ESERCIZI di Elettrotecnica

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1 1 esercizi in monofase completamente svolti ESERCII di Elettrotecnica IN CORRENTE ALTERNATA MONOFASE A cura del Prof. M. IMOTTI 1

2 esercizi in monofase completamente svolti ES.10 Una resistenza di 80 è collegata in serie ad un condensatore di capacità C = 5 F. Agli estremi della serie è applicata una tensione alternata di valore eff V = 0 V, 50 Hz. Calcolare il fdp e le cadute di tensione ai capi del condensatore e della resistenza. R = f.d.p. [0.53] C = 5 F. V r [116.8 V] V = 0 V 3. V c [ V] = 314 rad / sec cos VI = R / R X c = X c = 1 / C. V r = R * I I = V / 3. V c = X c * I

3 3 esercizi in monofase completamente svolti ES.11 Una resistenza di 60, un induttanza L = 0,5 H ed un condensatore di capacità C = 15 F, sono collegati in serie e vengono attraversati dalla corrente alternata del valore efficace I = A,. Calcolare la tensione alternata in valore efficace da applicare alla serie e lo sfasamento tensione corrente. R = V [163. V] C = 15 F. VI [43 ] L = 0,5 H I = A = 314 rad / sec V = * I = R ( X X ) L C X L = * L X c = 1 / C VI = arctg ( X L -X c ) / R 3

4 4 esercizi in monofase completamente svolti ES.1 Una linea ohmico-induttiva di reattanza X L = 1 alimenta un carico ohmico-capacitivo con R= 6 e Xc = 1 che assorbe una corrente I = 10 A. Le perdite in linea sono pari a 900 W. Calcolare : il valore della resistenza della linea il valore della tensione da applicare alla partenza della linea lo sfasamento tra la tensione in partenza e la corrente assorbita X L = 1 1. R L [9 ] R= 6. V P [150 V ] Xc = 1 3. VI [ 0 ] I = 10 A. P = 900 W. = 314 rad / sec 1. R L = P L / I. V P = * I = ( R R ) ( X X ) L L C 3. VI = arc cos (R+ R L ) / 4

5 5 esercizi in monofase completamente svolti ES.13 Un circuito costituito dal parallelo di due rami : il primo RC di valore R 1 = 10 e C 1 = 0.6 F ; il secondo RL di valore R = 3 e L = 10 mh viene alimentato da una tensione alternata di valore eff 15 V, f= 50 Hz. Calcolare le intensità di corrente che scorrono nei singoli rami e quella totale. 1. I 1 = V / 1 R X 1 C 1 = Xc = 1 / C. I = V / R X L = X L = * L 3. It = V / T T = 1 * = T 1 R 1 = I 1 [11 A ] C 1 = 0.6 F. I [ 8.8 A ] R = 3 3. I T [ A ] L = 10 mh V = 15 V = 314 rad / sec 1 = R 1 - j Xc = 1 - arctg Xc / R 1 = R + j X L = arctg X L / R 5

6 6 esercizi in monofase completamente svolti ES.14 Un circuito è costituito dal parallelo di due rami : il primo RC di valore R 1 = 10 e Xc = 5.3 ; il secondo RL di valore R = 14 e X L = 9. Sulla resistenza R 1 si manifesta una tensione pari a V R1 = 45 V, f= 50 Hz. Calcolare la corrente totale assorbita dal circuito R 1 = I [6.6 A ] X C = 5.3 R = 14 X L = 9 V R1 = 45 V = 314 rad / sec 1. I T = V / T V = I 1 * 1 I 1 = V R1 / R 1 1 = T T = T R X 1 C 1 * = 1 1 = R 1 - j Xc = 1 - arctg Xc / R 1 = R + j X L = arctg X L / R 6

7 7 esercizi in monofase completamente svolti ES.15 Un arco doppio : il primo RL con R = 8 e X L = 5 ; il secondo puramente ohmico R 3 = 16, viene alimentato da una tensione alternata di valore massimo V m = 100 V. In un secondo tempo si inserisce in parallelo all arco doppio un impedenza 1 e l intero circuito formato dal parallelo delle tre impedenze assorbe la corrente al valore max I m = 40 A con angolo di sfasamento IV = 35. Calcolare il valore dell impedenza 1 e dei suoi componenti R 1 e X 1. R = [.96 ] X L = 5. R 1 [ 1.48 ] R 3 = Xc 1 [.56 ] V m = 100 V I m = 40 A IV = 35 V = 0 = 314 rad / sec 1. 1 = V 1 I V 1 V m 1 V I T I 1 I I I 3 T I m IT IT = IV I I 3 V R jx V 3 3 R 3 L R 1 = Re ( 1 ) X 1 = Im ( 1 ) R X L arctg X R L 7

8 8 esercizi in monofase completamente svolti ES.16 Un circuito costituito dal parallelo di due rami : il primo RC di valore R 1 = 8 e Xc = 6 ; il secondo RL di valore R = 15 e X L = 4 viene alimentato da una tensione a valore massimo Vm = 100 V. Determinare il valore della corrente assorbita dal circuito e il valore dell impedenza equivalente. R 1 = 8 1. I T [10.7 A ] X C = 6. T [6.6 ] R = 15 X L = 4 V m = 100 V V = 0 = 314 rad / sec 1. I T = I TM /. T I TM = I T V I T T V V M V 1 * = 1 1 = R 1 - j Xc = = R + j X L = R X R 1 C X L - arctg Xc / R 1 arctg X L / R 8

9 9 esercizi in monofase completamente svolti ES.17 Tre impedenze in serie vengono alimentate alla tensione V= 0 V, 50 Hz. Determinare gli angoli di sfasamento parziali, la corrente assorbita ed il valore dello sfasamento totale della corrente sulla tensione. R 1 = V1I [43 ] X L1 = 14. VI [39 ] R = V3I [76 ] X c = 8 4. VI [44 ] R 3 = 6 5. I [5 A] X L3 = 4 V = 0 V = 314 rad / sec 1. VI1 = arctg X L1 /R 1. VI = - arctg X C /R 3. VI3 = arctg X L3 /R 3 4. VI = arctg ( X L1 - X c + X L3 ) / ( R 1 +R +R 3 ) 5. I = V / T T = ( R R R ) ( X X X ) 1 3 L1 C L3 9

