MODELLI. 4.1 Paramagnete semplice a spin-1/2

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1 MODELLI In questo captolo vengono studat prncpal modell descrvent sstem caratterzzat da un comportamento collettvo che l rende nteressant dal punto d vsta della fsca de fenomen crtc. Verrà dato partcolare rlevo a sstem magnetc, perchè le corrspondent Hamltonane rsultano puttosto semplc ed adatte per lo studo d fenomen crtc che caratterzzano altr sstem non magnetc. Tratteremo come prmo esempo l caso del paramagnete semplce. Tuttava, questo sstema non presenta transzon crtche a causa dell assenza d un comportamento collettvo fra gl spn. Lo scopo è nfatt quello d mettere n evdenza la dfferenza fra tale comportamento e quello d altr sstem n cu è nvece presente un comportamento collettvo che porta a sua volta ad un comportamento crtco. 4.1 Paramagnete semplce a spn-1/2 Consderamo una dstrbuzone regolare nello spazo d moment magnetc d spn ½ che possono qund assumere solo valor ± μ, rspettvamente orentat lungo un asse unco z corrspondent alle due component s z = 1/2. I due valor assunt ± μ sono due vncol del sstema. S può qund consderare questa dstrbuzone d moment magnetc tutt ugual fra d loro come un sstema d partcelle d spn-½ non nteragent fra d loro facent parte d una struttura pù complessa come un retcolo d atom. Se s pongono quest moment magnetc n un campo esterno l Hamltonana corrspondente vale H=-Hμ s = 1 (4.1) dove s =± 1 è la varable scalare corrspondente a ±μ ed è l numero totale d dpol. Il parametro d ordne è qund rappresentato da uno scalare a due component. L Hamltonana d Eq.(4.1) è l Hamltonana d un paramagnete semplce ed esprme l nterazone degl moment magnetc con l campo magnetco esterno H d ntenstà H. Gl moment magnetc d uguale ntenstà μ assumono valor casual par a + μ oppure a μ n funzone del sto che occupano nel retcolo d atom, ma al crescere dell ntenstà del campo gl moment μ s dspongono tutt parallel ad H. E da notare che n Eq.(4.1) non s specfca la dmensonaltà del sstema per cu 1

2 può rappresentare un sstema d-dmensonale con d = 1 (undmensonale), d = 2 (bdmensonale), d = 3 (trdmensonale) e così va. on s ha nterazone fra moment magnetc, poché s consdera l caso del paramagnete semplce dove l nterazone d scambo è nulla, coè J = 0. Cò mplca l assenza d un comportamento collettvo. Il numero totale d stat possbl è = 2. Infatt, poché ad ogn momento magnetco sono assocat due stat e tal stat sono ndpendent occorre fare l prodotto degl stat assocat a cascun momento per avere l numero totale d stat. Lo stato fondamentale del sstema è quello corrspondente alla mnma energa E=- Hμ< 0 (le tre quanttà sono postve) che s realzza quando tutt gl s hanno valore par a +1. Gl stat ecctat s ottengono per rovescamento degl spn. Ad esempo, l prmo stato ecctato s ottene ponendo lo spn s 1 = 1 e lascando nvarat gl altr - 1 spn e così va per gl altr stat. In fgura sono mostrat lo stato fondamentale ed l prmo stato ecctato ottenuto rovescando uno spn a pacere n un sstema undmensonale (catena). I cerch vuot rappresentano gl atom della catena a cu le varabl d spn sono assocate s 1 = 1 s 2 = 1 s = 1 STATO FODAMETALE s 1 = 1 s 2 = -1 s = 1 I o STATO ECCITATO Le propretà macroscopche del sstema s rcavano calcolando la funzone d partzone corrspondente. Scrvamo la funzone d partzone del paramagnete semplce espressa come somma sugl stat s possbl degl spn. Cascuno spn ha due stat, qund per ogn atomo s deve 2

3 sommare su due stat. S ha anche che esplctamente = =... essendo le {} s s1, s2,... s s1 s2 s varabl s, assocate ognuna a cascun atomo, fra d loro ndpendent. La funzone d partzone rsulta qund βμh β β = E Z Tr H e H β = = s e s = e s = e {} s {} s s = 1 s = 1 s = dove Tr ndca la tracca, coè la somma sugl element dagonal (stat dagonal s), mentre β = 1/ kt B con k B la costante d Boltzmann e T la temperatura assoluta. Lo stato energetco E s è l autovalore (le vrgolette ndcano che l sstema descrtto è classco) corrspondente all Hamltonana d Eq.(4.1) ed è uguale all Hamltonana stessa, poché l sstema è classco. In partcolare s è applcata l equazone agl autovalor H ( H) s = E s e s è tenuto conto della condzone d normalzzazone degl stat, coè s s = 1. Ogn sommatora è calcolata sommando su due termn s = 1, + 1 con = 1,2,. La funzone d partzone può essere rscrtta applcando una propretà della funzone esponenzale secondo la quale s s 1 βμh s βμ 1 ( ) Hs1 Hs e = βμ βμ = e = e e 2... e s ottene H s s s βμhs. Qund, sosttuendo nell espressone d Z, Z = e 1e 2... e = s = 1 s = 1 s = βμhs βμhs = e 1 e 2 e = s = 1 s = 1 s = βμhs βμh βμh βμh βμh βμh βμh ( e e )( e e )... ( e e ) ( βμh) ( βμh) ( βμh) ( βμh) = 2cosh 2cosh...2cosh = 2cosh βμhs βμhs βμhs = = In questa sere d passagg s è portato cascun esponenzale dentro la somma sugl stat corrspondente e, dopo avere sommato cascun s su due stat -1 e +1, s è usata l denttà x x trgonometrca e + e = 2coshx. La funzone d partzone d un paramagnete semplce assume qund la forma 3

