CAPITOLO X ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA I) A UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE E CONFRONTI TRA PIU MEDIE

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1 CAPITOLO X ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA I) A UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE E CONFRONTI TRA PIU MEDIE Anals della varanza ad un crtero d classfcazone o a camponamento completamente randomzzato Confronto tra anals della varanza con due trattament e test t d Student per campon ndpendent Test per l'omogenetà della varanza tra pù campon: test d Hartley, Cochran, Bartlett, Levene e Levene modfcato d Brown-Forsythe I confront a pror o panfcat tra pù mede Confront multpl a posteror o post hoc (UMCP) Il prncpo d Bonferron e l metodo d Dunn-Sdak La procedura LSD d Fsher e la modfca d Wner Il test HSD d Tukey e la procedura d Tukey-Kramer Il test d Student-Newman-Keuls o test SNK Il test d Scheffé con l estensone d Gabrel Il test d Dunnett Il test d Duncan Test multpl sequenzal d Holm e confronto con l test d Bonferron; cenn sul metodo d Shaffer Cenn su altr test Dbattto sul test post-hoc mglore Confront post-hoc tra varanze Stma della dmensone n d k grupp camponar per l ANOVA Confronto tra mede con ANOVA, da dat aggregat d k campon 18

2 C A P I T O L O X ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA I) A UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE E CONFRONTI TRA PIU MEDIE Nella rcerca spermentale è frequente l confronto smultaneo tra le mede d pù d due grupp, format da soggett sottopost a trattament dfferent o con dat raccolt n condzon dverse. Al fne d evdenzare tutte le possbl dfferenze sgnfcatve tra le mede, non è corretto rcorrere al test t d Student per rpetere l'anals tante volte, quant sono possbl confront a coppe tra sngol grupp. Con l metodo del t d Student, s utlzza solo una parte de dat e la probabltà α prescelta per l'accettazone dell'potes nulla, la probabltà d commettere un errore d prmo tpo (rfutare l potes nulla quando n realtà è vera), - è valda solamente per ogn sngolo confronto. Se confront sono numeros, la probabltà complessva che almeno uno d ess s dmostr sgnfcatvo solo per effetto del caso è maggore. Se è vera l potes nulla H 0, la probabltà che nessun confronto rsult casualmente sgnfcatvo è (1-α) n dove n è l numero d confront effettuat. Per esempo, se s effettuano 10 confront tra le mede d grupp estratt a caso dalla stessa popolazone e per ognuno d ess α è uguale a 0.05, la probabltà che nessun confronto rsult casualmente sgnfcatvo dmnusce a crca 0.60 (corrspondente a 0,95 10 ). D conseguenza, la probabltà complessva che almeno uno rsult sgnfcatvo solo per effetto d fluttuazon casual dventa Espresso n termn pù formal, effettuando k confront con l test t d Student ognuno alla probabltà α, la probabltà complessva α d commettere almeno un errore d I tpo (che l test rfut l potes nulla quando n realtà essa è vera) dventa α = 1 - (1 -α) k Nell anals della varanza, con apparente paradosso de termn, l confronto è tra due o pù mede. Essa permette l confronto smultaneo tra esse, mantenendo nvarata la probabltà α complessva prefssata. 1

3 L'potes nulla H 0 e l'potes alternatva H 1 assumono una formulazone pù generale, rspetto al confronto tra due mede: H 0 : µ 1 = µ = = µ k H 1 : le µ non sono tutte ugual (oppure almeno una µ è dversa dalle altre; oppure almeno due µ sono tra loro dfferent) La metodologa svluppata per verfcare la sgnfcatvtà delle dfferenze tra le mede artmetche d var grupp, chamata anals della varanza e ndcata con ANOVA dall acronmo dell'nglese ANalyss Of VArance, utlzza la dstrbuzone F. E fondata sul rapporto tra varanze, denomnato test F n onore d Sr Ronald Aylmer Fsher ( ), gudcato l pù emnente statstco contemporaneo e rtenuto l padre della statstca moderna. Nel 195 Fsher, al quale tra gl argoment gà affrontat s devono la defnzone de grad d lbertà, gl ndc d smmetra e curtos, l metodo esatto per tabelle x, completò l metodo d Student per l confronto tra due mede (ved l artcolo Applcatons of Student s dstrbuton pubblcato da Metron vol. 5, pp ). La sua proposta del 195 (ved l volume Statstcal Methods for Research Workers, 1 st ed. Olver and Boyd, Ednburgh, Scotlnd, pp tables) permette d scomporre e msurare l'ncdenza delle dverse font d varazone su valor osservat d due o pù grupp. E' la metodologa che sta alla base della statstca moderna; da essa progressvamente sono dervate le anals pù complesse, con le qual s consderano contemporaneamente molt fattor sa ndpendent che correlat. L evoluzone d quest concett è descrtta anche nella lunga sere del testo d Fsher, fno alla tredcesma edzone del 1958 (Statstcal Methods for Research Workers. 13 th ed. Hafner, New York, pp. 356). La metodologa attuale dell anals della varanza tuttava è dovuta a George W. Snedecor (statstco amercano, ) che con l suo breve testo del 1934 (Calculaton and Interpretaton of Analyss of Varance and Covarance. Collegate Press, Ames, Iowa, pp. 96) ne perfezonò l metodo e ne semplfcò la forma rspetto alla proposta orgnale d Fsher. A Snedecor, nseme con W. G. Cochran, è dovuto un altro testo d Statstca che dal 1934 all ultma edzone del 1980 (ved Statstcal Methods 7 th ed. Iowa State Unversty Press, Ames, Iowa, pp. 507) per 50 ann è stato un punto d rfermento fondamentale per tutt gl statstc. La dstrbuzone F è rcordata anche come dstrbuzone d Fsher-Snedecor. La grande rvoluzone ntrodotta dall anals della varanza rspetto al test t consste nel dfferente approcco alla programmazone dell espermento. L approcco del test t rsente del veccho assoma che la natura rsponde solo a domande semplc. Per organzzare un espermento,

