DOMINGO PAOLA. Indici sintetici statistici per variabili quantitative: le medie

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1 DOMINGO PAOLA Idici sitetici statistici per variabili quatitative: le medie Nelle distribuzioi di variabili quatitative (per oi tabelle elle quali compaioo ella prima coloa misure di gradezze e ella secoda coloa la frequeza o umero di volte co cui tali misure si presetao) ha seso utilizzare idici sitetici medi che servoo a dare u idea di itoro a quale valore medio la distribuzioe si addesa. Possiamo pesare ai valori medi come a output di fuzioi che hao i igresso i vari dati (le misure della gradezza presa i cosiderazioe). L output è proprio il valore medio Valore medio Oppure, co altra otazioe, f(x 1, x 2, x 3,., x ) = valor medio, co f legge da determiare. Il problema diveta quello di determiare ua f sesata. Dovremmo farci guidare dall idea geerale che u valor medio adeguato e sesato dovrà essere tale che sostituedo quel valore, diciamo m, a ciascuo dei valori x 1, x 2, x 3,., x rimaga ivariato u aspetto che iteressa del problema. Suppoiamo, per esempio, che ci iteressi studiare il reddito di u isieme di persoe. Si può iiziare a fare ua rilevazioe dei redditi idividuali, otteedo ua serie di dati che idichiamo co r 1, r 2, r 3,., r immagiado di aver cosiderato persoe. Che cosa sarà il reddito medio? Sarà quel reddito m che sostituito a ciascuo dei valori r 1, r 2, r 3,., r lascia ivariata la loro somma; ossia m deve essere tale che * m = r 1 + r 2 + r r. I tal caso m = r1+ r2 + r r, ossia la media aritmetica dei dati raccolti. Ma che cosa accadrebbe se oi cosiderassimo u problema el quale, ivece della somma di più dati, volessimo mateere ivariato il loro prodotto P? Quale dovrebbe essere il loro valore medio m? L equazioe i tal caso è x 1 * x 2 * x 3 *. * x = m, ossia m = x... 1 x2 x3 x, ossia quella che viee detta media geometrica. Quidi, i geerale, il valor medio di u isieme di dati dipede dal problema cosiderato. Voi avete sempre cosiderato, fio a poco prima di Pasqua, problemi ei quali aveva seso cosiderare come valor medio la media aritmetica. Co l ultima esercitazioe che vi ho proposto, vi sarete resi coto che o sempre la media aritmetica è quella che ha seso e forisce la risposta adeguata a u problema. Per esempio, vediamo ua risoluzioe dei diversi problemi che soo stati assegati: a) U aereo viaggia da Roma a New York. All adata le correti favorevoli permettoo all aereo di viaggiare alla velocità di crociera di 932 Km/h; al ritoro la velocità è, ivece, di 856 Km/h. Qual è la velocità media dell aereo ell itero percorso adata-ritoro? b) Ua agezia che effettua idagii di mercato ha rilevato per ua rete televisiva i segueti dati medi gioralieri di ascolto, el periodo iverale e ella fascia oraria dalle 20 alle 21: Gioro della Luedì Martedì Mercoledì Giovedì Veerdì Sabato Domeica settimaa Numero medio spettatori (i migliaia) Ua agezia di pubblicità i quale gioro potrebbe cosigliare a u proprio cliete di iserire uo spot pubblicitario di u prodotto per la eve, voledo usare la fascia oraria 20 21? c) I u ciclo di lavorazioe tre apparecchiature lavorao i serie: la prima macchia ha u redimeto del 90 %, la secoda dell 80%, la terza del 30%. Qual è il redimeto medio complessivo? d) Uo studete ella pagella del primo quadrimestre ha riportato i segueti voti: Italiao 7 Storia 8 Geografia 7 Ligua iglese 6 Scieze 5 Matematica 4 Educazioe Fisica 9 Il padre gli ha promesso u regalo se la media dei suoi voti fosse stata superiore al 7. Otterrà lo studete il regalo?

