INDICE. 1.1 Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata Pag. 5

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2 INDICE CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC. Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata Pag. 5. Esemio: Un alicazione economica - il vincolo di Pag. 8 bilancio. Sistemi lineari Pag. 9.4 Esemio: Un alicazione economica - curve di Pag. 0 domanda e di offerta.5 Funzioni non lineari e derivate di funzioni elementari Pag. CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT. Euilibrio di mercato e sostamento delle curve Pag. 6. Euilibrio di mercato e controllo sui rezzi Pag. 8. Elasticità Pag..4 Interolazione della curva di domanda Pag. 4.5 Euilibrio e Tasse Pag. 5 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE. Scelta del consumatore Pag. 9. Scelta ottima date le utilità marginali Pag.. Convessità Pag..4 Elasticità e Cobb-Douglas Pag. 4.5 eni sostituti Pag. 7.6 Cobb-Douglas, effetto reddito e effetto sostituzione Pag. 4.7 eni comlementari e effetto sostituzione Pag. 44

3 .8 Effetto reddito ed effetto sostituzione Pag Effetto reddito ed effetto sostituzione secondo Hicks Pag Preferenze concave Pag. 49. Scelta ottima con tre beni Pag. 50. Traslazione di una funzione Cobb-Douglas Pag. 5. Imosta sul reddito vs imosta sulla uantità Pag. 5 CPITOLO 4. TECNOLOGI E CONCORRENZ PERFETT 4. Rendimenti di scala Pag Determinazione della funzione di costo Pag Costi di roduzione Pag Numero di imrese in concorrenza Pag Euilibrio concorrenziale di breve e di lungo eriodo Pag. 6 CPITOLO 5. MONOPOLIO 5. Scelta ottima di un monoolista e imoste Pag Perdita di benessere del monoolio Pag Monoolista con iù imianti Pag enessere Sociale con un bene discreto Pag Discriminazione di rezzo del terzo tio Pag Vendite a acchetto Pag. 75

4 CPITOLO 6. OLIGOPOLIO 6. Euilibrio di Cournot ed euilibrio di Stackelberg Pag Rietizione generale Pag Concorrenza alla Cournot e alla ertrànd Pag La concorrenza basata sul rezzo nel caso di beni differenziati Pag Collusione Pag Cournot con n imrese identiche Pag Stackelberg con imrese Pag Cenni di teoria dei giochi Pag Un gioco infinito Pag. 9 CPITOLO 7. SCMIO 7. Efficienza nello scambio Pag Scambio con funzioni di utilità non derivabili Pag Euilibrio economico Pag Euilibrio con roduzione Pag. 99 ILIOGRFI Volumi consigliati Pag. 0

5 . Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei uotidiani descrivere fenomeni di varia natura er mezzo di raresentazioni grafiche. Tali raresentazioni ermettono di individuare la osizione di un unto in un iano utilizzando degli assi di riferimento: gli assi cartesiani ortogonali. Essi sono definiti come due rette erendicolari che si intersecano in un unto detto origine. Per individuare la distanza dagli assi occorre avere un unità di misura e un verso di ercorrenza su ognuno dei due assi. Convenzionalmente da sinistra verso destra er l asse orizzontale (l ascissa), e dal basso verso l alto er uello verticale (l ordinata). sse delle ordinate 4 0 sse delle ascisse Ogni unto nello sazio comreso fra i due assi è identificabile. d esemio il unto è uel unto che ha come valore dell ascissa e come valore dell ordinata 4. Tali valori rendono il nome di coordinate del unto e si ossono indicare così: (,4) Lo arte di iano comreso tra gli assi cartesiani rende il nome di iano cartesiano. È molto imortante restare attenzione a cosa raresentino l ascissa e l ordinate: un iano in cui l ordinata raresenta il rezzo di un bene e l ascissa la domanda dello stesso bene, è diverso da un iano su cui sono individuati il reddito di un consumatore e la domanda di un bene, o di un iano su cui sono indicati due beni differenti. Iacoo Grassi - 004

6 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 5 Sul iano cartesiano è ossibile disegnare le relazioni esistenti tra l ascissa e l ordinata. Tali relazioni esrimono come varia l ordinata al variare dell ascissa, e viceversa. L ascissa e l ordinata, che generalmente in matematica sono indicate con le lettere e, sono erciò dette variabili La articolare relazione er la uale ad ogni valore di corrisonde uno ed un solo valore di rende il nome di funzione di risetto a ed è indicata dall esressione: f ().. d esemio il rimo grafico raresenta una funzione, il secondo no: Esemi di funzioni ossono essere le seguenti esressioni: / 574, Tali funzioni sono tutte caratterizzate dal fatto che nessuna delle variabili è elevata ad una otenza diversa da e sono dette funzioni lineari. Nel iano cartesiano esse raresentano delle rette. In forma generica una retta uò essere secificata dall esressione a b che rende il nome di euazione eslicita della retta. Tale euazione uò anche scriversi in forma imlicita ossia: a b 0 Iacoo Grassi - 004

7 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 6 In ogni caso a rende il nome di intercetta verticale, erché raresenta il valore della funzione uando incontra l asse delle ordinate. b rende il nome di coefficiente angolare della retta. Esso esrime l inclinazione o endenza della retta risetto all asse delle ascisse, e misura come varia il valore dell ordinata al variare del valore dell ascissa. d esemio se la retta è 0 0 è l intercetta verticale è il coefficiente angolare Si nota che: se se 0 se Per ogni variazione di (che in matematica si indica con il simbolo ), vi è una roorzionale variazione di ( ). Per individuare il raorto di roorzionalità considero che rende il nome di raorto incrementale. d esemio se il valore di assa da 0 a 6, uello di assa da 0 a. Il valore del raorto incrementale sarà: Se il valore di assa da a, uello di assa da a 4. Il valore del raorto incrementale sarà: 4 Generalizzando è ossibile dire che nel caso di una retta il valore del raorto incrementale è costante e ari al coefficiente angolare della retta stessa. Iacoo Grassi - 004

8 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 7 Se considero incrementi di molto iccoli (che in matematica si indicano con l esressione lim 0,che si legge limite er delta che tende a 0), il raorto derivata. rende il nome di Ossia la derivata è il lim 0 del raorto incrementale, e nel caso di una retta è costante e ari al coefficiente angolare della retta stessa. Disegnare il grafico di una retta è iuttosto semlice. Dato che nel iano er unti assa una ed una sola retta basta individuare unti aartenenti alla retta ed unirli. Nel nostro esemio saiamo già che i unti di coordinate (, ) e (6, ) aartengono alla retta: 6 Esercizio. Disegna le seguenti rette: 0 0 uali sono fra loro arallele? uali sono fra loro erendicolari? uali hanno la stessa intercetta verticale ma differente inclinazione? Indica anche il coefficiente angolare (ossia la derivata) di tali funzioni Iacoo Grassi - 004

