Appunti delle lezioni di Teoria delle Decisioni

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1 Appunti delle lezioni di Teoria delle Decisioni Marco Perone Pacifico 1 luglio 2005 Nota per gli studenti del Master: Come promesso vi ho scritto gli appunti delle lezioni svolte. A dir la verità me ne ero quasi dimenticato e, soprattutto, speravo che voi ve ne foste dimenticati. Poi sono stato giustamente richiamato alla realtà e quindi eccovi qua gli appunti. Ho sostanzialmente copiato quelle che erano le mie note, quindi non vi formalizzate sullo stile espositivo e siate comprensivi se trovate errori. Gli appunti venivano preparati prima delle lezioni, quindi non ritroverete le variazioni sul tema che sono scaturite dai vostri interventi in aula. Rispetto alle lezioni svolte ci sono un paio di differenze: 1. qui ho sempre considerato le conseguenze come se fossero utilità (conseguenze alte sono migliori, basse peggiori) mentre a lezione eravamo partiti considerandole come perdite e poi strada facendo eravamo passati alle utilità; 2. nell ultima sezione ho riportato i conti sulle probabilità condizionate che avevamo fatto in aula e anche un paio di formule che non avevo avuto tempo di scrivervi (e che avrebbero reso quei conti molto più rapidi). Nonostante lo sforzo fatto per scrivere gli appunti, il mio consiglio è di leggere il libro di testo che vi avevo segnalato a suo tempo che è più completo e, soprattutto, scritto da persone molto più qualificate (anche se sul libro non troverete mai un albero di decisioni bello come quello che ho fatto io qui). Buon lavoro. 1 Introduzione Un problema di decisione in condizioni di incertezza è una qualsiasi situazione in cui un individuo deve operare una scelta. La scelta determina una conseguenza che, oltre che dalla scelta fatta, dipende da qualcosa che non è noto all individuo e non è controllabile. Questi elementi non controllabili sono detti stati di natura. Esempio: (banale) Sto uscendo di casa, devo decidere se prendere l ombrello. Devo operare una scelta tra due alternative: prendere l ombrello oppure non prenderlo. Le conseguenze possibili sono: se prendo l ombrello 1

2 se piove posso ripararmi dalla pioggia se non piove ho il fastidio di portarlo appresso e nessun vantaggio se non prendo l ombrello se piove mi bagno se non piove sono più libero e comodo Attenzione: si suppone che gli stati di natura non possano essere controllati: non posso far nulla per far piovere o meno. Le cose che vedremo nel corso non consentono di scegliere, in un problema dato, la decisione migliore. Sostanzialmente quello che faremo è stabilire alcune regole generali da rispettare per evitare comportamenti incoerenti. Spesso infatti le scelte vengono fatte in modo incoerente. Esempio: Ci sono 2 urne, ciascuna delle quali ha dentro 100 palline, alcune rosse e le altre bianche. La prima urna (chiamiamola U1) ha 50 palline rosse e 50 bianche; la seconda urna (U2) ha un numero di palline rosse che non conosciamo (possono essere tutte rosse, oppure 99, oppure 98, e così via) Ti si offre la possibilità di partecipare gratis a una delle due scommesse possibili: Alt1: Viene estratta una pallina dall urna U1. Se la pallina estratta è rossa vinci 1000 Euro, altrimenti non vinci nulla. Alt2: Viene estratta una pallina dall urna U2. Se la pallina estratta è rossa vinci 1000 Euro, altrimenti non vinci nulla. Scrivi su un foglio quale alternativa sceglieresti. Adesso ti si offre la possibilità di partecipare gratis a una delle due scommesse possibili: AltA: Viene estratta una pallina dall urna U1. Se la pallina estratta è rossa vinci 1000 Euro, altrimenti non vinci nulla. AltB: Viene estratta una pallina dall urna U 2. Se la pallina estratta è bianca vinci 1000 Euro, altrimenti non vinci nulla. Scrivi su un foglio quale alternativa sceglieresti. Analisi della prima lotteria : Le decisioni possibili sono Alt1 oppure Alt2. Indichiamo con R il fatto che la pallina estratta è rossa, B indicherà che la pallina estratta è bianca. Le possibili conseguenze sono: se scelgo Alt1 2

3 se R, vinco 1000 Euro se B, vinco 0 se scelgo Alt2 se R, vinco 1000 Euro se B, vinco 0 Le conseguenze delle 2 scelte sono esattamente le stesse, quindi scelgo quella che mi fa vincere 1000 Euro con probabilità più alta. Nel caso di Alt2 non conosco le probabilità, ma vado un po con l istinto e quindi scelgo Alt1 se secondo me, a lume di naso, la probabilità di estrarre pallina rossa dall urna U 2 è minore della probabilità di estrarre rossa dall urna U 1 (in simboli possiamo scriverlo P(R U2) < P(R U1)) Alt2 se secondo me, a lume di naso, la probabilità di estrarre pallina rossa dall urna U2 è maggiore della probabilità di estrarre rossa dall urna U1 (in simboli P(R U2) > P(R U1)). Analisi della seconda lotteria : Le decisioni possibili sono AltA oppure AltB. Le possibili conseguenze sono: se scelgo AltA se R, vinco 1000 Euro se B, vinco 0 se scelgo AltB se R, vinco 0 se B, vinco 1000 Euro Come nella lotteria precedente, le conseguenze delle 2 scelte sono esattamente le stesse, quindi scelgo quella che mi fa vincere 1000 Euro con probabilità più alta. Scelgo AltA se secondo me, a lume di naso, la probabilità di estrarre pallina bianca dall urna U 2 è minore della probabilità di estrarre rossa dall urna U 1 (in simboli possiamo scriverlo P(B U2) < P(R U1)) Alt2 se secondo me, a lume di naso, la probabilità di estrarre pallina bianca dall urna U2 è maggiore della probabilità di estrarre rossa dall urna U1 (in simboli P(B U2) > P(R U1)). Confronto tra le due lotterie: Sappiamo che per l urna U 1 la probabilità di estrazione di pallina rossa è 1/2, quindi P(R U1) =