2 e) Uo studete uiversitario iscritto al corso di laurea i Matematica ha superato durate il primo ao i segueti esami 1 riportado le segueti votazioi: Esame Puteggio i tretesimi Crediti Laboratorio di Matematica 25 9 Aalisi Matematica Geometria 21 6 Algebra 27 6 Calcolo delle probabilità 23 9 Fisica geerale 24 9 Ligua iglese 30 3 Fodameti di Iformatica 28 3 Abilità relazioali 30 3 Lo studete accede ad ua borsa di studio se ha coseguito ua media superiore a 27/30. Otterrà il ostro studete la borsa di studio? f) I ua prova multidiscipliare di Storia, Iglese, Matematica, Diritto, gli studeti vegoo valutati co u puteggio da 0 a 15 per ogi materia. Il voto fiale è dato dalla media dei quattro puteggi parziali. La prova o si cosidera superata se uo studete prede 0 puti i ua delle materie. Quale valore medio cosete di rappresetare adeguatamete questo modo di valutare? Esercizio 1 Partiamo dalla cosiderazioe che la velocità media deve essere tale che, se l'aereo si muovesse su tutto il tragitto, co quella velocità percorrerebbe lo spazio 2 S (adata e ritoro) ello stesso tempo che impiega per percorrere 2 S muovedosi all'adata co velocità V 1 e al ritoro co velocità V 2. Ciò porta ache a capire che u valor medio di velocità deve essere compreso tra V 1 e V 2 ed è tale che Vm = 2 S/ T tot dove T tot è il tempo totale trascorso. Primo metodo T 1 = S/ V 2 T 2 = S/ V 2 S + S = 2 S T 1 + T 2 = T tot V m = 2 S / T tot = 2 S/ ( S / V 1 + S / V 2 ) da cui si ottiee Vm = 2/(1/V 1 +1/V 2 ) e quidi Vm = 2V1V2/(V1+V2), media armoica Secodo metodo Si calcola prima la media Tm dei due tempi (ossia il tempo che impiegherebbe l'aereo a percorrere o l'adata o il ritoro se si muovesse co velocità Vm) Tm = (S/V1+S/V2)/2 Quidi per avere la veelocità media divide lo spazio S (per esempio l'adata) per il tempo medio e ottiee Vm = S/((S/V1+S/V2)/2) da cui Vm = 1/((1/V1+1/V2)/2) = 2V1V2/(V1+V2), media armoica. Si avrà pertato, ammettedo uguali i Km percorsi ell adata e el ritoro: 2 v m = v1 v2 Come vedete, il liguaggio dell'algebra ha cosetito di dimostrare l'equivaleza dei due procedimeti e la correttezza della media armoica rispetto a quella aritmetica. Provate ora a risolvere il seguete problema: ua macchia si muove per 1 ora a 50 km/h e per u altra ora a 100Km/h; qual è la sua velocità media? I questo caso lo spazio percorso ei due tragitti cambia, o è lo stesso; ivece il tempo impiegato a effettuare i due tragitti è lo stesso. Verificate che, i questo caso, ha seso effettuare la media aritmetica delle velocità, ossia che la velocità media è (v1+v2)/2. Esercizio 2 I questo caso il valore sitetico che risolve il problema o è ua media, ma la moda, ossia il gioro della settimaa co la massima frequeza di ascolto (mercoledì). Esercizio 3. Vi ivito a cogliere il seso del problema. Lavoriamo su base 100. La prima macchia quato rede? 90%, quidi su 100 pezzi teorici e produce 90 (possiamo immagiare, se vi riesce più semplice che di 100 pezzi prodotti, 10 siao difettosi e iutilizzabili). Le macchie lavorao i serie, quidi alla secoda macchia e arrivao solo 90 dei 100 teorici. Se si dao 90 pezzi alla secoda macchia quati pezzi si ottegoo? L'80% di 90, ossia 72 pezzi. Se si immettoo 72 pezzi ella terza ed ultima macchia quati pezzi si hao? Il 30% di 72, quidi 21,6. Duque da 100 pezzi teorici si ottegoo i realtà, co l iterveto i serie delle 3 macchie, 21,6 pezzi. Il problema è allora di trovare tre macchie, tutte co la stessa resa, che diao alla fie dei tre passaggi 21,6 pezzi. Come fare? 1 Secodo il uovo ordiameto uiversitario ad ogi esame è associato u umero di crediti: ciascu credito corrispode a circa 25 ore di lezioe-tutoraggio-impego idividuale dello studete. Ogi ao lo studete è teuto ad accumulare 60 crediti.