9 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 8. Esemio: Un alicazione economica - il vincolo di bilancio In economia il vincolo di bilancio di un consumatore che uò acuistare beni è dato dall esressione: m e raresentano i rezzi dei due beni e m il reddito del consumatore. Le variabili sono uindi in uesto caso i due beni e. Eslicitando l esressione risetto a si ottiene: m m Ponendo a e b si ottiene a b, che è un esressione analoga a uella vista nel aragrafo recedente. L intercetta del vincolo di bilancio è uindi data da m e il coefficiente angolare da m Intercetta verticale Coefficiente angolare Chiaramente se si modificano il reddito m o i rezzi dei due beni, il vincolo di bilancio cambia. Esercizio. Disegna sul medesimo grafico le seguenti funzioni: ; ; Iacoo Grassi - 004

10 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 9. Sistemi lineari Consideriamo due rette, ad esemio: 5 e 0 Disegnandole si nota che esse si intersecano in uno ed un solo unto aartenente ad entrambe: Per individuare analiticamente tale unto bisogna risolvere un sistema tra le due euazioni: 5, ,5 Non semre uesti sistemi (che sono detti sistemi lineari) hanno una sola soluzione: se le rette sono arallele non vi sono soluzioni, ossia le due rette non si intersecano mai, se le rette coincidono vi sono infinite soluzioni. Iacoo Grassi - 004

11 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 0.4 Esemio: Un alicazione economica - curve di domanda e di offerta La curva di domanda di un bene indica come varia la uantità domandata di un bene al variare del rorio rezzo, la curva di offerta indica come varia la uantità offerta al variare del rezzo. Le variabili sono uindi in uesto caso rezzo e uantità. L euilibrio economico è dato dall intersezione fra la curva di domanda e di uella di offerta. Se tali esressioni sono date da: Domanda: d 8 d Offerta: o 6 o In euilibrio la uantità e il rezzo sono uguali, ossia: d o e d o L euilibrio economico sarà dato dalla soluzione del sistema lineare formato dalle due esressioni: 8 * * d 8 d 9 o 6 o Iacoo Grassi - 004

12 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC Esercizio. Risolvi i seguenti sistemi di euazioni lineari: Funzioni non lineari e derivate di funzioni elementari Si è mostrato che er una retta il coefficiente angolare è costante e coincide con la derivata. uando si ha a che fare con funzioni non lineari non è iù così. Si consideri la seguente curva (che è la raresentazione grafica della funzione ) In uesto caso ad incrementi uguali di non corrisondono incrementi uguali di, ossia il raorto incrementale non è costante: l inclinazione cambia in ogni unto e non ossiamo uindi ragionare come nel aragrafo. er calcolare la derivata. Per risolvere il roblema abbiamo bisogno del concetto di tangente. Una tangente è una retta che tocca la curva in un unto e in uel unto ha la stessa inclinazione della curva. Iacoo Grassi - 004

13 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC d esemio nel rimo grafico la retta non è tangente alla curva, erché ur toccandola solo in uel unto non ne ha lì la stessa endenza. Nel secondo grafico lo è. Esiste una definizione iù recisa di tangente ad una curva in un unto, er la uale dobbiamo utilizzare la nozione di corda di una curva: la corda è un segmento che unisce due unti distinti della curva e. La tangente è la osizione limite di una corda della curva al tendere di a, ossia er lim 0. Α Β Β Α Iacoo Grassi - 004

14 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC La tangente ad una curva uò uindi essere definita come lim 0 di Essa è uindi l inclinazione della curva in uel unto e la sua derivata. Dato che l inclinazione della curva non è costante, la derivata in uesto caso non è costante. bbiamo uindi bisogno di regole di derivazione di funzioni elementari.. Va rima notato che esistono diverse notazioni er indicare la derivata di una funzione. Nel caso la funzione sia del tio f() le seguenti notazioni indicano tutte indifferentemente la derivata della funzione:, d d,, f ( ), f, D Regole di derivazione: Derivata di una funzione costante: k 0 essendo costante nessuna variazione di determina variazioni di. Derivata di una funzione lineare: a b a Derivata di una funzione otenza: a n n a n Derivata di una funzione logaritmo: log Esemi: Iacoo Grassi - 004

15 CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 4 Iacoo Grassi Le funzioni elementari si ossono combinare fra loro attraverso le oerazioni elementari. Somma algebrica di funzioni: la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate Moltilicazione fra funzioni: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g g f g f Divisione fra funzioni: ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D N D D N D N d esemio se: 6 7 ) log( ) log( ( ) ) ( Ovviamente è ossibile utilizzare le stesse regole di derivazione er derivare funzioni in due o iù variabili. d esemio se si ha f(,)5 è ossibile derivare sia risetto a che risetto a : f 5 ), ( e f 5 ), ( Se la funzione è f(,), le derivate saranno f ), ( e ), ( f Esercizio.4 Deriva le seguenti funzioni o combinazioni di funzioni: ;

16 ; CPITOLO. ELEMENTI DI MTEMTIC 5 ; log log Deriva risetto ad entrambe le variabili le seguenti funzioni: f (, ) ; f (, ) log log f (, ) ; f (, ) f (, ) Iacoo Grassi - 004

17 Esercizio.: Euilibrio di mercato e sostamento delle curve La uantità domandata di un certo bene è descritta dalla funzione : 0 (D) D la uantità offerta è descritta dalla funzione: 6 (S) S a) determinare (anche graficamente) la configurazione d euilibrio del mercato b) determinare (anche graficamente) come cambia l euilibrio di mercato a seguito di uno shock ositivo sull offerta tale er cui la nuova curva di offerta è 6 (S ), e di uno shock negativo sulla domanda er cui la domanda cala del S 0%. Soluzione a) L euilibrio di mercato si ha in corrisondenza del livello di rezzo er cui la uantità domandata è uguale a uella offerta. Il rezzo di euilibrio si ottiene uindi eguagliando domanda e offerta: S 0 6 D. Da uest ultima euazione, ortando a sinistra dell uguale i termini con l incognita (), a destra uelli senza incognita, e cambiando di segno si ottiene: 6 0 Sostituito nella funzione di domanda o in uella di offerta, tale rezzo determina la uantità scambiata in euilibrio: 0 9 (oure 6 9) L euilibrio di mercato è uindi determinato da e 9 Iacoo Grassi - 004