10 10 esercizi in monofase completamente svolti ES.18 Un circuito costituito dal parallelo di due rami : il primo RL di valore R 1 = 10 e X L = 0 ; il secondo RC di valore R = 5 e X C = 10 viene alimentato da una tensione V = 0 V. Determinare il valore della corrente assorbita dal circuito con il suo sfasamento sulla tensione applicata. R 1 = I T [15.85 A ] X L = 0. VI [-33.7 ] R = 5 X C = 10 V AB = 0 V V = 0 = 314 rad / sec 1. I T = V AB / T T = T T 1 * = 1 1 = R 1 + j X L = R1 X L arctg X L / R 1 = R - j X C = R X C - arctg X C / R. VI = T 10

11 11 esercizi in monofase completamente svolti ES.19 Ad un circuito costituito dal parallelo di due rami : il primo RL di valore R 1 = 10 e X L = 0 ; il secondo RC di valore R = 5 e X C = 10 viene applicata la tensione di ingresso V = 0 V, tramite una linea RL di valore R o =.5 e X o =11.6. Determinare il valore della corrente assorbita dal circuito con il suo sfasamento sulla tensione applicata. R 1 = I T [15.08 A ] X L = 0. VI [ ] R = 5 X C = 10 V = 0 V V = 0 R o =.5 X o = 11.6 = 314 rad / sec 1. I T = V / T T = T T 1 * L = 1 L R O jx O 1 = R 1 + j X L = = R - j X C = R1 X L arctg X L / R 1 R X C - arctg X C / R. VI = T 11

12 1 esercizi in monofase completamente svolti ES.0 Tre impedenze ohmico-induttive vengono collegate in parallelo e alimentate alla tensione V= 0 V, 50 Hz. Determinare gli angoli di sfasamento parziali, la corrente assorbita ed il valore dello sfasamento totale della corrente sulla tensione. R 1 = VI1 [0 ] X L1 = 5.8. VI [45 ] R = VI3 [60 ] X L = VI [45 ] R 3 = I [47.67 A] X L3 = 9 V = 0 V = 314 rad / sec 1. VI1 = arctg X L1 /R 1. VI = arctg X L /R 3. VI3 = arctg X L3 /R 3 4. I = V / T T = T VI = T T = R 1 + j X L1 = = R + j X L = 3 = R 3 + j X L3 = 3 R X 1 L1 R X R L 3 X L 3 arctg X L1 / R 1 arctg X L / R arctg X L3 / R 3 1

13 13 esercizi in monofase completamente svolti ES.1 Una linea RL di valore R o = 1 e X o =1 alimenta un parallelo di due rami : il primo di valore R 1 = 15 e il secondo di valore R = 14 e X L = 9. La tensione in partenza della linea risulta V = 0 V, 50 Hz. Determinare la tensione da applicare all arco doppio all arrivo della linea. R 1 = V p [79.58 V ] R = 14 X L = 9 V = 0 V V = 0 R o = 1 X o = 1 = 314 rad / sec 1. V P = P * I T p = P P 1 * = 1 1 = R 1 = R + j X L = R X L arctg X L / R I T = V / T T = T T 1 * L = L RO jx O 1 13

14 14 esercizi in monofase completamente svolti ES. Una bobina di resistenza R = 3 e di induttanza L = 10 mh è sottoposta ad una tensione di 100 V,50 Hz. Determinare il f.d.p. e il valore vettoriale della corrente. R 1 = 3 1. cos VI [46 ] L= 10 mh. I [ *5.07 A] V = 100 V I = 0 = 314 rad / sec 1. cos VI = cos arctg X L / R X L = * L V I. V * V V V = VI + I = R + j X L = R X L arctg X L / R 14

15 15 esercizi in monofase completamente svolti ES.3 Un impedenza assorbe la potenza P = 00 W con un fdp = Determinare gli elementi che costituiscono l impedenza e la tensione applicata ai suoi estremi quando essa è percorsa dalla corrente I m = 1 A. P = 00 W 1. [ ] cos VI = V [ 31.4 V] I m = 1 A I = 0 = 314 rad / sec 1. = V / I V = *V V V = V I + I VI = arc cos(0.75). V = P / ( I*cos VI ) I = Im / I = Im I 15

16 16 esercizi in monofase completamente svolti ES.4 Un impedenza assorbe la potenza apparente S = 400 VA sotto la tensione V = 16 V. Determinare l impedenza vettoriale sapendo che la corrente è in anticipo di 60 rispetto alla tensione e che la sua frequenza è 50 Hz. S = 400 VA 1. [ ] V = 16 V IV = 60 I = 0 = 314 rad / sec 1. = V / I V = *V V V = IV I = *I I I = S / V 16

17 17 esercizi in monofase completamente svolti ES.5 Un circuito RL è percorso dalla corrente al valore max 16 A,50 Hz. Calcolare la potenza attiva, reattiva e apparente. R = 0 1.P [ 560 W] L = 0 mh.q [803.8 var] Im = 16 A 3. S [678 VA] VI = 60 I = 0 = 314 rad / sec 1. P = R * I I = Im /. Q = XL * I X L = * L 3. S= P Q 17

18 18 esercizi in monofase completamente svolti ES.6 Un impedenza RC assorbe la potenza apparente di 800 VA. La tensione misurata ai capi della resistenza V R = 80 V, f= 50 Hz. Lo sfasamento tra la tensione applicata e la corrente è di 60 con la corrente in anticipo. Calcolare gli elementi costituenti l impedenza e la corrente che essa assorbe. S= 800 VA 1. R V R = 80 V. Xc IV = I AB = 314 rad / sec R= V R /P P= S* cos IV Xc= R* tg IV I AB = V R /R 18

19 19 esercizi in monofase completamente svolti ES.7 Un carico ohmico-induttivo presenta le cadute V R = 180 V e V X = 10 V. Esso assorbe una potenza apparente S= 000 VA,. Calcolare 1. la tensione applicata al carico. la corrente assorbita 3. gli elementi costituenti l impedenza V R = 180 V 1.V [ 16.3 V] V X = 10 V.I [9.4 A] S= 000 VA 3.R [19.48 ]. 4.X [1.98 ] = 314 rad/sec V= V V R X. I= S/ V 3. R= V R / I 4. X = V X / I 19