3 Risolvedo l'equazioe x^3 = 0,216 (co la calcolatrice: SOLVE(X^3=0,216,X)) otteiamo x = 0,60, ossia il 60%. Ciò vuol dire che, se sostituissimo alle tre macchie A, B, C tre macchie uguali tutte co redimeto del 60%, otterremmo lo steso redimeto fiale, ossia 21,6 pezzi prodotti sui 100 i teoria producibili. La media, i tal caso, è quella geometrica (quella aritmetica, ivece, darebbe il 66,7% circa). Esercizio 4 Poiché i questo caso va rispettata la somma dei puteggi otteuti, la sitesi corretta è la media aritmetica. E da far otare u errore che potreste commettere: calcolare le medie parziali dell area umaistica (Italiao, Storia, Geografia, Ligua Iglese), scietifica (Scieze, Matematica) e di Educazioe Fisica e poi fare la media semplice delle medie. Riflettere su ciò può essere efficace perché dà l opportuità di studiare u esempio di operazioe o associativa. Ifatti el fare ua media di medie parziali occorre teer coto di quate soo le uità statistiche che ciascua media parziale sitetizza (i altri termii, le disciplie umaistiche, essedo di più, devoo pesare di più). Naturalmete qui ci soo tutte le riserve sul fatto di cosiderare i voti scolastici come gradezze quatitative (altrimeti o avrebbe emmeo seso parlare di media). Nel cotesto del problema la media aritmetica è la risposta corretta; si può però criticare il testo stesso e la pretesa di cosiderare i voti come misure. Di questo abbiamo già discusso i classe. Esercizio 5. No è possibile effettuare ua media aritmetica semplice che o tega coto dei crediti attribuiti a ogi esame. Se u esame vale 10 crediti e u altro 1, si può dire che il voto otteuto el primo pesi quato il voto otteuto el secodo? Ovviamete o. Per avere ua valutazioe corretta del voto medio è ecessario fare ua media aritmetica pesata, ossia m = = = = Quidi miore di 27. Esercizio 6. Quale dei valori medi utilizzati ei casi precedeti potrebbe adar bee i questo esempio? Ciò che si vuole è che, quado si preseta uo zero, la sitesi si aulli. Duque occorre utilizzare u valore medio fodato sul prodotto. E forse la media geometrica la soluzioe del problema posto? Essa i effetti è l uica media che, assumedo i tal caso il valore 0, cosete di escludere uo studete che abbia riportato u puteggio ullo i almeo ua delle quattro materie. Naturalmete soo possibili altre soluzioi, come quella di predere la media aritmetica, ma di porre ua codizioe, idipedete dalla media otteuta, che se almeo ua votazioe è 0, il cadidato o passa l esame. Riassumedo, ecco le medie che abbiamo preso fiora i cosiderazioe: Media aritmetica degli valori x 1, x 2,. x p, co rispettive frequeze f 1, f 2,., f p : x f + x f x f p p m = f1+ f fp (tale media si dice ache media pesata, perché ciascu dato viee cosiderato co u peso che dipede dalla frequeza co cui il dato compare; se tutti i dati compaioo solo ua volta, si parla ache di media aritmetica semplice ma queste precisazioi termiologiche soo quisquiglie, direbbe Totò). Notate che la somma delle frequeze dà il umero totale dei dati, ossia. Media geometrica degli valori x 1, x 2,. x p, co rispettive frequeze f 1, f 2,., f p : 1 2 m = f f fp x1 x2... x p oppure m = x1 x2... x Media armoica degli dati x 1, x 2,. x m = x x x 1 2 U operazioe di media serve per otteere o semplificare la risoluzioe di u certo problema, o per rappresetare siteticamete u isieme di dati. Qualuque valore medio deve però essere compreso tra il valore miimo e il valore massimo dell isieme di dati a disposizioe. A parte questa proprietà che vale per ogi media, ciascua media ha altre proprietà particolari che la caratterizzao. Per esempio, la media aritmetica è tale che la somma algebrica delle differeze tra i vari valori e la media aritmetica è ulla (come lo dimostrereste?). Vi soo ache relazioi che legao fra di loro le varie medie; per esempio, è possibile dimostrare che media armoica media geometrica media aritmetica Provate a risolvere il seguete problema dei campi e della piea del Nilo. Due cotadii egiziai, Sesostris e Tutmosis, possiedoo alcue uità quadratiche di terreo tra loro cofiati che devoo essere riperimetrate dopo ogi piea del Nilo; x 1, x 2,. x e y 1, y 2,. y p soo i lati dei quadrati i possesso, rispettivamete di Sesostris e Tutmosis. I due cotadii decidoo, al mometo di riperimetrare il terreo, di fare appezzameti quadrati aveti tutti la stessa area; aturalmete l area totale degli appezzameti i loro possesso o deve cambiare. Quale deve essere l estesioe della superficie di ogi uova particella