4 Ovviamente, la probabilità di estrarre pallina bianca dall urna U 2 è il complemento a uno della probabilità di estrarre pallina rossa, ossia P(B U2) = 1 P(R U2). Quindi nella seconda lotteria scelgo AltA se, secondo me, P(B U2) < 1 2 o, equivalentemente 1 P(R U2) < 1 2 che è come dire P(R U2) > 1 2. Ma se scelgo AltA nella seconda lotteria non posso aver scelto Alt1 nella prima. Allo stesso modo, Alt2 e AltB sono incoerenti tra loro. Quello che la teoria delle decisioni fornisce non è una macchina in cui, schiacciando un pulsante, si ottiene la linea di azione più appropriata. Si forniscono alcune linee guida per spezzettare il problema in tante parti più piccole (e più semplici) che, una volta analizzate, possono essere combinate di nuovo in modo da fornire una soluzione al problema iniziale. 2 Elementi di un problema di decisione Una persona si trova di fronte ad un problema di decisione ogni volta che deve scegliere tra almeno due diverse linee di azione. La prima operazione da fare è elencare le azioni possibili. L elenco deve ragionevolmente esaurire le possibilità, quindi la lista deve essere esaustiva. Che significa ragionevolmente??? Esempio: Un negoziante deve decidere quanti articoli ordinare al grossista (supponiamo per semplicità che siano tutti di uno stesso tipo). Il numero di articoli da ordinare può essere scelto tra 0, 1,,m (dove m è la capienza massima del magazzino). In teoria la lista potrebbe non esaurirsi qua, in determinate condizioni si potrebbe prendere in considerazione l ipotesi di allargarte il magazzino. Alcune considerazioni: Spesso i successi più vistosi derivano dalla capacità di inventare nuove soluzioni, (quindi di prendere in considerazione delle soluzioni innovative) più che dallo scegliere da una lista di possibilità note. Spesso non è bene considerare come seconda soluzione la negazione della prima: più che scegliere tra vado al cinema e non vado al cinema, è opportuno considerare vado al cinema oppure guardo la tv oppure leggo un libro oppure preparo la lezione di domani, e così via. Analogamente, spesso non è opportuno considerare tra le possibilità la voce altro. Questo, come nel caso precedente, perché se contiene troppe cose diverse tra loro diventa difficile valutarne le possibili conseguenze. 4

5 Le decisioni devono essere esclusive, nel senso che devo poterne scegliere solo una. Spesso è possibile arrivare ad una lista esclusiva partendo da una lista che non lo è considerando le combinazioni: Nel pianificare una vacanza si possono avere, tra le scelte possibili: vado in Sicilia, vado in Valle D Aosta, vado con Francesca, vado con Paola. Presumibilmente Francesca e Paola si escludono a vicenda, così come Sicilia e Valle D Aosta. Però le 4 scelte non sono tutte esclusive tra loro, posso decidere di andare in Sicilia e con Francesca, e così via. Considerare le combinazioni in questo caso vuol dire lavorare sulla lista seguente: vado in Sicilia con Francesca oppure vado in Sicilia con Paola oppure vado in Valle D Aosta con Francesca oppure vado in Valle d Aosta con Paola. Una volta fatta la lista delle possibili azioni, è necessario costruire una lista simile, con gli eventi possibili che non sono sotto il nostro controllo (gli stati di natura). Questo spesso è più difficile che costruire la lista delle decisioni possibili. Anche qui non è possibile, in molti casi, considerare tutto ciò che può succedere ma, per quanto possibile, bisogna cercare di tenere presente tutto ciò che può condizionare la scelta della decisione e che può ragionevolmente verificarsi. A questo punto abbiamo un insieme Ω dei possibili stati di natura e un insieme delle possibili decisioni (azioni). Osservazione: Il semplice tentativo di costruire queste due liste può contribuire a far luce su un complicato problema di decisione: l aver esaminato tutte (o molte) le possibili alternative e preso in considerazione tutte le incertezze che possono influire è già un grosso passo avanti nella comprensione del problema. Osservazione: È principalmente in questa fase che emergono le qualità e la personalità dell individuo che deve prendere la decisione: la possibilità di inventarsi soluzioni nuove e l aver valutato con attenzione tutti i possibili scenari. Ad ogni coppia (δ,ω) (dove δ è una decisione contenuta nella lista e ω è uno stato di natura contenuto nella lista Ω) corrisponde una conseguenza, che indichiamo con c δ (ω). Indichiamo con Γ l insieme ditutte le possibili conseguenze. Per le coseguenze useremo la notazione c δ (ω) quando vogliamo evidenziare la corrispondenza con le decisioni e gli stati di natura altrimenti, se parliamo genericamente di una delle conseguenze possibili, scriveremo semplicemente γ. Le conseguenze possono essere di natura numerica o meno, ma in ogni caso supponiamo di essere sempre in grado di stabilire se, date due qualsiasi conseguenze, preferiamo la prima, oppure preferiamo la seconda, oppure sono per noi equivalenti. 5

