Giochi e dilemmi Parte III Giochi a somma zero
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- Lorenza Fumagalli
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1 Giochi e dilemmi Parte III Giochi a somma zero Alberto Abbondandolo Elena Visibelli Pietro Battiston Università di Pisa Stage di orientamento in Matematica 2008
2 Le ipotesi di Von Neumann Alice ha disposizione l'insieme di opzioni X={1,2,...,m}.
3 Le ipotesi di Von Neumann Alice ha disposizione l'insieme di opzioni X={1,2,...,m}. Bruno ha disposizione l'insieme di opzioni Y={1,2,...,n}.
4 Le ipotesi di Von Neumann Alice ha disposizione l'insieme di opzioni X={1,2,...,m}. Bruno ha disposizione l'insieme di opzioni Y={1,2,...,n}. Se Alice sceglie l'opzione i e Bruno sceglie l'opzione j, il beneficio di Alice è il numero a(i,j), mentre il benificio di Bruno è il numero -a(i,j).
5 Strategie miste Le singole opzioni sono anche dette strategie pure. Una strategia mista per Alice è qualcosa del tipo:
6 Strategie miste Le singole opzioni sono anche dette strategie pure. Una strategia mista per Alice è qualcosa del tipo: sceglierò l'opzione 1 con probabilità p(1), sceglierò l'opzione 2 con probabilità p(2),... sceglierò l'opzione m con probabilità p(m).
7 Strategie miste Le singole opzioni sono anche dette strategie pure. Una strategia mista per Alice è qualcosa del tipo: sceglierò l'opzione 1 con probabilità p(1), sceglierò l'opzione 2 con probabilità p(2),... sceglierò l'opzione m con probabilità p(m). Qua p(1), p(2),..., p(m) sono numeri tra 0 e 1, con somma 1.
8 Strategie miste Le singole opzioni sono anche dette strategie pure. Una strategia mista per Alice è qualcosa del tipo: sceglierò l'opzione 1 con probabilità p(1), sceglierò l'opzione 2 con probabilità p(2),... sceglierò l'opzione m con probabilità p(m). Qua p(1), p(2),..., p(m) sono numeri tra 0 e 1, con somma 1. L'insieme delle strategie miste per Alice si indica con X*. Analogamente, si definisce Y* per Bruno.
9 Qualche formula utile Supponiamo che Alice scelga la strategia pura i e Bruno giochi la strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)).
10 Qualche formula utile Supponiamo che Alice scelga la strategia pura i e Bruno giochi la strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). In questo caso il beneficio medio di Alice è: a(i,j) q(j) sommato per tutti i j da 1 a n.
11 Qualche formula utile Supponiamo che Alice scelga la strategia pura i e Bruno giochi la strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). In questo caso il beneficio medio di Alice è: a(i,j) q(j) sommato per tutti i j da 1 a n. Se anche Alice sceglie una strategia mista, diciamo (p(1),p(2),...,p(m)), allora il suo beneficio medio è: p(i) a(i,j) q(j) sommato per tutti gli i e per tutti i j.
12 La migliore delle situazioni peggiori per Bruno Bruno sta valutando se adottare o meno una certa strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). Se la adotta, quale sarà la situazione peggiore al variare delle possibili risposte p di Alice?
13 La migliore delle situazioni peggiori per Bruno Bruno sta valutando se adottare o meno una certa strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). Se la adotta, quale sarà la situazione peggiore al variare delle possibili risposte p di Alice? max Σ p(i) a(i,j) q(j) p X*
14 La migliore delle situazioni peggiori per Bruno Bruno sta valutando se adottare o meno una certa strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). Se la adotta, quale sarà la situazione peggiore al variare delle possibili risposte p di Alice? max Σ p(i) a(i,j) q(j) p X* Quale scelta di q gli permette di minimizzare i danni?
15 La migliore delle situazioni peggiori per Bruno Bruno sta valutando se adottare o meno una certa strategia mista (q(1),q(2),...,q(n)). Se la adotta, quale sarà la situazione peggiore al variare delle possibili risposte p di Alice? min q Y* p X* max Σ p(i) a(i,j) q(j) Quale scelta di q gli permette di minimizzare i danni?
16 Valori del gioco Il valore appena trovato, V(B) = min max Σ p(i) a(i,j) q(j) q Y* p X* il migliore risultato che Bruno è sicuro di poter ottenere. è
17 Valori del gioco Il valore appena trovato, V(B) = min max Σ p(i) a(i,j) q(j) q Y* p X* il migliore risultato che Bruno è sicuro di poter ottenere. Simmetricamente, è V(A) = max min Σ p(i) a(i,j) q(j) p X* q Y* il migliore risultato che Alice è sicura di poter ottenere. è
18 Il teorema di Von Neumann Il Teorema di Von Neumann asserisce che: V(A) = V(B).
19 Il teorema di Von Neumann Il Teorema di Von Neumann asserisce che: V(A) = V(B). In altre parole, il miglior risultato (il beneficio più alto) che Alice è sicura di poter ottenere coincide con il miglior risultato (il beneficio più basso) che Bruno è sicuro di poter ottenere.
