Università degli Studi di Bari Dipartimento di Scienze Economiche e Metodi Matematici. Corso di Econometria

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1 Università degli Studi di Bari Dipartimento di Scienze Economiche e Metodi Matematici Corso di Econometria Corsi di Laurea Magistrale in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari 8 CFU Statistica per le per le Decisioni Finanziarie ed Attuariali 6 CFU Economia e Management 6 CFU 1

2 Orario Lezioni mercoledì 11:30 14:30 giovedì 12:30 14:30 costituiscono parte integrante del corso le esercitazioni sull uso di Gretl. Orario ricevimento martedì Comunicazioni Pagina web docente 2

3 Programma (8 CFU) Il Modello Lineare Classico di Regressione Regressione Multipla Funzioni di regressione non lineari Valutazione degli studi di regressione Regressione con dati panel Regressione con variabili strumentali Regressione con variabile dipendente binaria Regressioni con serie storiche Libro di testo Stock J.H. e Watson M.W. Introduzione all Econometria, Pearson Education Italia 3

4 Obiettivi del corso Introduzione all analisi empirica dei dati economici. La teoria economica suggerisce relazioni molto interessanti che hanno un interpretazione di natura politica. Quali sono le variabili che possono influenzare i cicli economici? Tuttavia molto spesso la grandezza degli effetti CAUSALI è ignorata: Qual è l effetto della produttività del lavoro sulla crescita? Da che variabili dipende il rendimento di un titolo? 4

5 L econometria serve a rispondere a queste domande e a 1. sottoporre a verifica empirica le teorie economiche 2. prevedere i valori futuri delle variabili economiche 3. adattare dei modelli economici/matematici ai dati del mondo reale 4. formulare raccomandazioni di policy quantitative 5

6 Alcune domande empiriche: 1. ridurre la dimensione delle classi migliora il livello di istruzione nella scuola elementare? nel senso comune orientativamente si, ma bisogna quantificare 2. qual è il rendimento di un titolo di studio come la laurea? bisogna tenere costanti le altre caratteristiche dei richiedenti 3. effetti della tassazione: di quanto riduce il consumo del bene tassato? 4. di quanto aumenta il rendimento di un titolo se aumenta il rendimento del mercato? 6

7 Esempio di stima L econometria utilizza metodi statistici e matematici per l analisi di dati economici con il fine di dare riscontro empirico alle teorie economiche. Modelli economici = rappresentazione schematizzata della realtà di un fenomeno economico Esempio Teoria del consumo di Keynes Funzione implicita Consumo = f(reddito) 7

8 Dati economici (serie storica) Consumo Reddito 1971Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

9 Proponiamo una rappresentazione grafica al fine di cogliere l andamento di questi dati nel tempo Q1 1973Q2 1974Q3 1975Q4 1977Q1 1978Q2 1979Q3 1980Q4 1982Q1 1983Q2 1984Q3 1985Q4 1987Q1 1988Q2 1989Q3 1990Q4 1992Q1 1993Q2 1994Q3 1995Q4 1997Q1 1998Q2

10 Diagramma a nuvola- scatter plot Consumo Reddito 10

11 Funzione esplicita (lineare) C = α + βr Consumo Reddito 11

12 1. C = α + βr +ε ; α=0.6; β=0.9; C = R è solo un approssimazione della realtà. (α + βr) parte deterministica, (ε) parte stocastica Qual è il significato di α=0,6; β=0.9? Inferenza 2. bisogna tenere conto di altre variabili? 3. etc.. 12

13 Tipi di dati: 1. Dati sperimentali: provengono da esperimenti disegnati per valutare l effetto di un trattamento o un azione di politica economica; 2. Dati sezionali (cross-section): dati che si riferiscono ad entità diverse (lavoratori, consumatori, unità governative, paesi etc.) osservate solo una volta nel tempo. 3. Serie storiche (time series): dati che si riferiscono ad una singola entità (individuo, impresa, paese) osservati più volte nel tempo - quelli dell esempio precedente -. 13

14 4. Dati longitudinali (panel): dati che riguardano più entità ognuna delle quali è osservata in due o più periodi 14