6 In generale noi vorremmo riuscire ad ottenere la conseguenza migliore, ma siccome possiamo scegliere solo δ e non ω, non siamo in grado di arrivare a scegliere la conseguenza a cui andremo incontro. Esempio: Riprendiamo l esempio dell ombrello. Possiamo indicare le decisioni e gli stati di natura come segue: = {δ 0,δ 1 } Ω = {ω 0,ω 1 } (δ 0 = non prendo l ombrello,δ 1 = prendo l ombrello) (ω 0 = non piove,ω 1 = piove) Le conseguenze possibili sono c δ0 (ω 0 ) = sono libero e comodo c δ0 (ω 1 ) = mi bagno c δ1 (ω 0 ) = ho il fastidio di portare l ombrello appresso e nessun vantaggio c δ1 (ω 1 ) = ho il fastidio di portare l ombrello ma mi riparo dalla pioggia. Possiamo facilmente stabilire quale sia l ordinamento tra le conseguenze possibili: la migliore è c δ0 (ω 0 ), poi seguono in ordine c δ1 (ω 0 ), c δ1 (ω 1 ) e per ultima c δ0 (ω 1 ). 3 Criteri di ottimalità Ad ogni conseguenza è spesso possibile associare un numero (vedremo poi attraverso la teoria dell utilità come è possibile farlo), quindi ad ogni decisione δ corrispondono i valori C δ = c δ (ω 1 ),c δ (ω 2 ),... In generale non siamo in grado di dire se una decisione è meglio di un altra perché in corrispondenza di alcuni ω può essere meglio una mentre in corrispondenza di altri ω può essere meglio un altra decisione (ad esempio, nell esempio dell ombrello, se piove è meglio prendere l ombrello e se non piove è meglio non prenderlo, quindi in corrispondenza di ω 1 è meglio δ 1 e in corrispondenza di ω 0 è meglio δ 0 ). Come fare?? Introduciamo un criterio di ottimalità K. K è una funzione che sintetizza i valori c δ (ω 1 ),c δ (ω 2 ),... in un unico numero, in modo che poi possiamo confrontare queste sintesi. Sceglierò la decisione δ a cui si associa il miglior K(C δ ). Ad esempio, consideriamo quello che viene chiamato criterio del minimax che consiste nel considerare, come sintesi dei valori C δ = c δ (ω 1 ),c δ (ω 2 ),... la peggiore conseguenza possibile K(C δ ) = min ω Ω C δ(ω) 6

7 Esempio: Nel problema dell ombrello consideriamo tutte le conseguenze associate ad ogni decisione C δ0 = (sono libero e comodo, mi bagno) C δ1 = (mi devo portare l ombrello senza vantaggi, mi devo portare l ombrello e mi riparo) Con il criterio del minimax, relativamente ad ogni decisione consideriamo solo la peggiore conseguenza, quindi K(C δ0 ) = mi bagno K(C δ1 ) = mi devo portare l ombrello e mi riparo. Una volta individuate le peggiori conseguenze, scelgo quella meno peggio, quindi in questo caso sceglierò la decisione δ 1 perché mi devo portare l ombrello e mi riparo è meno peggio di mi bagno. Come si vede anche dall esempio, il criterio del minimax è un criterio del tipo limitiamo i danni : porta a scegliere la decisione che, nel peggiore dei casi, si comporta meno peggio. Nel caso dell ombrello, il criterio del minimax fa sempre scegliere di portare l ombrello, anche se magari siamo a luglio ed è quasi impossibile che piova. Molto spesso, quindi, è utile tener conto delle probabilità con cui si verificano i diversi stati di natura. Si introduce quindi nel modello una misura di probabilità si Ω. Può essere soggettiva o meno, spesso lo è. In questo caso, ad ogni decisione δ corrisponde una variabile aleatoria C δ che assume diversi valori, ciascuno con una certa probabilità. Questo permette di utilizzare come criterio K qualcosa che utilizzi quest informazione, in particolare il criterio del valore atteso definito come media della variabile aleatoria C δ : K(C δ ) = E(C δ ) = c δ (ω i )p(ω i ) (se l insieme Ω degli stati di natura è continuo, la sommatoria viene sostituita da un integrale). Esempio: Riprendiamo l esempio dell ombrello. Supponiamo di aver dato un valore numerico alle conseguenze (valori più alti indicano conseguenze migliori), riassunti nella tabella che segue δ 0 δ 1 ω ω Indichiamo con p la probabilità che pioverà, per cui la probabilità che non pioverà è 1 p. Abbiamo quindi che 10 con probabilità 1 p 6 con probabilità 1 p C δ0 = C δ1 = 0 con probabilità p 3 con probabilità p 7

