Tavole di Contingenza Connessione

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1 Tavole di Cotigeza Coessioe Ua tavola di cotigeza per due geerici feomei X e Y è ua rappresetazioe simbolica di ua tabella a doppia etrata y 1 y y j y k x j 1k 1 x 1 j k x i i1 i ik i x h h1 h hj hk h 1 j k

2 feomeo bidimesioale (X,Y) x 1,., x h modalità di X y 1,., y k modalità di Y Si vuole di fatto cotare quate volte ua particolare coppia di valori (x i,y j ) si preseta sugli idividui, tale umero è la frequeza cogiuta e viee idicata co il simbolo frequeze cogiute j, i frequeze margiali k = ; = i j j= 1 i= 1 = = = i j j i i j h Distribuzioe margiale di X (x i, i ) i k = j= 1 Somma per riga y 1 y y j y k x j 1k 1 x 1 j k x i i1 i ik i x h h1 h hj hk h 1 j k

3 Distribuzioe margiale di Y (y j, j ) j h = i= 1 Somma per coloa y 1 y y j y k x j 1k 1 x 1 j k x i i1 i ik i x h h1 h hj hk h 1 j k Distribuzioe cogiuta di (X,Y) (x i, y j ) co frequeza y 1 y y j y k x j 1k 1 x 1 j k x i i1 i ik i x h h1 h hj hk h 1 j k

4 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO FREQUENZE ASSOLUTE RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES ORU SAM SPO Totale complessivo f f f Frequeze relative y 1 y y j y k x 1 f 11 f 1 f 1j f 1k f 1 x f 1 f f j f k f x i f i1 f i f f ik f i x h f h1 f h f hj f hk f h f 1 f f j f k 1 = frequeze cogiute relative j j = frequeze relative margiali di Y i = frequeze relative margiali di X i

5 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO FREQUENZE RELATIVE RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES 10.64% 4.91% 3.96%.18% 1.69% ORU 10.78% 7.09% 5.73% 1.77% 5.38% SAM 8.73% 4.64% 4.09% 1.3% 18.69% SPO 9.96% 3.96% 0.05% 0.7% 34.4% Totale complessivo 40.11% 0.60% 33.83% 5.46% % Distribuzioi codizioate Distribuzioe codizioata di Y dato X=x i (Y X=x i ) y 1 y y j y k x i i1 i ik i Le frequeze codizioate relative di Y X si ottegoo dividedo ogi frequeza codizioata per il totale di riga

6 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO Il 49% degli studeti di IES ha preso BUONO FREQUENZE CONDIZIONATE DI RIGA RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES 49.06%.64% 18.4% 10.06% % ORU 4.47% 7.96%.58% 6.99% % SAM 46.7% 4.8% 1.90% 6.57% % SPO 9.08% 11.55% 58.57% 0.80% % Totale complessivo 40.11% 0.60% 33.83% 5.46% % Distribuzioi codizioate Distribuzioe codizioata di X dato Y=y j (X Y=y j ) y j x 1 x x i x h 1j j hj j Le frequeze codizioate relative di X Y si ottegoo dividedo ogi frequeza codizioata per il totale di coloa

7 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO IL 6% degli studeti che hao preso buoo soo di IES FREQUENZE CONDIZIONATE DI COLONNA RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES 6.53% 3.84% 11.69% 40.00% 1.69% ORU 6.87% 34.44% 16.94% 3.50% 5.38% SAM 1.77%.5% 1.10%.50% 18.69% SPO 4.83% 19.1% 59.7% 5.00% 34.4% Totale complessivo % % % % % QUANDO SI GUARDA A UNA TABELLA A DOPPIA ENTRATA,OLTRE AI FENOMENI UNIDIMENSIONALI MARGINALI INTERESSA SOPPRATTUTO SE E COME I DUE FENOMENI INTERAGISCONO TRA DI LORO ANALISI DELLE FREQUENZE CONGIUNTE E CONDIZIONATE

8 Idipedeza data ua tavola di cotigeza, le variabili X e Y si dirao idipedeti se la modalità co cui si preseta X o dà iformazioi sulla modalità co cui si preseta Y Coessioe Si parla di associazioe o coessioe tra due feomei qualitativi, ad idicare l esisteza di qualche legame ella maifestazioe cogiuta degli stessi feomei Idipedeza Se tutte le distribuzioi codizioate soo uguali (per riga e cotestualmete per coloa) allora il presetarsi di ua particolare modalità di u feomeo, o è ifluezato dal presetarsi dell altro. Se tutte le distribuzioi codizioate di X soo uguali, allora soo ecessariamete uguali alla distribuzioe margiale di X. Se tutte le distribuzioi codizioate di Y soo uguali, allora soo ecessariamete uguali alla distribuzioe margiale di Y.

9 I formule i due caratteri X e Y si dicoo idipedeti se per ogi i = 1,..., h j = 1,..., k i j = ; = j i cioè = i j Misura di Coessioe Deve assumere valore 0 i asseza di coessioe e valori via via cresceti all aumetare della dipedeza tra i due feomei i j = Frequete teoriche (se ci fosse idipedeza) Frequete reali (osservate)

10 Cotigeze Distaza tra frequeze osservate e frequeze teoriche c = χ χ Idice χ ( ) h k = i= 1 j = 1 = 0 = L idice è uguale a zero se e solo se tutte le cotigeze soo uguali a zero (essedo somma di addedi sempre positivi quadrati), cioè se tutte le frequeze osservate coicidoo esattamete co quelle teoriche, altrimeti assume valori positivi, tato più gradi tati più gradi soo le distaze. Idice χ Se il valore dell idice è positivo vuol dire che c è ua dipedeza, ma o siamo i grado di dire se è ua dipedeza forte o debole. χ NORMALIZAZIONE 0 χ χ max max = mi( h 1, k 1) ( ) h k h k 1 %χ = = mi( 1, 1) i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 i j χmax h k % 0 χ 1

11 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO FREQUENZE OSSERVATE RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES ORU SAM SPO Totale complessivo passo: calcolo delle frequeze teoriche i j = FREQUENZE TEORICHE RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete Totale complessivo IES ORU SAM SPO Totale complessivo ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO passo: calcolo cotigeze c = CONTINGENZE RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete IES ORU SAM SPO passo: cotigeze al quadrato / frequeze teoriche c c / RENDIMENTO CORSO LAUREA buoo discreto ottimo sufficiete IES ORU SAM SPO

12 ESEMPIO: CORSO DI LAUREA E RENDIMENTO 4 passo: somma di tutti i valori dell ultima tabella χ=σ c / Idice assoluto di coessioe: otteuto come somma di tutti i valori della tabella precedete. 5 passo: ormalizzazioe dell idice χ max 199 χ N max= mi[(h -1),(k -1)], el ostro caso =733, h =4, k =4. Il max è quidi dato da 7333 Il valore dell'idice ormalizzato è prossimo a 0. No c'è ua forte coessioe tra il corso di laurea e il redimeto Test d ipotesi per verificare l idipedeza X e Y soo feomei statistici rilevati cogiutamete h : umero di modalità di X k : umero di modalità di X H : X e Y soo idipedeti 0 H : X e Y soo associate 1 χ h k ( ) = i= 1 j= 1 H:χ 0 =0 H:χ 1 >0 g Si rifiuta H 0 se χ > χ 1 α dove g = ( h 1) ( k 1) Si rifiuta H 0 se