ELETTROTECNICA (10 CFU) CS INGEGNERIA MATEMATICA I

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1 ELETTOTECNICA (0 CFU) CS INGEGNEIA MATEMATICA I prova in itinere 20 Novembre 2009 SOLUZIONI - -

2 D. (punti 4 ) ) Spiegare cosa si intende per DUALITA nello studio dei circuiti elettrici. 2) Scrivere per ogni termine della colonna di sinistra il termine duale nella colonna di destra. esistore esistenza Induttore Induttanza Tensione Potenza Serie Maglia Thevenin Corto circuito esistore Conduttanza Condensatore Capacità Corrente Potenza Parallelo Nodo (Superficie chiusa) Norton Circuito aperto La Dualità è una proprietà dei circuiti elettrici per cui definizioni, enunciati, teoremi, metodi di analisi ecc rimangono validi quando si sostituisce ad ogni termine (quali quelli sopra elencati) il termine duale

3 D2 (punti 4 ) a) Con quali strumenti si misurano la tensione V e la corrente I in un bipolo di un circuito? b) Come si inseriscono nel circuito tali strumenti? c) Quale è la differenza tra strumenti ideali e strumenti reali? isposta: (esempio) La tensione si misura con il voltmetro (tensiometro) che si collega in parallelo al bipolo di cui si vuole misurare la tensione. La corrente si misura con l amperometro (reometro) che si collega in serie al bipolo di cui si vuole misurare la corrente. Il voltmetro ideale è equivalente ad un circuito aperto (G uguale a 0), l amperometro ideale è equivalente ad un corto circuito ( uguale a 0). Il voltmetro reale ha una resistenza che deve essere grande rispetto alla resistenza del bipolo di cui si vuole misurare la tensione, l amperometro reale ha una resistenza che deve essere piccola rispetto alla resistenza del bipolo di cui si vuole misurare la corrente

4 E (punti 6) egime stazionario - Calcolare I G Soluzione Si consideri C come nodo di riferimento (nodo 0). Si ha e A = 0 KCL in B: I 2 + I 3 = (e B 0) + e B = da cui e B = 5,5V e I 3 =- 5,5A KCL in D: I +2V + = 0 (e D 0) + 2V + = 0 ma V = 0 - e D quindi (e D 0) + 2(0 - e D ) + = 0 da cui e D = V I G = - I 3-2V = - 5,5-2V = - 5,5 2(0 ) = - 3,5A= - 7/2A - 4 -

5 E2 (punti 8) Circuiti del I ordine Gli interruttori sono nella posizione indicata da molto tempo. Per t=0 S si porta (istantaneamente) dalla posizione a alla posizione b e, sempre per t=0 l interruttore S 2 si apre. Calcolare i L (t) e v L (t) e disegnarne i grafici, mettendo in evidenza i valori per t = 0 -, per t = 0 + e per t che tende all infinito, nonché la costante di tempo. Soluzione Per t < 0 il generatore pilotato è cortocircuitato, il resistore alla sinistra del generatore indipendente non influenza la parte di destra, per cui il circuito diventa Quindi i L (0 - ) = i L (0 + ) = [5 / ( )] /2 = 0,05A = 50mA Il termine tra parentesi quadra è la corrente nel generatore che si divide in due parti uguali. v L (0 - ) = 0 essendo l induttore a regime un cortocircuito

6 Dopo la chiusura dell interruttore il circuito diventa: Calcolo di i L ( ) i = 5/00 = 0,5A e quindi 2i = 0,3A KVL alla maglia indicata: 5 =(i L ( ) + 0,3) 00 + i L ( ) 00 da cui i L ( ) = - 0,075A = - 75mA v L ( ) = 0 essendo l induttore a regime un cortocircuito Calcolo di τ Per calcolare la vista dall induttore si spegne il generatore indipendente di tensione (cioè diventa un cortocircuito). Quindi i = 0 e il generatore pilotato di corrente 2i, diventa un circuito aperto Quindi la risulta = 200Ω e τ = L/ = 50nsec i L (t)= 25e -t/τ -75 ma da cui, derivando e moltiplicando per L si ottiene v L ( ) = -25e -t/τ da cui v L (0) = 25V I grafici sono quindi - 6 -