4 Z = 2cosh( βμh) (4.2) A partre da Z s possono rcavare due altre grandezze fondamental del sstema, coè l energa lbera F d Helmholtz e la magnetzzazone M. Infatt, tenendo presente che semplce vale F = k Tln 2cosh ( βμh) B F = k Tln Z, s trova che l energa lbera d un paramagnete B da cu F = kbt H (4.3) ln 2cosh ( βμ ) applcando la propretà del logartmo secondo cu ln x = ln x. A partre da F s rcava la magnetzzazone del sstema 1 F M = V H T dove non s è moltplcato per, poché l numero d atom (dpol) è gà contenuto n F. Sosttuendo la F d Eq.(4.3) s ottene ( B ln ( 2cosh ( βμ ))) 1 M = k T H V = H T ( βμ ) ( βμh ) ( βμ ) 1 snh 1 = kbt 2snh( βμh) βμ = kbt μ V 2cosh H V cosh H k T B ( ) dove s è applcata la regola d dervazone della funzone composta ln f g( x), coè ( g( x) ) g( x) f D ln f ( g( x) ) g = ( x) da cu, tenendo presente che snh x tanh x f cosh x =, s ha che ( ) M = μ tanh( βμh ) V (4.4) Per defnzone la magnetzzazone del sstema può essere anche scrtta come M = μ s dove V s ndca una meda statstca sull nseme delle varabl s. La meda statstca è una meda d nseme e per l teorema ergodco corrsponde ad una meda temporale. Dal confronto con Eq.(4.4) = s tanh( βμh ) (4.5) In Eq.(4.4) non compare per la magnetzzazone la dpendenza dalla dmensonaltà del sstema e dalla forma del retcolo. Inoltre, l sstema non presenta transzon crtche a causa della mancanza 4

5 d un comportamento collettvo. Per verfcare cò basta rappresentare la meda d nseme sugl spn espressa n Eq.(4.5) n funzone della temperatura T che compare n β = 1/ kt B a fssata ntenstà del campo magnetco esterno H notando che non s hanno punt crtc come è rappresentato n fgura. In partcolare, s hanno due comportament asntotc: s = 1 per T 0 e s 0 per T come s nota dal grafco. Infatt, T 0 mplca che β n modo tale che, per un fssato valore d campo esterno H, snh( βμh ) e cosh ( βμh ) rapdtà così che tanh( H ) 1 valore d campo esterno H, snh( βμh ) 0 e ( H ) ( H ) tanh βμ 0. con la stessa βμ. D altra parte, T mplca β 0, coè, per un fssato cosh βμ 1 n modo tale che s T È qund poco nteressante dal punto d vsta delle transzon d fase. I rsultat d Eq.(4.3) e d Eq.(4.5) verranno però utlzzat quando verrà rsolto l modello d Isng a spn-½ medante la teora d campo medo. 5

6 4.2 Modello d Isng a spn-1/2 Consderamo un prmo esempo d modello basato su un sstema che esbsce un comportamento collettvo. Tale modello è detto modello d Isng ed è stato deato nel 1925 da Lenz ed Isng. È nato come modello classco. Pur essendo stato formulato n termn d varabl propre d un sstema magnetco ha avuto un notevole successo, pochè a causa della sua semplctà e della sua generaltà è stato applcato soprattutto per studare sstem non-magnetc. Il modello d Isng pù conoscuto e pù usato nelle applcazon è quello a spn-½. Supponamo d avere una varable classca d spn s che assume valor ± 1 e d dsporre quest spn su un retcolo d atom. Come per l paramagnete semplce, l parametro d ordne è uno scalare a due component. Gl spn del retcolo nteragscono secondo l Hamltonana H= J ss H s (4.6) ell Hamltonana d Eq.(4.6) non compare la dmensonaltà del sstema per cu essa può descrvere genercamente un sstema d-dmensonale con d = 1,2,3,... In fgura sono mostrate dsposzon d spn n un sstema undmensonale (catena) ed n un sstema bdmensonale (superfce) assumendo tutto gl spn allneat ( s = + 1). Questa confgurazone s può verfcare anche se J <0 per effetto del campo magnetco esterno applcato. 6

7 s 1 = 1 s = 1 CATEA: SISTEMA UIDIMESIOALE s 1 = 1 s = 1 SUPERFICIE: SISTEMA BIDIMESIOALE Il prmo termne esprme l nterazone d scambo fra le coppe d spn prm vcn medante la costante d scambo (ntegrale d scambo) J. Cò sgnfca che, a fssato atomo -esmo, vene effettuata una somma su prm vcn. In una dmensone, fssato l atomo -esmo prm vcn sono due, coè l atomo = -1 e l atomo = +1, mentre n due o pù dmenson l numero d prm vcn è maggore e dpende dal tpo d retcolo consderato. Il secondo termne descrve l nterazone d cascuno spn (atomo) con l campo esterno H d ntenstà H. Il campo esterno è assunto costante e cascuno spn nteragsce con H allo stesso modo. Per ragon d comodtà s assume che l campo esterno abba le dmenson d un energa come la costante d scambo J. Il valore d J postvo, coè J > 0 dà un nterazone d scambo a spn parallel, mentre l valore d J < 0 esprme un nterazone d scambo a spn antparallel. Il secondo termne è equvalente al termne dell Hamltonana del paramagnete semplce a spn 1/2. 7

8 Osservando l Hamltonana d Eq.(4.6) s nota che l modello d Isng a spn-½ può rappresentare realstcamente solamente un sstema magnetco con forte ansotropa nello spazo degl spn dretta lungo l asse z ndvduato dalla drezone d H (asse facle lungo z). Dvene qund paradossalmente poco utle per descrvere sstem magnetc real. Infatt, tal sstem n genere non presentano la forte ansotropa lungo la sola drezone rchesta dal modello ed nvece manfestano effett d retcolo che potrebbero portare all orentazone degl spn lungo una drezone preferenzale dversa da quella del modello Transzone ordne-dsordne nelle leghe bnare Rsulta quas sorprendente la possbltà d applcare l modello d Isng a spn-½ ad altr sstem non-magnetc. Vedamo l applcazone d tale modello ad alcun sstem. Lo scopo è d mostrare come quest sstem possano essere rappresentat medante l Hamltonana d Isng. In prmo luogo consderamo l retcolo trdmensonale costtuto dalla lega bnara rame-znco, coè l retcolo CuZn (ottone). S dovrà qund utlzzare l modello d Isng a spn-½ trdmensonale, coè con d = 3. L ottone è costtuto da un numero uguale d atom d rame e d znco che gaccono su st retcolar d un retcolo bcc (retcolo a corpo centrato). Assocamo arbtraramente cerch pen agl atom d Cu e quell vuot agl atom d Zn. Ad alta temperatura (pannello (a) n fgura) ogn sto retcolare è occupato n modo casuale dalle due spece atomche dando orgne ad una struttura dsordnata. Il dsordne deve essere nteso come dsordne sosttuzonale a causa della dsposzone casuale degl atom e non topologco, poché l retcolo contnua ad esstere pur se n una confgurazone dsordnata. Se s abbassa la temperatura del sstema, a T = 733 K ha luogo una 8

