Introduzione alla Fisica. Ripasso di matematica Grandezze fisiche Vettori

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1 Introduzione ll Fisic Ripsso di mtemtic Grndezze fisiche Vettori

2 L fisic come scienz sperimentle Studio di un fenomeno OSSERVAZIONI SPERIMENTALI MISURA DI GRANDEZZE FISICHE IPOTESI VERIFICA LEGGI FISICHE Relzioni mtemtiche tr grndezze fisiche In fisic si us un linguggio mtemtico!!!

3 Alger dei numeri reltivi Numeri reltivi: numeri preceduti dl segno + o dl segno segno, modulo o vlore ssoluto (si indic con ) Due numeri reltivi sono concordi se hnno lo stesso segno es: ( ; 7, ; 600); discordi se hnno segno contrrio es: (+7,6 ;,); opposti se hnno stesso modulo e segno contrrio es: (, ; +,) reciproci (inversi) se hnno lo stesso segno e modulo inverso es: ( / ; /) Chimimo espressione lgeric un espressione mtemtic che contiene numeri reltivi numeric: letterle:

4 ... dove le lettere rppresentno In un espressione mtemtic un generico numero intero (0; ; ; ;...) intero reltivo (.. ; -; 0; ;...) rele (-/; 6,; 7; e,7...) In un legge fisic un grndezz fisic vlore numerico + unità di misur m (,7 kg; 8 mg; l;...) t ( 8,7 ms; h;,7 giorni;...) Stess lger!!

5 Elementi di mtemtic utilizzti in questo corso Frzioni Proprietà delle potenze Potenze di dieci e notzione scientific Mnipolzione, semplificzione di espressioni lgeriche Soluzione di equzioni di primo grdo Proporzioni Conversioni tr unità di misur Percentuli Funzioni e loro rppresentzione grfic Angoli, elementi di trigonometri Elementi di geometri

6 Somm lgeric Nell lger dei numeri reltivi, un espressione contenente ddizioni e sottrzioni numeriche e letterli z + 8y viene sempre considert come un somm lgeric, ovvero intes come somm di numeri reltivi: + + ( z) + ( + ) + ( 8y) + ( ) Not: per lo scioglimento delle prentesi in un espressione si elimin l prentesi se precedut dl segno + + ( x y + z) x y + z si elimin l prentesi cmindo segno tutti i fttori l suo interno se precedut dl segno - ( x y + z) x + y z

7 Le operzioni Addizione (somm) ( ) + ( 6) 8 ( ) + ( + 9) Addendi concordi:somm dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenz dei moduli segno dell ddendo di modulo mggiore Sottrzione (differenz) ( ) ( 9) ( ) + ( + 9) + Si ottiene sommndo l primo numero (minuendo) l opposto del secondo (sottrendo) Moltipliczione (prodotto) ( )( )( 7) 8 Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pri di segni negtivo -> numero dispri di segni Divisione (quoziente o rpporto) ( ) : ( + 7) ( ) + 7 Si ottiene moltiplicndo il dividendo per il reciproco del divisore

8 Esempi: 6 + : : 6 7 [ ]. R [ ]. R

9 Elementi di mtemtic: Frzioni Un frzione è un rpporto tr due numeri e Frzioni equivlenti numertore Dividendo o moltiplicndo numertore e denomintore per un fttore comune, l frzione non cmi. x x Es: Riduzione i minimi termini 6 6 denomintore sono frzioni equivlenti Esprimere un frzione in un form equivlente con vlori minimi del numertore e denomintore (divisione per tutti i fttori comuni)

10 Frzioni Somm/differenz di frzioni: d c d d c + + d c d d c Es: ( minimo comune multiplo di 6 e ) Moltipliczione di due frzioni d c d c Es: Es: c d d c Divisione di due frzioni: Inverso di un frzione: Es: /

11 Frzioni / e mggiore di /6? Equivlentemente, /-/6 > 0? Confronto tr frzioni Per confrontre due frzioni e opportuno esprimerle in form equivlente con denomintore comune Il minimo comune denomintore tr e 6 e 9 0 < < 0 < 6 Not : > 6

12 Elevmento Potenz Proprietà delle potenze: ( volte) se, esponente un potenz di esponente pri e`sempre positiv; un potenz di esponente dispri e` negtiv se l se e negtiv. n + m (nessun prticolre proprietà) + ( ) + ( ) dipende! n m n+m ( ) ( ) ( n ) m n*m ( ) ( ) ( ) 6 n / m n-m / ( )/( ) n n ( ) n ( ) M ttenzione: / ( )/( ) / - - / ( )/( ) 0 - Perchè l regol continu vlere, occorre definire -n / n potenz esponente negtivo 0 potenz esponente nullo

13 Esempi: ( )( ) + ( + ) ( ) 8 ( ) R. 8 [ R. 8] [ R. 6] [ R. 6] [ R. 9] [ R. 6]

14 Rdice di un numero E` l operzione invers dell elevmento potenz: n è quel numero l cui potenz n-esim è ugule d : ( n ) n n n ( n volte) rdicndo, n indice l rdice di indice pri di un numero negtivo non esiste l rdice di indice dispri di un numero esiste ed è unic 8 ; 7 esistono sempre due rdici di indice pri di un numero positivo ± Not: un potenz con esponente frzionrio è ugule d un rdicle che h per indice il denomintore dell frzione m n n/m Inftti n/m n/m n/m (m volte) mn/m n Esempio: 6 6/ (**)*(**) (**) **