20 0 esercizi in monofase completamente svolti ES.8 Un motore monofase assorbe la potenza Pass = 5 KW con una corrente I= 7 A da una linea a tensione V= 0 V, f=50 Hz. Determinare la potenza apparente, il f.d.p., la potenza reattiva e la potenza resa, sapendo che il rendimento del motore è del 80 %. P ass =5 KW 1. S [5940 VA] I = 7 A. cos [0.84] V = 0 V 3. P R [4000 W] = 80 % 4. Q [301.6 var] = 314 rad / sec S = V*I. cos = P ass / S 3. Q = S* sen 4. P R = * P ass 0

21 1 esercizi in monofase completamente svolti ES.9 Un carico RL con R = 0 e L= 50 mh viene alimentato dalla tensione V= 100 V. Determinare l angolo di sfasamento tensione corrente, la potenza attiva, reattiva e apparente dell intero circuito. R = 0 1. VI [38 ] L= 50 mh. P [304.W ] V= 100 V 3. Q [38.79 var ] 4. S [390 VA] = 314 rad / sec VI = arctg X / R X = * L. P = R * I I = V / X = R 3. Q = X * I 4. S= V * I 1

22 esercizi in monofase completamente svolti ES.30 Due impedenze in serie assorbono le potenze apparenti A 1 = 000 VA con un cos 1 = 0,8 e A = 1600 VA con un cos = Determinare la potenza apparente totale assorbita dalla rete. S 1 = 000 VA 1. S T [3505 VA] cos 1 = 0,8 S = 1600 VA cos = = 314 rad / sec S T = P Q T T P T = P 1 + P P 1 = S 1 * cos 1 P = S * cos Q T = Q 1 + Q Q 1 = S 1 * sen 1 1 = arc cos 1 Q = S * sen = arc cos

23 3 esercizi in monofase completamente svolti ES.31 Due motori monofasi collegati in parallelo funzionano alla tensione Vp = 0 V ed assorbono le potenze attive P 1 = 3 KW e P = 0.4 KW, le potenze reattive Q 1 = 0.18 Kvar e Q = 0,1 Kvar. Calcolare la corrente assorbita dal gruppo. Vp = 0 V 1. I T [15.5 A] P 1 = 3 KW P = 0.4 KW Q 1 = 0.18 K var Q = 0,1 K var = 314 rad / sec I T = S/ Vp S= P Q T T P T = P 1 + P Q T = Q 1 + Q 3

24 4 esercizi in monofase completamente svolti ES.3 Un impedenza ohmica induttiva assorbe una potenza attiva P S = 30 W quando i due elementi sono posti in serie tra loro. Se invece i due componenti sono posti in parallelo tra loro, essi assorbono le potenze attiva P p = 500 W e reattiva Q p = 00 var sotto la tensione V p = 100 V. Calcolare i valori dei componenti dell impedenza, la tensione applicata e la corrente assorbita quando essi sono in serie. P S = 30 W 1. R [0 ] P p = 500 W. X [50 ] Q p = 00 var 3. Vs [15 V] V p = 100 V 4. Is [4 A] = 314 rad / sec R = X = V P / P P V P / Q P 3. Vs = s * Is s = R X Is = PS R 4

25 5 esercizi in monofase completamente svolti ES.33 Tre carichi RL - R - C sono collegati in parallelo. Il ramo RL presenta una R 1 = 1 e una L 1 = 30 mh, il ramo puramente ohmico presenta una R = 8, il ramo puramente capacitivo presenta una capacità C = 0,6 mf ed è percorso dalla corrente Ic = 19 A. Determinare la potenza attiva, reattiva e apparente dell intero circuito. 1. P T = P 1 + P P 1 = R 1 * I 1 I 1 = V p / 1 V p = Xc * Ic Xc = 1 / * C R 1 X1 1 = X1 = * L 1 P = V P / R Q T = Q 1 + Q Q 1 = X 1 * I 1 3. S= Q = X C * C P I Q T T R 1 = 1 1. P T [ W] L 1 = 30 mh. Q T [ var] R = 8 3. S T [33 VA] C = 0,6 mf Ic = 19 A. = 314 rad / sec 5

26 6 esercizi in monofase completamente svolti ES.34 Un impedenza ohmico induttiva con R = 3 K ed X = 5 K viene percorsa dalla corrente al valore massimo I m = 1 ma. Determinare le potenza attiva, reattiva e apparente assorbite dall impedenza. R = 3 K 1. P [0.16 W] X = 5 K. Q [0.36 var] I m = 1 ma 3 S [0.4 VA] = 314 rad / sec 1. P = R * I I = I m /. Q = X * I 3. S= P Q 6

27 7 esercizi in monofase completamente svolti ES.35 Un motore monofase assorbe la potenza P =800 W quando viene alimentato dalla tensione V = 00 V con cos = 0,8. Determinare la resistenza, la reattanza del motore e la sua potenza reattiva assorbita. P =800 W 1. R [3 ] cos = 0.8. X [4.1 ] V = 00 V 3 Q [60.8 var] = 314 rad / sec R = P / I I = P / ( V * cos ). X = R* tg 3. Q = P *tg 7

28 8 esercizi in monofase completamente svolti ES.36 Tre impedenze poste tra loro in serie assorbono rispettivamente le potenze indicate nei dati. Calcolare la potenza attiva totale. P 1 = 400 W 1. P T [145 W] cos 1 = 0.8 Q = 300 var = 45 S 3 = 800 VA 3 = 5 = 314 rad / sec 1. P T = P 1 + P + P 3 P = Q / tg P 3 = S 3 / cos 3 8