9 transzone d fase crtca verso uno stato ordnato mostrato nel pannello (b) d fgura per ( T = 0) T T. Cascuna spece atomca occupa un sottoretcolo cubco semplce per cu s realzza complessvamente un retcolo bcc formato da due sottoretcol cubc ncastonat fra d loro. Questa fase ordnata è caratterzzata da un parametro d ordne dato dalla dfferenza degl atom delle due spece n un dato sottoretcolo, coè Ψ= Cu Zn. Vale anche per questa transzone d fase crtca ordne dsordne la regola generale secondo la quale la fase pù ordnata è quella meno smmetrca, mentre la meno ordnata è quella pù smmetrca. Lo scopo è quello d scrvere un Hamltonana che descrva le nterazon fra ogn coppa d atom nell ottone e che predca una transzone d fase crtca. È convenente assegnare le seguent varabl C s = 1 se gl atom sono d Cu s = 1 se gl atom sono d Zn Lo spn può qund assumere n ogn sto retcolare due valor. Per questa ragone s può essere consderata a tutt gl effett una varable del modello d Isng d spn-½. Defnendo con costante d nterazone fra una coppa d atom d Cu, con e con J CuCu la J ZnZn quella fra una coppa d atom d Zn J CuZn quella fra un atomo d Cu ed un atomo d Zn s può scrvere la seguente Hamltonana 1 1 H= JCuCu(1 + s)(1 + s) + JZnZn(1 s)(1 s) JCuZn + s s + s + s 4 {(1 )(1 ) (1 )(1 ) } (4.7) Le costant d nterazone J CuCu, J ZnZn e J CuZn sono supposte postve. Il prmo termne a secondo membro vene scrtto supponendo che due st retcolar prm vcn sano occupat dal rame. Tale termne esprme l nterazone d scambo fra coppe d atom d Cu. Invece, per quanto rguarda l secondo termne a secondo membro, s fa l potes che due st prm vcn sano occupat dallo znco. Esso esprme qund l nterazone d scambo fra coppe d atom d Zn. Infne, nello scrvere l terzo termne, s suppone che due st prm vcn sano occupat rspettvamente uno da rame e l altro da znco. Tale termne è qund l espressone dell nterazone d scambo fra coppe d prm vcn cascuna delle qual è costtuta da un atomo d Cu ed uno d Zn. 9

10 S verfca faclmente che, se st e prm vcn sono occupat entramb da atom d Cu, H =. Infatt, ponendo s s 1 J CuCu = = e sommando su una sola coppa d atom, s ottene H = JCuCu ( 1+ 1)( 1+ 1) + JZnZn ( 1 1)( 1 1) + JCuZn {( 1+ 1)( 1 1) + ( 1 1)( 1+ 1) } = = JCuCu ( 2)( 2) = JCuCu 4 Analogamente se st e prm vcn sono occupat entramb da atom d Zn s rcava H =. Infatt n questo caso vale s s 1 J ZnZn = = per cu H = JCuCu ( 1 1)( 1 1) + JZnZn ( 1+ 1)( 1+ 1) + JCuZn {( 1 1)( 1+ 1) + ( 1+ 1)( 1 1) } = = 0+ JZnZn ( 2)( 2) + 0= JZnZn 4 Se st e prm vcn sono occupat rspettvamente da un atomo d Cu ed uno d Zn s ha che s = 1 ed s = 1 per cu s ottene H = JCuCu ( 1+ 1)( 1 1) + JZnZn ( 1 1)( 1+ 1) + JCuZn {( 1+ 1)( 1+ 1) + ( 1 1)( 1 1) } = = JCuZn ( 2)( 2) = JCuZn 4 = J coè H. CuZn Analogamente s dmostra che H = J se s scegle 1 CuZn s = ed s = 1, coè se s assoca al sto -esmo un atomo d Zn ed al sto -esmo un atomo d Cu. Mostramo che l Hamltonana d Eq.(4.7) è un Hamltonana d Isng. In partcolare, s deve tenere presente che n alcun termn (quell che dpendono separatamente da e da ) la somma sugl ndc e fatta su prm vcn s spezza n due sommatore, coè s ha ss = s s. Inoltre alcun termn non dpendono dagl ndc d somma e. Svluppando termn d Eq. (4.7) s ottene 10

11 1 H= JCuCuc+ JCuCus + JCuCus + JCuCu ss JZnZnc JZnZns JZnZns + JZnZn ss JCuZnc+ JCuZns JCuZns JCuZn ss + JCuZnc JCuZns + JCuZns JCuZn ss = = ( JCuCu JZnZn + 2JCuZn ) ss JCuCu + JZnZn s c( JCuCu + JZnZn + 2JCuZn ) = J ss Hs + C 4 dove, nelle parentes quadre a secondo membro, sono state rnomnate le somme sull ndce degl spn come somme sull ndce, coè s è posto s = s ed è l numero totale d spn. S sono po effettuate le conseguent addzon e sottrazon delle sommatore tutte con lo stesso ndce nell ultmo passaggo. S not la presenza d alcun termn che non dpendono esplctamente dagl ndc d somma e che danno un contrbuto costante ndcato genercamente con c. S ottene qund che 1 4 una dsposzone degl atom analoga a quella degl spn antparallel. Tuttava, la dsposzone degl atom d Cu e d Zn non ha nulla a che fare con l antferromagnetsmo. Un Hamltonana come quella d Eq.(4.8) descrve un comportamento collettvo assocato al termne d scambo a secondo membro. Possede qund la propretà fondamentale per descrvere una transzone d fase crtca 11 H=- J ss H s + C (4.8) dove J= ( JCu Cu JZnZn 2JCu Zn ) +, 1 1 H JCuCu J 2 2 = + ZnZn e C = c( JCuCu + JZnZn + 2JCuZn ) un termne che non dpende dagl spn e qund è costante rspetto alla varable d spn. Inoltre s ha = = = 0, pochè l numero totale d tot tot Cu Zn che s ( ) atom d rame è uguale al numero totale d atom d znco, coè 1 4 tot tot = per cu l secondo Cu Zn termne a secondo membro proporzonale ad H s annulla. L Hamltonana d Eq.(4.8) è a tutt gl effett un Hamltonana d Isng a spn-½ n assenza d nterazone con l campo esterno. Il valore d J è negatvo, coè J < 0, poché J + J > 2J Cu Cu ZnZn Cu Zn e questo corrsponde nella fase ordnata ad è