18 Graficamente: CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 7 0 D S 0 9 b) Per determinare il nuovo euilibrio di mercato è necessario conoscere le nuove funzioni di domanda e di offerta. uella di offerta è già indicata nel testo: 6 S uella di domanda va calcolata. La uantità domandata è diminuita del 0%, ossia la nuova domanda sarà: 0, 0, 8 (esercizio: il vostro stiendio è di euro 000, D D D D urtroo subite una riduzione di stiendio del 0%, uale sarà il vostro nuovo stiendio?) uindi: D 0,8(0 ) 8 (D ) 5 Il nuovo euilibrio di mercato si ottiene eguagliando S e D : 6 8, da cui oerando come in recedenza si ottiene: 5 5 e Iacoo Grassi - 004

19 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 8 0 D' D S 5/6 0 6/8 S' Nel grafico osserviamo che la nuova curva di offerta è una traslazione arallela verso il basso di uella originale: l intercetta verticale è cambiata, il coefficiente angolare ossia la endenza - è rimasto immutato (esercizio: determinare le intercette verticali e i coefficienti angolari delle due funzioni di offerta S e S ). Invece la curva di domanda ruota. (esercizio: determinare le intercette verticali e orizzontali e i coefficienti angolari delle due funzioni di offerta D e D ) Esercizio.: Euilibrio di mercato e controllo sui rezzi Le funzioni di domanda e di offerta in un determinato mercato sono risettivamente: D a) Si determini l euilibrio di mercato 9 (D) S (S) b) Si determini come si modifica l euilibrio a seguito dell introduzione, da arte dello Stato, di un tetto di rezzo ari a 4 c) Si determini come si modifica l euilibrio a seguito dell introduzione, da arte dello Stato, di un avimento di rezzo ari a 8 Iacoo Grassi - 004

20 Soluzione CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 9 a) L euilibrio di mercato si ottiene eguagliando domanda e offerta: D S 9 da cui si ottiene la soluzione 6 e. S 6 D 0 b) Un tetto di rezzo non è altro che un livello di rezzo massimo oltre il uale non è consentito effettuare scambi di merci. Essendo la funzione di domanda D 9, in corrisondenza di un rezzo ari a 4, la uantità che i consumatori sono disosti ad acuistare sarà: D La uantità che i roduttori sono disosti a vendere sarà: 4 S Sul mercato si verificherà uindi un eccesso di domanda: ossia la domanda di mercato suererà l offerta. In uesti casi a comandare, ossia a determinare la uantità effettivamente scambiata sul mercato, è il cosiddetto lato corto del mercato, ossia il minore fra domanda e offerta. Nel nostro caso l offerta. L eccesso di domanda è ari alla differenza tra domanda e offerta ed in uesto caso è ari a. S d esemio la fissazione del rezzo di alcuni generi alimentari di rima necessità, uali il latte o il ane, è sesso imosta e non lasciata al mercato. Iacoo Grassi - 004

21 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 0 Graficamente: S 4 eccesso di domanda D 0 5 c) Un avimento di rezzo non è altro che un livello di rezzo minimo al di sotto del uale non è consentito effettuare scambi di merci. Essendo la funzione di domanda D 9, in corrisondenza di un rezzo ari a 8, la uantità che i consumatori sono disosti ad acuistare sarà: 9 8 D La uantità che i roduttori sono disosti a vendere sarà: 8 S 4 desso il lato corto del mercato è la domanda, uindi la uantità effettivamente scambiata sarà. In uesto casi si ha un eccesso di offerta ari a. (Esercizio: disegna il grafico dell eccesso di offerta) d esemio nel mercato del lavoro il salario (che raresenta il rezzo del lavoro), non uò scendere al di sotto di certi livelli. Iacoo Grassi - 004

22 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT Esercizio.: Elasticità In un determinato mercato le funzioni di domanda e di offerta inverse sono risettivamente: 80 (D) (S) a) Si determini l euilibrio di mercato b) Si calcolino l elasticità della domanda e dell offerta risetto al rezzo nel unto di euilibrio c) Si calcolino l elasticità della domanda e dell offerta risetto al rezzo in corrisondenza di un valore del rezzo 0 d) Determinare le coordinate del unto in cui l elasticità della domanda è ari a (in valore assoluto) Soluzione a) L euilibrio di mercato si ottiene eguagliando domanda e offerta: DS da cui si ottiene la soluzione 900 e, er sostituzione, 50 b) L elasticità della uantità domandata risetto al rezzo, indica la variazione ercentuale della uantità domandata di un bene risetto alla variazione ercentuale del rorio rezzo. Se un bene è a domanda elastica basteranno iccole variazioni ercentuali del rorio rezzo er determinare grandi variazioni ercentuali della uantità domandata. Se il bene è a domanda rigida (o inelastica), la domanda del bene varierà oco al variare del rezzo. Ciò si verifica in genere se un bene ha dei sostituti, ossia dei beni di natura simile con cui è ossibile sostituirne il consumo. d esemio l aumento del rezzo dell acua minerale ne determina una diminuzione del consumo, erché è facilmente sostituibile con l acua di rubinetto. Iacoo Grassi - 004

23 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT L elasticità della domanda risetto al rezzo è data dall esressione: ε D d D d D d D D d d d D D d D raresenta la derivata della uantità (ossia della funzione domanda di mercato) d risetto al rezzo. Essendo la funzione domanda di mercato lineare tale derivata è la endenza della curva di domanda (esressa in forma diretta). Essendo la funzione di domanda inversa 80, la funzione di domanda diretta sarà: 0 d D uindi D 0 d L elasticità della domanda al rezzo nel unto di euilibrio, ossia nel unto 50, 900 è: ε D d d D D nalogamente l elasticità dell offerta risetto al rezzo è data da: ds ε S d S Essendo la funzione di offerta inversa 5 0, la funzione di offerta diretta sarà: d S uindi S 0 d L elasticità dell offerta al rezzo nel unto di euilibrio sarà: ds ε S d S c) Per calcolare l elasticità della domanda nel unto in cui il rezzo è ari a 0, bisogna innanzitutto determinare la uantità corrisondente a tale rezzo sulla curva di domanda. Sostituendo 0 nell euazione della curva di domanda diretta si ottiene: D Iacoo Grassi - 004