15 Riassunto su Probabilità e Statistica Problema empirico: grandezza della classe e output dell istruzione Domanda politica: qual è l effetto di ridurre la grandezza delle classi di uno studente per classe? e di 8 studenti? Qual è la misura corretta per l output (variabile dipendente)? o Soddisfazione dei genitori o Sviluppo personale degli studenti o Guadagno e/o benessere futuro degli alunni o Performance (voto) nei test 15

16 Che cosa ci dicono i dati sulla relazione fra grandezza della classe e i voti? Variabili considerate Voti ottenuti in 5 a (Stanford-9 achievement test, combina matematica e lettura), media dei distretti (tipo PISA) Rapporto fra studenti ed insegnanti Student Teacher Ratio (STR) = numero di studenti nel distretto scolastico diviso per in numero di insegnanti 16

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18 Come possiamo iniziare a capire se numericamente i distretti con basso STR ottengono voti più alti? Tre possibili strategie: 1. confrontare numericamente le medie dei voti ottenuti nei distretti con basso STR con quelli con alto STR (stima) 2. test di ipotesi sulle medie dei test nei due tipi di distretto (test di ipotesi) 3. stimare un intervallo di confidenza per la differenza delle medie dei voti, alto vs basso STR. (intervallo di confidenza) 18

19 Analisi dei dati iniziale: Confronto fra i distretti con classi piccole, STR< 20, e classi grandi, STR>=20. Grandezza della classe Voto medio stimato Deviazione standard n ( ) stimata (s) Classi Piccole STR< Classi Grandi STR

20 Procedura d analisi: 1. Stimiamo = differenza fra le medie dei gruppi 2. Testiamo l ipotesi che = 0 3. costruiamo un intervallo di confidenza per 2. e 3. sono alternative che conducono allo stesso risultato 20

21 1. Stima small large = = 7.4 small = n 1 small n small 1 i = n 1 l arge n l arge 1 i Domanda: Questa differenza può essere considerata grande? La deviazione standard fra i distretti è di 19.1 (vedi tabella) La differenza fra il 60 e il 75 percentile dei voti è =8.2 È una differenza abbastanza grande per aprire un dibattito su una eventuale riforma della scuola. 21

22 2. Test d ipotesi Test di differenze fra medie: calcoliamo la statistica t t = s s n 2 s s l s + n 2 l l = s l SE( ) s l Ricordate? dove SE( s l ) è lo standard error di ( s l ) e lo standard error è la stima della deviazione standard. 22

23 Utilizzando il nostro campione Grandezza delle classi s N Piccole Grandi t = = = t >1.96 rifiutiamo (al livello di significatività del 5%) l ipotesi nulla che le due medie sono uguali 23

24 3. Intervallo di confidenza Un intervallo di confidenza al 95% per la differenza fra le medie è s l ± 1.96 SE( s l ) = 7.4± = ( ) Due conclusioni equivalenti: 1. l intervallo di confidenza al 95% per non include lo 0; 2. l ipotesi che =0 è rifiutata al 5% 24

25 Dovreste già conoscere tutto questo ma: quali sono i presupposti che giustificano questo procedimento? 1. Stima: perché stimiamo utilizzando s l? 2. Test: che cos è in realtà lo standard error di s l? perché rifiutiamo = 0 se t >1.96? 3. Intervallo di confidenza: cos è in realtà l intervallo di confidenza? 25

26 Nozioni di probabilità per inferenza statistica 1. stima 2. test 3. intervalli di confidenza Popolazione gruppo o collettivo di entità di interesse nel nostro esempio tutti i possibili distretti scolastici. Tutti i possibili significa tutte le possibili circostanze che conducono a valori specifici di STR e voti in genere si pensa alla popolazione come infinitamente grande; il nostro compito è di fare inferenza utilizzando un campione estratto da una grande popolazione

27 Variabile casuale indicatore numerico sintetico di un risultato casuale nel nostro esempio, il valore numerico della media distrettuale dei risultati dei test (o gli STR distrettuali), una volta scelto l anno e il distretto da campionare Distribuzione di probabilità di la probabilità con cui i diversi valori di si ripetono nella popolazione, es. Pr[=650] per discreta le probabilità con cui un insiemi di questi valori si ripete, es. Pr[<=650] per continua