8 Usando il criterio del valor medio, abbiamo la possibilità di comportarci in modo diverso a luglio rispetto a novembre: Se piove con probabilità bassa, ad esempio p = 0.10, abbiamo K(C δ0 ) = = 9 K(C δ1 ) = = 5.7 e quindi δ 0 ha associato un valore più alto, e quindi migliore. In questo caso scelgo δ 0. Se piove con probabilità alta, ad esempio p = 0.80, abbiamo K(C δ0 ) = = 2 K(C δ1 ) = = 3.6 per cui δ 0 ha associato un valore più basso, e quindi peggiore. In questo caso scelgo δ 1. Il criterio del valore atteso è di gran lunga il più utilizzato nei casi in cui è possibile definire le probabilità degli stati di natura. Quando queste probabilità non sono disponibili il criterio più diffuso è quello del minimax. Altri criteri proposti e a volte usati sono Criterio media-varianza: K(C δ ) = E(C δ ) + αv ar(c δ ) (penalizza le decisioni con esiti più variabili), anche questo ha bisogno delle probabilità su Ω; Criterio di Hurwicz: K(C δ ) = λ max ω Ω c δ (ω) + (1 λ) min ω Ω c δ (ω) (dove λ (0, 1), tiene conto oltre che della conseguenza peggiore, anche di quella migliore), non necessita di probabilità su Ω. Nel seguito faremo riferimento quasi esclusivamente al criterio del valor medio. 4 Decisioni ammissibili I criteri di ottimalità semplificano la vita perché sintetizzano in un solo numero l insieme delle conseguenze di ciascuna decisione ma, come ogni sintesi, fanno perdere parte dell informazione. Ad per esempio guardiamo il problema di decisione in cui le conseguenze possibili sono racchiuse nella tabella (supponiamo migliori le conseguienze numericamente più alte) 8

9 δ 1 δ 2 ω ω ω Se usiamo il criterio del minimax, dobbiamo scegliere la decisione la cui conseguenza peggiore sia meno peggio dell altra. Alla decisione δ 1 corrisponderebbe la conseguenza 2 e lo stesso per la decisione δ 2. Quindi in questo problema il criterio del minimax rende le due decisioni equivalenti. Ma di fatto le due decisioni sono tutt altro che equivalenti: chiunque dotato di un minimo di buon senso non sceglierebbe mai la decisione δ 2 perché, quale che sia lo stato di natura, non dà mai una conseguenza migliore di δ 1. Per questo motivo è opportuno considerare solo le decisioni che sono ammissibili, nel senso che ora illustriamo: la decisione δ 1 domina δ 2 se, in corrispondenza di tutti gli stati di natura le conseguenze associate a δ 1 non sono peggiori di quelle associate a δ 2 ; esiste almeno uno stato di natura per cui la conseguenza associata a δ 1 è migliore. In simboli, δ 1 domina δ 2 se per ogni ω Ω esiste almeno un ω Ω tale che c δ1 (ω) c δ2 (ω) c δ1 (ω) > c δ2 (ω). Una decisione δ è ammissibile se non è dominata da nessuna altra decisione. Nell esempio della tabella sopra, δ 1 domina δ 2 e quindi δ 2 non è ammissibile. In un problema con un numero finito di decisioni possibili, è sufficiente ridursi a considerare solo le decisioni ammissibili scartando a priori tutte le altre. Nei problemi in cui posso avere infinite soluzioni questo può non bastare, come si vede nell esempio che segue. Esempio: Consideriamo un problema con 2 stati di natura (Ω = {ω 1,ω 2 }) ma in cui le decisioni possibili sono infinite ( = {δ 0,δ 1,,δ n, }). La tabella seguente contiene tutte le conseguenze possibili, mentre nella colonna a destra sono indicate le probabilità degli stati di natura. δ 0 δ 1 δ 2 δ 3 δ n P(ω) ω α ω n 1 1 α 3 n L unica decisione ammissibile è δ 0, infatti ogni altra decisione è dominata da tutte quelle che la seguono (δ 1 è dominata da δ 2, δ 2 da δ 3 e così via). 9

