Fondamenti di Informatica 2. Introduzione all Informatica / Algebra Booleana / Sistemi di numerazione

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1 Sommario Introduzione Fondamenti di Informatica 2. Introduzione all Informatica / lgebra ooleana / Sistemi di numerazione Corso di Laurea in Ingegneria Civile Semestre Prof. Giovanni Pascoschi il calcolo automatico dalla preistoria ai giorni nostri L algebra di oole da nalisi Matematica della Logica (847) al progetto degli elaboratori digitali Sistemi di numerazione da additivi a posizionali, da decimale a binario, a esadecimale: l alfabeto dell elaboratore UNIVC (95) 2 Cenni storici - Cenni storici - La presenza invasiva dell informatica nella vita di tutti i giorni è un fenomeno relativamente recente; non recente è invece la necessità di avere a disposizione strumenti e metodi per contare rapidamente, elaborare dati, calcolare Le prime testimonianze di strumenti per contare risalgono a 3. anni fa I primi esempi di algoritmi procedure di calcolo automatico sono stati scoperti in Mesopotamia su tavolette babilonesi risalenti al 8 6 a.c. Computer di ntikitera (I-II secolo dc) Wilhelm Schickard ( ) Macchina moltiplicatrice (624) Il sogno di costruire macchine capaci di effettuare calcoli automatici affonda le radici nel pensiero filosofico del 6: Wilhelm Schickard introdusse la prima macchina moltiplicatrice dotata di accumulatori cilindrici

2 Cenni storici - 2 Cenni storici - 3 Charles abbage (79-87) 87) laise Pascal ( ) 662) Gottfried Leibnitz (646-76) 76) Pascal ( ) e Leibnitz (646-76) non solo affrontarono il problema, già studiato da Cartesio, di automatizzare il ragionamento logico matematico, ma si cimentarono anche nella realizzazione di semplici macchine per calcolare (capaci di effettuare somme e sottrazioni) Macchina addizionatrice la Pascalina Pascal) (. Macchina computazionale (G. Leibnitz) La macchina alle differenze, concepita da abbage nel 833, rappresenta il primo esempio di macchina programmabile di utilità generale In seguito, lo stesso abbage progetta la macchina analitica (mai realizzata, troppo complessa e critica la sua costruzione per le tecnologie meccaniche dell epoca) La prima programmatrice nella storia dell informatica è da ugusta yron, contessa di Lovelace Macchina alle differenze: modello ricostruito presso il Museo della Scienza di Londra seguendo il progetto del Cenni storici - 4 Cenni storici - 5 Fu Herman Hollerith, nel 89, a sviluppare la macchina a schede perforate, per compiere le statistiche del censimento decennale degli Stati Uniti I dati venivano immessi su schede di cartone opportunamente perforate, le stesse schede che sono state usate fino a due decenni or sono Le schede venivano successivamente contate da una sorta di pantografo che permetteva diversi tipi di elaborazioni (totali, medie, statistiche, etc.) Si impiegarono due anni e mezzo ad analizzare i dati (contro i sette anni del censimento del 88), nonostante l incremento di popolazione da 5 a 63 milioni Herman Hollerith (86-929) 929) Census Tabulator (89) Successivamente la macchina a schede perforate venne utilizzata con successo per i censimenti in ustria, Norvegia e Russia, tanto che Hollerith decise di fondare una società: la Computing Tabulating Recording Company che, nel 923, divenne l International usiness Machine, o IM Nel 932, il tedesco Konrad Zuse realizza una macchina elettromeccanica (a rele ) in grado di eseguire calcoli con controllo programmato, ed introduce il sistema di numerazione binario (la cui algebra era stata definita da Leibnitz e da oole) distrutta dalla guerra Il calcolatore Z (939) Konrad Zuse (9-995) 995) 7 8