28 Momenti di una distribuzione di probabilità media = valore atteso = E() n 1 = = i n 1 = µ varianza = E(- E()) 2 = E(-µ ) 2 = σ 2 = misura dell ampiezza della distribuzione (distanza dalla media) al quadrato deviazione standard = σ 2 = σ

29 Distribuzione condizionata La distribuzione di, dati i valori di un altra variabile casuale, es. la distribuzione dei voti dato che STR < 20 Momenti di una distribuzione di probabilità media condizionata = media della distribuzione condizionata = E( X=x) varianza condizionata = varianza della distribuzione condizionata es. E(voti STR>20) la media dei voti per i distretti con le classi più grandi, i.e. E(voti) = mentre E(voti STR>20) = 650.0

30 La differenza delle medie è la differenza fra le medie di due distribuzioni condizionate = E(voti STR<20) - (voti STR>=20) altri esempi di medie condizionate: salari delle donne lavoratrici (=salari, X=genere) tasso di mortalità ad un anno per coloro a cui è stato dato un trattamento sperimentale (=vivo/morto, X=trattato, non trattato) La media condizionata è un nuovo termine per un concetto già noto come media di gruppo

31 Inferenza su medie, medie condizionate, e differenze fra medie condizionate Vorremmo conoscere (differenza fra i voti, differenza fra i salari delle donne e degli uomini, effetto di un trattamento sperimentale). Abbiamo dunque bisogno di dati che ci permettano di fare inferenza statistica su, 2 possibilità: dati sperimentali dati osservati

32 Campionamento casuale semplice scegliamo un individuo (distretto, entità) casualmente dalla popolazione Casualità e dati Prima di raccogliere i dati, il valore di è casuale perché l individuo selezionato è causale quando l individuo è stato selezionato e il valore di è osservato, allora è solo un numero non più casuale Il campione di dati è ( 1, 2, n ) dove i è il valore di per l individuo/distretto/entità i-esimo/a del campione

33 Implicazioni di un campionamento casuale semplice Poiché gli individui #1 e #2 sono selezionati casualmente il valore 1 non fornisce alcuna informazione su 2. In questo senso si dice che: 1 e 2 sono indipendentemente distribuite 1 e 2 provengono dalla stessa distribuzione e cioè sono identicamente distribuite Una conseguenza del campionamento casuale è che 1 e 2 sono indipendentemente ed identicamente distribuite (i.i.d.) Più in generale, sotto un campionamento casuale semplice si dice che { i }, i=1,2,,n sono i.i.d.

34 Nozioni di probabilità per inferenza statistica 1. stima 2. test 3. intervalli di confidenza è uno stimatore naturale della media ma quali sono le proprietà di questo stimatore? altri esempi potrebbero essere 1 la prima osservazione o una media ponderata con pesi diversi per diverse osservazioni o la mediana della distribuzione di i. Si può dimostrare che è il miglior stimatore della media guardando alle sue proprietà NB proprietà/caratteristiche di uno stimatore => media e varianza

35 Per rispondere a queste domande dobbiamo caratterizzare la distribuzione campionaria di gli individui del campione sono distribuiti casualmente dunque i valori di ( 1, 2, n ) sono casuali dunque le funzioni di ( 1, 2, n ), come, sono casuali (se estraiamo un altro campione avremmo valori diversi) la distribuzione di su tutti i possibili campioni diversi di grandezza n è chiamata distribuzione campionaria di la media e la varianza di sono media e varianza della sua distribuzione campionaria, E( ) e Var( ) per calcolare Var( ) abbiamo bisogno della covarianza (vedi par 2.3)

36 La covarianza fra X e Z è cov(x,z)=e[(x-e(x)) (Z-E(Z))]= σ XZ La covarianza è una misura di associazione lineare fra X e Z cov(x,z) > 0 (<0). C è una relazione positiva (negativa) fra X e Z. Se X e Z sono indipendentemente e identicamente distribuite allora cov(x,z)=0 (ma non viceversa!!!) la covarianza di una variabile casuale con se stessa è la sua varianza cov(x,x)=e[(x-e(x)) (X-E(X))]= σ 2 X