7 E3 (punti 8) egime sinusoidale. v s (t) è un generatore sinusoidale che vale 0 cos(0t) [V] I s è un generatore costante nel tempo che vale 3 [A] - Calcolare i(t) a regime - Calcolare la potenza media dissipata sul resistore da 5 [Ω] Soluzione. Poiché ci sono due generatori indipendenti a pulsazioni diverse (ω = 0 e ω 2 = 0) è necessario usare la sovrapposizione degli effetti da sommarsi nel dominio del tempo (NON nel dominio dei fasori). Con Is spento. (ω = 0) Z L = 5 + 5j; Z C = 5-5j I = Vs/(Z L + Z C ) = (-j)/2 da cui i (t) = cos(0t 45 ) Con Vs spento (in continua) I = - Is 0/(0+5) = - 2 (partitore di corrente) i(t) = cos(0t 45 ) Poiché le pulsazioni sono differenti si sommano le potenze medie; quindi P = ½ I 2 = 5/4W =,25W; P = I 2 = 20W P= P + P =2,25W - 7 -

8 ELETTOTECNICA (0 CFU) CS INGEGNEIA MATEMATICA II prova in itinere 2 Febbraio 200 SOLUZIONE - 8 -

9 D. (punti 4 ) Doppio Bipolo Doppio Bipolo 2 Dimostrare quale è il legame tra S e T affinchè i due Doppi Bipoli siano equivalenti ( S e T sono i valori in Ohm delle resistenze) Soluzione. La matrice dei parametri s del Doppio Bipolo è s = 2 S S S 2 S La matrice dei parametri G t del Doppio Bipolo 2 è G t = 2 T T T 2 T I due Doppi Bipoli sono equivalenti se ( s ) - = G t cioè ( s ) - = 3 2 S 2 - S S - 2 S S = G t cioè T = 3 S - 9 -

10 D2. (punti 4 ) Mostrare nei seguenti casi di geometria semplice come i valori della resistenza, della capacità C, dell induttanza L dipendono dai parametri geometrici (lunghezza, superficie) e dalle proprietà del materiale. - per filo cilindrico - per C armature piane parallele - per L solenoide con N spire avvolte su un nucleo toroidale Soluzione: Il legame costitutivo di un resistore è V = I ; in un filo di lunghezza L, sezione A e resistività ρ si ha V = L E (E = campo elettrico) I = J A (J = densità di corrente) E = ρ J Sostituendo si ottiene = ρ L/A Il legame costitutivo di un condensatore è Q = C V ; in un condensatore con armature piane parallele di area A, poste a distanza d con dielettrico di permettività ε si ha V = d E (E = campo elettrico) Q = D A (D = induzione dielettrica) D = ε E Sostituendo si ottiene C = ε A/d Il legame costitutivo di un induttore è Φ = L I ; in un induttore ottenuto da un solenoide di N spire avvolto su un nucleo toroidale di sezione A, di lunghezze (media) pari a L con materiale magnetico di permeabilità μ si ha Φ = NΨ Ψ = B A (B = induzione magnetica) NI = H L (H = campo magnetico) B = μ H Sostituendo si ottiene L =N 2 μ A/L - 0 -

11 E (punti 8) Circuiti del II ordine u(t) è un gradino unitario nell origine. - Determinare per quale valore di > 0 il circuito è detto con smorzamento critico - Con il valore di cosi ottenuto, calcolare la corrente nell induttore i L (t) per t da 0 a infinito Soluzione Equazioni di stato: (indichiamo con il resistore da Ohm) CV& LI & L C V = = V C C I I L L + u(t) da cui A = C L C L Inserendo i valori di C e L si ottiene 2α = tr(a) = + e ω 0 2 = + A = da cui Il circuito ha smorzamento critico quando le due frequenze naturali sono uguali e cio 2 si ha quando α 2 2 = ω 0 cioè quando ( + ) = + cioè quando = - (da scartare) e quando = 3. L equazione caratteristica è 2 λ da cui le frequenze naturali coincidenti uguali a λ + 4 =