4 quadrata dei due cotadii e quale deve essere il lato m di ogi uovo quadratio di Sesostris, suppoedo che oguo voglia ache mateere fisso il umero di uità quadrate i suo possesso? Allegati a questa lezioe : gli iterveti pasquali degli studeti di prima D (i rosso compaioo i miei commeti che segalao icompresioi, affermazioi scorrette o imprecise e che, talvolta, spiegao il perché degli errori). Riporto solo iterveti sistematici e o quelli di semplice dichiarazioe di accordo co proposte di risoluzioe (per esempio gli iterveti di Marco Letii e alcui di Luigi Madraccio) Fracesco Cauti I base al lavoro svolto questa mattia i classe ho fatto ua sitesi co mie cosiderazioi al fodo della situazioe per quato riguarda il primo problema che dice : U aereo viaggia da Roma a New York. All adata le correti favorevoli permettoo di viaggiare alla velocità di crociera di 932km\h; al ritoro la velocità è ivece, 856Km\h. Qual è la sua velocità media dell aereo ell itero percorso adata-ritoro? Subito soo passato a fare la solita media matematica isegataci alle medie vale a dire somma delle velocità diviso 2 e l ho applicata seza pesarci molto e il risultato sembrava verosimile ma poi il prof ci ha fatto otare che prededo i due casi limite cioè che la velocità dell adata fosse 1000Km\h e quella del ritoro 0Km\h la media o sarebbe veuta come ci aspettavamo. Poi abbiamo pesato alla regola di fisica per calcolarci la velocità che è Delta S fratto Delta T ma oi o coosciamo il tempo e allora ce lo siamo calcolati applicado Delta S / Delta V e ci siamo trovati il tempo poi abbiamo approssimativamete calcolati la lughezza del percorso e lo abbiamo diviso per la prima velocità e poi lo stesso co la secoda velocità trovadoci così i due tempi che poi sommati assieme ci dao il tempo totale del viaggio che poi lo abbiamo diviso per il percorso sia dell adata che del ritoro trovadoci così la velocità media dell aereo. CONSIDERAZIONI PERSONALI Spero che per chi o avesse capito questo sia servito Osservado la prima media cioè quella sbagliata e la secoda il risultato o si discostava di molto ma poi abbiamo capito che la prima media adava bee fiche le due velocità erao più o meo uguali ma quado i umeri erao molto diversi i risultati o veivao ciò che oi ci aspettavamo come el primo caso. Esempio: V1=855Km\h V2=20Km\h 855Km\h + 20Km\h = 875Km\h 875Km\h \ 2 = 437,50Km\h o è la media che ci aspettavamo per cui oi questa media è applicabile solo ei casi come el testo (No, i realtà la media aritmetica o è applicabile i problemi i cui si ha u tragitto suddiviso i spazi uguali percorsi co differete velocità e quidi o è applicabile el problema proposto, ache se l errore commesso è piccolo, essedo le due velocità molto vicie. La media aritmetica sarebbe ivece applicabile se il tragitto è suddiviso i parti percorse co differeti velocità e i tempi uguali; ovviamete, i tal caso, gli spazi percorsi soo diversi). Adrea Martielli Qui sotto trovate riflessioi sui problemi di ieri. A. (sto cercado ua dimostrazioe che uisca le due formule date ieri). B. Io direi che uo spot pubblicitario dovrebbe essere collocato el gioro di maggior ascolto, i modo da ampliare il umero delle persoe che ricevoo il messaggio, e quidi, el ostro caso, di Giovedì (Si tratta del mercoledì, il gioro di maggior frequeza degli ascolti, ossia la moda). C. Da ua prima occhiata direi che ci soo tre macchie che lavorao molto ed ua che lavora poco. Quidi ci si potrebbe aspettare ua media aritmetica del redimeto delle 3 macchie del 66%; u valore o troppo alto ma eache troppo basso. Poi ho pesato ad u altro sistema: cosideriamo il redimeto complessivo delle macchie i riferimeto al redimeto di totale massimo, cosiderado le tre macchie come ua sola. Si ha così u valore pari a 200/300; co ua proporzioe (200:300=x:100) si ottiee il valore i percetuale. Esso corrispode al 66%.