3 Cenni storici - 6 Cenni storici - 7 lan Turing (92-954) 954) Durante la seconda guerra mondiale, fioriscono i progetti di elaboratori da utilizzarsi per scopi bellici Enigma, realizzata dai tedeschi (. Scherbius) per codificare le comunicazioni militari Red Purple, di costruzione giapponese Computer Colossus, costruito dagli inglesi per la decifrazione dei messaggi tedeschi, alla cui progettazione e realizzazione collaborò lan Turing, permise la vittoria anglo americana sull tlantico La macchina Enigma Con l invenzione del tubo a vuoto (94), del transistor (947) e, infine, dei circuiti integrati (969), l evoluzione dei computer divenne inarrestabile Finora la potenza di calcolo degli elaboratori si è decuplicata ogni 5 6 anni ( ma non può durare, almeno con le tecnologie in uso) 9 Cenni storici - 8 Cenni storici - 9 John Von Neumann (93-957) 957) La costruzione dei primi calcolatori risale all inizio degli anni 4, grazie alla tecnologia elettronica; i primi esemplari venivano programmati mediante connessioni elettriche e commutatori (ENIC, Mark I) Il nome di Von Neumann è legato invece ai primi calcolatori a programma memorizzato realizzati alla fine degli anni 4 (EDSC, Whirlwind, IS, UNIVC) Per la prima volta, vige il principio di unitarietà di rappresentazione di dati e istruzioni, che vengono codificati, all interno dell elaboratore, in maniera indistinguibile La diffusione dei calcolatori a livello mondiale è avvenuta nei decenni 6 e 7 ENIC (946) Mark I (948) EDSC (949) Whirlwind (949) IS (952) UNIVC (952) 2

4 Cenni storici - Cenni storici - Tuttavia, l esplosione dell informatica come fenomeno di massa è datata 98, anno in cui l IM introdusse un tipo particolare di elaboratore: il Personal Computer (PC) La particolarità dei PC consisteva nell essere assemblati con componenti facilmente reperibili sul mercato (e quindi a basso costo) Possibilità per qualsiasi casa produttrice di costruire cloni IM XT pple II ttualmente i PC, o meglio il loro componente fondamentale il microprocessore è utilizzato in tutti i settori applicativi (non solo per elaborare dati): Telefoni cellulari, ricevitori satellitari digitali, GPS ancomat e carte di credito Lavatrici e forni a micro onde Computer di bordo e S Game computer Tablet PC (IPD, ecc) 3 4 Cenni storici - 2 Cenni storici - 3 RFID Radio Frequency IDentification ppartengono alla categoria dei computer US e GETT Quando ricevono un segnale emettono il proprio numero L esigenza di realizzare sistemi di elaborazione dotati di più processori operanti in parallelo è stata sentita fin dalla preistoria dell informatica In una relazione dello scienziato, generale e uomo politico italiano Luigi Menabrea, datata 842, sulla macchina analitica di abbage, si fa riferimento alla possibilità di usare più macchine dello stesso tipo in parallelo, per accelerare calcoli lunghi e ripetitivi Solo la riduzione dei costi dell hardware ha consentito, verso la fine degli anni 6, l effettiva costruzione dei primi supercalcolatori, come le macchine CDC66 e Illiac e, successivamente, il Cray e le macchine vettoriali partire dagli anni 9, gli ulteriori sviluppi della microelettronica hanno permesso la realizzazione di calcolatori a parallelismo massiccio e a grana fine, caratterizzati dall interconnessione di decine di migliaia di unità di elaborazione elementari: le reti neurali, capaci di simulare il comportamento del cervello umano, sulla base degli studi di McCulloch e Pitts (943) 5 6

