Corso di informatica di base

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1 Rel Luigi Ferrari

2 Indice 1. Modulo 1 - Concetti base dell'informatica Dato e informazione Misura dell'informazione Sistema decimale e sistema binario, ma non solo Bit, Byte e multipli Rappresentazione delle informazioni negli elaboratori Caratteri Suoni Immagini Conversione dei numeri binari Conversione da binario a decimale Conversione da decimale a binario Esempio Generalizzazione Numerazione esadecimale Rappresentazione di numeri a dimesione prefissata Numeri naturali Overflow Rappresentazione dei numeri interi Complemento a 2 per la rappresentazione dei numeri negativi Ricerca del valore di un numero in complemento a Sottrazione in binario Moltiplicazione e divisione...8

3 Corso di informatica di base Corso di informatica di base, mod1-sisteminumerazione.gpp 1. Modulo 1 - Concetti base dell'informatica Argomenti Dato e informazione, misura dell'informazione. Bit, byte e multipli. Numerazione binaria, ottale, esadecimale. Conversione tra le basi di numerazione. Cenni alla rappresetazione dei dati negli elaboratori. Obiettivi Acquisire la terminologia dell'informatica. Conoscere come sono rappresentati i dati negli elaboratori. Capire la differenza tra dato ed informazione. Saper convertire un numero da decimale in binario, ottale, esadecimale e viceversa Dato e informazione Numeri e parole hanno significato per noi solo se riusciamo ad interpretarli o, per dirla con termine piu' informatico, a elaborarli per ottenere delle informazioni. Se manca questo passaggio si parla di dati: i computer sono pieni di dati: numeri, parole, immagini, suoni... ma solo se abbiamo il software che riesce a elaborarli e a mstrarci il risultato dell'elaborazione possiamo considerarli informazione. Un secondo esempio puo' essere quello delle videocassette: esse spesso contengono film famosi, ora disponibili anche su DVD, ma il fatto che i lettori di videocassette siano quasi spariti dal mercato e che chi l'aveva lo abbia sostituito con il lettore DVD rende i "dati" contenuti nelle videocassette molto meno importanti, se non inutili. La mancanza di un mezzo che consenta di elaborare quei dati li fa diventare inutilizzabili Misura dell'informazione Come misurare l'informazione? Non e' sicuramente facile, perche' il contenuto informativo dei dati dipende da moltissimi fattori, non ultimo il soggetto che richiede l'informazione. Una possibile definizione e' questa: la dimensione di informazione e' pari al numero di domande binarie (vero/falso, si/no) che occorre porre per avere il contenuto richiesto. l'unita' di misura e' il bit (bit = contrazione di binary digit). Ad esempio, se voglio sapere se fuori piove per aprire o meno l'ombrello, basta che ponga la domanda "Sta piovendo?" a qualcuno che possa vedere all'esterno e in base alla sua risposta ho l'informazione cercata. In questo caso e' bastata una sola domanda, quindi il contenuto si dice essere di 1 bit. Se invece voglio qualche informazione in piu', ad esempio penso sia per me importante sapere se e' soleggiato oppure nuvoloso, oppure sta piovendo o se sta nevicando (quatrro possibili situazioni), la quantita' di informazione sale: occorre fare almeno due domande per sapere la situazione, quindi il contenuto informativo e' pari a 2 bit. (le domande possono essere, ad esempio: "Fuori sta scendendo qualcosa dal cielo?" se la risposta e' no la seconda domanda e' "Ci sono nuvole in cielo?" e cosi' riesco a scegliere tra soleggiato e nuvoloso; se la risposta alla prima domanda e' si' la seconda diventa "Sta nevicando?" con cui capisco se sta piovendo - 1 -