(I questo caso la media aritmetica è scorretta vedere discussioe ei successivi messaggi) Voglio sottolieare che o soo affatto sicuro al 100% di questi sistemi di calcolo. D. La media aritmetica dei voti dello studete è di Voledo arrotodare si potrebbe affermare che il ragazzo ha raggiuto la media del 7. Tuttavia è corretto fare la media fra materie diverse, che hao difficoltà diverse e che richiedoo abilità differeti? Ragioado i questo modo forse il sette o è quato vale realmete lo studete: ifatti oostate vada molto bee i Ed. Fisica ed i Storia ha serie difficoltà i matematica e scieze. Quidi, secodo me, o è corretto affermare che la sua preparazioe globale sia da 7. I realtà i voti o soo vere e proprie gradezze quatitative (per esempio la differeza che c è fra 1 e 2 o è la stessa di quella che c è fra 5 e 6: u isegate o ha i geere difficoltà ad attribuire u 2 a u compito da 1, metre ha più difficoltà a passare dal 5 al 6 o dal 9 al 10). Tuttavia, i questo cotesto ( e spesso i quello scolastico, ahimé) la pratica di effettuare la media dei voti è accettata. E la media è proprio quella aritmetica, visto che si tratta di determiare qual è quel voto che, sostituito a ciascua delle differeti votazioi elle differeti materie dà la stessa somma totale. Tale voto è proprio la media aritmetica dei voti, cioè Quidi lo studete o otterrà il regalo. Si potrebbe riflettere se è ormale che uo studete abbia voti così buoi elle materie umaistiche e così scarsi i quelle scietifiche; se poi l isegate di scieze e di matematica è lo stesso, come

5 avviee ella scuola media, si potrebbe dubitare del giudizio dell isegate, oppure ci si potrebbe chiedere se ha seso la richiesta del padre ma si tratta di tutta u altra storia. Attezioe a u errore comue: quello di fare le medie parziali delle materie umaistiche, poi quella delle materie scietifiche e poi fare la media delle medie. Bisoga teere coto del peso differete tra materie umaistiche, che soo i maggior umero e materie scietifiche, che soo solo 2. E. Se la cosa fuzioa come credo di aver capito, il ragazzo o otterrà la borsa di studio. La sua media ifatti è tra 25/26 tretesimi. Tuttavia se crediti iteragiscoo sui puteggi (ma come???) la media potrebbe ache mutare. No è possibile effettuare ua media aritmetica semplice che o tega coto dei crediti attribuiti a ogi esame. Se u esame vale 10 crediti e u altro 1, si può dire che il voto otteuto el primo pesi quato il voto otteuto el secodo? Ovviamete o. Per avere ua valutazioe corretta del voto medio è ecessario fare ua media aritmetica pesata, ossia (25*9+24*12+21*6+27*6+23*9+24*9+30*3+28*3+30*3)/( ) Si tratta poi di vedere se il umero che si ottiee è o o è maggiore di 27. F. No credo di aver campito la richiesta di questo problema. Me la potrebbe riformulare i altre parole??? Quale dei valori medi utilizzati ei casi precedeti potrebbe adar bee i questo esempio? Ciò che si vuole è che, quado si preseta uo zero, la sitesi si aulli. Duque occorre utilizzare u valore medio fodato sul prodotto. E forse la media geometrica la soluzioe del problema posto? Essa i effetti è l uica media che, assumedo i tal caso il valore 0, cosete di escludere uo studete che abbia riportato u puteggio ullo i almeo ua delle quattro materie. Naturalmete ci soo ache altre possibili soluzioi. Per esempio fare ua media aritmetica, precisado, però, che se è presete almeo uo zero i ua della votazioi, allora il cadidato o supera l esame qualuque sia la media. Provate a calcolare la media aritmetica e quella geometrica co i valori dati. Quale è la loro differeza? Voi accettereste di esser valutati co ua media geometrica o preferite quella aritmetica? Perché? Luigi Madraccio Risoluzioe problema A: La classica formula per calcolare la media aritmetica è: somma di tutti