12 come llustrato n fgura. Il parametro d ordne ndcato nella fgura con M n analoga con la magnetzzazone è, n realtà, Ψ= Cu Zn ed è normalzzato al valore che ha a temperatura T = 0. I cerch vuot sono rsultat d msure d scatterng d neutron, la lnea tratteggata è l rsultato d msure d scatterng con ragg X, mentre la lnea contnua è l rsultato del calcolo teorco basato sul modello descrtto. A causa dell unversaltà dscussa nel captolo TRASIZIOI DI FASE gl esponent crtc che caratterzzano la transzone d fase dell ottone dsposto su un retcolo bcc trdmensonale devono essere gl esponent crtc del modello d Isng a spn-½ trdmensonale, pochè ne due cas l parametro d ordne è lo stesso, coè uno scalare a due component e le Hamltonane hanno la stessa smmetra rspetto al parametro d ordne. I dat spermental dsponbl per la lega Cu-Zn sono relatv alla msura medante scatterng d neutron degl esponent crtc β e γ. I valor msurat sono β = ± e γ = ± e s confrontano bene con valor calcolat medante l modello d Isng trdmensonale, coè β 0.33 e γ Tuttava, dettagl dell nterazone nteratomca non compaono completamente nell Hamltonana del retcolo bcc d Eq.(4.7). Per mglorare ulterormente l accordo con dat spermental basta ad esempo ntrodurre la dpendenza dalla temperatura nella costante d scambo J, coè supporre J = J (T). Tale dpendenza è una conseguenza della espansone termca del retcolo. 12

13 4.2.2 Modello d gas retcolare Un applcazone del modello d Isng bdmensonale a spn-½ è l modello d gas retcolare. È un modello n cu un generco sto retcolare su una superfce può essere occupato oppure vuoto. Per stablre lo stato d occupazone s defnsce una varable t per ogn sto -esmo che può assumere due valor, coè t = 0,1. Il numero d occupazone t = 0,1 s rfersce alla spece atomca adsorbta nel sto retcolare e non all atomo della superfce adsorbente (ved dopo per la descrzone del fenomeno d adsorbmento). La varable assume valore 0 se l sto retcolare -esmo è lbero, mentre vale 1 se è occupato. L Hamltonana corrspondente s può scrvere come H= J tt μ t (4.9) L L dove J L è la costante d nterazone fra atom prm vcn nel retcolo (L sta per lattce ). Essa può essere postva o negatva. S ha che l segno postvo d J L favorsce l occupazone d st retcolar vcn e qund rsulta vantaggoso per l fenomeno dell adsorbmento. La quanttà μ è un potenzale chmco che controlla l numero d st occupat da part d atom che vengono adsorbt dal retcolo e può essere defnta come un energa d estrazone delle partcelle. In partcolare se μ 0 s ha un numero maggore d st occupat, mentre se μ 0 sono present pù st vacant. L Faclmente s dmostra come l Eq.(4.9) che modella un gas retcolare possa assumere la forma del modello d Isng a spn-½ d Eq.(4.6). Infatt, la varable t è a due stat come la varable s d Eq.(4.6). Basta qund effettuare la seguente trasformazone ponendo t ( s ) s ha che s = 1, mentre se t = 1 s trova s = 1. Sosttuendo n Eq.(4.9) s ottene L = 1 /2. Infatt, se t = 0 H= J L = = JLc+ JLs + JLs JL ss μlc + μls = = JL ss JL μl s JLc μlc = = J ss H s + C ( 1 s ) ( 1 s ) ( 1 s) μl L 13

14 dove n alcun termn (quell che dpendono separatamente da e da ) s è spezzata la somma sugl ndc e n due sommatore, coè ss = s s. Anche n questo caso alcun termn sono costant, poché non dpendono esplctamente dagl ndc e e sono ndcat con c e c, rspettvamente con c= z/2 e c =, se s consdera un nseme d spn e z prm vcn per ogn spn (l fattore ½ nasce dal fatto che, graze ad esso, non s conta due volte l nterazone). el penultmo passaggo s è rnomnata la somma degl atom sull ndce come somma sull ndce, coè s è posto s = s e s è po effettuata l addzone de due termn. ell ultmo passaggo s è posto J = J, J 4 L L μl = H e Jc L μ Lc = C con C costante ndpendente dalle varabl d spn. S rtrova qund, a parte la costante C che può essere omessa, l Hamltonana del modello d Isng a spn-½ d Eq.(4.6). Un fenomeno fsco descrtto dal modello d gas retcolare è l adsorbmento d atom d drogeno ( H) da parte della superfce (110) d atom d ferro (Fe). S parla per questa ragone d modello d gas retcolare dove l gas è l drogeno ed l retcolo è rappresentato dal ferro. Il numero d st occupat da parte d atom d drogeno adsorbt sulla superfce del ferro dpende dalla pressone del gas drogeno a contatto con la superfce. Pochè ogn sto retcolare della superfce può essere occupato da un atomo d H oppure è vuoto tale sto è a due stat. Qund, le fas dell drogeno sulla superfce del ferro possono essere descrtte medante l modello d gas retcolare. el pannello (a) d fgura è mostrato l modo con cu s dspongono gl atom d H fra gl atom d Fe evdenzando con delle lnee le nterazon fra quest atom d H adsorbt. Gl atom d drogeno adsorbt sono rappresentat con cerch pen (ner) pù pccol, mentre gl atom d ferro della superfce (110) sono cerch vuot pù grand. S possono po formare dverse fas n relazone alle regon del retcolo n cu avvene l adsorbmento come è llustrato ne 4 pannell (b) ognuno de qual contenente una dversa dsposzone. Le transzon fra le dverse fas non possono essere descrtte n dettaglo con un modello d Isng a prm vcn, ma è necessaro aggungere anche un termne d ansotropa a second vcn ed un nterazone a tre spn espressa dal prodotto d tre spn dat dagl atom d drogeno a vertc d ogn trangolo mostrato nel pannello (a) d fgura. 14