4 o nevicando) Sistema decimale e sistema binario, ma non solo Per capire il sistema binario conviene fare un passo indietro e pensare che se utilizzaiamo il sistema decimale e' solo perche' la natura ci ha dotato di dieci dita nelle mani. Se avessimo deciso di non usare i pollici avremmo adottato un sistema ottale: tutta la matematica continuerebbe a funzionare esattamente come adesso (anzi, in alcuni casi sarebbe anche piu' semplice). Del resto nel mondo esistono altri sistemi di numerazione: uno che utilizziamo ancora noi e' quello sessagesimale, per le misure degli angoli e per il tempo (1 minuto = 60 secondi, 1 ora = 60 minuti) e che fu usato dai babilonesi per i loro calcoli astronomici estremamente precisi, mentre i Maya, altri astronomi famosi, ne usavano uno ventesimale. Probabilmente, nel caso dei babilonesi, l'idea fu data dalla luna: dopo 12 lune e' trascorso un anno e il ciclo delle stagioni si ripete. Sessanta e' un multiplo che aggiunge ai gia' tanti divisori di 12 anche il 5 (60 = 2 x 2 x 3 x 5) cosi' da rendere facile la divisione di quantita' in 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30 parti. Nei computer e nei sistemi di telecomunicazione e' facile avere grandezze che hanno solo due stati: acceso/spento, presente/assente, segnale alto/basso... cosicche' si e' pensato di sfruttare un sistema di numerazione a due sole cifre: 0 e 1. Come nel sistema decimale dopo il 9 (ultima cifra) utilizziamo il 10 (da leggere come "una decina e zero unita'"), e nel sistema ottale, che utilizza le cifre da 0 a 7, dopo il 7 viene il 10 (un "ottetto" e 0 unita'), nel sistema binario dopo 0 e 1 viene... il10 (una "coppia" e zero unita'). Salendo il numero di cifre da usare cresce in fretta: Bit, Byte e multipli Dato che storicamente, per aumentare la velocità di comunicazione si e' pensato di trasferire i bit 8 alla volta, in parallelo su altrettanti fili, ad un gruppo di 8 bit si è dato il nome di Byte. Con il passare del tempo anche il Byte è diventato piccolo, cosi' si sono usati i suoi multipli. Nell'informatica si procede per raddoppi e dopo dieci raddoppi si arriva a 1024 (provare per - 2 -

5 credere): visto che 1024 era "vicino" a 1000, si è pensato di utilizzare questo per calcolare un multiplo: 1024 Byte formano un kilobyte (kb), 1024 formano un MegaByte (MB), 1024 MegaByte formano un GigaByte (GB), 1024 GigaByte formano un TeraByte (TB); fra poco tempo si parlera' anche di PetaByte, ExaByte. Un esempio di "raddoppi" può essere trovato nelle capacità delle chiavette USB: si e' passati da 512 MB a 1 GB, poi a 2 GB, 4 GB, 8 GB, 16 GB e così via: non sono mai esistite chiavette da 5 o 14 GB Rappresentazione delle informazioni negli elaboratori Nei calcolatori la singola "porzione" di memoria indirizzabile e' costituita da un byte, cioe' 8 bit; in un byte e' possibile scrivere uno tra 256 "simboli" formati dalle combinazioni degli otto bit, da tutti zeri ( ) a tutti 1 ( ). Con l'evoluzione della tecnologia l'unita' minima di memoria e' rimasto il byte, ma si sono utilizzati piu' byte insieme per poter avere piu' combinazioni. Negli elaboratori pero' non sono solo i numeri a dover essere rappresentati, ma anche altri tipi di informazioni: caratteri, suoni, immagini ne sono degli esempi Caratteri I caratteri vengono rappresentati con un insieme di 8 bit, cioe' un byte (il codice ASCII): 256 caratteri erano sufficienti per tutti i simboli che troviamo su una tastiera, comprese le lettere maiuscole e minuscole. La meta' delle combinazioni, inoltre, puo' essere diversa a seconda del Paese, in modo da poter usare le lettere accentate in Italia, le lettere spagnole con la cediglia e cosi' via. Recentemente, negli anni '90, per poter rappresentare i caratteri di tutte le lingue del mondo, si e' pensato di utilizzare due byte per rappresentare un carattere (codice Unicode), arrivando a cobinazioni (2 elevato alla 16). Con il cinese e le altre lingue orientali, che utilizzano ideogrammi, pero' anche questo tipo di rappresentazione sembra insufficiente e si sta pensando in un prossimo futuro di passare a 4 byte, cioe' 32 bit, con oltre 4 miliardi di combinazioni possibili. Nel piu' comune codice ASCII, alla lettera 'A' corrisponde la sequenza , mentre al carattere 'x' la sequenza Le informazioni in formato testo, come ad esempio unalettera, un romanzo, un articolo di giornale, sono codificate con lunghe sequenze di gruppi di bit Suoni Per quanto riguarda i suoni si opera "campionando" il segnale sonoro a intervalli regolari molto vicini e si codifica l'ampiezza del segnale con un numero. Sapendo ogni quanto sono campionati è possibile realizzare làoperazione inversa. I lettori MP3 contengono delle versioni compresse di queste sequenze di numeri, in modo da poter essere memorizzate facilmente in "poco" spazio Immagini Qualcosa di simile ai suoni avviene per le immagini, dove si lavora suddividendo l'immagine in tanti quadratini minuscoli (pixel) per ognuno dei quali vengono memorizzate, ad esempio, le intensità delle tre componenti principali del colore (Rosso, Verde, Blu). Per le intensità si assumono valori da 0 (colore assente) a 255 (colore al massimo): un pixel bianco avrà valori delle componenti 255, 255, 255; il nero corrisponderà a 0, 0, 0. Anche qui di solito si "comprimono" le immagini per risparmiare "spazio" nelle memorie