29 9 esercizi in monofase completamente svolti ES.37 Due impedenze RL - RC in parallelo assorbono la potenza complessiva P T = 300 W con un cos = 0.731, quando la tensione di alimentazione vale 40 V. Sapendo inoltre che la potenza reattiva assorbita dal condensatore di reattanza Xc = 10, vale 90 var, determinare : la corrente totale che viene assorbita dal carico,le correnti che scorrono nei singoli rami con i relativi angoli di sfasamento e i valori delle resistenze R 1, R e dell induttanza L. P T = 300 W 1. I T [10.59 A] cos = I 1 [10.75 A] V = 40 V 3. VI1 [59 ] Xc = I [3 A] Qc = 90 var 5. VI [48 ] 6. R 1 [1.9 ] = 314 rad / sec 7. R [8.8 ] 8. L [10mH] I T = P T / ( V * cos ). I 1 = A 1 / V P Q 1 L A 1 = P 1 = P T - P I P = R * X C 7. R = = V / I Q 4. I = C C Q L = Q T + Q C Q T = P T * tg 3. VI1 = arctg Q L / P 1 5. VI = arctg Q C / P 6. R 1 = P 1 / I 1 8. L = X L / X L = Q L / I 1 X 9

30 30 esercizi in monofase completamente svolti ES.38 Due impedenze RL - RC i cui valori sono riportati nei dati sono collegate in parallelo. La resistenza R 1 assorbe la potenza attiva P 1 = 640 W, calcolare: le correnti che scorrono nei singoli rami e la corrente totale che viene assorbita, l angolo di sfasamento sulla tensione totale, la potenza attiva, reattiva e apparente totale. R1 = I 1 [8 A] L1 = 0 mh. I [.65 A] R = I T [8. A] C = 100 F 4. VI [-13 ] P1 = 640 W 5. P T [75.36 W] 6. Q T [174. VAR ] = 314 rad / sec 7. A T [77. VA] 1. I 1 = P / R 1 1. I = V / V = I 1 * 1 1 = R X 1 L R X C = Xc = 1 / *C 3. I T = S T / V P T Q T 7. S T = 5. P T = P 1 + P P = R * I 6. Q T = Q L - Q C Q L = X L * I 1 Q C = Xc * I 4. VI = arctg Q T / P T 30

31 31 esercizi in monofase completamente svolti ES.39 Due motori monofasi, collegati in parallelo e alla tensione Va di 80.5 V con un fdp complessivo di 0.45 vengono alimentati tramite una linea che presenta un conduttore di andata ohmico-induttivo e un conduttore di ritorno ohmico-capacitivo, con le caratteristiche indicate nei dati. I due rami della linea dissipano la potenza attiva P L =160 W. Calcolare : 1 la tensione in partenza alla linea e il suo sfasamento sulla corrente totale le potenze attive reattive e apparenti sia in partenza che all arrivo della linea 3 l impedenza equivalente dei due motori in parallelo e i suoi componenti. R 1 = Vp [149.8 V] X L1 =. ViI [53 ] R 3 = 0,3 3. P T [704.5 W ] Xc 3 = Q T [3589 var ] Va = 80.5 V 5. A T [4494 VA ] P L = 160 W 6. P M [ W ] cos m = 0,45 7. Q M [ var ] 8. S M [415 VA] = 314 rad / sec 9. M [.68 ] 10. R M [1. ] 11. X M [.38 ] V i = V X V Y V x = V 1x + V ax + V 3x V 1x = R 1 * I I = P / R L L 31

32 3 esercizi in monofase completamente svolti R L = R 1 + R 3 V ax = V a * cos m V 3x = R 3 * I V y = V 1y + V ay + V 3y V 1y = X L1 * I V ay = V a * sin m V 3y = X c3 * I. ViI = arctg V y / V x 3. P T = V i * I * cos ViI 4. Q T = V i * I * sen ViI P Q 5. S T = T T 6. P M = V a * I * cos m 7. Q M = V a * I * sen m 8. S M = V a * I 9. M = V a / I 10. R M = M * cos m 11. X M = M * sen m 3

33 33 esercizi in monofase completamente svolti ES.40 Tre carichi RL - L - C sono collegati in parallelo e alimentati da una linea ohmico induttiva. Il carico ohmico induttivo dissipa la potenza attiva P 1 = 5800 W e una potenza reattiva Q 1 = 5800 var Il carico puramente induttivo presenta una reattanza X L = 10, il carico puramente capacitivo dissipa una potenza reattiva Q 3 = 400 var. La tensione del parallelo è V AB = 0 V. La linea assorbe la potenza attiva P L = 650 W e una potenza reattiva Q L = 4160 var. Calcolare la tensione in partenza V AC e gli elementi incogniti del circuito. P 1 = 5800 W 1.V AC [ 77.4 V] Q L1 = 5800 var. R L [.93 ] X L = X L [1.9 ] Q C3 = 400 var 4. R 1 [4 ] V AB = 0 V 5. X L1 [4 ] P L = 650 W 6. X c3 [0.16 ] Q L = 4160 var = 314 rad / sec V AC = S T / I P S T = T Q T P T = P L + P 1 Q T = Q L + Q L1 + Q L - Q C3 Q L = V AB / X L I = S P / V AB P S P = L. R L = P L / I 3. X L = Q L / I 4. R 1 = P 1 / I 1 I 1 = S 1 / V AB 1 ( Q 1 QL QC 3) P Q L S 1 = 1 5. X L1 = Q L1 / I 1 6. X C3 = V AB / Q C3 1 33

34 34 esercizi in monofase completamente svolti ES.41 La potenza attiva all ingresso del circuito in figura è Pi = 1 KW con un cos = 0.97, mentre l impedenza M del motore assorbe la potenza attiva P M = 680 W. Sono inoltre note la resistenza della linea R = 0 e la sua induttanza L = 30 mh, alla pulsazione = 1000 rad/sec. Determinare la potenza reattiva assorbita dall impedenza M e gli elementi che la costituiscono. Pi = 1 KW 1. Q M [9.5 var] cos = R M [4.5 ] P M = 680 W 3. X M [14.34 ] R L = 0 L L = 30 mh = 1000 rad/sec Q M = Qi - Q L Qi = Pi * tg Q L = X L * I X L = * L L I = P L / R L P L = Pi - P M. R M = P M / I 3. X M = Q M / I 34