12 La corrente è pertanto i L (t) = (k + k 2 t) e -2t + i L ( ) i L ( ) = / ( + ) = ¼ i L (0-) = i L (0+) = 0 = k + ¼ da cui k = - ¼ di L /dt (0) = V (0) I (0) = 0 = k C L 2 + k (-2) da cui k 2 = -/2 Quindi i L (t) = - (/4 + /2t) e -2t + /4-2 -

13 ELETTOTECNICA (0 CFU) CS INGEGNEIA MATEMATICA Prova scritta 23 Febbraio 200 SOLUZIONE - 3 -

14 E (punti 7) egime stazionario Soluzione. KCL al nodo 2: (e2-e) + e2 + (e2-e3) = 2 () KCL al supernodo -3 e + (e e2) + (e3 e2) + e3 + 2 = 0 (2) Vincolo del generatore pilotato (e3 e) = e (3) Da cui: e = - V; e2 = 3V; e3 = -2V I G = - (e/) 2 + (e2 e)/ = = -7 A P = I G *e = (-7)*(-) = 7 Watt - 4 -

15 E2 (punti 7) OP-AMP in regime sinusoidale = 2 = 0 kω C = 0. nf v s (t) = 20 cos(0 4 t) = 00 Ω L = 0 mh - Calcolare la funzione di rete H(jω) = V 0 /V s - Determinare v 0 (t) - Collegare il bipolo L (A con A, B con B ) e calcolare la potenza attiva P e la potenza reattiva Q sul bipolo A B Soluzione. Il fasore della corrente uscente dal generatore vale Vs/ e la stessa corrente entra nel bipolo C 2 la tensione al capi del quale è V 0 cambiata di segno. Si ha quindi: V = = V da cui H(jω) = S -6 + jω C) (+ jω0 ) (+ jω0 S V0-6 (G 2 H(j0-4 ) - e v 0 (t) = -20 cos(0 4 t) = 20 cos(0 4 t + π) ) V V 400 A = V I = = = Z 2 00 j00 da cui P = W e Q = VA j - 5 -

16 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine = Ω; 2 = 6/3 Ω ; 3 = 2Ω ; C = F ; L = H ; μ= ½ v s (t) = 35u(t) [gradino in t = 0 di ampiezza 35 Volt] Calcolare i L (t) per t da 0 a infinito e tracciarne il grafico Soluzione Equazioni di stato (V C = V ; I L = I) V V V V S CV& = + I + μ 3 LI & = I V + V 2 S Inserendo i valori di 2 3 C μ e L si ottiene 2α = - tr(a) = 22/3 e ω 0 2 = 35/3 2 = A da cui L equazione caratteristica è λ + = λ da cui le frequenze naturali λ = -5 e λ 2 = -7/3 La corrente è pertanto i L (t) = k e -5t + k 2 e -7/3t + i L ( ) i L ( ) = 9/2 i L (0-) = i L (0+) = 0 = k + k 2 + 9/2 di L /dt (0) = 35 = k (-5) + k 2 (-7/3) da cui k = -47/6 e k 2 = 75/6-6 -

17 E4 (punti 6) Circuiti magnetici μ 0 = 2,5 0-7 H/m μ r = 4000 μ r2 = 8000 S = 0,5 cm 2 l = 3 cm t = 0, mm Determinare N in modo che ai morsetti si abbia una induttanza di circa 60 mh Soluzione La riluttanza dei tratti di lunghezza l di materiale vale = l / μ 0 μ r S =,2 0 5 La riluttanza del tratto di lunghezza l di materiale 2 vale 2 = l / μ 0 μ r2 S = 0,6 0 5 La riluttanza del traferro vale t = t / μ 0 S = La riluttanza vista dall avvolgimento vale = ( t + 3 ) t = 4,2 0 5 L = N 2 / t = 60 mh da cui N = 58,74 quindi 59 spire

