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1 U. C. Utilizzare le tecniche e procedure di calcolo aritmetico e algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica U. d. A. Disequazioni algebriche isultato atteso Il soggetto deve essere in grado di: Studiare il segno di un binomio di 1 grado e di un trinomio di 2 grado isolvere disequazioni algebriche di 1 e 2 grado indicando graficamente gli intervalli delle soluzioni isolvere sistemi di disequazioni e disequazioni fratte Attività Il soggetto deve sapere come: appresentare graficamente gli intervalli di e decodificarli Interpretare il concetto di disequazione e di soluzioni di una disequazione isolvere disequazioni algebriche di 1 e 2 grado applicando i principi di equivalenza delle disuguaglianze e rappresentare graficamente le soluzioni Interpretare il concetto di sistema di disequazioni e delle soluzioni di esso isolvere sistemi di disequazioni Interpretare il concetto di disequazione fratta e risolverle con il metodo del segno dei termini Competenze Per dimostrare il risultato atteso, il soggetto deve: 1. isolvere disequazioni algebriche lineari e quadratiche e rappresentare gli intervalli di soluzioni 2. isolvere sistemi di disequazioni e rappresentare gli intervalli di soluzioni 3. isolvere disequazioni fratte e rappresentare gli intervalli di soluzioni CITEI E LIVELLI DI PADONANZA COMPETENZE LIVELLI DI PADONANZA CAENTE BASILAE ADEGUATO OTTIMO 1. È impacciato e disorientato nella risoluzione e confuso nella rappresentazione di intervalli isolve disequazioni con qualche incertezza algebrica o di segno; indica e rappresenta correttamente gli intervalli isolve le disequazioni correttamente e indica e rappresenta le soluzioni con sufficiente autonomia isolve tutte le disequazioni e indica e rappresenta le soluzioni con autonomia e regolarità spiegando i passaggi che compie 2. Mostra confusione nel concetto e nell operatività della risoluzione di sistemi. Non rappresenta le soluzioni semplice sistema di disequazioni indicando le soluzioni con qualche aiuto sistema di disequazioni indicando le soluzioni qualsiasi sistema di disequazioni indicando le soluzioni 3. Non sa risolvere le disequazioni fratte isolve semplici disequazioni fratte leggendo correttamente il grafico isolve le disequazioni fratte con autonomia e imposta e legge correttamente il grafico isolve complesse disequazioni fratte con autonomia e imposta e legge correttamente il grafico prof.ssa. Schettino

2 MAPPA CONCETTUALE DISEQUAZIONI ALGEBICHE di 1 grado (intere) Unite dai segni >, <,, sono A( < B(; A( > B(; ecc. Es: 4x-2<x+3 A( = 4x-2 B( = x+3 ½ x 4 > 3/2 x + 5 A( = ½ x 4 B( = 3/2 x + 5 (x-4 ) 1/2(x+3) 1/3(1- A( = (x-4) 1/2(x+3) B( = 1/3(1- isolvere una disequazione significa determinare tutti i valori dell incognita x per cui è vera la disuguaglianza tra A( e B( ossia è vero il segno di disuguaglianza tra A( e B( Es: 4x-2> x+3 risulta vera se al posto di x poniamo il valore 3, o 21/5, o 10 isulta non vera se al posto di x poniamo il valore 2, o 1/5, o 0 ½ x 4 > 3/2 x + 5 risulta vera se al posto di x poniamo il valore 10, o 35/3 isulta non vera se al posto di x poniamo il valore 8, o 1 Come si determinano tutti i valori che sono soluzioni? Bisogna prima, con opportuni passaggi, portare la disequazione data in forma normale ax+b>0 o ax+b<0 A questo punto bisogna tener conto della conseguenza del 2 principio di equivalenza delle disequazioni secondo la quale è possibile cambiare tutti i segni dei termini della disequazione purché si cambi anche il verso della disequazione: 3x+5 < 0 3x 5 >0 7 12x 3 > +9x x < 9x +24 Come si vede sono stati cambiati tutti i segni anche il verso della disequazione. prof.ssa. Schettino