4 l materale con l quale formare grupp a confronto doveva essere l pù omogeneo possble. Per esempo, per confrontare l effetto d due tossc su un gruppo d cave, gl anmal dovevano essere dello stesso sesso, della stessa età, della stessa dmensone, ecc., se s rteneva che sesso, età, peso e qualunque altro carattere noto ncdessero sulla rsposta dell espermento. La dfferenza tra due grupp poteva rsultare pù faclmente sgnfcatva, n quanto l errore standard rsultava ndubbamente mnore; ma le concluson erano ovvamente lmtate al gruppo d anmal con le caratterstche prescelte, senza possbltà d estenderle a cave con caratterstche dfferent. Per rendere pù general le concluson, non rmaneva che rpetere l espermento, varando un carattere alla volta. Era rchesto un forte aumento della quanttà d materale ed un allungamento de temp necessar all espermento; alla fne, con tante sngole rsposte, rmaneva complesso trarre concluson general. La grande novtà ntrodotta dall anals della varanza, come verrà evdenzato progressvamente con anals sempre pù complesse che consderano contemporaneamente un numero sempre pù elevato d fattor e le loro nterazon, è la scoperta de vantagg offert all anals dall uso d materale molto dversfcato. Conoscendo le cause ed dvers fattor, è possble attrbure ad ognuno d ess l suo effetto e rdurre la varabltà d errore. Le dfferenze tra le mede de grupp dventano molto pù faclmente sgnfcatve e le concluson possono essere mmedatamente estese alle vare stuazon. Dall ntroduzone dell anals della varanza, nella programmazone e realzzazone d un espermento è vantaggoso usare materale non omogeneo per tutt caratter. Nell'anals della varanza, la fonte o causa delle varazon de dat vene chamata fattore spermentale o trattamento; essa può essere - a pù lvell quanttatv, come le dos crescent dello stesso farmaco, oppure - a dverse modaltà qualtatve, come la sommnstrazone d farmac dfferent. Ogn untà od osservazone del gruppo spermentale vene chamata replcazone o replca; per permettere d calcolare la meda e la varanza, ovvamente ogn gruppo deve essere formato da almeno due replche 3

5 10.1. ANALISI DELLA VARIANZA AD UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE O A CAMPIONAMENTO COMPLETAMENTE RANDOMIZZATO Il modello pù semplce d anals della varanza, che può essere vsto come un estensone del test t d Student a pù campon ndpendent, è detto ad un crtero d classfcazone: ogn dato è classfcato solo sulla base del trattamento o del gruppo al quale appartene. E' chamato anche modello completamente randomzzato n quanto, soprattutto per anals d laboratoro, prevede un camponamento n cu gl n ndvdu omogene sono assegnat casualmente a var lvell del fattore. Quando s dspone d un gruppo d soggett (ad esempo, cave) da sottoporre a dvers trattament per confrontarne gl effett, l'attrbuzone d ogn ndvduo ad uno specfco trattamento deve avvenre per estrazone casuale da tutto l gruppo. La metodologa d presentazone delle osservazon, orma codfcata, prevede che dat spermental raccolt sano rportat n modo ordnato secondo la tabella sottostante. Per l'anals statstca, n questo modello non è rchesto che var grupp abbano lo stesso numero (n ) d osservazon o d replche. MODALITA' O LIVELLI DEI TRATTAMENTI T 1 T T 3... T p UNITÀ' X 11 X 1 X X 1p SPERIMENTALI X 1 X X 3... X p O X 31 X 3 X X 3p REPLICAZIONI X n1 1 X n X n X npp Mede de trattament X.1 X. X.3... X. p Meda generale X La sngola osservazone X j vene rportata con ndc, relatv uno al trattamento o gruppo e l altro alla poszone occupata entro l gruppo. 4

6 La meda d ogn gruppo o sngolo trattamento X è rportata soprassegnata da un tratto e con l ndce relatvo al gruppo. La meda generale X d tutt dat è ndcata con un duplce tratto e senza ndc. A partre da queste tre quanttà, s stmano le devanze e le varanze utl all anals. L'anals della varanza è fondata sugl effett addtv de var fattor consderat. Nel modello pù semplce, che consdera un solo fattore a due o pù lvell, ogn sngola osservazone X può essere j scrtta come X j = µ + α + εj n quanto determnata - dalla meda generale µ, che defnsce la dmensone dell espermento, - dal fattore α del trattamento e - da un fattore casuale ε j, detto resduo od errore spermentale. (E mportante rcordare che errore non è snonmo d sbaglo, ma ndca l effetto d uno o pù fattor sconoscut, comunque non valutat o non controllat nell'espermento). Ad esempo, con tre grupp d persone (A, B, C) alle qual è stata msurata la quanttà d una sostanza nel sangue n mg con seguent rsultat A B C,4 3,,1,7,9,7,7 3,5,7, Meda,6 3,,5 dat devono essere lett come se fossero scrtt nel seguente modo A B C,6-0, 3, + 0,5-0,4,6 + 0,1 3, - 0,3,5 + 0,,6 + 0,1 3, + 0,3,5 + 0,, Meda,6 3,,5 5

7 La rappresentazone grafca de valor osservat llustra con charezza ancora maggore l concetto. 4 3,5 3, GRUPPI Nella fgura, - la rga centrale contnua è la meda generale, - le tre lnee tratteggate (pù brev) sono le mede de tre grupp, - punt sono le sngole osservazon. I punt rportat appaono meno numeros de dat, perché alcun valor sono ugual qund punt sono sovrappost. A causa del programma, grupp A, B, C nel grafco sono ndcat rspettvamente, con 1, e 3. In tale modello, l'effetto α del trattamento a sua volta è msurato come α = µ - µ dove - µ è la meda del trattamento e µ la meda generale. Passando dall enuncazone teorca a dat spermental, s può scrvere che ogn sngolo dato Xj d uno specfco trattamento è determnato Xj = X + ( X - X ) +ε j - dalla meda generale X, - dall effetto del trattamento ( X - X ) e - da altr fattor non not, smboleggat da ε j. 6

8 Prma dell applcazone d questo test parametrco, occorre verfcare se ne esstono le condzon. Le assunzon d valdtà del test F dpendono dagl error ε j, che - devono essere tra loro ndpendent, - devono essere dstrbut normalmente; noltre - le varanze de var grupp devono essere omogenee. L ndpendenza degl error comporta che la varazone casuale d ogn osservazone non sa nfluenzata da quella d un'altra: l errore d una replca, l suo scarto rspetto alla meda del gruppo d appartenenza, non deve essere nfluenzato né dal segno (quando s possono avere valor sa negatv che postv) né dalle dmenson del suo valore. A questo fne, la randomzzazone deve essere fondata su element obettv (effetto random) e non lascata all arbtro o all ntuto dello spermentatore; ogn dato deve avere la stessa possbltà d essere nfluenzato da fattor not (effetto trattamento) e da quell gnot (effetto ambente statstco). L attrbuzone (che sarà dscussa nel captolo sul camponamento) deve avvenre con modaltà ndpendent dal rcercatore. Gl error devono essere dstrbut normalmente ntorno alla meda. Prma dell applcazone del test deve essere attuato l controllo dell asmmetra e della curtos della dstrbuzone, per verfcare che non s dscost eccessvamente dalla normale. Quando lo scostamento è sgnfcatvo, sovente è possble rcostrure le condzon d valdtà attraverso la trasformazone de dat (che saranno presentate successvamente). L omogenetà della varanza, per cu dvers grupp de qual s confrontano le rspettve mede devono avere tutt la stessa varanza vera (σ ), è ndspensable per non determnare perdte nell nformazone sull effetto de trattament. Anche n questo caso, può essere necessaro rcorrere alla trasformazone de dat. Dopo l anals de dat per la verfca delle condzon d valdtà, la metodologa dell'anals della varanza prevede l calcolo delle seguent quanttà: - la devanza totale, con suo gdl; - la devanza tra trattament o between, con suo gdl e la varanza relatva; - la devanza entro trattament o wthn od errore, con suo gdl e la varanza relatva. 7