20 Il teorema di Von Neumann Il Teorema di Von Neumann asserisce che: V(A) = V(B). In altre parole, il miglior risultato (il beneficio più alto) che Alice è sicura di poter ottenere coincide con il miglior risultato (il beneficio più basso) che Bruno è sicuro di poter ottenere. Questo come valore si dice valore del gioco.
21 Il teorema di Von Neumann Il Teorema di Von Neumann asserisce che: V(A) = V(B). In altre parole, il miglior risultato (il beneficio più alto) che Alice è sicura di poter ottenere coincide con il miglior risultato (il beneficio più basso) che Bruno è sicuro di poter ottenere. Questo come valore si dice valore del gioco. Le strategie miste di Alice e Bruno che realizzano il valore del gioco si dicono ottimali.
22 I punti sella Un punto sella è un coefficiente della matrice a(i,j) che è minimo della sua riga e massimo della sua colonna.
23 I punti sella Un punto sella è un coefficiente della matrice a(i,j) che è minimo della sua riga e massimo della sua colonna. Esempio:
24 I punti sella Un punto sella è un coefficiente della matrice a(i,j) che è minimo della sua riga e massimo della sua colonna. Esempio: Se c'è un punto sella di coordinate (i,j), il valore del gioco è a(i,j) e le strategie pure Alice sceglie i e Bruno sceglie j sono ottimali.
25 Soluzione dei giochi 2x2 Ecco come risolvere un gioco 2x2 a b c d
26 Soluzione dei giochi 2x2 Ecco come risolvere un gioco 2x2 a b c d 1) Vedere se ci sono punti sella.
27 Soluzione dei giochi 2x2 Ecco come risolvere un gioco 2x2 a b c d 1) Vedere se ci sono punti sella. 2) Se non ce ne sono, le strategie ottimali sono quelle per cui il beneficio è il medesimo, sia che l'avversario scelga la prima opzione sia che scelga la seconda.
28 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata.
29 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata
30 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata
31 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata Se c'è una colonna i cui coefficienti sono minori o uguali a quelli di un'altra colonna, quest'ultima può essere eliminata.
32 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata Se c'è una colonna i cui coefficienti sono minori o uguali a quelli di un'altra colonna, quest'ultima può essere eliminata.
33 Righe e colonne dominate Se c'è una riga i cui coefficienti sono maggiori o uguali a quelli di un'altra riga, quest'ultima può essere eliminata Se c'è una colonna i cui coefficienti sono minori o uguali a quelli di un'altra colonna, quest'ultima può essere eliminata.
34 Un semplice modello del Poker Alice e Bruno mettono un Euro ciascuno nel piatto.
35 Un semplice modello del Poker Alice e Bruno mettono un Euro ciascuno nel piatto. Alice pesca una carta da un mazzo di 12, composto da J, Q, K, e A dei 4 semi. L'asso è vincente, le altre carte sono perdenti. Alice guarda la sua carta ma non la mostra a Bruno.
36 Un semplice modello del Poker Alice e Bruno mettono un Euro ciascuno nel piatto. Alice pesca una carta da un mazzo di 12, composto da J, Q, K, e A dei 4 semi. L'asso è vincente, le altre carte sono perdenti. Alice guarda la sua carta ma non la mostra a Bruno. Alice può stare o puntare. Se sta, vince il piatto se ha un Asso, lo da a Bruno altrimenti.
37 Un semplice modello del Poker Alice e Bruno mettono un Euro ciascuno nel piatto. Alice pesca una carta da un mazzo di 12, composto da J, Q, K, e A dei 4 semi. L'asso è vincente, le altre carte sono perdenti. Alice guarda la sua carta ma non la mostra a Bruno. Alice può stare o puntare. Se sta, vince il piatto se ha un Asso, lo da a Bruno altrimenti. Se punta, mette 2 Euro nel piatto. In questo caso, Bruno può vedere o passare.
38 Un semplice modello del Poker Alice e Bruno mettono un Euro ciascuno nel piatto. Alice pesca una carta da un mazzo di 12, composto da J, Q, K, e A dei 4 semi. L'asso è vincente, le altre carte sono perdenti. Alice guarda la sua carta ma non la mostra a Bruno. Alice può stare o puntare. Se sta, vince il piatto se ha un Asso, lo da a Bruno altrimenti. Se punta, mette 2 Euro nel piatto. In questo caso, Bruno può vedere o passare. Se vede, mette 2 Euro nel piatto e scopre la carta di Alice. Se passa cede il piatto ad Alice.
