RICERCHE DI MERCATO. 5.6 Analisi Fattoriale (Componenti Principali)

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1 RICERCHE DI MERCATO 5.6 Analisi Fattoriale (Componenti Principali) Prof. L. Neri Dip. di Economia Politica

2 Premessa Come evidenziato in precedenza l approccio di segmentazione per omogeneità prevede la classificazione delle unità statistiche effettuata sulla base del grado di dissomiglianza rispetto ad un insieme di variabili (comportamenti, bisogni, benefici di caratteristiche di prodotti, attitudini dei consumatori, lo stile di vita, ecc.. ). Per giungere a tale classificazione si può ricorrere all uso congiunto di due tecniche di statistica multivariata: l analisi fattoriale e l analisi dei gruppi. Con l analisi fattoriale si determinano i pilastri della segmentazione ovvero le macrocaratteristiche intorno alle quali costruire la segmentazione stessa Con l analisi dei gruppi vengono effettivamente raggruppate le unità statistiche Cosa è l analisi fattoriale?

3 E una tecnica statistica multivariata utilizzata per ridurre e sintetizzare i dati, come? Da un numero consistente di variabili tra loro correlate (a diversi livelli) ad un insieme più ridotto di variabili (fattori) che costituiscono le dimensioni fondamentali del fenomeno. Ruolo delle variabili originali? L analisi fattoriale è una tecnica di analisi di interdipendenza, quindi non si fa distinzione tra variabili indipendenti e variabile dipendente: tutte le variabili sono sullo stesso piano

4 Applicazioni dell analisi fattoriale nelle ricerche di mercato Segmentazione del mercato: viene utilizzata per identificare le variabili che servono per suddividere in gruppi i clienti Segmentazione della domanda per il posizionamento dei prodotti: per determinare le caratteristiche del prodotto (brand attributes) che influenzano le scelte dei consumatori Le ricerche sull efficacia della pubblicità: utilizzate per capire come cambiano le abitudini di consumo di un certo prodotto a seguito di una campagna pubblicitaria Le ricerche per la definizione ed il controllo dei prezzi: utilizzate per identificare le caratteristiche dei consumatori price sensitive

5 Il modello di analisi fattoriale A prima vista è al modello della regressione multipla perché è espresso da una combinazione lineare Specificazione del modello Se indichiamo con X i (i=1 p) il vettore colonna relativo alla i-esima variabile originale standardizzata (cioè trasformata in modo che abbia media zero e varianza uno), tale variabile può essere espressa con il seguente modello: X i =A i1 F 1 + A i2 F 2 +.+A im F m +V i U i [4.1] Dove Fattori unici U: sono specifici di ogni singola variabile originale; sono tra loro incorrelati e sono incorrelati con i fattori comuni Fattori comuni F: possono essere espressi come combinazione lineare delle variabili osservate Più in dettaglio:

6 o A ij (j=1 m, m<p) è il coefficiente che lega la variabile i sul fattore comune j (coefficiente che lega il fattore comune j alla variabile i detto anche peso fattoriale o factor loading) o F j (vettore colonna di dimensione n) è il fattore comune a tutte le variabili, incorrelato con gli altri fattori e con il termine U i o V i è il coefficiente che lega la variabile i al fattore unico i o U i è il fattore unico i (specifico della variabile X i ) o m= numero di fattori comuni, m<p. In forma matriciale, la [4.1] è: X=FA +VU X (n,p) matrice delle variabili originali standardizzate F(n,m) le cui colonne sono gli m fattori comuni, ogni colonna di F ha media 0 e varianza 1 A (p,m) matrice dei factor loadings ovvero dei coeff. Di correlazione tra le variabili osservate ed i fattori comuni V (n,p) matrice dei fattori specifici, uno per ogni variabile osservata

7 U (p,p) matrice diagonale contenente i coefficienti dei fattori specifici L analisi fattoriale ha lo scopo di determinare i fattori comuni, mentre i fattori specifici si determinano per differenza dalla VU=X- FA La soluzione fattoriale è costituita essenzialmente dalla matrice A, tale matrice indica quali variabili risultano principalmente correlate con i diversi fattori comuni e individua, inoltre, l intensità e la direzione di tali relazione Dato che variabili originali ed i fattori sono standardizzati (quindi hanno varianza unitaria), e che per costruzione i fattori sono tra loro incorrelati, il quadrato dei factor loadings esprime la quota di varianza di ciascuna variabile spiegata da ciascun fattore.