9 A fn d una verfca de rsultat e delle successve loro elaborazon, è utle rcordare che la somma della devanza tra trattament e d quella entro trattament è uguale alla devanza totale; dentca propretà addtva hanno rspettv grad d lbertà. Devanze, gdl e varanze d un anals della varanza abtualmente vengono presentate come nella tabella seguente: Devanza Totale Devanza tra trattament Devanza entro trattament gdl = n-1 (n = num. dat) gdl = p-1 (p = num. grupp) Gdl = n-p Varanza tra s tra Varanza entro s entro (molt test rportano la devanza totale e suo gdl alla fne, n quanto somma de precedent) La devanza totale o SQ totale (Somma de Quadrat degl scart, n nglese SS da Sum of Squares) è calcolato da SQ = (X - X) = X - totale p n j j=1 =1 j p n j j=1 =1 j p n j ( X ) j=1 =1 n j La prma è chamata formula eurstca, n quanto defnsce l sgnfcato della devanza totale: la somma del quadrato degl scart d ogn valore dalla meda generale. La seconda è la formula abbrevata, matematcamente equvalente alla prma, che rende pù semplc e rapd calcol necessar. Con essa, la devanza totale è ottenuta come dfferenza tra la somma de quadrat d tutt dat e l quadrato della somma d tutt dat dvso l numero d dat. La seconda formula ha l vantaggo d rchedere meno operazon e d non utlzzare la meda, che spesso è un valore approssmato; n queste condzon, consente un calcolo pù precso della formula eurstca. 8

10 La devanza tra trattament ( SQ tra ) o between n p p X = 1 SQ tra = n(x j - X) = - n j=1 j=1 p n j ( X ) j=1 =1 n j è per defnzone (formula eurstca ) la somma de quadrat degl scart d ogn meda d gruppo dalla meda generale, moltplcato l numero d dat del gruppo relatvo. La formula abbrevata utlzza le somme de grupp e la somma totale, determnando una maggore precsone ne rsultat. La devanza entro trattament (SQ entro ) o wthn, detta anche errore p n j SQ = (X - X ) = SQ - SQ entro j j j=1 =1 totale tra è la somma degl scart al quadrato d ogn valore dalla meda del suo gruppo. Per la propretà addtva delle devanze, può essere ottenuta sottraendo alla devanza totale la devanza tra trattament. I grad d lbertà sono determnat dal numero d somme rcheste dal calcolo delle devanze relatve, nella formula eurstca. - Per la devanza totale, dove la sommatora è estesa a tutt gl n dat, gdl sono n-1. - Per la devanza tra trattament, dove la sommatora è estesa a p grupp, gdl sono p-1. - Per la devanza entro od errore, la sommatora è estesa a tutt dat entro ogn gruppo. Per calcolare gdl occorre qund sottrarre 1 a dat d ogn gruppo e qund è determnata da n-p. Per la propretà addtva de gdl, può essere scrtta anche come (n-1) - (p-1), semplfcato n n-p. Dvdendo la devanza tra trattament e quella entro trattament per rspettv grad d lbertà, s ottengono la varanza tra e la varanza entro (la varanza totale è prva d nteresse a fn d questo test). La varanza fra grupp msura le dfferenze esstent tra un gruppo e l'altro, anche se l calcolo vene attuato rspetto alla meda generale. La varanza entro grupp msura la varabltà esstente attorno alla meda artmetca d ogn gruppo. 9

11 Se è vera l'potes nulla, dat de var grupp sono estratt casualmente dalla stessa popolazone. La varanza tra le mede de trattament e la varanza entro ogn gruppo dpendono dalla varabltà esstente tra dat: varanza fra (s F) e varanza entro (s e) sono due stme ndpendent della stessa varanza vera σ e qund dovrebbero avere statstcamente lo stesso valore. Come ndce dell'uguaglanza tra le due varanze, vene utlzzato l test F d Fsher, fondato sul rapporto ndcato con la smbologa varanza-tra / varanza-entro F (p-1, n-p) = s s F e Se è vera l'potes nulla H 0 H0: µ 1 = µ = µ 3 =...= µ k l rapporto dovrebbe rsultare uguale ad 1. Se è vera l'potes alternatva H 1 H : le 1 µ non sono tutte ugual l rapporto dovrebbe rsultare superore a 1. Il test e la tabella relatva sono unlateral, appunto perché l valore deve essere maggore d 1. Con un numero nfnto d trattament e d replche, è suffcente un rapporto superore a 1 per rfutare l'potes nulla (come mostra la tabella de valor crtc d F); con un numero rdotto d dat, l rapporto può essere superore a 1, per effetto delle varazon casual. I valor crtc per rspettv grad d lbertà sono fornt dalla dstrbuzone F. - Se l valore d F calcolato è superore a quello tabulato, alla probabltà α prefssata, s rfuta l'potes nulla e s accetta l'potes alternatva: almeno una meda è dversa dalle altre. - Se l valore F calcolato è nferore a quello rportato nella tabella, s accetta l'potes nulla, o almeno non può essere rfutato che le mede sono tutte ugual. 10

12 Valor crtc della dstrbuzone F d Fsher-Snedecor I grad d lbertà del numeratore (o varanza maggore) sono rportat n orzzontale (prma rga) I grad d lbertà del denomnatore (o varanza mnore) sono rportat n vertcale (prma colonna) α = 0.05 NUMERATORE DEN ,4 199,5 15,7 4,6 30, 34,0 36,8 38,9 43,9 49,1 54,3 18,51 19,00 19,16 19,5 19,30 19,33 19,35 19,37 19,41 19,45 19, ,13 9,55 9,8 9,1 9,01 8,94 8,89 8,85 8,74 8,64 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,6 6,16 6,09 6,04 5,91 5,77 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,8 4,68 4,53 4,36 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,8 4,1 4,15 4,00 3,84 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,1 3,97 3,87 3,79 3,73 3,57 3,41 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,8 3,1,93 9 5,1 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,07,90, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3, 3,14 3,07,91,74,54 1 4,75 3,89 3,49 3,6 3,11 3,00,91,85,69,51, ,60 3,74 3,34 3,11,96,85,76,70,53,35, ,49 3,63 3,4 3,01,85,74,66,59,4,4, ,41 3,55 3,16,93,77,66,58,51,34,15 1,9 0 4,35 3,49 3,10,87,71,60,51,45,8,08 1, ,17 3,3,9,69,53,4,33,7,09 1,89 1,6 40 4,08 3,3,84,61,45,34,5,18,00 1,79 1, ,00 3,15,76,53,37,5,17,10 1,9 1,70 1, ,9 3,07,68,45,9,17,09,0 1,83 1,61 1,5 3,84 3,00,60,37,1,10,01 1,94 1,75 1,5 1,00 11