5 Cenni storici - 4 Frasi celebri ed altro... Illiac (955) CDC 66 (963) Cray (976) Cray XE6 (2) Portatile e Palmare (oggi) Penso che ci sia mercato nel mondo per non più di cinque computer. (Thomas Watson, Presidente di IM, 943) Una unità di calcolo sull ENIC è dotata di 8. tubi elettronici a vuoto e pesa 3 tonnellate, ma è possibile che in futuro i computer abbiano soltanto tubi e pesino soltanto una tonnellata e mezzo. (Popular Mechanics, 949) bbiamo un computer qui a Cambridge, ce n è uno a Manchester e uno al laboratorio nazionale di fisica. Immagino che sarebbe giusto averne uno anche in Scozia, ma non di più. (Douglas Hartree, fisico inglese, 95) Ma... a che serve? (Un ingegnere della dvanced Computing Systems, Divisione dell IM, commentando il microchip, 965). Nel 976, il New York Times pubblicò un libro dal titolo La scienza nel ventesimo secolo, nel quale il calcolatore veniva menzionato una sola volta e indirettamente, in relazione al calcolo delle orbite dei pianeti Non c è ragione perché qualcuno possa volere un computer a casa sua. (Ken Olson, fondatore di Digital, 977) 64 Kbytes should be enough for anybody. (ill Gates, 98) PC IM (98) 7 8 Che cos è l informatica - Che cos è l informatica - 2 Informatica fusione delle parole informazione e automatica l insieme delle discipline che studiano gli strumenti per l elaborazione automatica dell informazione e i metodi per un loro uso corretto ed efficace L informatica è la scienza della rappresentazione e dell elaborazione elaborazione dell informazione L accento sull informazione fornisce una spiegazione del perché l informatica sia ormai parte integrante di molte attività umane: laddove deve essere gestita dell informazione, l informatica è un valido strumento di supporto Il termine scienza sottolinea il fatto che, nell informatica, l elaborazione dell informazione avviene in maniera sistematica e rigorosa, e pertanto può essere automatizzata L informatica non è la scienza dei calcolatori elettronici: il calcolatore è lo strumento che la rende operativa L elaboratore (computer, calcolatore) è un apparecchiatura digitale, elettronica ed automatica capace di effettuare trasformazioni sui dati: Digitale: i dati sono rappresentati mediante un alfabeto finito, costituito da cifre, digit, che ne permette il trattamento mediante regole matematiche Elettronica: realizzazione tramite tecnologie di tipo elettronico utomatica: capacità di eseguire una successione di operazioni senza interventi esterni La disumanità del computer sta nel fatto che, una volta programmato e messo in funzione, si comporta in maniera perfettamente onesta. (Isaac simov) 9 2

6 L architettura di Von Neumann La macchina universale La capacità dell elaboratore di eseguire successioni di operazioni in modo automatico è determinata dalla presenza di un dispositivo di memoria Nella memoria sono registrati i dati e......le operazioni da eseguire su di essi (nell ordine secondo cui devono essere eseguite): il programma, la ricetta usata dall elaboratore per svolgere il proprio compito Il programma viene interpretato dall unità di controllo Modello di Von Neumann Programma: sequenza di operazioni atte a predisporre l elaboratore alla soluzione di una determinata classe di problemi Il programma è la descrizione di un algoritmo in una forma comprensibile all elaboratore lgoritmo: sequenza finita di istruzioni attraverso le quali un operatore umano è capace di risolvere ogni problema di una data classe; non è direttamente eseguibile dall elaboratore L elaboratore è una macchina universale: cambiando il programma residente in memoria, è in grado di risolvere problemi di natura diversa (una classe di problemi per ogni programma) 2 22 L algebra di oole - L algebra di oole - 2 Contempla due valori e (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti George oole (8-864) 864) Sui valori booleani si definiscono le operazioni ND, OR, NOT 23 24

7 L algebra di oole - 3 L operatore OR Le operazioni ND e OR sono operazioni binarie, l operazione NOT è unaria Nella valutazione delle espressioni booleane esiste una relazione di precedenza fra gli operatori NOT, ND e OR, nell ordine in cui sono stati elencati meglio usare le parentesi Gli operatori dell algebra booleana possono essere rappresentati in vari modi Spesso sono descritti semplicemente come ND, OR e NOT Nella descrizione dei circuiti appaiono sotto forma di porte logiche In matematica si usano + per OR e per ND, mentre si rappresenta il NOT con una barra posta sopra l espressione che viene negata Si definisce l operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo + = + = + = + = L operatore ND L operatore NOT Si definisce l operazione di prodotto logico (ND): il valore del prodotto logico è il simbolo se il valore di tutti gli operandi è il simbolo = = = = Si definisce l operatore di negazione (NOT): l operatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione = = = = 27 28

8 Variabili binarie ND e NOT con variabili binarie Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori e x Esempio date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è x + x x n = se almeno una x i vale se x = x 2 = = x n = Esempio date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (ND) è x x 2 x n = La negazione di una variabile x è se almeno una x i vale se x = x 2 = = x n = x = se x = x = se x = L elemento x = NOT(x) viene detto complemento di x; il complemento è unico 29 3 lcune identità ltre proprietà Si verificano le seguenti identità: x + = x + = x x + x = x è l elemento neutro per l operazione di OR; è l elemento neutro per l ND Gli elementi neutri sono unici non cambiano il valore di x d esempio x = x x = x x = x Legge dell idempotenza x = x x = x = = OK! = Per gli operatori ND e OR valgono le seguenti proprietà: commutativa x +x 2 = x 2 +x x x 2 = x 2 x associativa x +x 2 +x 3 = x +(x 2 +x 3 ) x x 2 x 3 = x (x 2 x 3 ) distributiva del prodotto rispetto alla somma x x 2 + x x 3 = x (x 2 +x 3 ) Per l operatore NOT si provano le seguenti identità: x + x = x x = x = x 3 32