18 ELETTOTECNICA (0 CFU) CS INGEGNEIA MATEMATICA Prova scritta 7 Luglio 200 SOLUZIONE - 8 -

19 E (punti 7) egime stazionario Calcolare la corrente I : a) usando il metodo dell analisi nodale b) applicando il Teorema di Thevenin ai morsetti A B - 9 -

20 - 20 -

21 E2 (punti 7) Bipoli equivalenti in regime sinusoidale Determinare il bipolo equivalente Thevenin ai morsetti AB calcolando Z th e V th Soluzione - 2 -

22 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine Calcolare v (t) da 0 all infinito e tracciarne il grafico. Soluzione

23 E4 (punti 6) Doppi bipoli a) Calcolare la matrice dei parametri b) Disegnare lo schema circuitale di un doppio bipolo equivalente (con la stessa matrice ) comprendente solo resistori Soluzione

24 CS INGEGNEIA MATEMATICA ELETTOTECNICA (0 CFU) Prova scritta 9 Settembre 200 SOLUZIONE

25 E (punti 7) egime stazionario Calcolare la corrente I Soluzione

26 E2 (punti 7) egime sinusoidale Calcolare v(t) a regime con il metodo dei fasori. Soluzione

27 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine (Transitorio) v s (t) è un gradino unitario nell origine Calcolare v(t) per t da 0 a infinito. Disegnare il grafico di v(t) Suggerimento: esprimere v(t) in funzione delle variabili di stato Soluzione

28 E4 (punti 6) Circuiti magnetici Il circuito magnetico ha permeabilità μ FE = ; sono note le dimensioni geometriche; non c è flusso disperso; il traferro t è in aria (permeabilità μ 0) Calcolare la matrice delle induttanze L della struttura magnetica mostrata in figura. Soluzione

29 CS INGEGNEIA MATEMATICA ELETTOTECNICA (0 CFU) Prova scritta 24 Settembre 200 SOLUZIONE

30 E (punti 6) egime stazionario Determinare per quale valore di Is la corrente I vale 4 A. Calcolare in tale condizione le potenze erogate dai due generatori indipendenti. Soluzione V = 4 0 = 40 Volt I = 0/5 = 2 Ampère V = = 0 Volt I 2 = V/40 = Ampère I S = I + I 2 I = 3 Ampère P Is = 3 40 = 20 Watt P Vs = 50 2 = 00 Watt

31 E2 (punti 7) egime sinusoidale Il circuito in figura ha due generatori indipendenti, un generatore di tensione costante (E = 5 Volt) e un generatore di corrente sinusoidale ( Is(t) = 2 sin(5t) ). Calcolare v(t) a regime. Soluzione - 3 -

32 E3 (punti 8) Circuiti del II ordine (Transitorio) Calcolare i (t) da 0 all infinito Tracciare il grafico di i (t) Soluzione

33 E4 (punti 7) Doppi bipoli Calcolare i parametri conduttanza G (ammettenza Y) del doppio bipolo seguente: Soluzione. Poiché il Doppio Bipolo ha una struttura a T è conveniente calcolare i parametri (resistenza) e quindi invertire la matrice

34 E2 (punti 8) Doppi Bipoli Calcolare, tra le matrici cardinali, G, H, H, quelle che esistono. L OP-AMP è ideale. Soluzione. 0 ) ( = dato che det() = 0 la matrice G non esiste la seconda matrice ibrida 0 ) ( 0 H = Dato che det(h ) = 0 la matrice dei parametri H non esiste.

35 E3 (punti 8) Circuiti magnetici Il circuito magnetico ha permeabilità μ FE = ; sono note le dimensioni geometriche; non c è flusso disperso; il traferro t è in aria (permeabilità μ 0) a) Calcolare i parametri L, L 2 e M degli induttori mutuamente accoppiati ai morsetti AA e BB b) Collegare il morsetto A con B e calcolare l induttanza L che si vede ai morsetti A B Soluzione Indicato con t la riluttanza del traferro = t/a μ 0 L = 2 N t N N t 2 N N 2 t 2 2 N 2 t Essendo i due avvolgimenti collegati in serie l induttanza ai morsetti A B vale L + L 2 + 2M = (N 2 + 2N N N 2 2 )/ t

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