13 Valor crtc della dstrbuzone F d Fsher-Snedecor I grad d lbertà del numeratore (o varanza maggore) sono rportat n orzzontale (prma rga) I grad d lbertà del denomnatore (o varanza mnore) sono rportat n vertcale (prma colonna) α = 0.05 NUMERATORE DEN ,8 799,5 864, 899,6 91,8 937,1 948, 956,7 976, ,51 39,00 39,17 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,41 39,46 39, ,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,6 14,54 14,34 14,1 13,90 4 1, 10,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,75 8,51 8,6 5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,5 6,8 6,0 6 8,81 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,37 5,1 4,85 7 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5,1 4,99 4,90 4,67 4,4 4,14 8 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,0 3,95 3,67 9 7,1 5,71 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,10 3,87 3,61 3, ,94 5,46 4,83 4,46 4,4 4,06 3,95 3,85 3,6 3,37 3,08 1 6,55 5,10 4,47 4,1 3,89 3,73 3,61 3,51 3,8 3,0,7 14 6,30 4,86 4,4 3,89 3,66 3,50 3,38 3,9 3,05,79, ,1 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3, 3,1,89,63,3 18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3, 3,10 3,01,77,50,19 0 5,87 4,46 3,86 3,51 3,9 3,13 3,01,91,68,41, ,57 4,18 3,59 3,5 3,03,87,75,65,41,14 1, ,4 4,05 3,46 3,13,90,74,6,53,9,01 1, ,9 3,93 3, ,79,63,51,41,17 1,88 1, ,15 3,80 3,3,89,67,5,39,30,05 1,76 1,31 5,0 3,69 3,1,79,57,41,9,19 1,94 1,64 1,00 1

14 Valor crtc della dstrbuzone F d Fsher-Snedecor I grad d lbertà del numeratore (o varanza maggore) sono rportat n orzzontale (prma rga) I grad d lbertà del denomnatore (o varanza mnore) sono rportat n vertcale (prma colonna) α = 0.01 NUMERATORE DEN ,50 99,00 99,17 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,41 99,46 99, ,1 30,8 9,46 8,71 8,4 7,91 7,67 7,49 7,05 6,60 6,13 4 1,0 18,00 16,69 15,98 15,5 15,1 14,98 14,80 14,37 13,93 13, ,6 13,7 1,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,9 9,89 9,47 9,0 6 13,75 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,6 8,10 7,7 7,31 6,88 7 1,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,47 6,07 5, ,6 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,67 5,8 4, ,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,61 5,47 5,11 4,73 4, ,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,71 4,33 3,91 1 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,8 4,64 4,50 4,16 3,78 3, ,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,14 3,80 3,43 3, ,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,55 3,18, ,9 6,01 5,09 4,58 4,5 4,01 3,84 3,71 3,37 3,00,57 0 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,3,86,4 30 7,56 5,39 4,51 4,0 3,70 3,47 3,30 3,17,84,47, ,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,9 3,1,99,66,9 1, ,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,1,95,8,50,1 1, ,85 4,79 3,95 3,48 3,17,96,79,66,34 1,95 1,38 6,63 4,61 3,78 3,3 3,0,80,64,51,18 1,79 1,00 13

15 Valor crtc della dstrbuzone F d Fsher-Snedecor I grad d lbertà del numeratore (o varanza maggore) sono rportat n orzzontale (prma rga) I grad d lbertà del denomnatore (o varanza mnore) sono rportat n vertcale (prma colonna) α = NUMERATORE DEN ,5 199,0 199, 199, 199,3 199,3 199,4 199,4 199,4 199,5 199,5 3 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,39 4,6 41, ,33 6,8 4,6 3,15,46 1,97 1,6 1,35 0,70 0,03 19,3 5,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,0 13,96 13,38 1,78 1, ,63 14,54 1,9 1,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,03 9,47 8, ,4 1,40 10,88 10,05 9,5 9,16 8,89 8,68 8,18 7,65 7, ,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,01 6,50 5, ,61 10,11 8,7 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,3 5,73 5, ,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,1 5,66 5,17 4, ,75 8,51 7,3 6,5 6,07 5,76 5,5 5,35 4,91 4,43 3, ,06 7,9 6,68 6,00 5,56 5,6 5,03 4,86 4,43 3,96 3, ,58 7,51 6,30 5,64 5,1 4,91 4,69 4,5 4,10 3,64 3, , 7,1 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,8 3,86 3,40,87 0 9,94 6,99 5,8 5,17 4,76 4,47 4,6 4,009 3,68 3,, ,18 6,35 5,4 4,6 4,3 3,95 3,74 3,58 3,18,73, ,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35,95,50 1, ,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,9 3,13,74,9 1, ,18 5,54 4,50 3,9 3,55 3,8 3,09,93,54,09 1,43 7,88 5,30 4,8 3,7 3,35 3,09,90,74,36 1,90 1,00 14

16 ESEMPIO. Per un controllo della qualtà dell'ara, con rlevazon n tre dverse zone d una cttà (denomnate A, B e C) è stata msurata anche la quanttà d ferro (n mcrogramm/nmc a 0 C e 1013 mbar) tra metall pesant n sospensone. FATTORE SPERIMENTALE A B C,71 1,75,,06,19,38,84,09,56,97,75,60,55 ---,7, Esste una dfferenza sgnfcatva tra le tre zone, per la quanttà d ferro n sospensone? Rsposta. L potes nulla H 0 è che tra le mede de tre campon non esstano dfferenze sgnfcatve H 0 : µ A = µ B = µ C mentre l potes alternatva H 1 H 1 : le µ non sono tutte ugual. Attraverso l test F è possble stmare la probabltà d trovare per caso tra le mede scart ugual o superor a quell spermentalmente osservat, nell potes che H 0 sa vera. Come prmo passo, dalle tre sere d dat occorre calcolare - l totale d ogn colonna X j - l numero d osservazon n j - la meda d ogn colonna X j Successvamente, da ess è necessaro stmare - la somma totale X - l numero totale d osservazon n - la meda totale o generale X come rportato nella tabella successva: 15

17 A B C X j 15,91 8,78 1,48 X 37,17 n j N 15 X j,65,195,496 X,478 A partre da queste quanttà, s calcolano le devanze ed grad d lbertà rspettv. La devanza totale può essere calcolata dalla somma del quadrato degl scart d ognuna delle 15 osservazon rspetto alla meda totale, n accordo con la formula eurstca SQ = (X - X) totale p n j j=1 =1 j A B C (,71 -,478) (1,75 -,478) (,,478) (,06,478) (,19 -,478) (,38,478) (,84,478) (,09 -,478) (,56,478) (,97 -,478) (,75 -,478) (,60,478) (,55 -,478) --- (,7,478) (,78 -,478) Svolgendo calcol e sommando rsultat A B C 0, , , , , , , , , ,4064 0, , , , , , , , Devanza totale = 0, , , = 1, s ottene una devanza totale uguale a 1, con 14 gdl. 16