9 Configurazione delle variabili Funzioni logiche Date n variabili binarie indipendenti x, x 2,, x n,queste possono assumere 2 n configurazioni distinte d esempio per n=3 si hanno 8 configurazioni x x 2 x 3 Una configurazione specifica è individuata univocamente da un ND (a valore ) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori compaiono negate x x 2 x 3 Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x, x 2,, x n, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni delle x i un valore di y y = F(x,x 2,,x n ) Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x, x 2,, x n, con associato il valore di y y = x +x 2 x x 2 y Tabella di verità Operatore XOR Date tre variabili booleane (,,C), si scriva la funzione F che vale quando solo due di esse hanno valore C F Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli F(,,C) = C + C + C Forma canonica: somma di prodotti (OR di ND) o mintermini tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili x x 2 XOR L espressione come somma di prodotti è quindi... XOR = x x 2 +x x

10 Esempi Esempio di circuito logico Legge dell assorbimento x + x x 2 = x Leggi di De Morgan (x +x 2 ) = x x 2 (x x 2 ) = x +x 2 Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, ND e NOT, come funzioni primitive, è ridondante L operazione logica ND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, l operazione OR può essere espressa tramite ND e NOT Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale y = F(,C,D) = CxD+Dx = (+C)xD Un circuito con due interruttori Esercizio I due interruttori corrispondono a due variabili (,) a valori booleani le variabili assumono i due valori e che corrispondono alle due posizioni dell interruttore = = = = L L = = = = L L L L = + Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti (numero dispari di interruttori) Cambia lo stato di un interruttore qualsiasi C C L = L = 39 4

11 Risoluzione esercizio Determinazione della funzione logica Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta L = C L = C L = C C L = C L = C L = L = C L = C Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica C L Si può scrivere la funzione L come somma logica di prodotti logici L = C + C + C + C 4 42 Collegamento degli interruttori I numeri dell antica Roma - Si può manipolare l espressione di L usando la proprietà distributiva dell ND rispetto all OR L = C + C + C + C L = ( C + C) + ( C + C) C C C C E piu semplice fare il circuito logico con le porte ND, OR, NOT C C C C 43 Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 5, 5 lcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M I V X L C D M

12 I numeri dell antica Roma - 2 Limiti della numerazione romana La scrittura dei numeri avveniva combinando additivamente i segni Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli ssiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio undeviginti, stessa cosa di decem et novem ) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9 Per molte centinaia di anni ancora (con l unica eccezione dei abilonesi) gli uomini hanno continuato ad utilizzare sistemi di numerazione additivi Più semplici da usare dato che la somma si fa da sé Poco adatti a rappresentare numeri grandi (che presuppongono l uso di tanti simboli posti gli uni accanto agli altri) Il sistema decimale India Il sistema decimale India 2 La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3 a.c. Sebbene l uso della matematica dovesse essere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d.c. Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli rabi, si è diffuso in Europa Tale sistema viene utilizzato nell opera del matematico indiano vissuto attorno al 5 d.c. ryabhata, la più antica che ci è pervenuta (se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori), dove però manca ancora l uso di un simbolo zero Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di ryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d.c

13 Il sistema decimale India 3 Sistemi di numerazione posizionali L idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta o ereditata dai Greci del sistema sessagesimale babilonese Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri rahmi, in uso dal III secolo a.c. Sistemi di numerazione posizionali: La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (ase ) Cifre : = Posizione: Sistemi in una base generica Numeri interi senza segno La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo ; le altre sono, nell ordine,,2,, ; se > occorre introdurre simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n c 2 c c ) N = c n n +c n n +...+c.+c 2 2 +c +c c n èlacifra più significativa, c la meno significativa Un numero frazionario N si rappresenta come (,c c 2 c n ) N = c +c c.+c n n Con n cifre in base si rappresentano tutti i numeri interi positivi da a n ( n numeri distinti) Esempio: base 2 cifre: da a 2 = 99 Esempio: base 2 2 cifre: da a 2 2 = = valori 2 2 = 4 valori 5 52