24 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT uindi in tale unto l elasticità è: ε D d d D D d) Per determinare le coordinate del unto in cui l elasticità della domanda è ari a imoniamo che l elasticità assuma tale valore. Dal unto a) dell esercizio saiamo che la endenza della curva di domanda è costante e ari a 0. uindi: ε D d d D D Da cui si ottiene D 0 0 D Sostituendo uesta esressione nella curva di domanda diretta si ottiene Da cui 40 e, er sostituzione, 00. l fine di vedere come varia l elasticità lungo la curva di domanda, uò essere utile raresentare graficamente tale curva e associare i valori dell elasticità che abbiamo determinato, ai unti della curva cui corrisondono εd -5/ εd - εd -/5 0 D Dalla figura si nota che l elasticità varia lungo la curva, ed è iù elevata (in valore assoluto) nella arte alta (esercizio: uanto vale l elasticità della domanda nell intersezione con Iacoo Grassi - 004

25 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 4 l asse verticale?), e decresce rogressivamente man mano che ci si muove verso il basso (esercizio: uanto vale l elasticità della domanda nell intersezione con l asse orizzontale?) Si noti che in resenza di una funzione lineare il unto di elasticità unitaria è esattamente il unto medio della curva di domanda che giace nel uadrante ositivo. Esercizio.4: Interolazione della curva di domanda La funzione di domanda di un certo bene è lineare. Si è osservato che in corrisondenza di un rezzo ari a 5 la uantità domandata è ari a 0. Si è inoltre stimato che in tale unto l elasticità della domanda ha un valore del 40%. Determinare la funzione di domanda. Soluzione Essendo lineare l esressione della funzione di domanda è del tio. Occorre determinare i valori dei arametri (l intercetta della curva di domanda) e (l inclinazione della curva). L esressione dell elasticità è data da: ε. raresenta la derivata della funzione di domanda risetto al rezzo, ossia l inclinazione. Nel unto di coordinate 5, 0 l elasticità vale 0,4: 5 0 0,4 0,4,4 0 5 Sostituendo il valore di insieme a uello di e all interno della funzione di domanda ci ermette di ottenere il valore di : 0, La curva di domanda è uindi ari a: 4, 4 Iacoo Grassi - 004

26 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 5 Esercizio.5: Euilibrio e Tasse Si consideri un mercato in cui la domanda aggregata di un bene è data da D e uella di offerta da S. a) Si calcolino la uantità e il rezzo d euilibrio. b) Il governo vuole introdurre un imosta ari a su ogni unità scambiata del bene. Si determini la nuova uantità d euilibrio, il rezzo agato dai consumatori e uello ricevuto dai roduttori c) In che modi si riartisce l imosta tra roduttori e consumatori? Che relazione esiste tra l elasticità delle curve e l incidenza di una tassa? d) Si calcoli infine la erdita di benessere sociale Soluzione a) L euilibrio è dato dall incontro fra la curva di domanda e uella di offerta: D S che sostituito in una delle due curve ci da 6 6 S D - 6 b) Un imosta di su ogni unità scambiata determina una traslazione verso l alto della curva di offerta 4. 4 Per traslare verso l alto la curva di offerta bisogna sottrarre l imosta, nel caso in cui la funzione di offerta sia esressa nella forma f() Iacoo Grassi - 004

27 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 6 desso si avrà: S (t) - Il rezzo che i consumatori fronteggeranno (rezzo di domanda) sarà adesso dato da D S (t) d 4, 4 Ma d 4 non è il rezzo che i roduttori ricevono (rezzo di offerta): dato che ben sono di tasse, il rezzo d offerta sarà s d t 4 6 S D P 4 S P D - c) Il rezzo originario, senza imosta era, d 4 e s. In uesto caso l aumento di rezzo er i consumatori è solo di, mentre la diminuzione di rezzo erceito er i roduttori e di (rima ricevevano adesso ricevono ): sono uindi loro a agare la maggior arte della tassa (il 66%). Ciò è dovuto al fatto che nel unto d euilibrio iniziale l elasticità della domanda è sueriore all elasticità dell offerta: ε D D 6 ε D > ε S ε S S 6 Iacoo Grassi - 004

28 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 7 d) Il enessere Sociale è dato dalla somma fra il Surlus del Consumatore, uello del Produttore e il Gettito Fiscale, che si suone sia destinato alla roduzione di beni di ubblica utilità. Il Surlus del Consumatore è la differenza tra uanto il consumatore sarebbe disosto a sendere er un bene, e uanto realmente sende, ossia l area comresa tra la curva di domanda e il rezzo. Il Surlus del Produttore è la differenza tra il rezzo a cui il roduttore sarebbe disosto a vendere un bene, e uello a cui realmente lo vende, ossia l area comresa tra la curva di offerta e il rezzo. Nel caso di funzioni di domanda e di offerta lineari tali aree corrisondono a uelle di semlici figure uali triangoli o traezi. Il Gettito Fiscale è, in uesto caso, ari al rodotto tra la uantità venduta del bene e l imosta. Nel caso in cui non ci siano tasse si avrà: 6 S. C. ( ) 7 (rea di un triangolo) S. P. ( 6) 8, 5 (rea di un traezio).s. S.P. S.C. 45,5 Nel caso in cui sia introdotta la tassa si avrà: 4 S. C. ( 4) 6 S. P. ( 4), 5 G. F. 4.S.,5 Iacoo Grassi - 004

29 CPITOLO. EUILIRIO PRZILE ED ELSTICIT 8 La erdita di enessere sociale sarà ari 45,5,5 4, e raresenta la erdita d utilità che i consumatori subiscono a causa della distorsione delle scelte dovuta alla tassa. S S 6 6 S.C. D P 4 S.C. G.F. erdita di enessere Sociale S.P. D - 6 S P S.P. D - Iacoo Grassi - 004

30 Esercizio.: Scelta del consumatore Un consumatore ha referenze raresentate dalla seguente funzione d utilità: U (, ) a) Mostrare che le referenze sono convesse b) Determinare la scelta ottima nel caso sia,, M 0 Soluzione a) Se individuiamo due anieri sulla stessa curva di indifferenza e uesta è convessa, ogni combinazione lineare di essi (ad esemio la media aritmetica) sarà referita ai due anieri iniziali (o almeno altrettanto buona). d esemio nel nostro caso ossiamo considerare i anieri (, ) e (, ), Entrambi daranno al consumatore un utilità ari a, infatti: U U ( ) ( ) I due anieri sono uindi sulla stessa curva d indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due anieri (ma ualunue combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo aniere C le cui coordinate saranno: X Y U X X C Y Y C,5,5 ( C),5,5,5 > U Il aniere C, che si ottiene dalla media di e, è uindi referito ai anieri originari (da al consumatore un utilità maggiore) Iacoo Grassi - 004

31 Graficamente: CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 0,5 C,5 b) L ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: SMS M L SMS del consumatore è dato dal raorto tra le utilità marginali dei due beni: UM SMS UM L utilità marginale di un bene indica come varia l utilità di un consumatore al variare del consumo di uel bene. Per tanto er calcolarla occorre derivare la funzione di utilità risetto al bene in uestione. U (, ) UM U (, ) UM Iacoo Grassi - 004