35 35 esercizi in monofase completamente svolti ES.4 Un motore monofase di impedenza M = 36 assorbe la potenza apparente A M = 900 VA con un cos M = 0,8, mentre la potenza apparente all ingresso della linea risulta Ai =160 VA con un cos i = Calcolare la tensione di alimentazione ai capi del motore, la tensione all ingresso della linea, le potenze reattive assorbite dal motore e dalla linea, i valori della resistenza della linea e della capacità del condensatore di linea. 1. V M = M * I M = V M [180 V ] S M = 900 VA. Vi [5 V ] cos M = 0,8 3. Q M [540 var ] Ai =160 VA 4. Q C [151.1 var] cos i = R L [19.08 ] = 1000 rad/sec 6. C [166.6 F] I = PM R M P M = S M * cos M R M = M * cos M. Vi = Si / I 3. Q M = P M * tg M 4. Q C = Q M - Qi Qi = Si * sen i 5. R L = P L / I P L = Pi - P M Pi = Si * cos i 6. C = 1 / * X C X C = Q C / I 35

36 36 esercizi in monofase completamente svolti ES.43 La potenza attiva assorbita da un carico formato da tre impedenze in parallelo RL- RC- R è P= 4000 W con cos = 0.67 e tensione di alimentazione di 0 V. Sono inoltre note R 3 = 0, P 1 = 960 W, Q L1 = 5300 var. Determinare : la corrente totale che viene assorbita dal carico, le correnti che scorrono nei singoli rami con i relativi angoli di sfasamento sulla tensione e i valori delle resistenze R 1, R e dell induttanza L 1 e della capacità C. P T = 4000 W 1. I T [7.13 A] cos = I 1 [4.48 A] V = 0 V 3. VI1 [80 ] R 3 = 0 4. I [5 A] P 1 = 960 W 5. VI [56 ] Q L1 = 5300 var 6. I 3 [11 A] 7. VI3 [0 ] = 314 rad /sec 8. R 1 [1.6 ] 9. R [4.8 ] 10. L1 [8.16mH] 11. C [85.79 F] 1. I T = P T / ( V * cos ). I 1 = S 1 / V P Q S 1 = 1 L 3. VI1 = arctg Q 1 / P 1 4. I = S / V 36

37 37 esercizi in monofase completamente svolti P Q C S = P = P T - P 1 - P 3 P 3 = R 3 * I 3 6. I 3 = V / R 3 Q C = Q L1 - Q T Q T = P T * tg 5. VI = arctg Q C / P 7. VI3 = 0 8. R1 = P 1 / I 1 9. R = P / I 10. L 1 = X L1 / X L1 = Q L1 / I C = 1 / * X C X C = Q C / I 37

38 38 esercizi in monofase completamente svolti ES.44 Una linea elettrica presenta una R L = 0,5 e una X L = 0,4 e alimenta un carico che assorbe la potenza attiva P M = 1, KW con un cos = La tensione in arrivo vale 00 V. Calcolare la tensione in partenza e il suo sfasamento sulla corrente, la c.d.t. % lungo la linea. i componenti del carico.. R L = 0,5 1. Vi [03.6 V] X L = 0,4. ViI [ 41 ] P M = 1, KW 3.c.d.t. % [1.8%] cos = R M ] V M = 00 V 5. X M [16.53 ] f= 50 Hz = 314 rad/sec 1. Vi = Si / I Si = P T Q T P T = P 1 + P M P 1 = R 1 * I I = P M / V M * cos Q T = Q 1 + Q M Q 1 = X L * I Q M = P M * tg. ViI = artg Q T / P T 3. v % = 100* (Vi-V M )/Vi 4. R M = P M / I 5. X M = Q M / I 38

39 39 esercizi in monofase completamente svolti ES.45 Due motori monofasi in parallelo assorbono la potenza reattiva complessiva Q T = 160 var con un cos = 0.7. Si conosce la resistenza del 1 motore R 1 = 5, la c.d.t. ai capi dell induttanza del 1 motore V L1 = 60 V e la tensione di alimentazione del gruppo Vi = 96 V. Determinare : la corrente totale che viene assorbita dal carico, le correnti assorbite da ciascun motore e i valori della resistenza R, e dell induttanze L 1 e L. Inoltre la capacità da porre in parallelo al gruppo per portare l angolo di sfasamento totale a 30. Q T = 160 var 1. I T [4.3 A] cos = 0.7. I 1 [15 A] R 1 = 5 3. I [9.5 A] V L1 = 60 V 4. R [6.18 ] Vi = 96 V. 5. L 1 [1.7mH] 6. L [5mH] = 314 rad / sec 7. C [5.4 F] 1. I T = Q T / ( V * sen ). I 1 = V R1 / R 1 V i V L 1 V R1 = 3. I = S / Vi P Q S = P = P T - P 1 P T = Q T / tg P 1 = R 1 * I 1 Q = Q T - Q 1 Q 1 = X L1 * I 1 X L1 = V L1 / I 1 4. L 1 = X L1 / 5. R = P / I 6. L = X L / X L = Q / I C = PT ( tg tg * V i ' ) 39

40 40 esercizi in monofase completamente svolti ES.46 Una linea elettrica alimenta tre carichi in parallelo che assorbono rispettivamente le potenze riportate nei dati. Calcolare : 1. l angolo di fase tra la tensione applicata e la corrente assorbita dalla linea di valore I T =1 A. la tensione applicata 3. la capacità del condensatore da porre in parallelo al carico capace di portare il f.d.p. al valore l ulteriore capacità da porre in parallelo alla precedente per ottenere il totale rifasamento del carico. P 1 = 00 W 1. VIT [-4 ] Q 1 = var. V [100.9 V] P = 300 W 3. C [59.7 F] Q = var 4. C [1.15 F] P 3 = 400 W Q 3 = 80 var cos = 0.8 = 314 rad / sec 1. VIT = artg Q T / P T Q T = Q 1 + Q + Q 3 P T = P 1 + P + P 3. V = S T / I T 3. C = ' PT ( tg tg ) * Vi = VIT = arc cos PT * tg ' 4. C = * Vi 40

41 41 esercizi in monofase completamente svolti ES.47 Un motore monofase viene alimentato alla tensione V M = 380 V ed assorbe una corrente I= 40 A con un f.d.p. =0,8. La linea elettrica per allacciare il carico al generatore presenta una resistenza R L = 0.5 e una reattanza X L = 0,36. Calcolare l impedenza M del motore, la tensione necessaria in partenza, e la capacità da porre in parallelo al carico per limitare le perdite in linea a soli 34 W. V M = 380 V 1. M [9.5 ] I= 40 A. Vi [397 V ] cos M =0,8. 3. C [60.3 F ] R L = 0.5 X L = 0,36 P L = 34 W. = 314 rad/sec 1. M = V M / I. Vi = S T / I P S T = T Q T P T = P L + P M P L = R L * I P M = V M * I * cos M Q T = Q L + Q M Q L = X L * I Q M = P M * tg M 3. C= I C / * V M I C = Iy - Iy Iy = I * sen Iy = ' I P / R I X I = L L Ix = I * cos 41