37 Digressione: Il coefficiente di correlazione è definito in termini della varianza (, ) cov( XZ corr X Z = = = var( X X ), Z ) var( Z ) σ σ σ X Z r XZ -1 corr(x,z) 1 corr(x,z) = 1 associazione lineare positiva perfetta corr(x,z) = - 1 associazione lineare negativa perfetta corr(x,z) = 0 non c è associazione lineare

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41 Ora siamo i grado di valutare le proprietà dello stimatore La media e la varianza della distribuzione campionaria di - Media n i n i i n i i n n n E n n E E µ µ µ = = = = = = = = ) ( 1 ) 1 ( ) ( NB il valore atteso di una costante è uguale alla costante stessa

42 - Varianza n n n n Var n Var n n Var Var n i n i j j j i n i i n i i n i i , ), cov( 1 ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( σ σ = = + = = = = = = = = NB la varianza di una costante è uguale alla costante al quadrato + cov( i, j )=0 + vedi fine par 2.3 media e varianza di somme di due variabili casuali

43 Implicazioni: è uno stimatore corretto di µ, cioè E( )=µ var( ) è inversamente proporzionale a n l ampiezza (distanza dalla media) della distribuzione campionaria è proporzionale a 1/ n dunque l incertezza campionaria che deriva dal fatto di fare inferenza su µ usando proporzionalmente a 1/ n Cosa dire dell intera distribuzione di oltre che della media e varianza? In generale è molto difficile estrarre la distribuzione campionaria di, è complicato perché essa dipende dalla distribuzione di. Tuttavia si nota che al crescere di n la distribuzione di si concentra attorno a µ e dunque l incertezza campionaria diminuisce.

44 Uno stimatore è consistente se la probabilità che esso cada all interno di un intervallo che comprende i veri valori della popolazione tende a 1 quanto più la grandezza campionaria cresce. La legge dei grandi numeri se ( 1, 2, n ) sono i.i.d. e 2 σ < allora è uno stimatore consistente di µ cioè Pr[ - µ < ε] 1 come n che può essere scritto come µ ( converge in probabilità verso µ )

45 Teorema del limite centrale se ( 1, 2, n ) sono i.i.d. e 2 σ < => quando n è grande la distribuzione di è ben approssimata da una distribuzione normale: ~ N µ, σ n ( µ ) ; / n σ 2 n ( µ ) σ ~ N(0,1) l approssimazione migliora se n cresce normale standardizzata

46 E( ) Distribuzione di var( )

47 Sommario per ( 1, 2, n ) assumendo che sono i.i.d. e 2 σ la distribuzione campionaria esatta di ha media µ e varianza n a parte media e varianza, l esatta distribuzione di è complicata e dipende dalla distribuzione di p µ (legge dei grandi numeri) E( ) var( ) si distribuisce approssimativamente N(0,1) (teorema del limite centrale) 2 σ <

48 Perché usiamo per stimare µ? correttezza E( ) = µ consistenza p µ ha la varianza minore fra tutti gli altri stimatori lineari di µ (teorema di Gauss-Markov che non abbiamo dimostrato)

49 Nozioni di probabilità per inferenza statistica 1. stima 2. test 3. test d ipotesi 4. intervalli di confidenza Il test d ipotesi (per le medie) ci aiuta a prendere una decisione: o è vera l ipotesi nulla o lo è qualche altra ipotesi alternativa? H 0 : E() = µ,0 vs H 1 : E() > µ,0 (ad una coda) H 0 : E() = µ,0 vs H 1 : E() < µ,0 (ad una coda) H 0 : E() = µ,0 vs H 1 : E() µ,0 (ad due coda)

50 p-valore: assumendo che la H 0 è vera, il p-valore è probabilità di ottenere una statistica che sia tanto sfavorevole all H 0 almeno quanto quella calcolata per mezzo del campione. p-valore = Pr Ho [ - µ,0 > att - µ,0 ] dove att è il valore di attualmente osservato (non casuale). Probabilità di ottenere un valore di che, sotto H 0, sia diverso da µ,0 almeno quanto lo è att. p-valore è l area nelle code della distribuzione di, sotto H 0, corrispondente ai valori esterni all intervallo att - µ,0. Se il p-valore è elevato allora il valore att è coerente con l ipotesi nulla.