6 La compressione di solito porta ad una riduzione del contenuto informativo, sfruttando il fatto che i nostri sensi non sono molto precisi. Da un formato compresso non è possibile, di solito risalire al segnale originale Conversione dei numeri binari Vediamo come e' possibile convertire i numeri decimali in binari e viceversa Conversione da binario a decimale Come nel sistema decimale le potenze di 10 sono numeri costituiti da un "uno" seguito da degli "zeri" (1, 10, 100, 1000, ) cosi' nella numerazione binaria accade lo stesso in corrispondenza delle potenze di 2. Da questa osservazione viene la regola per la conversione dei numeri binari in grandezze decimali: basta sommare le potenze di 2 in corrispondenza degli "uni", tralasciando le altre. Ad esempio il numero binario puo' essere letto come 2 elevato alla quarta piu' 2 elevato alla prima piu' 2 elevato alla zero = = 19. Quindi in base 2 corrisponde a 19 in base dieci. Un possibile modo di effettuare la conversione e' di scrivere le potenze di due, in ordine inverso, sotto le cifre binarie e poi cancellare quelle che hannno sopra zero (o se sivuole, moltiplicare la potenza per la cifra binaria soprastante). Infine si fa la somma delle potenze rimaste: binario potenze di moltiplicazione 16 x x 2 1 Il numero binario corrisponde quindi a = 19 in decimale Conversione da decimale a binario La conversione da decimale a binario puo' essere fatta seguendo una serie di istruzioni: 1. sia N il numero decimale di cui si vuole trovare il corrispondente valore binario 2. si divide N per 2; si ottiene un nuovo valore per N (il risultato della divisione) e un resto (che sara' sempre o 0 o 1). Scrivere il valore del resto da qualche parte. 3. se N, il risultato della divisione, e' pari a zero passare al punto 4, altrimenti tornare al punto 2 4. si scrivono i valori dei resti delle divisioni successive dall'ultimo al primo: questo e' il valore binario ricercato Esempio Supponiamo di dover convertire il numero 19: Passo 1: N = 19 Passo 2: N/2 = 19/2 = 9 con resto 1; il "nuovo" valore di N e' 9, scriviamo 1 Passo 3: N e' diverso da 0, si torna a passo 2 Passo 2: N/2 = 9/2 = 4 con resto 1; il "nuovo" valore di N e' 4, scriviamo 1 Passo 3: N e' diverso da 0, si torna a passo 2 Passo 2: N/2 = 4/2 = 2 con resto 0; il "nuovo" valore di N e' 2, scriviamo 0 Passo 3: N e' diverso da 0, si torna a passo 2-4 -

7 Passo 2: N/2 = 2/2 = 1 con resto 0; il "nuovo" valore di N e' 1, scriviamo 0 Passo 3: N e' diverso da 0, si torna a passo 2 Passo 2: N/2 = 1/2 = 0 con resto 1; il "nuovo" valore di N e' 0, scriviamo 1 Passo 3: N e' zero, continuiamo con il passo 4 Passo 4: il numero binario si ottiene leggendo i resti al contrario, dall'ultimo al primo: Generalizzazione I metodi di conversione visti finora per il sistema binario valgono, pari pari, per il sistema ottale. Occorre sostituire 8 al posto dei 2 (potenze di 8 nella conversione da esadecimale a decimale, divisioni successive per 8 nella conversione opposta). Lasciamo per esercizio la verifica: provate ad esempio a convertire il numero 19 da e verso la numerazione ottale Numerazione esadecimale Storicamente un sistema di numerazione molto utilizzato negli elaboratori (soprattutto dai primi programmatori che non avevano strumenti sofisticati per "parlare" con l'hardware) e' quello esadecimale, che prevede 16 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). Le regole di conversione da e verso la numerazione sono le stesse del sistema binario, basta sostituire 16 al posto dei 2 (potenze di 16 nella conversione da esadecimale a decimale, divisioni successive per 16 nella conversione opposta. Il vantaggio della base esadecimale e' che il passaggio dai numeri in base 2 (binario) a quelli in base 16 e viceversa e' immediato: ogni cifra esadecimale corrisponde infatti a quattro cifre successive binarie (cominciando ovviamente da destra!). Per la conversione e' utile costruirsi una tabella con i valori decimali, binari ed esadecimali che vanno da 0 a 15. Nella tabella dei numeri binari indichiamo anche gli zeri non significativi: - 5 -