42 4 esercizi in monofase completamente svolti ES.48 La potenza complessiva assorbita da due carichi in parallelo, sottoposti alla tensione di rete V=0 V, 50 Hz, è P T = 6000 W con un f.d.p Si vuole calcolare il valore della capacità per rifasare parzialmente l impianto portando l angolo di sfasamento a 30. Vi= 0 V 1. C [199.3 F] P T = 6000 W cos = = 30. = 314 rad / sec C= PT ( tg tg * V i ' ) = arc cos 4

43 43 esercizi in monofase completamente svolti ES.49 Una linea monofase di rame ( = mm * / m ), costituita dalla serie di due tronchi lunghi rispettivamente 0,4 Km e 0.3 Km, diametro costante = 4 mm, alla temperatura ambiente presenta una reattanza kilometrica di 0,71 / Km e alimenta con tensione in partenza due gruppi dislocati alla fine di ciascun tronco, con le seguenti caratteristiche nominali: 1 gruppo : motore monofase ad induzione lampada ad incandescenza P 1n = 3000 W P n = 1000 W V 1n = 0 V V n = 0 V I 1n = 0 A gruppo : motore monofase ad induzione lampada ad incandescenza P 3n = 500 W I 4n = 3.A V 3n = 0 V V 4n = 0 V I 3n = 5 A Calcolare : la tensione effettiva ai capi di ciascun gruppo la corrente assorbita da ciascun utilizzatore del 1 e del gruppo la corrente assorbita dal 1 tronco di linea la potenza attiva totale assorbita da ciascun gruppo rifasare ciascun gruppo a

44 44 esercizi in monofase completamente svolti CIRCUITI EQUIVALENTI CIIRCUITO 1 CIRCUITO CIRCUITO N.3 44

45 45 esercizi in monofase completamente svolti CIRCUITO 4 CIRCUITO N.5 I due tronchi di linea avente diametro costante presentano anche una sezione costante: s = * d / 4 = 1.56 [mm ] L impedenza equivalente di ciascun tronco risulta: 1 tronco: R L1 = * *L 1 / s = * * 400 / 1.56 = 1.08 [ ] X L1 = L 1 * x = 0.4 * 0.71 = 0.8 [ ] Impedenza del tronco in forma complessa: L1 = R L1 + j X L1 = j 0.8 = [ ] tronco: R L = * *L / s = * * 300 / 1.56 = 0.8 [ ] X L = L * x = 0.3 * 0.71 = 0.1 [ ] Impedenza del tronco in forma complessa: L = R L + j X L = j 0.1 = [ ] 45

46 46 esercizi in monofase completamente svolti Dalle caratteristiche nominali degli utilizzatori del 1 gruppo: cos 1 = P 1n / (V 1n * I 1n ) = 3000 / ( 0*0) = = V 1n / I 1n = 0 / 0 = 11 [ ] R 1 = 1 * cos 1 = 11 * 0.68 = 7.5 [ ] X 1 = 1 * sen 1 = 11 * 0.73 = 8 [ ] L impedenza sotto forma complessa: 1 = R 1 + j X 1 = 7,5 + j8 = [ ] Il utilizzatore del 1 gruppo essendo puramente ohmico presenta solo la resistenza come impedenza complessiva : R = V n / P n = 0 / 1000 = 48.4 [ ] L impedenza sotto forma complessa: = R = [ ] Dalle caratteristiche nominali degli utilizzatori del gruppo: cos 3 = P 3n / (V 3n * I 3n ) = 500 / ( 0*5) = = V 3n / I 3n = 0 / 5 = 8.8 [ ] R 3 = 3 * cos 3 = 8.8 * 0.45 = 4 [ ] X 3 = 3 * sen 3 = 8.8 * 0.45 = 7.8 [ ] L impedenza sotto forma complessa: 3 = R 3 + j X 3 = 4 + j 7.8 = [ ] Il utilizzatore del gruppo essendo puramente ohmico presenta solo la resistenza come impedenza complessiva : R 4 = V 4n / I 4n = 0 / 3. = [ ] L impedenza sotto forma complessa: 4 = R 4 = [ ] 46

47 47 esercizi in monofase completamente svolti ALTRA DELLO STESSO PROBLEMA La soluzione dei circuiti equivalenti è ottenuta per mezzo della tecnica dei NUMERI COMESSI: Le impedenze del gruppo sono collegate in parallelo e pertanto il circuito n.1 si modifica come il n. : P1 3 3 * 4 4 = 4.61+j 6.93 = 8, [ ] Le impedenze del 1 gruppo sono collegate in parallelo e pertanto il circuito n. si modifica come il n.3 : P 1 * 1 = 7.04+j 5.94 = [ ] Il tronco di linea e l equivalente del gruppo risultano in serie e il circuito n.3 si modifica come il n.4: S1 L P1 = j 7.14 = [ ] L impedenza s1 risulta in parallelo all impedenza equivalente del 1 gruppo come da circuito n.4 che si modifica nel n.5: P3 P P * S1 S1 = j 3.3 = [ ] L impedenza totale è la serie dell impedenza del 1 tronco di linea e la p3 come da circuito n.6: S L1 P3 = 4. + j 3.63 = [ ] La corrente assorbita dal circuito equivalente n.6 è anche la corrente assorbita dal 1 tronco di linea e pertanto si calcola con la legge di OHM: I V P / S = 0 0 / = j 6.13 = = [A] Dal circuito equivalente n. 5 si ricava la tensione V a1 : V a1 I * P3 = j 19 = [V] Dal circuito equivalente n.4 si ricava: I V A 3 1 / S1 = j = [A] Dal circuito equivalente n. 3 si ricava la tensione V a : V a I 3 * P1= j 7.96 = [V] Dal circuito equivalente n.1 si ricavano le correnti : 47