8 Variabili osservate (standardizzate) Fattori comuni F 1 F k F m 2 X 1 A 11...A 1k A 1m h1 = Comunalità k 2 A1 k 2 X i A i1 A ik A im = 2 h i A ik 2 2 X p A p1 A pk...a pm = k Autovalori k 1.. k. m λ = k h p A pk k k h 2 i i Se si sommano per riga i quadrati dei factor loadings si ottengono le comunalità, ossia la quota di varianza delle singole variabili spiegata in complesso dai fattori comuni. Se si sommano per colonna i quadrati dei factor loadings si ottengono gli autovalori, ossia l ammontare di varianza complessiva della matrice X estratta da ciascun fattore. A questo punto ci chiediamo: come si estraggono i fattori comuni inziali? Il metodo usato più frequentemente è il metodo delle componenti principali.

9 Le componenti principali E un metodo di trasformazione di un insieme di p variabili osservate in un nuovo insieme di p variabili calcolate dette appunto componenti principali. La costruzione viene effettuata in modo che la prima componente (o fattore) spieghi la più alta proporzione della varianza totale; il secondo fattore spieghi il più possibile della varianza restante al netto del primo fattore (e sia incorrelato con il primo fattore) e così via. I fattori estratti come componenti principali (c.p) hanno le seguenti caratteristiche: o sono incorrelati o Il primo fattore tiene conto dell ammontare maggiore di varianza o Il secondo fattore tiene conto dell ammontare maggiore di varianza al netto del primo etc

10 o I fattori estratti, nel loro complesso forniscono lo stesso contributo informativo delle variabili osservate. Data la matrice X delle variabili originali standardizzate e data la corrispondente matrice di varianza-covarianza S, la prima c.p. è una combinazione lineare delle variabili X i, espressa come y 1 =W 11 X 1 + W 12 X 2 +.+W 1p X p o in termini compatti y 1 =X W 1 dove o y 1 è il vettore colonna di dimensione n dei valori della prima c.p. o X è la matrice (n,p) delle variabili originali o W 1 è il vettore (p,1) dei coefficienti da applicare alle variabili osservate per ottenere la prima c.p.

11 Essendo X una matrice nota, si tratta di calcolare W 1 in modo che Var( y 1 )=max sotto il vincolo W 1 W 1 =1 Si tratta quindi di risolvere un problema di massimo vincolato, risolvibile con il metodo di Lagrange. Il risultato cui si giunge è che la prima c.p. è il primo autovettore della matrice delle covarianze S. La varianza della prima c.p è uguale al primo autovalore 1 di S. Essendo p le variabili originali standardizzate, la somma delle loro varianze (variabilità complessiva) sarà pari a p, quindi il rapporto 1 /p fornisce la quota della varianza complessiva spiegata dalla prima c.p. Successivamente si estrae la seconda c.p. y 2 =X W 2 calcolando W 2 in modo che

12 Var( y 2 )=max sotto i vincoli W 2 W 2 =1 e cov(y 1, y 2 ) Si risolve con il metodo di Lagrange ottenendo che la seconda c.p. è il secondo autovettore della matrice delle covarianze S, il corrispondente autovalore 2 esprime la varianza della seconda c.p. Il procedimento prosegue fino all estrazione di tante componenti quante sono le variabili originali (m=p). Alla fine del processo di estrazione avremo una nuova matrice Y (n,p) calcolata come Y=XW Essendo per costruzione le c.p tra loro incorrelate, la matrice delle covarianze di Y sarà una matrice diagonale che chiameremo L (sulla diagonale ci sono 1.. k. p ). Ricordiamo che: le progressive componenti estratte presentano un contenuto informativo sempre decrescente

13 l insieme di tutte le componenti estratte contiene complessivamente il 100% della variabilità delle variabili originali. E chiaro quindi che le prime m componenti principali sono le più importanti. Come decidere m? Ci sono diversi metodi per stabilire quante componenti principali selezionare Determinazione basata sugli autovalori Si tengono i fattori con autovalori maggiori di 1 Gli autovalori esprimono l ammontare di variabilità associata al fattore Dato che ogni fattore ha varianza 1 per effetto della standardizzazione, se l ammontare di varianza è <1 vuol dire che il fattore non è migliore della variabile originale Determinazione basata sullo scree plot Grafico degli autovalori rispetto al numero del fattore (in ordine di estrazione) quindi il grafico rappresenta la percentuale di varianza spiegata da ciascun fattore. Quindi può essere opportuno fermarsi al fattore che sul grafico corrisponde ad una significativa diminuzione della pendenza