i valori / il umero dei valori sommati E facilmete compresibile che questo cocetto o è applicabile, poiché i dati (quelli del ostro caso come altri) o si prestao ad ua simile operazioe. Co la media matematica (aritmetica; si tratta sempre di medie calcolate co formule e operazioi matematiche. Questa si chiama aritmetica) il risultato sarebbe: ( )/2 = 894 Proviamo ivece a seguire ua diversa liea, come la seguete: il primo dato da trovare è la distaza tra New York e Roma, ma o è ecessario trovare u valore preciso ma besì basta predere u valore (fittizio) come 5000 Km (che sarà quello da oi preso i cosiderazioe). E poi importate ricordare la formula (del moto rettilieo uiforme) S = V * T che si trasforma ella formula idiretta T = S / V; quidi tramite questa formula si trova il tempo trascorso per i viaggi: adata: 5,37 ore ritoro: 5,84 ore Facciamo ora la somma dei tempi = 11,21 e poi 2 volte la distaza (fittizia) = Km. Quidi si ha / 11,21 = 892 Km/h che è la media reale tra le due velocità di crociera. Risoluzioe problema B: I questo problema o vedo applicabile l operazioe di madia ma basta usare solamete u po di furbizia: il gioro cosigliabile per trasmettere lo spot pubblicitario è sicuramete il giovedì (mercoledì) perché la quatità di ascolti, come dimostrao i dati, i quel gioro è più alta che egli altri. (Si tratta della moda, il dato più frequete) Risoluzioe problema C: Ricordo ora la defiizioe di redimeto (quella che iteressa a oi): rapporto tra l'eergia otteuta i forma utile da ua macchia e quella spesa: redimeto di u motore. I questo caso è a mio parere possibile utilizzare il calcolo tramite la media matematica, poiché questa volta o si tratta di valori rapportabili co tempo e spazio (ad esempio) ma al massimo rapportabile co il combustibile cosumato. Ne cosegue il calcolo seguete: ( )/3 = 67 % (Adrea Martielli ha arrotodato per difetto)(arrotodato per eccesso o 66 arrotodato per difetto) di redimeto i media. Vi è poi u secodo modo, proposto da Adrea, che io trovo buoo e che è il seguete: si cosiderao tutte le 3 perc. isieme e si rapportao tra loro i ua equazioe, la seguete: 200:300=x:100 Svolgedo questa equazioe si arriva ad avere come valore della x il umero 67 (arrotodato per eccesso o 66 arrotodato per difetto). Come risulterà dalla successiva discussioe, questa soluzioe è scorretta. Risoluzioe problema D: I questo caso la media aritmetica è proprio da usare poiché è l uico sistema per risolvere il problema; facedo la media e risulta 6,57. Ora sta al padre decidere se approssimare per difetto (ed allora il risultato sarebbe 6) oppure per eccesso (ed allora il risultato sarebbe 7); a secoda della scelta del padre tra questi 2 metodi il ragazzo avrà o o il regalo.

6 Risoluzioe problema E: Facedo la media tra i puteggi di questo studete si ottiee 25,78/30 e quidi per questo dato o gli è possibile accedervi perché la soglia è per ua media superiore ai 27/30, ache se per quato riguarda i crediti sarebbe stato a posto perché la somma di quelli riportati fa proprio 60 (come idicato el testo). Il fatto è che si deve fare, come ho idicato prima, ua media pesata e o ua madia semplice, i quato alcui esami pesao più degli altri (i base al umero di crediti che cosetoo di otteere). Matteo Peluffo A Peso di aver trovato ua dimostrazioe per affermare che i due metodi dell altroieri soo equivaleti. 1) T 1 = S 1 / V 2 T 2 = S 2 / V 2 S 1 + S 2 = S tot T 1 + T 2 = T tot V m = S tot / T tot 2) T 1 = S / V 1 T 2 = S / V 2 T tot = ( S / V 1 ) + ( S / V 2 ) S*(1/V 1 + 1/V 2 ) = T tot V m = S tot / T tot Bisoga fare solo attezioe che S tot = 2 S B Per quato riguarda il problema B, dai dati si vede chiaramete che il mercoledì è il gioro di maggiore ascolto. I dati i tabella soo però ach essi delle medie di altri dati riferiti a dei periodi di tempo. Quidi è possibile che i altri periodi dell ao o sia il mercoledì il gioro co maggiore ascolto. Comuque co i dati i tabella io direi che il gioro co più ascolto sia il mercoledì, ache se mi sembra fi troppo facile. C Le due soluzioi