 = (25 12)15=2 = 97:5 [a voi il gra co] (d) Dal momento che in seguito ad una contrazione del prezzo aumenta la rendita dei consumatori attualmente disposti ad acquistare il bene ed aumentano i consuumatori disposti ad acquistare il bene, qualsiasi contrazione nel prezzo delle fascine di faggio comporterà un aumento del surplus dei consumatori. 3

4 Esercizio 3. Il signor Bianchi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri beni. Le preferenze di Bianchi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in ascissa) e altri beni (Y, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione: U(T; Y ) = 10T 0:5 Y 0:5. Il prezzo degli altri beni è p = 5e, mentre il salario orario è pari a w=20e. (a) Calcolate e fornite una rappresentazione gra ca del paniere ottimo scelto da Bianchi speci cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio. (b) Supponete che Bianchi riceva una donazione di 600e. Attraverso un opportuna rappresentazione gra ca analizzate le conseguenze di tale donazione sul vincolo di bilancio di Bianchi. (c) Analizzate le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Bianchi. In particolare: quanto lavorava prima e quanto lavora adesso? (a) Stante la funzione di utilità il saggio marginale di sostituzione di Bianchi è MRS=Y/T. il vincolo di bilancio si caratterizza per un intercetta orizzontale (24;0), un intercetta verticale (0;96) ed una pendenza, in valore assoluto, pari a w/p=4. Risolvendo il sistema per l individuazione del paniere ottimo MRS = w p vin col o di bilancio! Y = 4T 5Y + 20T = 480 otteniamo T = 12 (L = 24 T = 12) e Y = 48. [a voi il gra co] (b)-(c) Per e etto della donazione il reddito di bianchi aumenta. L intercetta orizzontale non cambia - non aumentano le ore totali a disposizione del consumatore. La nuova intercetta verticale è (0;216) ed il nuovo paniere delle dotazioni iniziali è T=24; Y=600/p=120. Y Da notare la forma spezzata del nuovo vincolo di bilancio (in celeste); a differenza del caso iniziale in cui il consumatore disponeva solo ed esclusivamente di tempo (24 ore, da cui un paniere delle dotazioni iniziale (24;0)), ora dispone sia di tempo che di una rendita (600) che può essere impiegata Vincolo di bilancio iniziale e paniere di equilibrio iniziale Nuovo paniere delle dotazioni iniziali Nuovo vincolo di bilancio per l acquisto di beni di consumo (fino ad un massimo di 600/p=600/5=120) da cui un paniere delle dotazioni iniziali (24;120) 48 Paniere delle dotazioni iniziali T Risolvendo il sistema per l individuazione del paniere ottimo MRS = w p nuovo vincolo di bilancio! Y = 4T 5Y + 20T =

5 otterremmo T 0 = 27 > 24. Dal momento che Bianchi non può consumare 27 ore di tempo libero (ne ha solo 24 a disposizione), sceglierà di smettere di lavorare (T = 24 e L = 0) e acquisterà altri beni per un quantitativo complessivo pari a Y = 600/5=120. Gra camente Esercizio 4. Il signor Formica ha reddito pari a 105 nel 2011 (M 1 =105), e sa già che nel 2012 avrà reddito pari a 126 (M 2 =126); le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione U(C 1 ; C 2 )=C 0:6 1 C2 0:4. Il pane del 2011 (C 1, in ascissa) e quello del 2011 (C 2 ) hanno prezzo pari a 1. Il tasso di interesse r è del 40%. (a) Rappresentate gra camente il vincolo di bilancio intertemporale di Formica, indicando i valori di intercetta, l inclinazione ed il paniere delle dotazioni. (b) Individuate la scelta ottima di Formica. Quanto risparmia, o di quanto si indebita, Formica nel 2011? (c) Supponete che il tasso di interesse passi dal 40% al 20%. Analizzate gra camente ed analiticamente come si modi ca la scelta ottima di Formica speci cando quanto risparmia o di quanto si indebita. (a) Il vincolo di bilancio di Formica in termini futuri è C 2 + (1 + r)c 1 = M 2 + (1 + r)m 1! C 2 + 1:4C 1 = 273 da cui una pendenza, in valore assoluto, pari a 1.4; un intercetta orizzontale (195 ;0) ed un intercetta verticale (0; 273). [a voi il gra co] (b) La scelta ottima del consumatore, ottenuta risolvendo il sistema MRS = 1 + r vincolo di bilancio intertemp! (0:6=0:4)(C2 =C 1 ) = 1:4 C 2 + 1:4C 1 = 273 comporta C 1 = 117 e C 2 = 109:2. Dato che C 1 > M 1, il signor Formica è un mutuatario e si indebita per un ammontare pari a 12 euro (S= =-12). (c) In seguito alla contrazione del tasso di interesse le possibilità di consumo di un mutuatario si espandono (minor onere per il debito contratto) mentre quelle di un risparmiatore si contraggono (minori interessi sulle somme investite). Il nuovo vincolo di bilancio di Formica in termini futuri è C 2 + (1 + r 0 )C 1 = M 2 + (1 + r 0 )M 1! C 2 + 1:2C 1 = 252 da cui una pendenza, in valore assoluto, pari a 1.2; un intercetta orizzontale (210 ;0) ed un intercetta verticale (0; 252). [a voi il gra co] La nuova scelta ottima è C1 = 126 e C2 = 100:8. Dato che C1 > M 1, il signor Formica rimane mutuatario. Stante il minor onere sul debito contratto decide di indebitarsi ancora più di quanto e ettuato al punto (b); infatti il nuovo debito contratto è pari a 21 euro (S= =-21). 5