15 Esempi: 6 [ R. ] ( ) ( ) R. ± [ R. ssurdo ] [ R. 00]

16 Proprietà dei rdicli: si verificno fcilmente utilizzndo potenze con esponenti frzionri! n n ; 0 0 ; np mp n m d cui si h n n n n n c n c (prodotto di rdicli dello stesso indice) n n n : : (quoziente di rdicli dello stesso indice) ( ) k n n k (potenz di un rdicle) m n m n (rdice di un rdicle) n n n se >0 n n se n è pri e <0

17 Monomi e Polinomi Monomio: un qulunque espressione lgeric che si present sotto form di prodotto di fttori numerici e letterli Coefficiente Grdo nell letter Prte letterle identici se hnno stesso coefficiente e stess prte letterle ; ; 0,6 ; 6 simili se hnno l stess prte letterle e diverso coefficiente 8 c ; 7 c ;, Polinomio: è un somm lgeric di più monomi non simili c ; ; mn + n ; + 9 inomio trinomio

18 Le operzioni lgeriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenz, e ricordndo che solo monomi simili possono essere sommti lgericmente Esempi: + ( ) ( 6 ) 8 : c 9 c ( ) c [ R ]. [ ] R. 8 R. [ R c]. [ ] 6 R. 9 c

19 Il prodotto di due polinomi si ottiene come somm lgeric dei prodotti di ciscun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Esempi: ( )( + ) ( x + y)( x y) [ ] R. 6 [ ] R. x 7xy 0 y I clcoli possono essere semplificti utilizzndi i prodotti notevoli: ( ( + ± )( ) ) ± + ( ± ) ± + ± tringolo di Trtgli

20 Il quoziente di un polinomio per un monomio è ugule ll somm lgeric dei quozienti di ciscun termine del polinomio per il monomio divisore. Esempi: ( ) ( ) : 8 [ ] R. : 9 [ ] 9. R

21 Il quoziente di due polinomi non è in generle risoluile. Tuttvi, è spesso possiile semplificre un frzione lgeric rccogliendo ed eliminndo i fttori moltiplictivi comuni tutti i termini del numertore e del denomintore (scomposizione in fttori) x x x y x y x Esempi: + x x R. R. 6 R y con resto oppure 6 6. y x y x R

22 Le frzioni di frzioni si risolvono fcilmente ricordndo le proprietà viste finor Esempi:

23 Equzione relzione di uguglinz tr due memri verifict per prticolri vlori di un vriile incognit x + 0 Equzioni x -/ Proprietà: Sommndo (sottrendo) un stess quntità entrmi i memri Moltiplicndo (dividendo) per un stess quntità entrmi i memri il risultto non cmi e d qui deriv il metodo di risoluzione: x + 0 x + 0 ; x - x/ -/ ; x -/ Esempio: x x ; x 6 x/ 6/ ; x

24 Esempi: risolvere le equzioni rispetto lle vriili evidenzite ( x + ) + x ( ) + x x + c [ R. x ] [ R. x ] R. + c ( x) x ( x + ) [ R. impossiile] ( x) x ( x + ) [ R. sempre verificto ]

25 : c:d d c Proporzioni Prodotto dei medi prodotto degli estremi Null di mgico: sono solo normli equzioni! / c/d c/d c d/ d/c d c/ Conversione di unità di misur Es. Prezzo in lire Prezzo in euro N lire 96.7 lire x euro Prezzo in euro Prezzo in lire Neuro x euro 96.7 lire x x N lire euro 96.7 lire N Neuro 96.7 lire euro 96.7 euro N N 96.7 lire euro Fttore di conversione rpporto tr due unità di misur

26 Esempio: risolvere usndo le proporzioni Medinte perfusione intrvenos vengono somministrte 0 gocce l min di soluzione fisiologic (0 gocce mlitro). Dopo 0 min, qunti mlitri di soluzione sono stti somministrti? [ R. 7 ml]

27 Potenze di dieci e notzione scientific 0 (si legge dieci ll quint ) è ugule moltiplicto per 0 * (si legge dieci ll meno ) è ugule diviso per 0 / è ugule.0 spostndo l virgol destr di posti è ugule.0 spostndo l virgol sinistr di posti Notzione scientific (form esponenzile) Si us nei clcoli scientifici per esprimere numeri molto grndi e molto piccoli prte numeric numero compreso tr e 0, 0-7 prodotto si usno nche i simoli e potenz di 0 l esponente rppresent il numero di posti decimli di cui occorre spostre l virgol

28 Esempi: convertire d notzione numeric scientific notzione numeric ordinri (o vicevers) 0, ,6 0, 0 7 [ R. ] -, 0 [ R. ] 9,7 0 [ R ] [ R. 0,000000] Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operzioni complicte, con risultti estti o non lontni dl risultto vero. 0,0000 0,000 0, ,