18 Questo metodo d procedere al calcolo della devanza totale è lungo e determna stme non precse, quando la meda generale è approssmata. Pertanto, per l calcolo manuale è sempre convenente utlzzare la formula abbrevata che, applcata a dat dell esempo, SQtotale = X - p n j j=1 =1 j p n j ( X ) j=1 =1 n j A B C 7,3441 3,065 4,984 4,436 4,7961 5,6644 8,0656 4,3681 6,5536 8,809 7,565 6,7600 6, ,3984 7, X 4, ,789 31, ,7991 dalle due dverse somme stma la Devanza totale =, - (, ) = 1, devanza totale che rsulta uguale a 1, La corrspondenza tra le due stme è una dmostrazone elementare ed ntutva dell equvalenza matematca delle due formule (la dfferenza tra 1, e 1,69184 è dovuta agl arrotondament). La devanza tra trattament o between msura la varabltà esstente tra la meda artmetca d ogn gruppo e la meda artmetca generale, ponderata per l numero d osservazon present n cascun gruppo. Se non esstesse la varabltà casuale ed l valore delle sngole osservazon fosse determnato solamente dal fattore specfco che le raggruppa, le replche d ogn trattamento dovrebbero avere tutte lo stesso valore ed essere ugual alla meda del gruppo, come evdenza la formula eurstca p SQ = n (X - X) tra j j=1 La devanza tra trattament o between è la somma degl scart d ogn meda d gruppo rspetto alla meda generale, ponderata per l numero d replche. Pertanto con la formula eurstca l calcolo dventa: Devanza = 6 (,65 -,478) + 4 (,195-,478) + 5 (,496 -,478) = tra 17

19 = 6 0, , ,00034 = = 0, , , 0016 = 0, e rsulta uguale a 0,50363 con grad d lbertà. Anche n questo caso la formula abbrevata n p X = 1 SQ tra = - n j=1 p n j ( X ) j=1 =1 è pù rapda e precsa, non rchedendo le approssmazone determnate dalle mede; n j SQ = (15,91) tra 6 + (8,78) 4 + (1,48) 5 - (37,17) 15 = 9, ,1076 = 0,50936 essa rsulta uguale a 0, Anche n questo caso le dfferenze sono mnme (0,50363 e 0,50936), mputabl all uso d un numero dverso d cfre decmal e alle dfferent approssmazon. (D solto sono suffcent calcol con due o tre cfre decmal; l numero pù elevato qu utlzzato è motvato dalla necesstà contngente d confrontare rsultat de due metod). La devanza entro trattament, wthn od errore p SQ = (X - X ) n j entro j j j=1 =1 msura la varazone tra l valore d cascuna replca e la meda artmetca del suo gruppo. Sommando queste dfferenze elevate al quadrato per ogn gruppo A B C (,71-,65) (1,75-,195) (, -, 496) (,06 -,65) (,19 -,195) (,38-,496) (,84 -,65) (,09 -,195) (,56 -, 496) (,97-,65) (,75-,195) (,60 -, 496) (,55-,65) --- (,7 -,496) (,78-,65) e svluppando calcol s ottene 18

20 A B C 0, , , , , , , , , , , , , , , Devanza entro 0, , ,15470 Devanza = 0, , ,15470 = 1, entro la devanza entro, che rsulta uguale a 1, con 1 gdl. La devanza entro od errore può essere ottenuta molto pù rapdamente per sottrazone della devanza tra dalla devanza totale, precedentemente calcolate: Devanzaentro = Devanzatotale Devanzatra = 1, , = 1, Nello stesso modo, per la propretà addtva, s possono calcolare gdl: gdl entro = gdl totale - gdl tra = 14 - = 1 Per una presentazone chara e sntetca, normalmente valor calcolat sono rassunt n una tabella che rporta le tre devanze, rspettv grad d lbertà e le varanze utl al test: DEVIANZA GDL VARIANZA Totale 1, Tra trattament (between) 0, ,51468 Entro trattament (wthn) 1, , Dvdendo la devanza tra e la devanza entro per rspettv grad d lbertà, s ottengono la varanza tra e la varanza entro. 19

21 Dvdendo la varanza tra per la varanza entro, s calcola l rapporto F, che deve essere rportato con rspettv grad d lbertà F (,1) F = 0, , =,538 (,1) Il valore crtco d F con gdl per l numeratore e 1 per l denomnatore che è rportato nella tabella per la probabltà α = 0.05 è 3,89. Il valore calcolato (,538) è nferore a quello tabulato (3,89): la probabltà che l'potes nulla sa vera è superore al 5%. D conseguenza, s accetta l'potes nulla: tre campon sono stat estratt dalla stessa popolazone; non esste una dfferenza sgnfcatva tra le 3 mede camponare CONFRONTO TRA L ANALISI DELLA VARIANZA CON DUE TRATTAMENTI E IL TEST t DI STUDENT PER CAMPIONI INDIPENDENTI. L'anals della varanza può essere applcata anche a sol trattament; per questo caso, è gà stata presentata la metodologa del test t d Student. In realtà, test t e test F sono due mod solo apparentemente dfferent per fare la stessa anals: l test t può essere vsto come un caso specale d anals della varanza, applcata solo a due grupp; meglo ancora, l anals della varanza è l estensone a pù grupp e a pù fattor del test t d Student. Nel caso d un solo fattore con due grupp, tra t ed F esste una relazone matematca precsa: che ovvamente può anche essere scrtta come dove ν è l numero d grad d lbertà. F = t (1, ν) ( ν) t (ν) = F (, ) 1 ν Il valore d F con grad d lbertà 1 al numeratore e ν al denomnatore è uguale al quadrato d t con ν grad d lbertà. Le due dstrbuzon de valor crtc per la stessa probabltà α sono equvalent, come è possble evdenzare dal semplce confronto tra le tabelle de valor crtc. ESEMPIO. Due grupp d 10 uova d Daphna magna, estratte casualmente dallo stesso clone, sono state allevate n due vasche con dverse concentrazon d cromo, per verfcare se ncdono sgnfcatvamente sulla crescta. Dopo un mese sono stat msurat gl ndvdu sopravvssut: 7 nel gruppo A e 8 nel gruppo B, con le dmenson rportate: 0

22 A,7,8,9,5,6,7,8 --- B,,1,,3,1,,3,6 La rappresentazone grafca evdenza le caratterstche delle due sere d osservazon 3,8,6,4, GRUPPI (Alcun valor sono dentc e qund punt sembrano meno numeros de dat perché sovrappost. A causa del programma, grupp A e B nel grafco sono ndcat rspettvamente con 1 e ). Rsposta. L potes nulla è e l potes alternatva H 1 blaterale è H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B Prma d procedere sa al test t che al test F, s deve verfcare se le due varanze sono omogenee. Qund è prelmnare al confronto tra le due mede l confronto tra le varanze, per saggare l potes nulla con l potes alternatva blaterale H 0 : σ A = σ B H 1 : σ A σ B 1