10 δ 0 è anche l unica decisione che può essere ottima. Però in alcuni casi non lo è. Infatti se utilizziamo il criterio del valore atteso otteniamo K(C δ0 ) = α K(C δn ) = n 1 (1 α) per n = 1, 2, n Se α = 0.6: in corrispondenza di δ 0 si ha K(C δ0 ) = 0.6, mentre per tutte le altre decisioni si ha K(C δ0 ) = 0.4 n 1 n, per cui δ 0 è la migliore; Se α = 0.1: in corrispondenza di δ 0 si ha K(C δ0 ) = 0.1, mentre per tutte le altre decisioni si ha K(C δ0 ) = 0.9 n 1 n. δ 0 non è la migliore e, soprattutto, non esiste la decisione migliore: qualsiasi decisione scelgo, la successiva sarebbe meglio (se scegliessi δ 1, allora avrei δ 2 con K(C δ2 ) > K(C δ1 ), e così via) L esempio (con α = 0.1) ci fa vedere due aspetti strani che possono venir fuori nei problemi con infinite decisioni: 1. esistono problemi in cui non esiste una decisione migliore; 2. esistono casi in cui non basta considerare solo le decisioni ammissibili (ricordo che nell esempio l unica decisione ammissibile era δ 0 ). Il problema 1 viene risolto accontentandosi di decisioni quasi ottime : nell esempio, per α = 0.1 la decisione ottimale (che non esiste) darebbe una perdita attesa pari a 0.9 (ottenuta come lim n K(C δn )). Io fisso una soglia di tolleranza leggermente più bassa (ad esempio 0.88) e mi accontento di qualsiasi decione che dà K(C δ ) maggiore di questa soglia. Ad esempio se la soglia è 0.88, potrei scegliere la decisione δ 45 che ha una perdita attesa proprio pari a K(C δ45 ) = In generale, si fissa un valore di tolleranza ε (positivo) e ci si accontenta di qualsiasi decisione δ che soddisfi K(C δ) > supk(c δ ) ε. δ Per quanto riguarda il problema 2, basta stare attenti quando si eliminano le soluzioni non ammissibili: posso eliminare dal problema una soluzione non ammissibile solo se tra quelle che rimangono ce ne è una che la domina. 5 Rappresentazione di problemi di decisione complessi In questa sezione vedremo come possono essere rappresentati problemi complicati attraverso gli alberi di decisione e come ci si può lavorare. Faremo tutto questo lavorando su un esempio. 10

11 Devo decidere se investire 5000 Euro su un titolo oppure lasciarli in banca. Se li lascio in banca, qualsiasi cosa succeda rimangono 5000 (non ho utili né perdite). Se li investo sul titolo supponiamo possano succedere solo due cose: il titolo sale (stato di natura ω 1 ) e alla fine avrò 5100 Euro il titolo scende (stato di natura ω 2 ) e alla fine avro 4900 Euro. Supponiamo inoltre di sapere che P(ω 1 ) = 0.6 e P(ω 2 ) = 0.4. Possiamo quindi rappresentare il problema con la tabellina, come fatto in passato, come segue investo banca P(ω) ω ω Ho anche un altra possibilità, che consiste nel chiedere consiglio ad un consulente. Il costo della consulenza è 10 Euro. Ora la situazione è parecchio più ingarbugliata, perché 1. Posso chiedere consiglio al consulente oppure no 2. Se chiedo al consulente, lui può consigliarmi di investire (evento X 1 ) consigliarmi di mettere i soldi in banca (evento X 2 ). 3. Alla fine devo comunque decidere se comprare il titolo o lasciare i soldi in banca. Si suppone che il consulente dia spesso dei buoni consigli, per cui P(X 1 ω 1 ) = 0.8 e P(X 2 ω 2 ) = 0.7 (cioè quando la situazione è tale che il titolo salirà, il consulente spesso se ne accorge tanto che l 80% delle volte consiglia di acquistare il titolo; quando la situazione è tale che il titolo scenderà il consulente spesso ma un po meno se ne accorge tanto che consiglia di lasciare in banca il 70% dei casi). In seguito vedremo come dalle probabilità P(ω 1 ),P(ω 2 ),P(X 1 ω 1 ),P(X 2 ω 2 ) scritte sopra si possano calcolare le seguenti probabilità P(X 1 ) = 0.6 P(X 2 ) = 0.4 P(ω 1 X 1 ) = 0.8 P(ω 2 X 1 ) = 0.2 P(ω 1 X 2 ) = 0.3 P(ω 2 X 2 ) = 0.7 Questo problema di decisione, decisamente più complicato di quelli visti in precedenza, non può essere rappresentato con le tabelline usate prima, ma attraverso un albero di decisioni: 11

12 sale cons X inv banca scende X banca 4990 inv sale no cons banca 5000 scende inv sale scende Nell albero ogni quadratino rappresenta un nodo decisionale: da lì partono rami che corrispondono a decisioni; ogni cerchietto rappresenta un nodo casuale: da lì partono rami che corrispondono a stati di natura. Su ogni ramo si scrive la probabilità dello stato di natura condizionata a tutto quello che c è a sinistra di quel ramo. Per valutare le possibili decisioni, partendo da sinistra si seguono tutti i possibili percorsi finché ci sono nodi decisionali. In questo caso abbiamo 6 possibili scelte (ogni scelta di fatto è una sequenza di decisioni) elencate dal basso verso l alto: δ 1 : non chiedo la consulenza investo nel titolo δ 2 : non chiedo la consulenza tengo in banca δ 3 : chiedo la consulenza mi consiglia X 2 tengo in banca δ 4 : chiedo la consulenza mi consiglia X 2 investo nel titolo δ 5 : chiedo la consulenza mi consiglia X 1 tengo in banca δ 6 : chiedo la consulenza mi consiglia X 1 investo nel titolo Per valutare ciascuna decisione si applica il criterio K (qui quello del valore atteso) a tutte le conseguenze di quel ramo: K(C δ1 ) = = 5020 K(C δ2 ) = 5000 K(C δ3 ) =