15 4.2.3 Sstema ferromagnetco Infne, vedamo un applcazone del modello d Isng bdmensonale a spn-½ con J > 0 rappresentato dall Hamltonana d Eq.(4.6) n assenza d campo esterno (H = 0) ad un ferromagnete. Il sstema ferromagnetco è costtuto da una superfce che può osptare un determnato numero d spn. S può rappresentare con un quadrato peno cascun sto occupato da uno spn s =+ 1, mentre l quadrato vuoto ndca uno spn con s = 1. Ad alta temperatura T s ha grande dsordne ed l numero d quadrat pen è blancato dal numero d quadrat vuot n modo tale che la magnetzzazone meda M rsulta nulla. Man mano s dmnusce T s formano sole graze all nterazone d scambo che tende ad allneare gl spn (J >0), ma ancora la magnetzzazone meda è zero. La lunghezza d correlazone dà approssmatvamente le dmenson d queste sole. S dce che l sstema nza ad esbre ordne a lungo raggo come effetto della nterazone d scambo. Al d sotto d una certa temperatura, detta temperatura crtca T c, l sstema ha una transzone d fase crtca ed M dventa dversa da zero fno a raggungere un valore massmo 15

16 a T = 0. Il segno d M dpende da come vuole dspors la magnetzzazone meda quando s abbassa T e tale scelta avvene spontaneamente. Se M è postva s avranno a T = 0 tutt quadrat pen, mentre se M è negatva tutt quadrat vuot Comportamento crtco del modello d Isng a spn-½ È utle dscutere le transzon d fase prevste dal modello d Isng a spn-½ n relazone alla dmensonaltà d = 1,2,3 del sstema ed alle temperature n corrspondenza delle qual s verfcano. In partcolare, l sstema descrtto dal modello d Isng a spn ½ nel lmte per H 0 ed al varare della temperatura a) Ha una transzone d fase crtca a Tc 0 per d > 1, coè per d = 2,3,... b) on ha una transzone d fase crtca a Tc 0 per d = 1, ma ha una transzone d fase crtca partcolare a T c = 0. Il dagramma d fase è quello del ferromagnete semplce per cu n base al segno dell ntenstà H del campo esterno s ha una lnea d transzon d fase del prmo ordne che termne nel punto crtco ndvduato dalla temperatura crtca (s veda ad esempo l captolo TRASIZIOI DI FASE). Il passaggo alla fase ordnata comporta la nascta nel sstema dell ordne completo a lungo raggo o long-range order. Cò sgnfca che se, ad esempo, n un sstema fsco s conosce l valore del parametro d ordne per r = 0 esso s conosce anche per r. In altre parole, la funzone d correlazone a coppe rmane dversa da zero anche per r, coè prendendo una coppa d spn a dstanza molto grande tale coppa è ancora correlata. Lontano dal punto crtco la funzone d correlazone a coppe è proporzonale ad un esponenzale decrescente n funzone della dstanza r. (s veda per una sua defnzone l captolo GRUPPO DI RIORMALIZZAZIOE). Questo comportamento è tpco d tutte le transzon d fase crtche prevste dal modello d Isng a spn ½ nclusa quella a T = 0. Per rcavare l comportamento delle transzon crtche elencate occorre rsolvere l Hamltonana d Isng a spn-½ al varare della dmensonaltà d e rcavare l andamento della magnetzzazone M corrspondente n funzone d T a partre dall energa lbera F del sstema. Medante l metodo della matrce d trasfermento s rsolve n modo esatto l modello d Isng a spn-½ undmensonale (d = 1) che dà la transzone d fase crtca partcolare a T = 0, mentre l metodo d Onsager rsolve esattamente l modello d Isng a spn-½ bdmensonale (d = 2) n assenza d campo esterno. E da notare che la transzone d fase nel sstema undmensonale è da 16

17 + ntendere a rgore per T 0 e non esattamente a T = 0. E qund ancora classfcable come transzone d fase classca. Entramb gl approcc descrtt sono metod analtc che danno nformazon esatte sul comportamento delle grandezze termodnamche del sstema n corrspondenza del punto crtco e de valor de corrspondent esponent crtc. La teora approssmata d campo medo (s veda l captolo TEORIE DI CAMPO MEDIO) rsolve l modello d Isng a spn-½ non tenendo conto della dmensonaltà del sstema e fornendo nformazon solo qualtatvamente, ma non quanttatvamente esatte rguardo al comportamento crtco delle prncpal grandezze termodnamche ed a relatv esponent crtc. 4.3 Modello d Isng a spn-1 Per sstem caratterzzat da pù d due stat l modello d Isng a spn-½ non è pù approprato. Occorre usare modell d spn che consentano un pù alto numero d stat. Se ad esempo s devono studare sstem a tre stat è approprato l uso del modello d Isng a spn 1 caratterzzato da tre valor della generca varable d spn, coè s = 1, 0, 1. Il parametro d ordne è qund uno scalare a tre component. Esso è ancora un modello classco. La corrspondente Hamltonana prende la forma ( ) H= J ss K s s D s L s s + s s H s (4.10) Sono present tre termn n pù rspetto all Hamltonana del modello d Isng a spn-½: n partcolare un termne al secondo ordne negl spn ed al quarto ordne a coppe d spn proporzonale a K detto termne bquadratco, un termne al secondo ordne proporzonale a D che ha l ruolo d una ansotropa un assale ed un termne al terzo ordne a coppe proporzonale ad L. Le costant K, D ed L hanno, come J ed H, le dmenson d un energa e possono essere postve o negatve. Come per l modello d Isng a spn-½ J può postvo o negatvo. Quest tre termn sono nvece costant nel modello d Isng a spn-½. Come s nota anche n questo modello non compare esplctamente la dmensonaltà del sstema. I termn d ordne superore che compaono dervano α dal fatto che sono permess tutt possbl termn ss β dove α, β = 0,1,2 sono gl esponent che danno l grado delle potenze delle varabl d spn n Eq.(4.10). on compaono potenze d ordne superore al secondo. Ad esempo non compaono le potenze s 3 = s, s = s e così va, pochè