32 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE Iacoo Grassi Sostituendo nel sistema: M UM UM Il aniere di scelta ottima è uindi 5, 5, 5 Esercizio.: Scelta ottima date le utilità marginali Siano, er un generico consumatore, le utilità marginali di due beni e risettivamente UMG e UMG Calcolare la scelta ottima nel caso sia 6 ; ; R6 Soluzione L ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: R SMS,5 0 5

33 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE L SMS del consumatore è dato dal raorto tra le utilità marginali dei due beni: UMG SMS SMS SMS UMG Sostituendo nel sistema Esercizio.: Convessità a) Un consumatore ha referenze raresentate dalla seguente funzione d utilità: U(, ) / / Mostrare che le referenze sono convesse b) Un consumatore ha referenze raresentate dalla seguente funzione d utilità: U(, ) / / Mostrare che le referenze sono convesse. Soluzione a) se U(, ) / / ossiamo considerare i anieri (, 4) e (4, ), Entrambi daranno al consumatore un utilità ari a, infatti: U () / 4 / U () 4 / / I due anieri sono uindi sulla stessa curva d indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due anieri (ma ualunue combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo aniere C le cui coordinate saranno: X Y C C X Y X Y 4,5 4,5 U (C),5 /,5 /,5 > Il aniere C che si ottiene dalla media di e è referito ai anieri originari Iacoo Grassi - 004

34 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE b) se U(, ) / / ossiamo considerare i anieri (0, 4) e (4, 0), Entrambi daranno al consumatore un utilità ari a, infatti: U () 0 / 4 / U () 4 / 0 / I due anieri sono uindi sulla stessa curva d indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due anieri (ma ualunue combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo aniere C le cui coordinate saranno: X C X X 0 4 Y C Y Y 4 0 U (C) / /,8 > Il aniere C che si ottiene dalla media di e è referito ai anieri originari. 4 C 4 Iacoo Grassi - 004

35 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 4 Esercizio.4: Elasticità e Cobb-Douglas Siano le referenze di un consumatore descritte dalla generica funzione Cobb-Douglas: U. Siano, e R i rezzi dei due beni e il reddito. a) Mostrare che le referenze sono convesse b) Calcolare la scelta ottima er il consumatore. c) Determinare l elasticità della domanda di risetto al rorio rezzo, risetto al rezzo del bene e risetto al reddito Soluzione a) se U(, ) / / ossiamo effettuare una trasformazione monotona essendo le funzioni d utilità ordinali e non cardinali. In uesto caso ad esemio ossiamo trasformare la funzione d utilità originaria in U(, ) Tale nuova funzione conserva l ordine delle referenze della funzione di artenza. Doodiché si agirà come nell esercizio recedente. b) L ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: SMS R, L SMS del consumatore è dato dal raorto tra le utilità marginali dei due beni: Oerando sulla funzione U(, ) (ma oerare con U(, ) / / conduce esattamente agli stessi risultati) si ottiene: U UM U UM Iacoo Grassi - 004

36 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 5 Iacoo Grassi Dato che UM UM SMS SMS Sostituendo nel sistema R R R ) ( da cui facilmente otteniamo la domanda di R e er sostituzione uella di R c) Per uanto riguarda il calcolo dell elasticità oeriamo nella maniera consueta, artendo dalle definizioni di elasticità:, ε Per calcolare uò risultare utile scrivere la funzione di domanda R nella seguente maniera: R R R Sostituendo nell elasticità si ottiene:, R R ε

37 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 6 L elasticità della domanda di risetto al reddito è data da: ε, R R Essendo R R R uindi: ε R R R, R R l elasticità della domanda di risetto al rezzo del bene è data da: ε, Essendo R la domanda del bene non diende dal rezzo del bene 0 uindi ε, 0 Ragionate sul significato economico di tali risultati Iacoo Grassi - 004

38 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 7 Esercizio.5: eni sostituti Siano le referenze di un generico consumatore descritte dalla funzione U. a) Mostrare che le referenze sono convesse b) Calcolare la scelta ottima nel caso sia ; ; R0 c) Calcolare la scelta ottima nel caso raddoi il rezzo del bene d) Determinare e disegnare la funzione di domanda del bene, considerando e R0 Soluzione a) Una semlice maniera er mostrare che una funzione è convessa consiste nel individuare due anieri sulla stessa curva di indifferenza. Ogni combinazione lineare dei due anieri (ad esemio la media aritmetica) sarà referita (o almeno altrettanto buona) dei due anieri iniziali. In uesto caso considero i anieri ( X, Y ) ( 0,) 4 ( X, Y ),0 (Ho arbitrariamente scelto due anieri sui due assi er comodità di calcolo) Essendo U U U ( ) ( ) 0 4 U () U () uindi i due anieri sono indifferenti tra loro Considero un aniere C combinazione di e (calcolo la media delle coordinate di e, ma ualunue combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) Iacoo Grassi - 004

39 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 8 C (X C, Y C ) X Y C C Y X X Y C, U ( C) 4 U ( C) U () U (), i tre anieri sono indifferenti tra loro, la funzione è convessa (ma non strettamente convessa) b) uando si affronta un roblema di scelta ottima il rimo assaggio è riconoscere le referenze che la funzione d utilità descrive. In uesto caso i beni sono fra loro sostituti. Dobbiamo uindi confrontare fra loro le utilità marginali dei beni, onderate dai rori rezzi. Il consumatore referirà il bene se l utilità marginale onderata di, sarà sueriore a UM UM uella di, ossia se: >, referirà il bene se e sarà indifferente se Nel nostro caso: UM,5 UM < UM UM UM UM e Poiché UM < il consumatore senderà tutto il suo reddito er il bene UM Ossia: 0 0 Iacoo Grassi - 004

40 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 9 bbiamo una cosiddetta soluzione d angolo: 0 scelta ottima vincolo di bilancio curve di indifferenza 5 c) Se avremo: UM,5 UM e desso UM > uindi il consumatore sende tutto il suo reddito er il bene UM Ossia: 0 5 e 0 vincolo di bilancio curve di indifferenza 5 scelta ottima 5 Iacoo Grassi - 004

41 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 40 d) Il consumatore sarà indifferente tra i due beni se UM UM Ossia considerando i dati del nostro roblema se:, 5 uindi se >,5 UM < 0 UM <,5 UM UM 0 >,5 UM Il consumatore è indifferente tra sendere tutto il UM suo reddito er il bene, il bene, oure er una combinazione dei due: [ 0,0] Il grafico della domanda del bene sarà uindi: domanda di,5 0 Iacoo Grassi - 004