23 A questo scopo s calcolano le devanze ed loro grad d lbertà, per stmare le varanze rspettve A B Devanza 0, ,18000 Gdl 6 7 Varanza s 0, ,0571 ed nfne l rapporto F tra - varanza maggore (al numeratore) e - varanza mnore (al denomnatore). F (, ) = 76 0, 0571 = 14, 0, Nella tabella de valor crtc, con 7 grad d lbertà per la varanza maggore e 6 per la varanza mnore, l valore crtco alla probabltà α = 0.05 è uguale a 4,1. Il valore calcolato (1,4) è nferore: d conseguenza, s accetta l'potes nulla che le due varanze sano omogenee. A questo punto, è corretto procedere al confronto tra le due mede. Per l test t d Student per campon ndpendent, s calcolano le due mede: meda del gruppo A =,714 meda del gruppo B =,50 e la varanza medata s p =, +, s p = 0, 0173 Da esse s stma l valore d t con gdl 13,714,50 13 = = t 1 1 0, ,0

24 che rsulta uguale a 6,0. Per l'anals della varanza ad un crtero d classfcazone, s devono calcolare la devanza totale, quella tra trattament e quella entro trattament, con rspettv grad d lbertà. E possble una verfca de calcol effettuat, medante la propretà addtva delle devanze: Devanza totale = Devanza tra + Devanza entro Devanza Gdl Varanza Totale 1, Tra 0, , Entro 0, ,0198 S calcolano la varanza tra e la varanza entro e da esse s stma F con gdl 1 e 13 F (,13) = 1 08, = 36,5 0, 0198 che rsulta uguale a 36,5. E semplce verfcare che - le due rsposte concdono: t (13) = F (1,13) ; (6,0) = 36,5 a meno delle approssmazon determnate dal numero d decmal. Sulle tabelle de valor crtc del test t d Student e del test F d Fsher s controlla la probabltà, che per entrambe rsulta ovvamente uguale e nettamente nferore a Con entramb test s rfuta l potes nulla alla stessa probabltà. 3

25 10.3. TEST PER L'OMOGENEITA' DELLA VARIANZA TRA PIU CAMPIONI: TEST DI HARTLEY, COCHRAN, BARTLETT, LEVENE E LEVENE MODIFICATO DI BROWN-FORSYTHE Il confronto tra mede con l'anals della varanza rchede che dvers grupp abbano varanze ugual. Allontanars sensblmente da questa condzone d valdtà nfluenza gravemente la varanza d errore, qund la sgnfcatvtà del test. S utlzzerebbe una varanza d'errore meda s, come stma della varanza vera σ, che rsulterebbe troppo grande per alcun trattament e troppo pccola per altr. Oltre alla verfca delle condzon d valdtà per l confronto tra mede, spesso s ha anche un nteresse esplcto a un confronto tra le varanze. Per esempo, - grupp d anmal o pante genetcamente dentc dovrebbero avere varanze sgnfcatvamente mnor d grupp genetcamente eterogene; - grupp d anmal oppure d vegetal crescut n condzon ambental molto dfferent dovrebbero avere una varanza maggore d grupp allevat n condzon sml; - nelle anals d laboratoro, uno strumento d msura pù precso od un reagente d qualtà superore dovrebbero fornre varanze mnor rspetto a strument e reagent d bassa qualtà, n esperment rpetut nelle stesse condzon. L'potes d omoscedastctà, chamata n alcun test n talano anche omoscedaltà oppure omogenetà delle varanze, nel caso d pù grupp rchede la verfca dell'potes nulla contro l'potes alternatva H 0 : σ1 = σ = σ3 =...= σ p H : non tutte le σ sono ugual 1 I termn sono dervat drettamente da homoscedastcty usato come snonmo d omogenetà delle varanze e heteroscedastcty snonmo d eterogenetà delle varanze, ntrodotte da Karl Pearson nel I metod propost sono numeros; tra pù dffus, d norma utlzzat anche ne programm nformatc standard per calcolator, sono da rcordare A - l test F max d Hartley, B - l test della varanza massma o della varanza mnma d Cochran, C - l test d Bartlett, D l test d Levene. 4

26 A) Il procedmento F max d Hartley è quello pù semplce e rapdo, come generalzzazone del test per due campon ndpendent. Le dffcoltà alla sua utlzzazone dervano solo dalla scarsa reperbltà d test ad ampa dffusone che rportno la tabella de valor crtc. Questa tabella (rportata nella pagna successva) non è da confondere con quella d Fsher-Snedecor, presente n tutt test. Esse concdono solo nel caso d due campon ndpendent Tale dffcoltà a reperre le tabelle è ora superata n molt programm nformatc recent, che nseme con l valore dell ndce d omoscedastctà rportano anche la sua probabltà P. Secondo l test d Hartley, esste una dfferenza sgnfcatva tra pù varanze quando l rapporto tra la varanza maggore s max e la varanza mnore s mn F max( p, n- 1)= s s max mn supera l valore crtco rportato nelle tabelle corrspondent. Gl ndc de valor d F max consderano l numero p d grupp a confronto smultaneo ed l numero d grad d lbertà n-1 d ogn gruppo. Il test rchede che grupp abbano tutt lo stesso numero n d osservazon. E' un test semplce, ma non robusto: l'assunzone fondamentale è che dat sano dstrbut normalmente. Se non è possble supporre la normaltà della dstrbuzone per cascun gruppo, s dovrebbe rcorrere ad altr test, come quell non parametrc. Infatt - non esstono test parametrc adatt alla verfca della omogenetà della varanza, - quando le dstrbuzon de dat s dscostano dalla normaltà. B) Anche l test proposto da Cochran nel 1967 può essere applcato solo ad esperment blancat. E' metodologcamente - semplce come l precedente e - permette una verfca rapda dell'potes nulla d omoscedastctà de var trattament. I metod d Cochran sono due, tra loro alternatv: - l test della varanza massma, - l test della varanza mnma 5

27 Valor crtc per l test d Hartley sull omogenetà della varanza tra k grupp α = 0.05 Numero k d varanze a confronto Df l α = 0.01 Numero k d varanze a confronto Df

28 Il test della varanza massma è quello orgnaro proposto da Cochran. E fondato sul rapporto tra la varanza massma e la somma d tutte le altre varanze. S calcola l valore del rapporto R np, R n, p = smax s = s + s s q 1 p max = 1 s dove - s max la varanza camponara maggore, - s 1, s,..., s p sono le varanze de p grupp, con un numero n d replche ugual n ogn gruppo. Anche n questo caso, lmt dervano dall esgenza d un numero uguale d osservazon n tutt grupp e dalla rdotta dffusone delle tabelle specfche. Con un numero d osservazon molto alto (nfnto) l rapporto tende a 1/p. Il test della varanza mnma è data dal rapporto tra la varanza mnma e la somma d tutte le altre varanze. S calcola l valore del rapporto S n, p S n, p = s 1 smn + s s p s mn = q s = 1 dove - s mn la varanza camponara mnore, - s 1, s,..., s p sono le varanze de p grupp, con un numero n d replche ugual n ogn gruppo. Valdtà e lmt sono del tutto dentc al test della varanza massma. Ovvamente l prmo test è da utlzzare quando s potzza che una varanza sa nettamente maggore delle altre, mentre l secondo nella condzone spermentale opposta. 7