18 s = 1,0, 1 realzza tal uguaglanze; qund s pone nell Hamltonana al posto d s 3 la quanttà s ed al posto d 4 s la quanttà 2 s. Il modello d Isng a spn-1 s applca prncpalmente a sstem magnetc. Tuttava, può essere utlzzato, seppur solo per una descrzone qualtatva rspetto al corrspondente modello a spn ½, per studare l comportamento crtco d sstem non-magnetc, come ad esempo la transzone lambda da He 3 fludo ad He 3 superfludo oppure da He 4 fludo ad He 4 superfludo al d sotto d una certa temperatura crtca Comportamento crtco del modello d Isng a spn-1 A causa della presenza d un maggor numero d parametr, l modello d Isng a spn-1 ha nell ntorno del punto crtco un comportamento pù varegato rspetto a quello del corrspondente modello d Isng a spn-½. In questo caso, come llustrato n fgura, anzché avere lnee d transzon d fase del prmo ordne sono present superfc d transzone d fase del prmo ordne. In partcolare, l dagramma d fase mostrato n fgura s rfersce al caso tuttora conoscuto e rsolto n modo esatto n cu n Eq.(4.10) K = L = 0, J > 0 (accoppamento ferromagnetco) e D 0. S ottengono tre superfc d transzone d fase del prmo ordne (una che occupa la porzone nferore del pano ad H = 0 e due superfc a forma d al che corrspondono una ad H > 0 e l altra ad H <0 ) e cascuna d esse termna n una lnea d punt crtc. Qund, a dfferenza del dagramma d fase del modello d Isng a spn-½ dove la lnea d transzon d fase del prmo ordne è presente solo per H = 0, sono present superfc d transzon d fase del prmo ordne anche n presenza d un campo magnetco esterno d ntenstà dversa da zero. Una lnea d punt crtc sta sul pano H = 0, mentre le altre due lnee sono rspettvamente ad H > 0 ed ad H < 0. Le tre superfc s ntersecano non pù n un punto trplo, come avvene ad esempo nel dagramma d fase d un fludo, ma n una lnea trpla dove le tre fas coesstono. La lnea trpla termna a sua volta n un punto cosddetto trcrtco dove convergono anche le tre lnee d punt crtc. 18

19 4.4 Modello d Potts È la generalzzazone del modello d Isng a spn-½ n assenza d campo esterno. Infatt, la varable d spn σ assocata all atomo -esmo può assumere non pù solo due stat dstnt, ma q-stat dstnt, coè σ = 1,2,3,... q. Il parametro d ordne è n questo caso uno scalare a q-component. È qund ancora un modello classco d spn. L Hamltonana del modello d Potts vene scrtta come J δ H= σ σ (4.11) Come s nota manca l termne proporzonale al campo esterno H e, come nel modello d Isng, non compare esplctamente la dmensonaltà del sstema. Il smbolo δ ndca una delta d Kronecker e stablsce l nterazone fra coppe d spn prm vcn. Per come è scrtta l Hamltonana, l energa mnma s ottene quando le due varabl σ e σ assocate rspettvamente a st prm vcn - esmo e -esmo sono ugual. In partcolare, se s consdera una coppa d spn prm vcn, l energa d nterazone è J se due spn sono nello stesso stato, coè se σ = σ (J può essere n generale n questo caso postvo o negatvo anche se l energa mnma s ottene solo assumendo J >0) ed è zero se due spn sono n due stat dvers, coè se σ σ. Il modello d Potts ammette q stat fondamental equvalent e degener n energa n cascuno de qual gl spn prm vcn che nteragscono sono dentc. Cò sgnfca, ad esempo, che se uno spn nel sto -esmo è nello stato 19

20 caratterzzato da σ = 3 anche suo prm vcn devono essere caratterzzat da σ = 3, perché l energa d nterazone sa dversa da zero. Se s aumenta la temperatura l modello d Potts bdmensonale prevede una transzone d fase verso una fase paramagnetca che è contnua (crtca) per q 4, mentre è del prmo ordne per q > 4. S nota faclmente che l Hamltonana del modello d Potts d Eq.(4.11) s rduce a quella del modello d Isng a spn-½ d Eq.(4.6) n assenza d campo magnetco esterno per q = 2. Cò avvene n partcolare quando nel modello d Isng a spn-½ s consderano due stat s =+ 1ed s =+ 1 ed s = 1ed s = 1. I due stat descrtt sono nfatt equvalent a quell del modello d Potts σ 1, 2 ( σ = 1, 2 ) con σ = σ. L energa corrspondente è la stessa, poché dpende da prodott s s che rsultano ugual a + 1 sa quando s, s =+ 1 che quando s, s = 1. Invece, non è vero che per q = 3 l modello d Potts s rduce al prmo termne dell Hamltonana del modello d Isng a spn-1 d Eq.(4.10) come potrebbe sembrare a prma vsta. Infatt, tre stat del modello d Isng a spn-1, coè s = 1, 0, 1 ( s = 1,0, 1) nel caso n cu s scelga s = s non sono tra d loro equvalent, coè l energa d scambo assocata non è la stessa per tre stat. Ad esempo, se s consdera la coppa d stat s = 0 ed s = 0 l energa corrspondente al prmo termne dell Hamltonana del modello d Isng a spn-1 è uguale a 0 a dfferenza degl altr due cas dove nvece è dversa da zero. Invece l energa corrspondente rferta agl stat equvalent assocat all Hamltonana d Potts per = σ = σ con σ = σ = 1, 2, 3 è sempre dversa da zero ed è uguale ndstntamente per tre stat. Un fenomeno fsco che rsulta ben descrtto dal modello d Potts è rappresentato dall adsorbmento d atom d krpton (Kr) su una superfce d grafte a sua volta formata da un nseme d atom d carbono (C) che formano la struttura denomnata grafte. Per rprodurre l fenomeno fsco descrtto deve essere usato un modello d Potts bdmensonale, poché l sstema è rappresentato da una superfce. S deve po usare un modello a tre stat, coè s deve prendere q = 3 n modo tale che σ = 1, 2,3, poché sono present tre dvers tp d rempmento. Come llustrato n fgura la superfce della grafte è formata da retcol esagonal d atom d carbono. La struttura è tale da favorre l adsorbmento d atom d krpton all nterno degl esagon. Gl atom d krpton sono ndvduat rspettvamente da cerch pen, cerch vuot e cerch contenent una x al centro che ndcano tre dvers tp d rempmento che occupano ognuno una dversa regone (sottoretcolo) del retcolo bdmensonale. Come s nota, vcno ad ogn sto occupato c è almeno un sto vuoto a causa delle dmenson degl atom d krpton anche se n generale la cella seconda vcna tende ad essere occupata allo stesso modo, poché per avere un energa dversa da zero deve essere σ = σ. 20