42 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 4 Iacoo Grassi Esercizio.6: Cobb-Douglas, effetto reddito e effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui referenze siano descritte dalla funzione d utilità U(, ) α β a) Suonendo che il reddito dell individuo sia ari a M e che i rezzi dei due beni siamo ari a e si determini la scelta ottima dell individuo. b) Si calcoli la scelta ottima nel caso siano α 6, β,, e M 4 c) Si suonga che il rezzo del bene aumenti del 50%, come varia la uantità domandata del bene? Si calcolino l effetto reddito e l effetto sostituzione Soluzione a) Ciò che l esercizio richiede è calcolare la domanda nel caso di una generica funzione d utilità Cobb- Douglas. Il Saggio Marginale di Sostituzione sarà: ( ) ( ) U U SMS β α β α β α β α β α β α β α,, Imonendo il solito sistema col vincolo di bilancio ottengo : M SMS α β β α : α β α β α β M M M Da cui si ottiene la domanda di e er sostituzione uella di : M β α α M β α β Si ricorda che dalla condizione SMS si ottiene la curva reddito consumo, che in uesto caso è uindi α β

43 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 4 b) asta sostituire i valori assegnati nel unto b alle generiche funzioni di domanda calcolate nel unto a dell esercizio. Si avrà: ( M, ) 9 4 ( M, ) 6 8 scelta ottima 9 c) Il rezzo del bene è aumentato del 50% ossia adesso. Ciò determina una rotazione del vincolo di bilancio e una conseguente diminuzione della domanda di. Dalle formule calcolate nel unto a ottengo immediatamente la nuova domanda di : ( M, ) 6 8 nuova scelta ottima 6 8 Per distinguere l entità della variazione della domanda dovuta all effetto reddito (essendo salito il rezzo del bene il consumatore ha meno reddito reale), e l entità dovuta all effetto sostituzione (il bene adesso è relativamente iù conveniente), bisogna calcolare uale sarebbe stata la scelta ottima nel caso il consumatore avesse lo stesso otere d acuisto recedente: ossia il otere d acuisto che aveva rima che i rezzi cambiassero. Iacoo Grassi - 004

44 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 4 Secondo la definizione di Slutsk occorre imorre al consumatore un reddito M tale che, con i nuovi rezzi e, egli ossa effettuare la stessa scelta ottima recedente la variazione dei rezzi: in uesto caso il aniere 9,. Per fare ciò si deve calcolare il nuovo reddito M, ossia il nuovo vincolo di bilancio deve assare er il aniere di coordinate (9,): M 9 Con uesto nuovo reddito la domanda di sarà: 6 8 ( M, ) 8, 5 L effetto sostituzione è dato dalla differenza (in valore assoluto) tra ( M, ) e ( M, ) L effetto reddito dalla differenza (in valore assoluto) tra ( M, ) e ( M, ) In uesto caso: E.S. 9 8,5 0,75 E.R. 8,5 6,5 8 ' (M, ') '' (M', ').75 (M, ) E.R. E.S. Se si adotta la definizione di Slutsk il otere d acuisto torna ad essere il recedente se, doo la comensazione, il consumatore uò effettuare esattamente la stessa scelta ottima originaria. Secondo la definizione di Hicks il otere d acuisto torna ad essere il recedente se, doo la comensazione, il consumatore uò acuistare un aniere indifferente alla scelta ottima originaria. Iacoo Grassi - 004

45 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 44 Esercizio.7: eni comlementari e effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui referenze siano descritte dalla funzione d utilità U(, ) Min (a, b) a) Si disegni una maa di curve di indifferenza uando a, b. b) Suonendo che il reddito dell individuo sia ari a M e che i rezzi dei due beni siamo ari a e si determini la scelta ottima dell individuo. c) Si calcoli la scelta ottima nel caso siano a, b,,, e M 0 d) Si suonga che il rezzo del bene raddoi, come varia la uantità domandata del bene? Si calcolino l effetto reddito e l effetto sostituzione. Soluzione a) La funzione d utilità U(, ) Min (a, b) descrive beni comlementari: il consumatore desidera semre consumarli nella medesima roorzione, indicata dai arametri a e b. Per disegnare la maa delle curve d indifferenza, il rimo asso è trovare la curva reddito consumo, determinata dall uguaglianza tra i due termini all interno della arentesi: a b b a Nel nostro caso sarà uindi Una volta fatto ciò la maa della curve d indifferenza è facilmente disegnabile: Iacoo Grassi - 004

46 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 45 b) Per calcolare la scelta ottima nel caso di beni comlementi non è ossibile utilizzare la condizione SMS non essendo la funzione derivabile. Si conosce erò la curva reddito consumo a cui la scelta ottima deve aartenere. Il sistema diventa uindi b a M b a M b a b a b M a a bm b a am b a Che sono le formule generali er determinare la domanda nel caso di beni comlementi. c) asta sostituire i valori assegnati nel unto c alle generiche funzioni di domanda calcolate nel unto b dell esercizio. Si avrà: 0 0 ( M,, ) ( M,, ) d) Il rezzo del bene è raddoiato: adesso. Ciò determina una rotazione del vincolo di bilancio. Dalle formule calcolate nel unto b ottengo immediatamente la nuova domanda di : 0 0 ( M,, ), 75 8 licando la definizione di Slutsk il consumatore dovrà ricevere una comensazione di reddito tale che coi nuovi rezzi e egli sarà in grado di acuistare il aniere iniziale 6, 4. isogna uindi calcolare M : M La domanda di con uesti nuovi dati sarà: 6 48 ( M,, ) 6 8 Iacoo Grassi - 004

47 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 46 Iacoo Grassi L effetto sostituzione è dato dalla differenza (in valore assoluto) tra ( ) M, e ( ) M, ed è uindi in uesto caso nullo (6-60). (Esercizio: dare una siegazione economica di ciò) Esercizio.8: Effetto reddito ed effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui referenze siano descritte dalla funzione d utilità: ( ) U, a) Si calcoli la scelta ottima nel caso i rezzi dei due beni siano, e il reddito del consumatore sia M b) Si calcoli la nuova scelta ottima nel caso il rezzo del bene diventi, distinguendo fra effetto reddito ed effetto sostituzione Soluzione a) Imonendo la solita condizione di tangenza si ottiene M SMS Il aniere scelto dal consumatore sarà il aniere (;8) b) Se il rezzo del bene diventa, rietendo col nuovo dato il sistema si ottiene: 6 6 M SMS desso il aniere scelto dal consumatore sarà il aniere (6;6) La domanda di assa da a 6, occorre distinguere uanta di uesta variazione è dovuta all effetto reddito e uanta all effetto sostituzione.