13 K(C δ4 ) = = 4950 K(C δ5 ) = 4990 K(C δ6 ) = = 5050 La decisione migliore è δ 6 perché dà un capitale finale atteso più alto. Tuttavia io non posso all inizio decidere di scegliere δ 6 perché non so se si verificherà X 1 oppure X 2 (non posso sapere quale sarà il consiglio del consulente). Attraverso la rappresentazione ad albero è possibile prendere le decisioni in modo sequenziale. L analisi corretta dell albero viene fatta a ritroso, da destra a sinistra, considerando un nodo decisionale alla volta. In questo caso considereremo i nodi decisionali in quest ordine: 1. Prima il nodo in basso a destra (chiamiamolo nodo D): corrisponde alla decisione se investire in banca o nel titolo avendo prima deciso di non consultare il consulente. In questo nodo: se scelgo banca, alla fine mi arriva un capitale di 5000 se investo, il capitale atteso è 5020 (= ) quindi se arrivo a questo nodo mi conviene investire, con un capitale atteso di Poi in senso antiorario, il nodo che corrisponde alla decisione se investire in banca o nel titolo dopo che il consulente ci ha consigliato X 2 (chiamiamolo nodo C). In questo nodo: se scelgo banca, alla fine mi arriva un capitale di 4990 se investo, il capitale atteso è 4950 (= ) quindi se arrivo a questo nodo mi conviene lasciare i soldi in banca, con un capitale atteso di Ancora in senso antiorario, il nodo che corrisponde alla decisione se investire in banca o nel titolo dopo che il consulente ci ha consigliato X 1 (chiamiamolo nodo B); In questo nodo: se scelgo banca, alla fine mi arriva un capitale di 4990 se investo, il capitale atteso è 5050 (= ) quindi se arrivo a questo nodo mi conviene investire, con un capitale atteso di Infine il nodo a sinistra, che corrisponde alla decisione se andare o no dal consulente. In questo nodo: se scelgo di non andare dal consulente, il capitale atteso è 5020 (capitale atteso relativo al nodo D) 13

14 se vado dal consulente, il capitale atteso è dato dalla media dei capitali attesi relativi ai nodi C e B, pesati con le probabilità dei due rami = 5026) quindi mi conviene andare dal consulente. Da questa analisi deduciamo che: conviene andare dal consulente, dopodicché conviene seguire i consigli che lui ci dà (non è una conclusione particolarmente originale, ma almeno abbiamo visto come il problema può essere rappresentato). La rappresentazione ad albero si presta all analisi di problemi più semplici, come quelli che avevamo visto in precedenza (tipo il problema dell ombrello o il problema delle lotterie). 6 Elementi di teoria dell utilità Partiamo da un insieme di conseguenze c δ1 (ω 1 ),c δ1 (ω 2 ),,c δm (ω n ), che possono essere numeriche oppure no. Dobbiamo stabilire il valore che noi diamo a ciascuna conseguenza. Dimentichiamoci le relazioni con le decisioni δ e gli stati di natura ω: qui ci interessano le conseguenza, non in quali circostanze si verificano. Chiamiamo quindi le conseguenze γ 1,γ 2,. Ci serve una conseguenza migliore di tutte (chiamiamola a) e una peggiore di tutte (chiamiamola b). A questo punto prendo una conseguenza γ e considero il seguente problema con due decisioni possibili: una decisione mi dà con certezza la conseguenza γ (chiamiamola decisione δ γ ), l altra decisione mi fa partecipare ad un meccanismo (lotteria) in cui vincerei a con probabilità 1 u oppure b con probabilità u. Segue la rappresentazione ad albero del problema. a 1 u u b γ Valutazione della conseguenza γ Se u = 0 sceglierei decisamente la decisione δ γ. Al crescere di u, δ γ diventa sempre meno conveniente finché per u = 1 sceglierei decisamente la lotteria. Ci deve essere un valore intermedio u tale che per me le due decisioni sono equivalenti. Quel valore u è l utilità di γ. Quindi il valore che io attribuisco a γ è u(γ) = u. Vediamo perché questo modo di procedere ha senso. 14

15 Mostriamo che necessariamente u(a) = 0: siccome a è la conseguenza peggiore di tutte, nel problema a 1 u u b a Valutazione della conseguenza a (conseguenza peggiore) qualsiasi valore positivo di u rende più favorevole la lotteria, quindi per forza di cose deve essere u(a) = 0. In modo analogo deve essere u(b) = 1. Quindi se riprendiamo il problema di valutazione della conseguenza γ considerando, al posto delle conseguenze la nostra valutazione numerica (utilità) otteniamo il problema 1 u0 u 1 u(γ) Valutazione (bis) della conseguenza γ Usando il criterio del valore atteso il ramo di sotto vale u(γ) mentre il ramo di sopra vale 0 (1 u) + u = u. Se u = u, i due rami diventano equivalenti, e quindi u(γ) = u. Questa operazione va ripetuta per tutte le possibili conseguenze, in modo da definire la funzione di utilità u(γ) per ogni conseguenza γ. Proprietà della funzione di utilità 1. La funzione di utilità deve essere monotona, nel senso che se una conseguenza γ è preferibile ad una conseguenza γ, allora deve valere u(γ ) u(γ ). Questo perché altrimenti la valutazione non sarebbe coerente con le preferenze del decisore. 2. Due diverse funzioni di utilità u e v tali che per ogni conseguenza γ u(γ) = αv(γ) + β (dove α e β sono due numeri reali) sono equivalenti. Questo per due motivi: il primo motivo è che in qualsiasi tipo di decisione l uso di u oppure di v porterebbe alle stesse conclusioni; il secondo motivo è che la differenza tra u e v è dovuta esclusivamente all aver scelto in modo diverso le conseguenze di riferimento (questo si potrebbe dimostrare ma lasciamo perdere). 15