39 Strategie di Alice Strategie di Bruno
40 Strategie di Alice Strategie di Bruno Ardita: puntare sempre.
41 Strategie di Alice Strategie di Bruno Ardita: puntare sempre. Prudente: puntare con l'asso, stare altrimenti.
42 Strategie di Alice Strategie di Bruno Ardita: puntare sempre. Prudente: puntare con l'asso, stare altrimenti. Stupida: puntare con la figura, stare con l'asso.
43 Strategie di Alice Strategie di Bruno Ardita: puntare sempre. Prudente: puntare con l'asso, stare altrimenti. Stupida: puntare con la figura, stare con l'asso. Pessimista: stare sempre.
44 Strategie di Alice Ardita: puntare sempre. Prudente: puntare con l'asso, stare altrimenti. Strategie di Bruno Passo: Se Alice punta, passare. Stupida: puntare con la figura, stare con l'asso. Pessimista: stare sempre.
45 Strategie di Alice Ardita: puntare sempre. Prudente: puntare con l'asso, stare altrimenti. Stupida: puntare con la figura, stare con l'asso. Strategie di Bruno Passo: Se Alice punta, passare. Vedo: Se Alice punta, vedere. Pessimista: stare sempre.
46 La tabella del gioco Passo Vedo Ardita Prudente Stupida Pessimista
47 La tabella del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente Stupida Pessimista
48 La tabella del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida Pessimista
49 La tabella del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida 1-2 Pessimista
50 La tabella del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida 1-2 Pessimista -1/2-1/2
51 Rimozione righe dominate Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida 1-2 Pessimista -1/2-1/2
52 Rimozione righe dominate Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida Pessimista -1/2-1/2
53 Rimozione righe dominate Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida Pessimista -1/2-1/2
54 Rimozione righe dominate Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Stupida Pessimista
55 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0
56 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella.
57 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p).
58 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p). Se Bruno passa il beneficio è: 1 p - 1/2 (1-p) = 3/2 p 1/2.
59 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p). Se Bruno passa il beneficio è: 1 p - 1/2 (1-p) = 3/2 p 1/2. Se Bruno vede il beneficio è: -3/2 p + 0 (1-p) = -3/2 p.
60 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p). Se Bruno passa il beneficio è: 1 p - 1/2 (1-p) = 3/2 p 1/2. Se Bruno vede il beneficio è: -3/2 p + 0 (1-p) = -3/2 p. Uguagliando i benefici: p = 1/6.
61 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p). Se Bruno passa il beneficio è: 1 p - 1/2 (1-p) = 3/2 p 1/2. Se Bruno vede il beneficio è: -3/2 p + 0 (1-p) = -3/2 p. Uguagliando i benefici: p = 1/6. Valore del gioco: V = - 1/4.
62 Risoluzione del gioco Passo Vedo Ardita 1-3/2 Prudente -1/2 0 Non ci sono punti sella. Alice è ardita con probabilità p, prudente (1-p). Se Bruno passa il beneficio è: 1 p - 1/2 (1-p) = 3/2 p 1/2. Se Bruno vede il beneficio è: -3/2 p + 0 (1-p) = -3/2 p. Uguagliando i benefici: p = 1/6. Valore del gioco: V = - 1/4. Strategia di Bruno: vedere con probabilità q = 1/2.
63 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2.
64 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento.
65 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty.
66 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub.
67 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub. 5) Gli Alleati contro la Germania.
68 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub. 5) Gli Alleati contro la Germania. 6) Il Colonnello Blotto contro il Luogotenente Kije.
69 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub. 5) Gli Alleati contro la Germania. 6) Il Colonnello Blotto contro il Luogotenente Kije. 7) Il gioco di Mendelsohn.
70 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub. 5) Gli Alleati contro la Germania. 6) Il Colonnello Blotto contro il Luogotenente Kije. 7) Il gioco di Mendelsohn. 8) Il poker di prima, ma con puntata di 5 euro, o più in generale di k Euro.
71 E ora a voi! 1) Giustificare quanto detto sul caso 2x2. 2) Un po' di riscaldamento. 3) Sherlock Holmes contro il Professor Moriarty. 4) Alice e Bruno al pub. 5) Gli Alleati contro la Germania. 6) Il Colonnello Blotto contro il Luogotenente Kije. 7) Il gioco di Mendelsohn. 8) Il poker di prima, ma con puntata di 5 euro, o più in generale di k Euro. 9) Il poker di Kuhn.
72 Per saperne di più John Von Neumann, Oskar Morgenstern, Theory of games and economic behavior, Princeton University Press Thomas S. Ferguson, Game theory, Risolutore di giochi a somma zero:
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