29 Equzioni nell Fisic Relzione di uguglinz tr due memri tutto ciò che è o memro (numeri + unità di misur) deve essere ugule tutto ciò che è o memro Es. Are di un rettngolo: A (0 cm)*( m) 0 cm*m (d evitre!) 0 cm * 00 cm 000 cm 000 cm NO! 0. m * m 0. m 0. m NO! A 0 cm, m Equivlenze tr unità di misur

30 Equivlenze tr unità di misur Occorre conoscere il fttore di conversione tr le diverse unità di misur Es. Velocità km/h m/s m/s km/h km/h 000 m / 600 s m/s 0,00 km / (/600) h 0,8 m/s,6 km/h n km/h n 0,8 m/s n m/s n,6 km/h Velocità di un tlet dei 00 m: di un utomoile: dell luce: 0 m/s 0.6 km/h 6 km/h 0 km/h 0 0,8 m/s,6 m/s km/s 0 8 m/s 0 8,6 km/h, km/h Ovvimente il fttore di conversione inverso è l inverso del fttore di conversione! Es. 0,8 /,6

31 Esempi: convertire le seguenti grndezze nelle unità di misur indicte in/min in cm/s kg/m in g/cm h 7 0 in min

32 Esempi: Percentule Metodo comodo per esprimere vrizioni (umenti o diminuzioni) rispetto un situzione not % / n % n/ n 0.0 n % di 0 /00 0 0,0 0, 0% di , % di 0,00 0,0 0, , % di (rddoppire umentre del 00% pssre l 00 %) Per mille : / % Prte per milione : ppm / % 0.00

33 Attenzione: l percentule e sempre reltiv ll grndezz cui si riferisce! Esempi: 0% di 000 grmmi ( ) grmmi 00 grmmi Aumentre un quntità Q del %: Q Q + %Q Q + 0,0 Q Q ( + 0,0),0 Q Diminuire un quntità Q del %: Q Q - %Q Q - 0,0 Q Q ( - 0,0) 0,9 Q Soluzione di un sostnz in cqu l % in volume: d es. in litro di soluzione, 90 cm d cqu e 0 cm di soluto in peso: d es. in kg di soluzione, 90 g d cqu e 0 g di soluto

34 Superfici e volumi Rett [L] Pino [L] Spzio [L] V (m L (m) S (m ) ) L re dell superficie di un corpo si misur sempre in m, cm, Il volume (o cpcità) di un corpo si misur sempre in m, cm, c S V c r S π r V (/) π r r l S π r V π r l In generle: S se ltezz V re se ltezz Attenzione lle conversioni tr unità di misur! m ( m) (0 cm) 0 cm 0000 cm m ( m) (0 cm) 0 6 cm cm cm ( cm) (0 - m) 0 - m m cm ( cm) (0 - m) 0-6 m m l dm ( dm) (0 - m) 0 - m (0 cm) 0 cm

35 ngolo giro ngolo pitto ngolo retto α R Angolo pino α s 60 π rd 80 π rd 90 π/ rd Unità di misur grdi, minuti, secondi 60' ' 60" es: 7' 8" rdinti lunghezz rco s R Per convertire tr grdi e rdinti si può utilizzre l semplice proporzione x rd : y grdi π : 80 Esempio: convertire 60 o in rdinti

36 Tringolo rettngolo Teorem di Pitgor c + c c Esempio: Csi prticolri c 0 o 60 o c c

37 Funzioni Funzione relzione univoc tr due grndezze vriili vriile dipendente yf(x) vriile indipendente Definire l funzione yf(x) signific stilire come vri l vriile dipendente y l vrire dell vriile indipendente x. L funzione che leg le due grndezze X ed Y può essere rppresentt grficmente ttrverso un curv in un pino crtesino Esempi: yx yx vriile dipendente Y 0 vriile indipendente Assi Crtesini X

38 Attenzione: Un relzione di dipendenz e un funzione se per ogni vlore dell vriile indipendente x esiste uno e un solo vlore dell vriile dipendente y Esempio: person dt di nscit SI NO person trg uto NO SI y y?? x n y n SI x n y n NO SI x NO x Un funzione e invertiile se ogni vlore dell vriile dipendente y corrisponde uno e un solo vlore dell vriile indipendente x.

39 Le funzioni dell Fisic o grdo y rddoppi l rddoppire di x y si dimezz proporz.dirett proporz.invers s v t vs/t λ c T λ c/f F m V R I s v s s v v/ t t Rett t t t Iperole t

40 o grdo y qudruplic l rddoppire di x y si riduce ¼ proporz.dir. qudr. proporz.inv. qudr. s ½ t F g G m m /r E k ½ m v F e K q q /r s s F F s t t Prol t ¼F r r r Proporz.inv.qudr

41 Funzioni dipendenti dl tempo Vst clsse di fenomeni dell Fisic (e dell vit quotidin) Tempo vriile indipendente prmetro del moto Moti: Oscillzioni: Decdimenti: ss(t), vv(t), (t) s(t) A sin(ωt) n(t) n 0 e -λt