16 6.1 Problemi con conseguenze numeriche Abbiamo visto come la funzione di utilità sia utile per trattare situazioni in cui le conseguenze non sono numeriche: in questi casi, una volta introdotta la funzione di utilità abbiamo tutti numeri e possiamo fare tutti i conti che vogliamo. Spesso l introduzione di funzioni di utilità è utile anche se le conseguenze del problema sono già numeriche. Molto spesso in questi casi le conseguenze sono monetarie, quindi consideriamo più vantaggiose le conseguenze che consistono in numeri più alti. Come già detto, la funzione di utilità deve essere monotona, perché più grande è il guadagno e maggiore l utilità. La eventuale concavità o convessità dipende dall attitudine verso il rischio di chi definisce la funzione di utilità. Vediamolo con un esempio: consideriamo il seguente problema in cui abbiamo il biglietto per partecipare ad una lotteria che fa vincere 0 oppure 100 con probabilità pari al 50%. Ci viene offerta una cifra x per rinunciare a partecipare alla lotteria. Indichiamo con x c la cifra più bassa che siamo disposti ad accettare. Per noi i due rami dell albero qui sotto sono equivalenti x c Concavità-convessità della funzione di utilità Se x c rende equivalenti i due rami, l utilità u(x c ) è tale che u(x c ) = 1 2 u(0) + 1 u(100). (1) 2 Se ragionassimo in base ai valori numerici (e non alle utilità) dovremmo tutti scegliere x c = 50; invece persone diverse scelgono diversi valori per x c a seconda della propensione al rischio: Se tendo ad essere avverso al rischio, per evitare la lotteria (e quindi per paura di rimanere con 0) mi basta poco e mi accontento di x c basso, in particolare x c < 50. Se tendo ad essere propenso al rischio, io voglio giocarmela (voglio cercare di vincere 100) quindi per convincermi a rinunciare devi pagare parecchio. Pretenderò x c alto, in particolare x c > 50 x c = 50 è indice di indifferenza nei confronti del rischio. 16

17 Ricordando che, ovviamente, posso scrivere 50 = , se sono avverso al rischio di 2 2 fatto la mia funzione di utilità è tale che 1 u(0) + 1u(100) = u(x 2 2 c) (per l equazione (1)) u(50) (per la monotonia, visto che x c < 50) = u( ) e quindi 1 u(0) + 1u(100) 2 2 u( ). 2 2 Facendo un discorso un po più generale, L avversione al rischio implica una funzione di perdita concava, tale che per ogni p [0, 1] (1 p) u(a) + p u(b) u((1 p) a + p b). La propensione al rischio implica una funzione di perdita convessa, tale che per ogni p [0, 1] (1 p) u(a) + p u(b) u((1 p) a + p b). L indifferenza nei confronti del rischio si associa ad una funzione di perdita lineare, tale che per ogni p [0, 1] (1 p) u(a) + p u(b) = u((1 p) a + p b). In genere, quando le conseguenze sono numeriche e sono tante (spesso infinite) non si valuta l utilità di ciascuna conseguenza separatamente. Si adotta una funzione di perdita di riferimento (le più comuni sono la logaritmica, l esponenziale, la quadratica) che dipende da uno o più parametri. Le procedure viste prima per la valutazione dell utilità vengono quindi usate per fissare i valori dei parametri. 7 Cenni sulla probabilità Cominciamo col cercare di stabilire cosa significa che la probabilità di un certo evento è uguale ad un dato numero. Riportiamo ora alcune valutazioni di probabilità. Esempio: Dal sito https://www.betandwin.com/ (aggiornato al 1 luglio 2005) si evince che le probabilità di vittoria del campionato di Serie A sono: 17

18 Squadra Prob Milan 0,32 Juventus 0,31 Inter 0,19 Roma 0,06 Udinese 0,03 Lazio 0,02 Sampdoria 0,01 Parma 0,01 Chievo 0,01 Cagliari 0,01 Squadra Prob Fiorentina 0,01 Palermo 0,01 Livorno 0,01 Lecce 0,00 Reggina 0,00 Siena 0,00 Messina 0,00 Genoa 0,00 Torino 0,00 Empoli 0,00 Esempio: Il sito i tumori in Italia (http://www.tumori.net/it/) definisce come fattore di rischio ciò che aumenta la probabilità di una persona di sviluppare una malattia e considera il fumo (attivo e passivo) come il principale fattore di rischio per il tumore al polmone e diverse altre malattie. Tra le varie affermazioni, sul sito si dice che: sia chi fuma sigarette che chi fuma sigari ha un rischio superiore di contrarre un tumore del polmone, del cavo orale, della laringe o dell esofago a chi non ne fuma i figli di genitori fumatori hanno una maggiore probabilità di accusare sintomi respiratori cronici, asma e infezioni respiratorie acute dei figli di genitori che non fumano In queste due affermazioni il termine probabilità va inteso allo stesso modo? E le valutazioni sono state ottenute seguendo principi e procedure simili o completamente diversi? Diamo ora le più diffuse interpretazioni del termine probabilità, poi ritorneremo sugli esempi di sopra. Interpretazione calssica: La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti ugualmente possibili. Quindi P(E) = numero dei casi favorevoli ad E numero dei casi possibili Per esempio, nell esperimento: lancio di 2 dadi, per calcolare la probabilità dell evento E = {la somma è 8} bisogna considerare } casi possibili = {(1, 1), (1, 2),, (6, 5), (6, 6)} sono 36 P(E) = 5 casi favorevoli ad E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} sono