3 Il non farlo è un grave errore in cui si cade spesso! ATTENZIONE! Per determinare le soluzioni di una disequazione algebrica di 1 grado si opera come segue: (contempliamo il caso a>0, in caso contrario si cambiano tutti i segni compreso il verso della disequazione) ax+b>0 x > b/a ax+b<0 x < b/a ( b va al secondo membro cambiato di segno e a va al denominatore, come nelle equazioni di 1 grado, solo che bisogna mettere il segno di disuguaglianza) Es. 1) 4x 2 > x+3 dopo i passaggi di trasporto dal secondo al primo membro, secondo le regole che già si conoscono per le equazioni, si ottiene: 4x x 2 3 > 0 3x 5 > 0 x > 5/3 questo significa che tutti i numeri reali x maggiori di 5/3 sono soluzioni della disequazione ossia verificano l esercizio dato; mentre tutti i numeri minori di 5/3 non sono soluzioni della disequazione. 2) ½ x 4 > 3/2 x + 5 facendo i passaggi di trasporto si ha: ½ x 3/2 x 4 5 > 0 x 9 > 0 x + 9 < 0 x < 9 questo significa che tutti i numeri reali x minori di 9 sono soluzioni della disequazione mentre tutti i numeri maggiori di -9 non sono soluzioni. APPESENTAZIONE GAFICA DELLE SOLUZIONI x > b/a b/a b/a x < b/a N.B. la visualizzazione grafica delle soluzioni e l indicazione dell intervallo sono fondamentali per la conclusione dell esercizio prof.ssa. Schettino

4 DISEQUAZIONI ALGEBICHE di 2 grado (intere) ax 2 +bx+c>0 a>0 Si determinano le soluzioni dell equazione associata ax 2 +bx+c=0 x 1 ; x 2 Se x 1 <x 2 soluzioni x<x 1 ; x>x 2 valori esterni all intervallo delle radici Se x 1 =x 2 soluzioni x {x 1 } tutti i valori reali tranne la radice x 1 Se x 1 e x 2 soluzioni x tutti i valori reali ax 2 +bx+c<0 a>0 Si determinano le soluzioni dell equazione associata ax 2 +bx+c=0 x 1 ; x 2 Se x 1 <x 2 soluzioni x 1 <x<x 2 valori interni all intervallo delle radici Se x 1 =x 2 nessuna soluzione Se x 1 e x 2 nessuna soluzione APPESENTAZIONE GAFICA DELLE SOLUZIONI x 1 x 2 P( > 0 : x< x 1 ; x> x 2 P( < 0 : x 1 < x < x 2 x 1 x 2 P( > 0 : x {x 1 =x 2 } x 1 =x 2 P( < 0 : nessuna soluzione x 1 =x 2 P( > 0 : x P( < 0 : nessuna prof.ssa. Schettino

5 DISEQUAZIONI ALGEBICHE (sistemi) A( <B( C( > D( Determinare i valori di x per cui è vera sia A(<B( sia C( > D( SISTEMA DI DISEQUAZIONI : è costituito da più disequazioni nella stessa incognita verificate contemporaneamente ISOLVEE UN SISTEMA di disequazioni significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni ossia determinare i valori dell incognita che siano soluzioni di tutte le disequazioni del sistema DISEQUAZIONI ALGEBICHE (fratte) Si svolge risolvendo ciascuna disequazione trovando gli intervalli di soluzioni, poi si visualizzano sulla stessa retta dei numeri reali e si considerano gli intervalli dove sono verificate entrambe ossia dove si trovano entrambe le linee continue di soluzioni. Questi intervalli sono le soluzioni del sistema ossia delle disequazioni contemporaneamente Sono del tipo: A ( > 0 oppure B( A( < 0 B( N.B. Si noti che al secondo membro compare sempre 0 Si risolvono con un metodo rapido, detto falso sistema, in cui si pongono sempre i due termini, A( e B(, positivi (>0), qualunque sia il verso della disequazione data; si risolvono queste disequazioni visualizzando sulla stessa retta dei numeri le soluzioni con linea continua(>0) e con linea discontinua (<0) i restanti intervalli. Poi si applica la regola algebrica dei segni e si considerano gli intervalli dove si verifica il segno della disequazione data. Questi intervalli sono le soluzioni della disequazione data. A( B( _ + _ + prof.ssa. Schettino

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