21 Gl atom d krpton s dspongono n strutture trangolar dando orgne rspettvamente a tre rempment della superfce n tre dvers sottoretcol. Al sottoretcolo a s assoca σ = 1( σ = 1), al sottoretcolo b σ = 2 ( σ = 2 ) ed al sottoretcolo c σ = 3 ( σ = 3 ). La descrzone del fenomeno dell adsorbmento d atom d Kr su grafte non ha nulla a che vedere con l comportamento crtco del modello d Potts bdmensonale. A questo scopo occorrerebbe studare l comportamento crtco varando la temperatura del sstema per cascuno d quest sottoretcol ndvduando per ognuno d ess un parametro d ordne e provando che, essendo l numero d stat q < 4 (s arrva nfatt al massmo a σ = 3 ed a σ = 3 ), le transzon prevste sono transzon crtche. Questo fenomeno è qund dverso dal fenomeno dell adsorbmento d atom d H sulla superfce (110) del Fe descrtto dal modello d Isng a spn-½ dove s possono avere transzon fra un tpo d adsorbmento d atom d H convolgente l ntero retcolo bdmensonale (superfce (110) del Fe) ed un altro tpo. 4.5 Modell X-Y e d Hesenberg Come gà antcpato nel paragrafo 4.2, l modello d Isng a spn-½ può essere applcato a sstem magnetc quando sono soddsfatte condzon molto partcolar. Cò è dovuto al fatto che l vettore d spn può solo essere allneato od antallneato con l campo esterno posto lungo l asse z, pochè la varable s può assumere valor +1 (stato up) e -1 (stato down). Il modello d Isng a spn-½ può 21

22 qund descrvere sstem con una forte ansotropa lungo la drezone ndvduata dal campo magnetco. Un esempo reale è rappresentato dal composto ferromagnetco d d-fluoruro d manganese MnF 2 che rappresenta un sstema ansotropo d asse facle con l asse dsposto lungo la drezone del campo. Per asse facle s ntende una determnata drezone spazale lungo cu gl spn s dspongono faclmente. Tuttava, sstem magnetc real spesso presentano fluttuazon degl spn rspetto all asse z lungo cu è dsposto l campo magnetco (d ntenstà H) che è a tutt gl effett un asse d quantzzazone. Sono qund necessar de modell formulat nell ambto della meccanca quantstca che tengano conto d questo comportamento. Un prmo modello quantstco che permette una descrzone realstca d molt magnet con moment localzzat è descrtto dalla seguente Hamltonana ( ) H= J s s J s s + s s H s (4.12) z z x x y y z z Eq.(4.12) esprme l Hamltonana n cu la varable d spn è un vettore a tre component nello spazo degl spn elevato a rango d operatore. Il parametro d ordne è qund un vettore a tre component e non pù uno scalare come ne modell classc dscuss precedentemente. Come per l modello d Isng non compare la dmensonaltà del sstema che l Hamltonana rappresenta. Il sstema è qund, anche n questo caso, d-dmensonale con d = 1,2,3,... L nterazone d scambo non è pù sotropa nello spazo, poché Jz J dove J z è la costante d scambo lungo z, mentre J è la costante d scambo nel pano xy. Sa J z che J sono costant che possono essere contemporaneamente entrambe postve o negatve. S ndvdua un asse dsposto lungo la drezone z, coè lungo la drezone del campo ed un pano xy. Gl s ed s sono operator. Se nell Hamltonana d Eq.(4.12) s pone J z = 0 s descrve un prmo modello quantstco molto usato n letteratura, detto MODELLO X-Y, coè ( ) H= J s s + s s H s (4.13) x x y y z Gl operator d spn hanno due component e qund ruotano nel pano x-y, detto pano facle. L asse z è nvece un asse dffcle. Il modello X-Y trdmensonale (d = 3) non è usato solo per descrvere l comportamento crtco de sstem magnetc con un pano facle, come per esempo vortc magnetc, ma serve anche per la descrzone quanttatva de fenomen crtc present n sstem non-magnetc che esbscono uno stato a vortce come per esempo superflud e superconduttor. 22