48 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 47 Per annullare l effetto reddito si alica l euazione di Slutsk e si ottiene il reddito comensato: M 8 0 uindi la scelta ottima coi nuovi rezzi e il reddito comensato diviene: SMS M Il aniere scelto dal consumatore doo la comensazione di Slusk sarà il aniere C (5;5) L effetto sostituzione è la differenza tra la uantità domandata iniziale del bene, e la uantità domandata doo la comensazione. Ossia - C. Il resto è l effetto reddito. In uesto caso, considerando il valore assoluto: E.S. 5 E.R. 6-5 Esercizio.9:Effetto reddito ed effetto sostituzione secondo Hicks Un consumatore ha a disosizione un reddito ari a M 0 e referenze descritte dalla funzione d utilità U. a) Determinare il aniere di consumo ottimale in corrisondenza dei rezzi e 5 b) Si suonga che il rezzo del bene diminuisca e che sia 4. Mostrare coma varia la scelta del consumatore distinguendo tra effetto reddito ed effetto sostituzione, alicando la definizione di Hicks. Soluzione a) Essendo la funzione d utilità una Cobb-Douglas la scelta ottima del consumatore sarà: e (unto ) 5 Iacoo Grassi - 004

49 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 48 b) Se il rezzo del bene assa da 5 a 4 il nuovo aniere di scelta ottima er il consumatore sarà: e 40 (unto ) 4 Per distinguere tra effetto reddito ed effetto sostituzione occorre dare al consumatore una comensazione (in uesto caso negativa) del reddito che lo riorti allo stesso livello di utilità recedente la diminuzione del rezzo di. Occorre dunue calcolare le coordinate di un unto C, che si trovi sulla curva di indifferenza di e er il uale assi il nuovo vincolo di bilancio. Il sistema da risolvere è il seguente: U U c SMS La rima condizione ci dice che il unto e il unto C devono essere indifferenti tra loro. La seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza assante er C sia tangente al vincolo di bilancio determinato dal nuovo raorto tra i rezzi. Il valore dell utilità nel unto è dato da U ( ) Il sistema diventa uindi: Dalla seconda condizione si ottiene c c c c 5,78 e uindi c 7, 55 c c c c che sostituito nella rima condizione dà L effetto sostituzione è dato dalla differenza 5,78, 78 L effetto reddito dalla differenza 8 5,78, c c Iacoo Grassi - 004

50 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 49 Esercizio.0: Preferenze concave Siano le referenze di un consumatore raresentate dalla funzione d utilità U, sia M 0 il suo reddito e i rezzi dei due beni risettivamente e a) Mostrare se le referenze sono convesse. b) Determinare la scelta ottima del consumatore. Soluzione a) In uesto caso le referenze del consumatore non sono convesse. Infatti oerando come di consueto si considerano due anieri indifferenti tra di loro: (, ) U ( ) 5 (,) U ( ) 5 Il aniere medio C è dato da: C,5 e C, 5 C (,5;,5 ) U ( C),5,5 4, 5 Siccome ( C) U ( ) U < le referenze non sono convesse, ma concave. b) Essendo le referenze concave non è ossibile utilizzare la condizione di tangenza SMS, la cui alicazione si basa, tra l altro, sull iotesi di convessità delle referenze. La soluzione è in uesto caso d angolo. Ragionando come nel caso di beni sostituti il consumatore acuisterà il bene che costa di meno, in uesto caso il bene, il aniere scelto sarà uindi (0,0). (Es: uale sarebbe stata la scelta ottima nel caso i due beni avessero avuto lo stesso rezzo?) 5 scelta ottima 0 Si uò ensare alle referenze concave come ad un articolare caso di beni sostituti: ad esemio a un consumatore uò iacere sia la carne che il esce, ma non contemoraneamente. Iacoo Grassi - 004

51 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 50 Esercizio.: Scelta ottima con tre beni Si consideri un individuo le cui referenze siano descritte dalla funzione d utilità: U (,, z) ( ) z Si calcoli la scelta ottima nel caso i rezzi dei tre beni siano,, z e il reddito del consumatore sia M 4 Soluzione Il modo iù generale er risolvere roblemi di ottimizzazione vincolata nel caso di due o iù variabili è utilizzare il metodo di Khun Tucker. Tale metodo va erò oltre le finalità di uesto corso. Come risolvere allora un simile roblema di ottimizzazione? Occorre ragionare. Nel nostro caso la funzione è U(,,z) () z Essa uò anche essere scritta come : U(,,z) z z In uesto modo ha un asetto, forse, iù familiare. La rima considerazione da fare è che il bene z va consumato in uantità ositive: se il suo consumo fosse nullo l utilità del consumatore sarebbe ari a zero e l individuo otrebbe semre incrementare il rorio benessere aumentando il consumo di tale bene. Osservato ciò si nota che i beni e sono beni sostituti fra loro, e le risettive utilità marginali saranno: U U z e z Come al solito nel caso dei beni sostituti devono essere confrontate le utilità marginali onderate. Si avrà: U z z e U z are uindi evidente, essendo z > 0, che sarà semre U U > La scelta del consumatore sarà uindi di non acuistare il bene 0. Iacoo Grassi - 004

52 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 5 La funzione d utilità diventerà uindi una iù maneggevole Cobb Douglas: U(,z) z Da massimizzare sotto il vincolo di bilancio z 4 gendo come di consueto otterremo le soluzioni: 6, z 4 La scelta ottima sarà uindi il aniere (0, 6, 4) Esercizio.: Traslazione di una funzione Cobb-Douglas Si consideri un consumatore le cui referenze sono descritte dalla funzione d utilità U (, ) () (), dove il rezzo del bene è ari a, il rezzo del bene a, mentre il reddito è ari a 0. Doo aver verificato se le referenze sono convesse si calcolino la scelta ottima del consumatore e le elasticità della domanda del bene risetto al rezzo del bene, al rezzo del bene e al reddito. Soluzione Per verificare la convessità della funzione d utilità vanno considerati due anieri indifferenti tra loro, e va mostrato che una ualunue combinazione lineare di essi è referita o indifferente ai due anieri di artenza. d esemio si ossono considerare i anieri (,) e (,), ed oerare oi come di consueto. Per uanto riguarda la scelta ottima un modo er agire è imorre la seguente trasformazione: ~ e ~ La funzione d utilità diventerà: U ( ~, ~ ) ~ ~ Il vincolo di bilancio sarà 0 ~ ( ~ ) ~ ~ Iacoo Grassi - 004