29 Valor crtc R (n,p) d Cochran per l confronto smultaneo tra pù varanze. n = numero d osservazon per gruppo, con campon blancat. p = numer d grupp o varanze a confronto smultaneo. α = 0.05 NUMERO n DI OSSERVAZIONI PER GRUPPO P ,9985 0,9750 0,939 0,9057 0,877 0,8534 0,833 0,8159 0,8010 0, ,9669 0,8709 0,7977 0,7457 0,7071 0,6771 0,6530 0,6333 0,6167 0, ,9065 0,7679 0,6841 0,687 0,5895 0,5598 0,5365 0,5175 0,5017 0, ,841 0,6838 0,5981 0,5441 0,5065 0,4783 0,4564 0,4387 0,441 0, ,7808 0,6161 0,531 0,4803 0,4447 0,4184 0,3980 0,3817 0,368 0, ,771 0,561 0,4800 0,4307 0,3974 0,376 0,3535 0,3384 0,359 0, ,6798 0,5157 0,4377 0,3910 0,3595 0,336 0,3185 0,3043 0,96 0, ,6385 0,4775 0,407 0,3584 0,386 0,3067 0,901 0,768 0,659 0, ,600 0,4450 0,3733 0,3311 0,309 0,83 0,666 0,541 0,439 0,1000 α = 0.01 NUMERO n DI OSSERVAZIONI PER GRUPPO P ,9999 0,9950 0,9794 0,9586 0,9373 0,917 0,8988 0,883 0,8674 0, ,9933 0,943 0,8831 0,8335 0,7933 0,7606 0,7335 0,7107 0,691 0, ,9676 0,8643 0,7814 0,71 0,6761 0,6410 0,619 0,5897 0,570 0, ,979 0,7885 0,6957 0,639 0,5875 0,5531 0,559 0,5037 0,4854 0, ,888 0,718 0,658 0,5635 0,5195 0,4866 0,4608 0,4401 0,49 0, ,8376 0,6644 0,5685 0,5080 0,4659 0,4347 0,4105 0,3911 0,3751 0, ,7945 0,615 0,509 0,467 0,46 0,393 0,3704 0,35 0,3373 0, ,7544 0,577 0,4810 0,451 0,3870 0,359 0,3378 0,307 0,3067 0, ,7175 0,5358 0,4469 0,3934 0,357 0,3308 0,3106 0,945 0,813 0,1000 8

30 Valor crtc per l test della Varanza mnma con α =

31 30

32 Valor crtc per l test della Varanza mnma con α =

33 3

34 C) Pù complessa è la metodologa per l test d sgnfcatvtà approssmato d Bartlett. Basato su un prncpo d J. Neyman e E. S. Pearson, fglo d Karl Pearson (ved, del 1931: On the problem of k samples. Bull. Acad. Polon. Sc. Lett. Ser. A, 3: ), è stato presentato da M. S. Bartlett nel 1937 n due artcol (ved a: Some examples of statstcal methods of research n agrculture and appled bology. Journal Royal Statst. Soc. Suppl. 4: ; ved b: Propertes of suffcency and statstcal tests. Proc. Royal Statst. Soc. Ser. A, 160: 68-8). Nella letteratura statstca è l pù dffuso e offre due vantagg rspetto a due test precedent: - trattament a confronto possono contenere un numero dfferente d replche; - per verfcare la sgnfcatvtà tra p grupp utlzza la dstrbuzone χ ( p 1) pù faclmente reperble delle dstrbuzon specfche precedent d Hartley e Cochran. con grad d lbertà p-1, Con p msure d varanze camponare s che abbano grad d lbertà ν, eventualmente tra loro dvers, estratte casualmente da popolazon dstrbute n modo normale, l test approssmato d Bartlett segue una dstrbuzone χ (p-1) fondata sul rapporto dove χ p = ( 1) - C è l fattore d correzone proposto successvamente per utlzzare la dstrbuzone χ (p-1). è uguale a e rsulta un valore prossmo ad 1. ( ) M C C = ( ) 3 1 ν ν p - M è uguale a M = ( ν lns - ν lns ) con s = meda ponderata delle varanze, data da s s = ν ν 33

35 Per l calcolo d M (n alcun test è ndcato con B), n dvers autor propongono l uso del logartmo a base 10, preferble alla logartmo naturale a base e; qund un altro modo per calcolare M è M = ( s ) ( ν ). 3059[ log ν logs ] Questo test per l omoschedastctà nel passato era rconoscuta come molto potente, ma solo quando la dstrbuzone de dat è normale. Se la dstrbuzone de dat è - platcurtca, l valore della probabltà α calcolata è pù alto d quello reale; (l test è conservatvo, meno potente: dventa pù dffcle rfutare l potes nulla e qund è pù facle commettere un errore d II Tpo) - leptocurtca, l valore della probabltà α calcolata è pù basso d quello reale, rovescando concett e la conclusone precedent. Il test può essere applcato su campon non eccessvamente pccol, per cu s rchede che ogn varanza sa calcolata su un campone con almeno 5-6 osservazon. D) Il test d Levene è l estensone a K grupp del metodo gà llustrato per due campon ndpendent. E l uso del test ANOVA - per valutare se esste una dfferenza sgnfcatva tra le mede, - facendo uso non de valor osservat, ma de loro scart rspetto alla meda del gruppo. Durante gl ann , è vvo l dbattto su gl effett che una dstrbuzone non normale e varanze non omogenee hanno su rsultat dell ANOVA per l confronto smultaneo tra pù mede. Questo test d Levene è rtenuto da var statstc pù robusto, rspetto alla non normaltà della dstrbuzone, d quanto sano test d rapport tra varanze e del test d Bartlett e d tutt test d confronto tra varanze basate sulla dstrbuzone F e sulla dstrbuzone χ. Il test d Levene deve la sua dffusone anche all nsermento n alcun pacchett statstc, che lo mpongono come verfca prelmnare d valdtà al test t d Student e all ANOVA. Per apprendere quest concett con l lnguaggo tecnco adeguato, è utle leggere quanto Morton B. Brown e Alan B. Forsythe scrvono nel loro artcolo del 1974 Robust test for the equalty of varances (pubblcato su Journal of the Amercan Statstcal Assocaton Vol. 69, pp.: a pag. 364): the common F-rato and Bartlett s test are very senstve to the assumpton that the underlyng populatons are from a Gaussan dstrbuton. When the underlyng dstrbutons are 34