del problema da parte di Adrea Martielli soo la stessa cosa i quato si ottiee i etrambi la frazioe 200/3. Il secodo procedimeto è solo più lugo. Ho dei dubbi se i due procedimeti esprimao veramete la media matematica perché così facedo si sopperisce al poco lavoro svolto dalla terza macchia. Secodo me sarebbe più opportuo fare così: ( ) / 2 = 85% media delle prime due macchie ( ) / 3 = 38, 3% redimeto complessivo medio delle tre macchie Questo sistema mi pare più corretto di quelli proposti da Martielli ma o e soo sicuro al 100%. Come già detto la risoluzioe è errata. No è possibile qui utilizzare la media aritmetica (vedere discussioe sui prossimi messaggi). D Fare ua media del redimeto scolastico di uo studete o ha seso, comuque se la si vuole fare, l aluo potrà avere o meo il regalo a secoda del criterio di arrotodameto della media 6, 57. Co u po di buoseso forse, essedo il redimeto del I quadrimestre sarebbe opportuo arrotodare per difetto; ache si arrotodasse per eccesso il regalo o lo otterrebbe perché raggiugerebbe il 7 ma o lo supererebbe: el testo è scritto media.superiore a 7. E Vorrei sapere ach io i che modo ifluiscoo i crediti ella media di fie ao. F La media aritmetica secodo me o è adeguata perché o rispecchia la abilità dello studete che potrebbe avere difficoltà i alcue delle quattro materie proposte. Potrebbe essere più opportuo valutare le prove delle quattro materie sigolarmete, cosideradole passate se si ottiee u puteggio maggiore a 8. Le materie co u puteggio iferiore a questo, o devoo ifluire sul puteggio delle altre prove. Purtroppo il testo specifica che il voto fiale è la media dei voti otteuti elle sigole disciplie. La proposta di Matteo è ragioevole, ma sposta il problema seza risolverlo. Adrea Martielli direi che per quato riguarda il problema dei giori i cui fare lo spot, il più adeguato è il mercoledì. Io avevo scritto che era giovedì per distrazioe. Come avevo precedetemete scritto il gioro deve essere quello co la media d'ascolto più alta. Per ciò che cocere il problema dei tre aresi che lavorao i serie vi mado alcue mie riflessioi su questo problema. La cosa che mi redeva molto dubbioso sulla prima procedura (quella che ho scritto ella mia ultima ) è quel "i serie". Lì per lì o capivo esattamete perché, ma ora lo so: se le tre macchie lavorassero cotemporaeamete e svolgessero tutte il medesimo lavoro, allora sarebbe giusto fare la media aritmetica (chi lavora di più compesa chi lavora di meo) ma queste 3 macchie o lavorao isieme e o fao eppure lo stesso lavoro. Faccio u esempio (ogi riferimeto ai miei hobby è da itedersi come puramete casuale): Siamo i u catiere. Vi soo tre mezzi movimeto terra (u escavatore, ua pala ed u camio) e l'obbiettivo è quello di fare uo sbacameto el terreo e di portare via la terra scavata. La catea dovrebbe fuzioare così: l'escavatore scava estraedo la terra e facedoe u mucchio, la pala prede questa terra e la carica su u camio che la porta via. Se tutti lavorao al 100% abbiamo u sistema che rede il 100%. Ma se abbiamo u escavatore che o lavora (0%) o possiamo dire che il redimeto del catiere è del 66% (media aritmetica fra 0%, 100%, 100%) perché dal catiere o è uscito eppure u grammo di terra e quidi io affermerei che il redimeto è stato dello 0%. Ioltre se tutti e tre i mezzi avessero lavorato al 66% delle loro possibilità si potrebbe affermare che il redimeto è stato del 66%, seguedo la media aritmetica. Ma attezioe: i due casi sopra o soo uguali (ache se le medie aritmetiche dicoo il cotrario): el primo o è stato mosso eppure u grammo di terra metre el secodo caso ua parte del lavoro è stata compiuta. Esempi aaloghi possoo essere fatti dado il valore 0% ad uo qualsiasi degli altri mezzi. Nulla cambia. Da tutta questa bella chiacchierata sulle ruspe se e coclude che la media aritmetica o è applicabile (sia ella forma da me proposta sia che i quella suggerita da Peluffo) perché porta a terribili paradossi. Ora vedrò di trovare u qualcosa che o porti a paradossi e coseta di descrivere bee il feomeo.