48 48 esercizi in monofase completamente svolti I 1 V A1 / 1 I I I V A1 / 4 V A / 3 5 V A / 4 = j = [A] = j 0.39 = [A] = j 15.5 = [A] =.43 + j 0.41 = [A] Le potenze assorbite dall equivalente del 1 gruppo di utilizzatori risultano: P 1 = R 1 *I 1 +R * I = [W] Q 1 = X 1 * I 1 = 39.1 [var] P 1 Q S 1 = 1 = [VA] cos 1 = P 1 / A 1 = = 40 1 = 5 ( rifasare a cos =0.9 ) C 1 = P1 *( tg tg ') * 1 V A 1 = [F] Le potenze assorbite dall equivalente del gruppo di utilizzatori risultano: P = R 3 *I 4 +R 4 * I 5 = [W] Q = X 3 * I 4 = [var] P Q S = = [VA] cos = P / A = 0.55 = = 5 ( rifasare a cos =0.9 ) P *( tg tg ') C = * V A = [F] 48

49 49 esercizi in monofase completamente svolti ESERCII DA SVOLGERE Nei problemi dal n.1 al n.3 costruite i diagrammi vettoriali, rappresentate graficamente le impedenze e determinate le costanti del circuito, nell ipotesi che si tratti di circuiti formati da due elementi in serie, ES.1 V Vm V = V I Im I = A = 800 rad/sec [ R= 4,6 L= 5,43 mh ] ES. V VmV = 50-5 V I Im I = 8 5 A = 000 rad/sec [ R= 5.41 C= 160 F ] ES.3 V Vm V = V I Im I = A = 5000 rad/sec [ R= 3.98 L= 1.3 mh ] ES.4 Un circuito RL serie presenta una L= 1, mh. Per una f = 60 Hz la corrente è in ritardo sulla tensione di 53,1. Calcolare la R. [ R = 6 ] ES.5 Due generatori collegati in serie presentano le tensioni 1 1 V 1 = 50 V V 90 [V ] e M V = [ V]. Calcolate la somma delle due tensioni V1 V.Quale valore indicherebbe un voltmetro collegato ai due terminali estremi? [ V SM V V = 61. V ] ES.6 Tre impedenze sono collegate in serie e ai capi di ognuna c è una tensione V1 V1 M V 1= 70,7 30 [V] V V V M V = [V] 3 V3 M V 3 = [V] V V M 49

50 50 esercizi in monofase completamente svolti Si determini la lettura del voltmetro collegato agli estremi del complesso delle tre impedenze. [ V= 56.1 V] ES.7 Due rami in parallelo assorbono le seguenti correnti: I1 Im 1 I = [A] I Im I = [A] Calcolare la lettura dell amperometro posto a monte del parallelo. [ I = 11.9 A ] ES.8 Un circuito è costituito dalla serie di tre impedenze di valore: 1 1 M 1= 5 30 [ ] = 4 60 [ ] M 3 3M 3= 10-0 [ ] Calcolate la tensione a cavallo di ciascun elemento del circuito. [ V V 1 1 M V 1 V V = [V] V M V 3 V3 M V 3 = [V] = [V] ES.9 Un generatore di valore sconosciuto alimenta 3 impedenze in serie 1 = 5+ j 5 [ ] ; = -j8 [ ] ; 3 = 4 [ ]. Determinate modulo e fase della corrente e della tensione applicata alla serie conoscendo che la V V caduta di tensione sulla 3 vale 3 3 M V 3= [V] Im V Vm = [ A] V [ I I = [V] ] ES.10 Un circuito è costituito dalla serie di tre impedenze : 1 = 9 [ ] ; = j [ ] ; 3 Determinate modulo e fase della 3 conoscendo che la tensione totale V Vm vale V = [V] e che la caduta di tensione sulla V V M vale V = [V] [ 3 = 4 - j15 [ ] ] 50

51 51 esercizi in monofase completamente svolti ES.11 Un circuito è costituito dalla serie di una resistenza R=1 [ ], di una reattanza X L = +4 [ ] e di una terza impedenza.conoscendo la V Vm tensione applicata V = [V] e la corrente risultante I Im I = [ A]. Calcolate l impedenza. [ = 1 - j8 [ ] ] ES.1 Due impedenze 1 = 10 + j0 [ ] e = 15 - j15 [ ] sono collegate in parallelo ed alimentate da un generatore di tensione [V]. Calcolate eq e la corrente in ciascun ramo eq [ eqm V VmV = = [ ] I Im I = [ A] ]. S.13 Due impedenze 1 1 M 1= 15 0 [ ] e M = 0 45 [ ] sono collegate in parallelo ed alimentate da un generatore di tensione V Vm V = [V]. Calcolate la corrente in ciascuno dei due rami e la totale. [ I 1 I 1 Im = 16 5 [A] I I Im = 1 0 [A] I Im I = [ A] ]. ES.14 Un circuito costituito dal parallelo di tre impedenze 1, = 5 [ ], 3 = V Vm 3 - j4 [ ], è alimentato dalla tensione V = [V] e assorbe la corrente totale I Im I = [ A]. Calcolate l impedenza 1. [ 1 1 M 1 = 5-30 [ ] ] ES.15 Una serie di R e C è collegata in parallelo con un resistore da 0 [ ]. Alimentando tale circuito con una tensione a 60 Hz, si ottiene una corrente complessiva di 7,0 A, una corrente di 6 A nel resistore da 0 [ ] e una corrente di.3 A nel ramo RC. Determinare R e C. [R= 5.8 [ ] C = 53.1 F ] 51