36 nonnormal, these tests can have an actual sze several tmes larger than ther nomnal level of sgnfcance. Nel 1960 H. Levene con l artcolo Robust Test for Equalty of Varances (pubblcato nel volume I. Olkn ed., Contrbutons to Probablty and Statstcs, Palo Alto, Calf.: Stanford Unversty Press, pp.:178-9) ha proposto un metodo statstco che rchedeva campon con un numero d osservazon uguale. Nel 1969, da N. R. Draper e W. G. Hunter con l artcolo Transformatons: Some Examples Revsted (sulla rvsta Technometrcs Vol. 11, No. 1, pp.: 3-40) è generalzzato per campon con dmenson dfferent. Del metodo d Levene esstono molte verson, ma le pù dffuse sono tre. La prma è la proposta orgnara d Levene. Le altre due, che ne rappresentano delle modfche, sono attrbute a Morton B. Brown e Alan B. Forsythe per l loro artcolo gà ctato del 1974 Robust test for the equalty of varances (pubblcato su Journal of the Amercan Statstcal Assocaton Vol. 69, pp.: ). In esso, al posto della meda ndcata da Levene, suggerscono d utlzzare la medana oppure la meda trmmed al dec per cento (ten percent trmmed mean). Da qu l nome d Brown-Forsythe test, per queste due varant o modfche del test d Levene. La caratterstca dstntva fondamentale d quest test è la msura della tendenza centrale che utlzzano per calcolare gl scart entro ogn gruppo: 1 - la meda (mean) del gruppo ( X ), per cu entro cascun gruppo al posto d ogn sngolo dato X ) s usa la dfferenza ( d ) dalla sua meda ( d = d = X X - la medana (medan) del gruppo ( me ), per cu entro cascun gruppo al posto d ogn sngolo dato ( X ) s usa la dfferenza ( d ) dalla sua medana d = d = X me 3 - la meda trmmed al dec per cento (ten percent trmmed mean) del gruppo ( mt ), per cu entro cascun gruppo al posto d ogn sngolo dato ( X ) s usa la dfferenza ( d ) dalla sua meda trmmed d = d = X mt 35

37 In modo pù specfco, per la ten percent trmmed mean s ntende la meda del gruppo, ma dopo che da esso sono stat elmnat l 10% de valor maggor e l 10% de valor mnor. La scelta del 10% oppure d un altra qualsas percentuale è puramente arbtrara. La scelta d una tra queste tre msure d tendenza centrale dpende dalla forma della dstrbuzone. S mpega - la meda artmetca, quando la dstrbuzone de dat è rtenuta d forma normale, almeno approssmatvamente; - la medana, quando la dstrbuzone de dat è rtenuta asmmetrca; - la meda trmmed quando nella dstrbuzone de dat sono present valor rtenut anomal. Brown e Forsythe ndcano come approprata la meda trmmed, quando dat hanno una dstrbuzone vcna a quella d Cauchy, caratterzzata appunto da una fortssma asmmetra. Inoltre sono state proposte numerose varant d ognuna d queste. Ad esempo, dopo aver calcolato lo scarto dalla meda o dalla medana, tra le varant pù dffuse possono essere rcordate le trasformazon ( X ) log X e X X per rendere le dstrbuzon degl scart ancor pù sml a quella normale. Ma, con la motvazone che per quanto rguarda la normaltà, l test t d Student e l test ANOVA sono robust, le trasformazon effettuate su gl scart abtualmente sono tralascate. Il Trmmng data o semplcemente Trmmng è - l elmnazone d una percentuale prefssata d valor estrem. Può essere fatta n entrambe le code o n una coda sola della dstrbuzone de dat, sulla base delle caratterstche del fenomeno. Anche la quota d estrem da elmnare è molto varable, potendo essere - solo l valore pù alto e quello pù basso, - l prmo e l ultmo cnque per cento, - l prmo e l ultmo quartle (5%), - altre quote tra l mnmo d un dato e l massmo d un quarto de dat. E relatvamente frequente la scelta d prendere n consderazone solamente l 50% de valor central, come appunto s ottene elmnando l prmo e l ultmo quarto. La meda d questa dstrbuzone è chamata meda nterquartle e vene utlzzata quando la proporzone d outler n entrambe le code è molto alta. 36

38 La Wnsorzaton (la tecnca è chamata wnsorzng) non elmna valor pù estrem, ma l sosttusce con altr meno estrem. E una tecnca semplce, che serve per attenuare l effetto d possbl outler, quando dat raccolt servono per l calcolo delle statstche del campone o per test successv. Ad esempo, s supponga d avere ottenuto la seguente sere d 13 valor, qu ordnata e la cu meda è X = 49,5. E semplce rlevare dalla lettura de dat, qund a posteror, che sono present due valor molto dfferent da tutt gl altr, n entramb gl estrem ( valor 0 e 1 nella coda snstra; 154 e 3 nella coda destra). Può essere utle costrure una nuova dstrbuzone, sempre d n dat; qund senza dmnure le dmenson del campone. Quest estrem n entrambe le drezon sono sosttut dal terzo valore, quello a loro pù vcno, ottenendo la seguente sere d dat la cu meda è X = 18,7. La medana delle due dstrbuzon de 13 valor è 18. S osserv come la seconda meda (18,7) sa molto vcna alla medana (18), che ovvamente è rmasta mmutata, mantenendo n costante. Questo metodo è da utlzzare soprattutto quando sono present valor ndefnt (come < 1 oppure > 100). Sono msure che s rscontrano quando la varabltà delle quanttà present ne campon è nettamente nferore oppure superore al campo d msura dello strumento, che è precso solo per valor ntermed. Il trmmng può essere smmetrco, come n questo caso; ma può anche essere asmmetrco, quando l operazone convolge un numero d dat dfferent nelle due code della dstrbuzone. Una volta defnto quale msura d tendenza centrale utlzzare, s rcava che gl scart rspetto al valore centrale sono sa postv sa negatv. Per averle tutt postv, elmnando segn negatv, 37

39 - sono prese n valore assoluto d = X X Per confrontare la varanza d K grupp (A, B, C), con potes nulla H 0 : σ A = σ B = σ C contro l potes alternatva H 1 : non tutte le σ sono ugual oppure H 1 : almeno due σ sono dverse tra loro la proposta d Levene consste - nell applcare alla k sere d scart (al quadrato o n valore assoluto) l anals della varanza a un crtero, - nell assunzone che, se valor med degl scart rsultano sgnfcatvamente dvers, le k varanze de dat orgnal sono dverse. Con un lnguaggo pù tecnco, se utlzzando gl scart dalla meda s rfuta l potes nulla per accettare l potes alternatva H 0 : µ A = µ B = µ C H 1 : non tutte le µ sono ugual oppure H 1 : almeno due µ sono dverse tra loro mplctamente derva che su dat orgnal s rfuta l potes nulla per accettare l potes alternatva H 0 : σ A = σ B = σ C H 1 : non tutte le σ sono ugual oppure H 1 : almeno due σ sono dverse tra loro Come nell anals della varanza ad un crtero, grupp possono avere un numero dfferente d osservazon. In termn pù formal, ndcando - con Z j lo scarto n valore assoluto d ogn valore X j dalla meda del suo gruppo X Z j = X j X - con Z j lo scarto n valore assoluto d ogn valore X j dalla meda del suo gruppo X Z j = X j X - con Z la meda d un gruppo d Z j, 38