14 Il sistema binario (=2) Dal bit al byte La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Esempi: Cifre: bit (binary digit) () 2 = = = (45) (,) 2 = = +,25 + +,625 = (,325) (,) 2 = = 2 + +,5 + +,25 = (3,625) Forma polinomia Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b b Con un byte si rappresentano i numeri interi fra e 2 8 = = 256 valori distinti È l elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (6 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit) Dal byte al kilobyte Conversione da decimale a binario (interi) Potenze del = = = = 24 (K=Kilo) 2 2 = (M=Mega) 2 3 = (G=Giga) Cosa sono K (Kilobyte), M (Megabyte), G (Gigabyte)? K = 2 byte = 24 byte M = 2 2 byte = byte G = 2 3 byte = byte T = 2 4 byte = byte (Terabyte) P = 2 5 byte = byte (Petabyte) Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l ultimo resto Esempio: convertire in binario (43) 43 : 2 = : 2 = + : 2 = : 2 = : 2 = + : 2 = + (43) = () 2 resti bit più significativo 55 56

15 Conversione da decimale a binario (razionali) Conversione da binario a decimale Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: convertire in binario (,2875) e (,45), =,4375, =,875,875 2 =,75,75 2 =,5,5 2 =, (,2875) = (,) 2,45 2 =,9,9 2 =,8,8 2 =,6,6 2 =,2,2 2 =,4 etc. (,45) (,) 2 Oltre all espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia () 2 = = (43) si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit si continua fino al bit meno significativo (poco usato) Esempio: convertire in decimale () 2 bit più significativo x 2 = x 2 = x 2 = + x 2 = x 2 = 42 + = 43 () 2 = (43) Sistema esadecimale Conversione da binario a esadecimale La base 6 è molto usata in campo informatico Esempio: Cifre: C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è = () D = (3) = () E = (4) C = (2) F = (5) (32F) 6 = = = (4895) Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit corrisponde a 4 bit a C 5 D 6 E 7 F F corrisponde a 4 bit a Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente 59 6

16 Conversione da binario a esadecimale (hex) Conversione da esadecimale a binario Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D F (D9437F) 6 Esempio: 6 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (FF) 6 La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale xc8f Il numero binario ha 4 4=6 bit c 8 f Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali 6 62 Sommario della lezione Fine della lezione Introduzione all Informatica / lgebra ooleana / Sistemi di numerazione Evoluzione del computer lgebra ooleana Sistemi di numerazione Domande? 63 64

17 Esercizi per casa Esercizi per casa Esercizio Siano a 2, a, b 2, b i bit che rappresentano due numeri interi positivi (=a 2 a e =b 2 b ). Sia r una variabile booleana che vale se e solo è maggiore uguale a ( ). d esempio, quando = e =, allora a 2 =, a =, b 2 =, b = e r=. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione di a 2, a, b 2, b. Esercizio 2 I signori,, C e D fanno parte di un consiglio di amministrazione. Sapendo che hanno a disposizione le seguenti quote di possesso azionario =4%, =25%, C=2%, D=5%, formalizzare tramite tabella di verità (con successiva estrazione della forma canonica) la funzione booleana che decide quando il consiglio di amministrazione è in grado di approvare una mozione. Esercizio 3 Il direttore di una squadra di calcio vuol comprare 4 giocatori dal costo di 2, 5, 6 e 8 milioni di euro, ma ha a disposizione solo 8 milioni. Siano a 2, a 5, a 6, a 8 variabili booleane che valgono se e solo se si acquistano, rispettivamente, i giocatori da 2, 5, 6, 8 milioni. Sia r una variabile che è vera se e solo se l insieme di giocatori che si decide di comprare non supera la cifra disponibile. d esempio, se a 2 =, a 5 =, a 6 =, a 8 =, allora r=. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione delle variabili a 2, a 5, a 6, a Esercizi per casa Esercizio 4 Si verifichino le seguenti corrispondenze: () 2 =(5) () 2 =(2) () 2 =(7) () 2 =(27) () 2 =(39) 67

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