19 Pro e contro: è un concetto di probabilità molto intuitivo, comodo per trattare situazioni in cui abbiamo un numero finito di possibili risultati (perché il denominatore deve essere finito) e simmetria tra i risultati possibili (perché tutti i possibili risultati devono contare allo stesso modo). Quando queste due condizioni non sono soddisfatte, allora questa nozione di probabilità non può trovare applicazione. Interpretazione frequentista: La probabilità di un evento è il limite della frequenza relativa dei successi quando il numero delle prove, eseguite tutte nelle stesse condizioni, tende all infinito. Quindi P(E) = lim n numero di volte che si è verificato E numero di prove effettuate Nell esperimento: lancio di 2 dadi, per calcolare la probabilità dell evento E = {la somma è 8} si lanciano i 2 dadi tantissime volte e si conta la frazione di volte in cui è uscito somma=8. Pro e contro: Si può utilizzare anche quando i possibili risultati sono infiniti e in condizioni di asimmetria. È necessario che le prove siano ripetute tutte nelle stesse condizioni (provate a definire in questo modo la probabilità di vittoria della Lazio al prossimo derby). Posso definire la probabilità solo a posteriori, cioè dopo aver ripetuto un sacco di volte l esperimento. Ma a me serve saperla prima!!! Interpretazione soggettiva: La probabilità di un evento è il grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell evento. Così come è la definizione non è per niente operativa. Uno dei modi di renderla operativa può essere il seguente, che fa riferimento ad una scommessa: La probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene giusto pagare per ricevere 1 se l evento si verifica e 0 se non si verifica. Le probabilità devono essere attribuite in modo da non permettere vincite o perdite certe. Pro e contro: È applicabile a qualsiasi situazione. Individui diversi possono dare allo stesso evento probabilità diverse (se, di fronte agli stessi sintomi, un medico dice che il paziente ha probabilità di salvarsi pari al 90%, mentre un altro dice che la probabilità di salvarsi è del 5%, il paziente rimane quanto meno un po sconcertato). 19

20 Un altro problema (che viene in parte superato attraverso la teoria dell utilità) è che il comportamento dello stesso individuo può variare a seconda dell entità delle cifre in ballo: posso anche essere disposto a scommettere 40 centesimi di Euro sulla vittoria della Lazio per, eventualmente, vincere 1 Euro, (per cui P(L) = 0.4), ma non per questo sarei disposto a scommettere 400 mila Euro per vincerne 1 milione. Quale che sia il significato che si dà alla probabilità, da un punto di vista matematico la probabilità è qualsiasi funzione che soddisfa le proprietà seguenti: 1. La probabilità di un evento è sempre un numero tra compreso tra 0 e 1, quindi 0 P(E) 1 per ogni evento E. 2. La probabilità dell evento certo (che indichiamo con Ω) è 1, quindi P(Ω) = Se due eventi A e B sono incompatibili (nel senso che non possono verificarsi insieme) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi, quindi P(A oppure B) = P(A) + P(B) se A e B sono incompatibili (questa proprietà vale anche se consideriamo più di due eventi incompatibili). Per ritornare ai due esempi di prima (campionato di Serie A e rischi di tumori), è evidente che le due situazioni sono molto diverse e il modo di ottenere le probabilità nei due casi deve necessariamente essere diverso. Per quanto riguarda la Serie A, certamente non è possibile pensare alla probabilità nell ottica classica perché non c è simmetria tra i diversi risultati (è difficile pensare che Juventus e Reggina possano essere considerate equivalenti) e certamente non è possibile pensare di ripetere l esperimento molte volte nelle stesse condizioni (bisognerebbe far giocare il campionato tante volte alle stesse squadre (quindi anche con gli stessi giocatori, allenatori, etc.)). Insomma, per l esempio della Serie A l unico modo per dare delle probabilità è seguendo la concezione soggettiva di probabilità. Immagino che i responsabili del sito abbiano consultato un esperto (o più di uno) e sostanzialmente gli abbiano chiesto lui come vede le cose. Il fatto che l Inter ha probabilità di vincere tripla rispetto alla Roma va semplicemente visto come opinione degli esperti del sito. Ciò non toglie che la Roma possa vincere lo stesso lo scudetto (anche se io personalmente non ci credo!) o che altre persone possano vedere le cose in modo molto diverso. Nel caso del rischio di tumore, invece, le cose vanno viste nel senso frequentista: sulla base dell osservazione di un gran numero di individui, i rapporti tra persone che sono ammalate di tumore rispetto al numero di osservazioni hanno portato a quelle affermazioni. 20

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