7 Luigi Madraccio il redimeto è l'eergia utile ricavata rispetto alla spesa forse il redimeto, el caso della 3^ macchia, o è basso ma besì relativo al lavoro che deve svolgere; forse per il lavoro che deve svolgere o deve usare le sue massime capacità ma solamete ua parte di esse. la stessa cosa vale per le altre 2 macchie, i misura diversa aturalmete. il sistema per calcolare il redimeto medio è proprio quello di calcolarlo prededo u valore ipotetico come può essere 100 Watt (per tutte e 3 le macchie) ed u cosumo di 50 Ampere (per tutte e 3 le macchie); partedo da questo ci si può calcolare i vari valori (aturalmete fittizzi). L iterpretazioe scelta da Luigi per dare sigificato al problema complica e itroduce cosiderazioi o ecessarie. Luigi Madraccio Ho appea guardato le riflessioi di Matteo e la risposta del prof.: le precisazioi di Matteo sul problema A soo da me perfettamete codivise, tato che il metodo alterativo a quello del professore è stato cocepito da Matteo e da me mercoledì mattia, quado abbiamo comiciato a risolvere i problemi, ma la spiegazioe forita da Matteo sulle due teciche è eccellete. Per quato riguarda il problema B ormai siamo già da tempo sicuri della soluzioe: il gioro è mercoledì. Problema C: le osservazioi di Matteo soo a mio parere da verificare perché forse ivece di sommare le 2 percetuali maggiori si potrebbero sommare quelle miori e poi procedere co altra perc. ed allora il risultato sarebbe diverso; quello che più mi icuriosisce è il fatto di cercare degli altri modi per risolvere u problema che mi sembra fatto a posta per essere risolto co il metodo classico. Attezioe: sembra che i suggerimeti di Adrea Martielli o siao stati compresi o letti. L osservazioe che Matteo fa (a proposito del problema D) sulla frase superiore al 7 è giusta ma secodo me ( è sempre da cofrotare co le idee del padre del ragazzo) potrebbe adare ache bee ua media del 7 perché spesso la frase superiore è associata o uguale a e e risulta superiore o uguale a. Soo poi pieamete d accordo co Matteo sul problema F. Adrea Marchese Problema dell aereo Come tutti ache io per istito ho fatto la media tra le due velocità,ma quado il prof. mi ha fatto provare la regola su u caso limite co V 1 =1000 km/h ev 2 =0 km/h ho capito che la media o poteva fuzioare,allora ho pesato che si poteva fare la media dei tempi che l aereo impiegava per percorrere il tragitto.per farlo ho immagiato che tra Roma e New York ci fossero 4660 km. Allora ho fatto S/V 1 = t 1 allo stesso modo ho trovato t 2 (facedo S/V 2 ). Quidi ho fatto (t 1 +t 2 )/2 e ci siamo trovati la media dei due tempi che el mio caso è 5,22. Ho poi diviso la media dei due tempi per lo spazio i modo da trovarmi la velocità media. No soo sicuro che questa regola sia giusta ma mi sembra che fuzioi ache ei casi limite. Riassumedo la regola è: V media = S/[(S/V 1 +S/V 2 )/2] Problema della pubblicità Ad ua prima occhiata direi che dovrebbe madarla u mercoledì quado ci soo più ascolti, bisoga però vedere a che pubblico è desiata la pubblicità e bisogerebbe vedere di quato aumeta il prezzo per mettere la pubblicità. Problema del redimeto delle macchie Si può dire che complessivamete hao u redimeto del 200/300. Per trasformare il valore i percetuale bisoga dividere per tre, secodo me si può dire che il redimeto medio è del 66,7%. NO, ache qui o si tiee coto di idicazioi già forite da Adrea Martielli. Problema della media matematica Peso che i questo caso si possa applicare la media matematica. Si trova che la media è 6,57 (arrotodabile a 7) il padre voleva ua media superiore al sette quidi peso che allo studete o spetti il regalo. Per quato riguarda gli altri due problemi o ho capito bee come risolverli. Luigi Madraccio 1^ macchia: redimeto del 90% 2^ macchia: redimeto del 80% 3^ macchia: redimeto del 30% totale 200 possiamo dire che alla 1^ maca il 10% possiamo dire che alla 2^ maca il 20% possiamo dire che alla 3^ maca il 70% totale 100 il redimeto è l'eergia utile ricavata rispetto alla spesa. Forse il redimeto, el caso della 3^ macchia, o è basso ma besì relativo al lavoro che deve svolgere; forse per il lavoro che deve svolgere o deve usare le sue massime capacità ma solamete ua parte di esse. La stessa cosa vale per le altre 2 macchie, i misura diversa aturalmete. Il sistema per calcolare il redimeto medio è proprio quello di calcolarlo prededo u valore ipotetico come può essere 100 wattora ( joule) (per ogua delle 3 macchie) ed u cosumo di 50 watt (per ogua delle 3 macchie); partedo da questo ci si può calcolare i vari valori (aturalmete fittizzi). (precisazioe: il "wattora" è per covezioe l'uità di misura del lavoro per macchie elettriche ed 1 wattora corrispode a 3600 joule; il watt è l'uità di misura della poteza elettrica) Quidi: 1^: 90 wattora per 50 watt

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