14 della spezzata. Non sempre questo grafico è facile da interpretare. Determinazione basata sulla quota di varianza spiegata Si tengono le c.p. fino al raggiungimento di una opportuna quota di varianza spiegata. Una volta deciso il numero m di c.p da scegliere si ottiene la soluzione fattoriale F = YL 1/ 2 Da cui si può ricavare la matrice A delle correlazioni tra le p variabili X e gli m fattori A 1/ 2 1/ 2 1/ 2 = 1 n X ' F = 1 n X ' YL = 1 n X ' XWL = SWL Concludendo il metodo delle c.p. fornisce una soluzione Fattoriale per il modello X=FA secondo il quale il contenuto informativo originale viene descritto attraverso un numero inferiore di fattori comuni. Se invece si ipotizza che la variabilità totale l nostro fenomeno non possa essere descritta solo da fattori comuni a tutte le

15 variabili originali ma anche da fattori specifici, si procede così: si devono sostituire i valori pari a 1 che si trovano sulla diagonale principale della matrice S con le quote di varianza della variabile Xi spiegate dagli m fattori comuni (comunalità). Come si conduce un analisi fattoriale 1. Si formula il problema 2. Si costruisce la matrice delle correlazioni 3. Si stabilisce il metodo di analisi fattoriale 4. Si determina il numero di fattori 5. Rotazione dei fattori 6. Interpretazione dei fattori

16 Esempio (a conclusione di questo capitolo il problema introdotto viene sviluppato con un programma scritto in Stata) 1. Si formula il problema o Si vogliono determinare i benefici che i consumatori cercano nell acquisto di un dentifricio o Si hanno 30 rispondenti o Devono indicare il livello di accordo con una serie di statements o La scala di classificazione degli statement è in 7 punti: 1= totalmente in disaccordo, 7= totalmente d accordo Statements dell esempio V 1 : è importante acquistare un dentifricio che previene la carie; V 2 : mi piace il dentifricio che dà denti splendenti V 3 : il dentifricio dovrebbe essenzialmente rinforzare le gengive; V 4 : preferisco il dentifricio che rinfresca l alito V 5 : la prevenzione della caduta dei denti non è un fattore di cui tenere conto nell acquisto di un dentifricio

17 V 6 : la più importante considerazione da fare per la scelta di un dentifricio è la bellezza dei denti 2. Si costruisce la matrice delle correlazioni N:B: base di questa operazione c è un ipotesi: la distanza tra un punteggi successivi della scala di valutazione è costante (esempio: tra il punteggio 2 e 3 c è la stessa distanza che tra 6 e 7). o L analisi fattoriale è basata sull idea che le variabili rilevate siano tra loro correlate attraverso una struttura sottostante (i fattori che vogliamo individuare) o Esaminando la matrice di correlazione si verifica se l ipotesi di correlazione è plausibile o Se tutte le correlazioni sono piccole (in valore assoluto) l analisi fattoriale non è adeguata 3. Si stabilisce il metodo di analisi fattoriale Componenti principali: da utilizzare quando l obiettivo principale è determinare il numero minimo di fattori che tengono conto della

18 massima variabilità dei dati (metodo da utilizzare se per esempio le componenti principali devono divenire variabili esplicative di un modello di regressione lineare). Si tenga conto però che nell analisi delle componenti principali tutte le componenti vengono comunque considerate (per spiegare comunque il 100% della variabilità osservata), anche se solo alcune saranno poi utilizzate a fini interpretativi. Il caso estremo è quello in cui le variabili originali del problema sono incorrelate e quindi il numero di componenti uguaglia il numero delle variabili originali. Analisi fattoriale delle comunalità: utilizzata quando l obiettivo principale è individuare la struttura sottostante le nostre variabili originali. In questo caso i fattori sono stimati solo tenendo conto della variabilità comune delle variabili originali. 4. Si determina il numero di fattori Si possono costruire tante componenti principali/fattori quante sono le variabili originali. Per sintetizzare l informazione di base devono essere un numero inferiore alle variabili originali.