52 5 esercizi in monofase completamente svolti ES.16 Un circuito è costituito da due elementi collegati in serie R = 10 [ ] e Xc =5 [ ] ed è alimentato da una tensione avente valore eff 10 V. Determinate il triangolo delle potenze. [S= j 577 VA f.d.p. = ant ] ES.17 Un circuito è costituito da due elementi collegati in serie R = 5 [ ] e X L =15 [ ]. In esso la tensione eff a cavallo del resistore è 31.6 V. Determinate il triangolo delle potenze. [ S = 00 + j 600 VA f.d.p. = rit] ES.18 Si determini l impedenza di un circuito che alimentato dalla tensione V Vm = [V], assorbe la potenza apparente S=5040 VA con V un f.d.p. = ant. [ = 4 - j [ ] ] ES.19 Un impedenza è attraversata dalla corrente I= 18 A ed assorbe 3500 VA con un f.d.p=0.76 rit. Si calcoli il valore dell impedenza. [ = j 7 [ ] ] ES.0 Due impedenze 1 1 M 1= [ ] e M = [ ] collegate in serie sono attraversate da una corrente eff di 5 A. Determinare il triangolo della potenza. [ A = j 75 VA f.d.p. = rit] ES.1 Due impedenze 1 1 M 1= 5 45 [ ] e M = [ ] collegate in serie assorbono una potenza reattiva complessiva di 190 var in rit.. Si calcolino la potenza attiva e apparente. [ P= 745 W S = 3350 VA] ES. Un circuito costituito dalla serie di tre impedenze 1 = 5[ ], = j [ ], 3 è attraversato dalla corrente I =,5 A ed assorbe la potenza apparente di 36,4 VA con un f.d.p. = in rit. Si determini 3. [ 3M 3= 1 90 [ ] ] 5

53 53 esercizi in monofase completamente svolti ES.3 Un impedenza è in serie ad una resistenza R= 3 [ ] ed è alimentata da una tensione V VmV = [V] e assorbe la potenza P= 300 W ed è caratterizzata da un f.d.p. = 0.6 rit. Si determini il triangolo delle potenze e si calcoli l impedenza incognita. [S= j400 VA M = 4 90 [ ] ] ES.4 Due impedenze 1 1 M 1= 4-30 [ ] e M = 5 60 [ ], collegate in parallelo, sono alimentate da una tensione V VmV = 0 0 [V]. Determinate il triangolo delle potenze relativo a ciascun circuito e deducete da esso il triangolo delle potenze complessive. [ P = 16.6 W Q= 19.3 VAR rit f.d.p = 0.99 rit] ES.5 Un circuito costituito dal parallelo di R = 10 [ ] e M = 8-30 ], assorbe una corrente complessiva di 5A. Si determini il triangolo delle potenze complessive. [ P = 110 W Q= 33 VAR ant f.d.p = ant] ES.6 Un circuito è costituito dal parallelo di due impedenze 1 = + j3 [ ] e = 3 + j6 [ ]. Se il secondo ramo assorbe 1490 VA, quale sarà l indicazione dell amperometro posto a monte del circuito?. Si calcolino tutti i dati caratteristici della potenza assorbita. [ I= 4.4 A S= 10 + j 3630 [VA] f.d.p = 0.51 rit ] ES.7 Un generatore la cui tensione è in valore eff di 40 V, eroga 4500 VA ad un carico avente un f.d.p. = 0,75 rit. Si determini il valore della capacità da collegare in parallelo al carico per migliorare il f.d.p. a 0,9 rit. [ C = 61.3 F] 53

54 54 esercizi in monofase completamente svolti ES.8 Un generatore avente una tensione V VmV = [V] alimenta tre impedenze in parallelo. 1 1 M 1= 5 15 [ ], M =15-60 [ ], 3 3M 3 = [ ]. Si determini il triangolo delle potenze relativo a ciascun ramo e si deduca il triangolo delle potenze complessive. [ P = 4140 W Q = 1115 VAR rit. S = 490 VA f.d.p.= rit] ES.9 Un carico assorbe 300 KW ed è caratterizzato da un f.d.p. = 0.65 rit.. Collegando in parallelo dei condensatori, il f.d.p. viene aumentato a 0.9 rit. Quale deve essere la potenza in Kvar dei condensatori per questo scopo? e a quale riduzione percentuale di KVA da luogo? [ Qc = 04 Kvar rid % = 8%] ES. 30 Un utilizzatore di tipo industriale assorbe 5 KVA con un f.d.p. complessivo di 0.8 rit. Viene successivamente installato un gruppo di riscaldamento, costituito da radiatori a resistenza (f.d.p.=1) per cui il f.d.p. complessivo risulta di 0.85 rit. Qual è la potenza di questi radiatori, espressa in KW? [ P = 4.3 KW ] 54

55 55 esercizi in monofase completamente svolti Nome della grandezza Nome dell'unità di misura Simbolo dell'unità di misura accelerazione lineare metro al secondo quadrato m/s ammettenza siemens S conduttanza siemens S angolo piano radiante rad area metro quadro m calore specifico joule al kilogrammo kelvin J/(kg K) capacità elettrica farad F capacità termica joule al kelvin J/K carica elettrica coulomb C conduttività siemens al metro S/m conduttività termica watt al metro kelvin W/(m K) corrente elettrica ampere A differenza di potenziale volt V tensione elettrica volt V forza elettromotrice volt V energia joule J energia wattora Wh energia kilowattora kwh flusso luminoso lumen lm flusso magnetico weber Wb forza newton N peso newton N forza magnetica ampere al metro A/m forza magnetomotrice ampere al metro A/m frequenza hertz Hz illuminamento lux lx impedenza ohm resistenza ohm reattanza ohm Induttanza henry H induzione magnetica tesla T intensità luminosa candela cd lunghezza metro m massa kilogrammo kg momento di inerzia kilogrammo metro quadrato kg m 55

56 56 esercizi in monofase completamente svolti momento di una forza newton metro N m potenza (attiva) watt W potenza reattiva voltamperereattiva var potenza apparente voltampere VA pressione pascal Pa pulsazione radiante al secondo rad/s resistività ohm metro m riluttanza henry a meno 1 H -1 tempo secondo S temperatura assoluta kelvin K temperatura grado Celsius C velocità angolare radiante al secondo rad/s velocità lineare metri al secondo m/s volume metro cubo m 3 56

57 57 esercizi in monofase completamente svolti Esercizi di elettrotecnica MONOFASE ERRATA CORRIGE Es. 13 TESTO CORREIONE C1 0,6 F C1 0, 6mF Es. 0 TESTO CORREIONE 5. I? 5. I 47,67A Es. 36 TESTO CORREIONE P / P 3 S3 cos 3 3 S3 cos 3 Es. 40 TESTO CORREIONE V,4V 1. AC AC V 377.4V Es. 41 TESTO CORREIONE 1000rad /sec 314rad / sec Si ringrazia il Dott. Marcello Irrera per la cortese collaborazione. 57