51 se n è grande possiamo utilizzare l approssimazione alla normale dunque µ p-value = att µ PrHo > σ / n σ / n probabilità sotto le code destra e sinistra di una N(0,1) livello di significatività di un test è la probabilità specificata a priori di rifiutare non correttamente H 0, quando H 0 è vera.

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53 Stima della varianza di n 2 1 = 2 s ( i ) n 1 i= 1 di fatto se ( 1, 2, n ) sono i.i.d. e E ( 4 ) <, s 2 p σ 2 la legge dei grandi numeri si applica perché anche s 2 è una media campionaria, vedi appendice 3.3 si assume che E ( 4 ) < perché la media non è di i ma del suo quadrato, vedi appendice 3.3

54 Il p-value con s 2 al posto di σ 2 è µ, 0 att µ,0 PrH > = Pr 0 H0 s / n s / n code destra e sinistra di una normale dove ( µ ) t = s /,0 n [ t > t ] è la statistica t che già conosciamo att probabilità sotto le Il p-value e il livello di significatività con un livello di significatività già specificato a priori (es 5%) rifiutiamo se t 1.96 allo stesso modo rifiutiamo se p 0.05 il p-value è a volte chiamato livello di significatività marginale

55 La distribuzione t-student se è una normale N(µ, σ 2 ) allora da statistica t ha una distribuzione t-student con gradi di libertà n per n grandi (n>30) la distribuzione t e la N(0,1) sono molto simili In questo corso utilizzeremo principalmente questa approssimazione

56 Nozioni di probabilità per inferenza statistica 5. stima 6. test 7. test d ipotesi 8. intervalli di confidenza un intervallo di confidenza al 95% può sempre essere costruito come un insieme di valori di µ non rifiutati da un test di ipotesi con un livello di significatività del 5%

57 ( ) + = = n s n s n s n s 1.96, / 1.96 : 1.96 / : µ µ µ µ µ il concetto dell intervallo di confidenza si basa sui risultati visti prima che presuppongono n grande e dunque che sia approssimativamente normalmente distribuito e che 2 2 p s σ

58 Sommario Assumendo 1. un campionamento casuale e che ( 1, 2, n ) sono i.i.d < E( 4 ) < possiamo sviluppato per n grande: teoria dello stimatore (distribuzione campionaria di ) teoria del test d ipotesi (statistica t e p-value) teoria dell intervallo di confidenza (costruita invertendo la statistica t) Le assunzioni 1. e 2. sono plausibili in pratica? SI!

59 Domanda di natura politica: qual è l effetto di ridurre STR di uno studente a classe? Fino ad ora abbiamo esaminato = differenza fra le medie, anche se non risponde propriamente alla nostra domanda. voti Saremmo piuttosto interessati a conoscere il valore di che è la STR pendenza della retta che mette in relazione i voti con STR in qualche modo dobbiamo stimare questa pendenza..

60 Obiettivo principale del corso: utilizzare metodi statistici ed econometrici per quantificare gli effetti causali: idealmente dovremmo fare uso di dati sperimentali ma nella maggior parte dei casi faremo riferimento a dati osservati i principali problemi dei dati osservati sono: effetti che confondo le nostre conclusioni (fattori omessi) causalità simultanea (STR voti o voti STR?) correlazione non implica causalità

61 In questo corso 1. imparerete i metodi di stima degli effetti causali usando dati osservati; 2. imparerete qualche metodo che può essere utilizzato per qualche altro scopo, es prevedere serie storiche; 3. vi concentrerete sulle applicazioni empiriche al fine di comprendere il perché di questi metodi; 4. imparerete a fare la vostra analisi empirica e a comprendere quella che hanno fatto altri;

62 Tavole della distribuzione t-student Probability, p Degrees of Freedom