23 Ponendo Jz = J nell Hamltonana d Eq.(4.12), coè assumendo l sotropa spazale dell nterazone d scambo s rcava ( ) H= J s s + s s + s s H s x x y y z z z ell Hamltonana rcavata non compare qund un ansotropa assocata allo scambo, pochè non esste una drezone preferenzale degl spn se non quella lungo z ndvduata dal campo esterno H. Ponendo le component cartesane degl operator d spn nella forma vettorale compatta x y z s = ( s, s, s ) ed s = ( s x, s y, s z ) s ha J s s H s H= (4.14) z Eq.(4.14) rappresenta l Hamltonana del secondo modello rcavable da Eq.(4.12), detto MODELLO DI HEISEBERG. Esso è un modello sotropo e qund molto dffclmente può descrvere le nterazon n un sstema magnetco reale che nvece ha sempre almeno una debole ansotropa spazale. Anche n questo caso la costante J può essere postva o negatva. Tuttava, esso esprme l Hamltonana mcroscopca descrvente l nterazone d scambo che è alla base del ferromagnetsmo. Inoltre, esso dà una ragonevole descrzone d alcune propretà d solant magnetc come ad esempo l solfuro d europo, EuS. In alcun cas anche l modello d Hesenberg trdmensonale vene usato per descrvere l comportamento crtco d sstem non magnetc: fra ess ad esempo può essere usato per studare quanttatvamente la crtctà n un superconduttore ad alta temperatura crtca. La dfferenza fondamentale con l modello d Isng è data dal fatto che l modello d Hesenberg è un modello quantstco, mentre l modello d Isng è un modello classco. Tuttava, n alcun settor della meccanca statstca esste anche un estensone del modello d Isng al caso quantstco. Le component degl operator vettoral s del modello d Hesenberg soddsfano le seguent regole d commutazone che rsultano dverse da zero se le component degl spn sono rferte allo stesso sto, coè s x, s y s z = e permutazon cclche. D altra parte è da notare che s può ottenere anche l lmte classco del modello d Hesenberg assumendo che l numero d component d spn sa nfnto e normalzzando l autovalore dell operatore d spn da S( S + 1) a 1. In questo caso gl spn dventano vettor classc trdmensonal. A conferma dell unversaltà gl esponent crtc ottenut con l modello classco d Hesenberg sono gl stess d quell rcavat con l modello quantstco a fssata dmensonaltà. Tuttava, un modello quantstco vene mappato nel corrspondente modello classco con una dmensone n pù. Qund, ad esempo, un modello quantstco bdmensonale vene mappato n modello classco trdmensonale. 23

24 Se s pone nell Hamltonana d Eq.(4.12) J = 0 e s tratta l sstema classcamente s ottene l modello d Isng classco a spn ½ d Eq.(4.3). Dscutamo ora l andamento prevsto nel punto crtco n sstem descrtt da tre modell, coè dal modello d Isng a spn-½, dal modello X-Y e dal modello d Hesenberg. el lmte n cu l ansotropa va a zero, gl esponent crtc nel punto crtco ( T T ) sono quell del modello d Hesenberg. Invece, se l ansotropa è dversa da zero gl esponent crtc nel punto crtco ( T T ) possono essere quell del modello d Isng a spn-½ oppure quell del modello X-Y. Sono quell del modello d Isng a spn-½ quando nell Hamltonana d Eq.(4.12) domna l nterazone proporzonale a J z, mentre sono quell del modello X-Y quando n Eq.(4.12) l termne proporzonale a J è prevalente. c c Comportamento crtco del modello X-Y e del modello d Hesenberg el caso del modello classco d Isng a spn-½ le transzon crtche sono gà state dscusse precedentemente. Dscutamo nvece le transzon crtche che hanno luogo ne sstem real rappresentat medante le Hamltonane de modell X-Y e d Hesenberg. Tal transzon sono studate n funzone della temperatura ed assumendo anche n questo caso che l ntenstà del campo magnetco esterno tenda a zero. Il sstema descrtto dal modello X-Y a) Ha una transzone d fase crtca a Tc 0 per d > 2, coè per d = 3,4... b) Ha una transzone d fase crtca a Tc 0 per d = 2. Questa transzone è però partcolare, perché porta l sstema n una fase ordnata caratterzzata da quas-long-range order, coè da un non completo ordne a lungo raggo evdenzato dalla forma della funzone d correlazone che decade con legge d potenza anche lontano dal punto crtco e non solo alla temperatura crtca come per le altre transzon caratterzzate nvece da long-range order. c) Per d = 1 non ha una transzone d fase crtca a Tc 0, ma a T c = 0. Anche n questo caso + s deve ntendere nel lmte per T 0. Il sstema descrtto dal modello d Hesenberg a) Ha una transzone d fase crtca a Tc 0 per d > 2, coè per d = 3,4... b) Per d = 1, 2 non ha una transzone d fase crtca a Tc 0, ma a T c = 0. Come nel caso + precedente s deve ntendere nel lmte per T 0. 24

25 Infne per d 4, coè per sstem quadrdmensonal e d dmensone superore, gl ESPOETI CRITICI calcolat a partre dalle Hamltonane de tre modell (Isng a spn ½, X-Y ed Hesenberg) sono GLI STESSI. Inoltre, per d 4 gl esponent calcolat n modo esatto medante metod numerc sono ugual a quell determnat con la teora d campo medo. È da notare che gl esponent crtc calcolat usando la teora d campo medo O dpendono dalla dmensonaltà del sstema, coè rsultano gl stess per tutte le dmenson, coè per d = 1,2,3, In tabella sono mostrat gl esponent crtc dscuss nel Captolo TRASIZIOI DI FASE per dverse class d unversaltà. Vene anche ndcata la smmetra del parametro d ordne corrspondente (coè se l parametro d ordne è uno scalare oppure un vettore) e gl esponent crtc ottenut usando modell descrtt precedentemente, coè l modello d Isng a spn-½, l modello X- Y ed l modello d Hesenberg. In partcolare sono elencat gl esponent crtc ottenut per sstem bdmensonal e trdmensonal ( pù nteressant da un punto d vsta fsco) ed loro valor sono confrontat con quell calcolat usando la teora d campo medo. Come s può notare la maggor parte degl esponent crtc è espressa da numer frazonar. S nota anche che gl esponent crtc rcavat medante la teora approssmata d campo medo, oltre a non dpendere dalla dmensonaltà del sstema, s dscostano da corrspondent esponent crtc calcolat n modo esatto medante modell analtc o numerc ne sstem bdmensonal e trdmensonal. ell ultma colonna vengono elencat sstem fsc a cu è possble applcare modell descrtt nella prma colonna. Il smbolo log nella terza colonna ndvduata dall esponente crtco α ndca la dvergenza logartmca del calore specfco nel punto crtco prevsta dal modello d Onsager, mentre l smbolo ds. ndca la dscontnutà a salto (fnta) del calore specfco nel punto crtco prevsta dalla teora d campo medo. 25

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