53 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 5 Iacoo Grassi Il roblema si riduce uindi alla massimizzazione vincolata di una Cobb-Douglas: ~ ~ Tutto ciò consiste nel traslare il sistema d assi cartesiani nel unto di coordinate (,), agire normalmente sulla Cobb-Douglas, er oi tornare al sistema d assi originario. Per calcolare le elasticità c è bisogno della domanda di in funzione di M, e. Si sa che: M M M ~ ~ ~ ossia in forma generale ~ ~ ~ ~ ~ da cui M M ~ ) ( ) ( ~ Dato che M er definizione, si avrà: M M M M ~ ~ uindi er trovare la domanda di funzione del reddito M, di e si avrà il seguente sistema: M M M M M ~ ~ ~ ~ Una volta individuata la funzione di domanda (M,, ), le elasticità sono facilmente calcolabili: 0, M M M M ε

54 ε CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 5 ( M ), ( ) ε, 0 Esercizio.: Imosta sul reddito vs imosta sulla uantità Si consideri un individuo le cui referenze siano descritte dalla funzione d utilità ( ) U Min, Suonendo che il reddito sia ari a M e che i rezzi dei due beni siano e si trovi la scelta ottima del consumatore. Si iotizzi adesso che il governo abbia bisogno di assicurarsi un certo livello di gettito fiscale. Per ottenerlo sono ossibili due forme alternative di tassazione: un imosta roorzionale sul reddito con aliuota ϕ comresa tra 0 e oure un imosta secifica sulla uantità venduta del bene ari a t euro er unità. Iotizzando che le due imoste ermettano di ottenere lo stesso gettito fiscale, valutate uale delle due forme d imosizione il consumatore referirebbe Soluzione Data la funzione d utilità (beni comlementi), la scelta ottima senza imoste sarà data da M Nel caso di imosta ϕ sul reddito il nuovo reddito che il consumatore avrà sarà: ( ) M M ϕm M ϕ La scelta ottima del consumatore tassato sul reddito sarà uindi: ( ϕ ) M M ϕ e il gettito fiscale sarà rorio G.F.(ϕ) ϕm Nel caso di imosta t sulla uantità venduta è il rezzo del bene ad aumentare. Iacoo Grassi - 004

55 CPITOLO. TEORI DEL CONSUMTORE 54 Iacoo Grassi La scelta ottima del consumatore tassato sulla uantità sarà: t M t e il gettito fiscale sarà: G.F.(t) t t M / ( t ) Per determinare uale delle due situazioni il consumatore referisca bisogna verificare in uale caso la sua utilità è maggiore. Essendo la funzione d utilità del consumatore U Min (, ) basterà controllare sotto uale dei due tii di imosizione fiscale egli consumerà iù uantità del bene. Per confrontare ϕ e t, abbiamo bisogno di una relazione che leghi ϕ e t Saiamo dal testo che le due imoste ermettono di ottenere lo stesso gettito fiscale, ossia : G.F.(ϕ) G.F.(t) t tm M ϕ t t ϕ sostituendo in ϕ si ottiene t t M t t t M t t M M ϕ Il consumo di non varia a seconda del sistema fiscale: il consumatore è erfettamente indifferente fra i due tii di imosta.

56 Iacoo Grassi Esercizio 4.: Rendimenti di scala Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di roduzione: a) ( ) L K L K, b) ( ), L K L K c) ( ), L K L K Soluzione I rendimenti di scala indicano come varia la uantità rodotta (outut) in seguito alla variazione euiroorzionale dei fattori di roduzione (inut). Se, facendo variare gli inut di τ, l outut varia anch esso di τ i rendimenti di scala si dicono costanti. Se la variazione dell outut è inferiore a τ i rendimenti si dicono decrescenti. Se la variazione dell outut è sueriore a τ i rendimenti si dicono crescenti. a) ( ) ( ) L K L K L K L K,, τ τ τ τ τ τ in uesto caso i rendimenti di scala sono crescenti in uanto moltilicando gli inut er τ l outut risulta essere moltilicato er τ b) ( ) ( ) ( ) ( ) L K L K L K L K L K,, τ τ τ τ τ τ τ τ in uesto caso i rendimenti di scala sono costanti in uanto moltilicando gli inut er τ l outut risulta essere moltilicato er τ c) ( ) ( ) ( ) ( ) L K L K L K L K L K,, τ τ τ τ τ τ τ τ in uesto caso i rendimenti di scala sono decrescenti in uanto moltilicando gli inut er τ l outut risulta essere moltilicato er τ

57 CPITOLO 4. TECNOLOGI E CONCORRENZ 56 Esercizio 4.: Determinazione della funzione di costo Si considerino due imianti che roducono un identico bene utilizzando come fattori di roduzione il caitale K e il lavoro L. La tecnologia utilizzata dal rimo imianto è descritta dalla funzione di roduzione K L, uella del secondo dalla funzione di roduzione Min (K, L). Suonendo che il rezzo di un unità di caitale sia ari a euro e che uello di un unità di lavoro sia ari a euro si determinino le funzioni di costo totale, di costo medio e di costo marginale dei due imianti Soluzione Per determinare il costo totale di un imresa bisogna conoscere la combinazione efficiente dei fattori roduttivi. Nel caso di una tecnologia descritta da una funzione Cobb Douglas tale combinazione è data dall uguaglianza tra il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica (MRTS) e il raorto tra i rezzi dei fattori di roduzione: K MRTS. L MRTS è dato dal raorto tra le roduttività marginali del caitale e del lavoro. Per il rimo imianto si avrà: PM K KL K L PM L MRTS PM PM K K KL L K L K L licando la condizione di ottimo K MRTS si avrà: L L K L K Che sostituito nella funzione di roduzione darà K K / L isocosto è: Iacoo Grassi - 004

58 C K L CPITOLO 4. TECNOLOGI E CONCORRENZ 57 Sostituendovi le relazioni aena trovate si ottiene la funzione di costo totale er il rimo imianto: / C Per definizione la funzione di costo medio (C) è ari alla funzione di costo totale diviso la uantità rodotta: C C La funzione di costo marginale (cmg) è ari alla derivata della funzione di costo totale risetto alla uantità rodotta: C cmg Se la tecnologia di un imresa è descritta da una funzione di tio Leontief, l imresa sceglierà la combinazione di inut osta sugli angoli di tale funzione. In uesto caso si avrà uindi: K L L isocosto, essendo immutati il rezzo del caitale e uello del lavoro, resta C K L Sostituendovi le relazioni aena trovate si ottiene la funzione di costo totale er il secondo imianto: C C cmg C C (esercizio: disegnate le funzioni di costo totale medio e marginale dei due imianti) Iacoo Grassi - 004