19 5. Rotazione dei fattori Una rotazione dei fattori è un cambiamento di posizione delle dimensioni estratte nella prima fase di analisi, mantenendo fissa l origine. Obiettivo della rotazione è la semplificazione della struttura dei fattori. La rotazione determina una riduzione del valore dei pesi fattoriali che nella prima estrazione erano relativamente piccoli e nell incremento (in valore assoluto) dei pesi già dominanti. La soluzione ideale è quella in cui tutti i pesi fattoriali sono prossimi a 0 o 1. Esistono diversi metodi di rotazione. 6. Interpretazione dei fattori Interpretare un fattore significa dargli un nome che abbia pertinenza con il fenomeno studiato e con le variabili dominanti per quel fattore. Per approfondimenti teorici sull analisi fattoriale: Fabbris L.(1997) Statistica multivariata e analisi esplorativa dei dati. McGraw-Hill

20 Esempio ACQUISTO DEL DENTIFRICIO use "F:\written\didattica\statistica per le analisi di mercato\dati/dentifricio". /*analisi preliminare dei dati anche per avere un'idea della variabilità di > ogni item*/. summarize v1-v6 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max v v v v v v /*Analisi di correlazione e test di significatività: h0 e' che la matrice di > correlazione sia una matrice identità e che quindi le variabili siano incorrelate (test basat su chi quadro)*/. pwcorr v1 v2 v3 v4 v5 v6, star(5) v1 v2 v3 v4 v5 v v v v * v * v * * v * * /*per vedere se ci sono outlier e per avere un'idea delle relazioni tra gli item*/. graph matrix v1-v6, mlabel(cod) msymbol(none).. /*componenti principali della matrice di correlazione da cui vedo quanta parte di variabilità è spiegata da ogni componente ad esempio la prima spiega il 45%, le prime 2 l'82%*/. pca v1-v6

21 Solo i primi due autovalori sono <di 1 (obs=30) (principal components; 6 components retained) Component Eigenvalue Difference Proportion Cumulative La somma degli autovalori è 6 perchè rapperesentano varianze di variabili standardizzate /6= (proporzione di variabilità spiegata dal fattore 1 proporzione di variabilità spiegata dai primi due fattori Eigenvectors Variable v v v v v v /*scree plot: autovalori rispetto al loro rango*/. greigen.. /*i factor loading esprimono la correlazione tra le componenti principali estratte e le variabili originali non è detto che sia semplice interpretare i fattori */. factor v1-v6, pcf (obs=30) (principal component factors; 2 factors retained) Factor Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

22 Factor Loadings Variable 1 2 Uniqueness v v v v v v Ogni fattore è correlato in modo importante con pi+ù variabili, quindi difficile interpretare rotazione.. /*rotazione dei fattori: la variabilità totale spiegata resta inalterata, varia la ripartizione tra i fattori per rendere più agevole l'interpretazione (ci sono diversi metodi di rotazione e danno risultati diversi*/. rotate (varimax rotation) Rotated Factor Loadings Variable 1 2 Uniqueness v v v v v v Fattore 1 correlato (+) con V1, V3 (- ) con V5 Fattore 2 correlato (+) con V2, V4, V6 v 1 =0.96f f U 1 v 2 =-0.06f f U 2 v 6 =0.08f f U6. /*score delle due componenti principali: sono due variabili standardizzate e > nuove del dataset*/. score pc1 pc2 (based on rotated factors) Scoring Coefficients Variable v v v v v v

23 pc1=f 1 =0.3584v v v6 pc2=f 2 =0.013v v v6. summarize pc1 pc2 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max pc e pc e /*per vedere come si dispongono le unita' statistiche rispetto ad i nuovi fattori*/. twoway scatter pc2 pc1, mlabel(cod). log close Interpretazione dei fattori PC1: BENEFICI PER LA SALUTE V1: è importante acquistare un dentifricio che previene la carie; V3: il dentifricio dovrebbe essenzialmente rinforzare le gengive; V5 (-): la prevenzione della caduta dei denti non è un fattore di cui tenere conto nell'acquisto di un dentifricio PC2: BENEFICI "SOCIALI" V2: mi piace il dentifricio che dà denti splendenti V4: preferisco il dentifricio che rinfresca l'alito V6: la più importante considerazione da fare per la scelta di un dentifricio è la bellezza dei denti

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