8 Vediamo qualche esempio: Il numero 19 in binario si scrive 10011, ha quindi cinque cifre binarie. Per comodita' ne scriviamo 8 aggiungendo degli zeri noon significativi all'inzio e scomponiamo in due gruppi di 4 bit: Il numero esadecimale corrispondente si ottiene prendendo i corrispondenti valori nella tabella esadecimale: > > 3: allora il valore esadecimale di e' 13. Se prendiamo il numero 30, in binario otteniamo Ripetendo lo stesso procedimento otteniamo: > 1E in esadecimale. Al contrario, volendo convertire in binario il numero esedecimale 4B basta scrivere i quartetti di bit corrispondenti alle cifre esadecimali: 4 -> 0100, B -> Affiancandoli otteniamo e,togliendo il bit a zero non significativo: Potete verificare da soli se i valori in esadecimale e binario convertiti in decimale danno lo stesso valore. La numerazione esadecimale ha avuto molto successo quando si e' pensato di utilizzare i bit a gruppi di 8, cioe' a byte: un qualsiasi byte puo' essere rappresentato da cue cifre esadecimali, con valori da 00 (otto bit tutti a zero) a FF (tutti uno). Per distinguere i numeri esadecimali da quelli decimali spesso si indica la base dopo il numero, come ad esempio 26(16) oppure si aggiunge una H (da Hexadecimal): 26H Rappresentazione di numeri a dimesione prefissata - 6 -

9 Con un numero prefissato di bit si possono rappresentare solo un insieme ben definito di numeri, poiche' le combinazioni possibili, cioe' i simboli diversi che e' possibile ottenere cambiando i valori dei bit, sono 2 elevato alla dimensione del numero. Del resto anche nel sistema decimale ci sono esempi di numeri a dimensione prefissata: ne sono un esempio i display degli orologi che troviamo per strada o nelle apparecchiature elettroniche come le bilance e le casse dei negozi. Su un display digitale con due cifre possiamo rappresentare solo i numeri da 00 a 99: questa e' sufficiente ad esempio per rappresentare le ore, i minuti e i secondi oppure la temperatura, non si potrebbe utilizzare se dovessimo mostrare con esso la temperatura in un forno Numeri naturali I numeri naturali sono i numeri 1, 2, 3, 4... Di solito si comprende anche lo zero. Con i valori binari di dimensione fissa pari a N i numeri naturali rappresentabili vanno da 0 alla potenza ennesima di 2 meno 1 (per poter comprendere lo zero. Ad esempio con quattro bit si va da 0 a 15 (due alla quarta, 16, meno 1). Con 8 bit si possono rappresentare i numeri decimali da 0 a 255 (o, se si vuole, da 00 a FF in esadecimale). Molto presto ci si e' accorti che si trattava di un insieme troppo modesto, cosi' si e' passati ad un numero maggiore di bit, multipli comunque del byte. Cosi' con 16 bit si va da 0 a (da 0 a FFFF in esadecimale), con 32 bit da 0 a , con 64 bit, utilizzati nei computer attuali piu' recenti, da 0 a Considerando che nei primi 2000 anni di storia i secondi trascorsi sono "solo" 2000x365x24x60x60, cioe' , i moderni calcolatori possono tranquillamente distinguere ognuno di questi istanti di tempo dagli altri: se vi sembra poco... Nel seguito utilizzeremo, per semplicita', solo numeri della dimensione di un byte Overflow Per overflow si intende il superamento della capacita' di memorizzazione: si ha, ad esempio, quando si cerca di inserire un numero maggiore di 255 in un byte. Un esempio potrebbe essere quello di cercare di sommare il valore 200 al valore 180: i due dati di partenza possono stare in un byte, la loro somma no, infatti 380 e' maggiore di 255. L'elaboratore memorizzera' il valore 124, cioe' la parte che eccede 256. Per capirlo, proviamo ad eseguire la somma a mano e vediamo cosa otteniamo: = = Il valore del bit piu' a sinistra viene perso: semplicemente non sta in un byte. Il resto corrisponde, appunto, al valore 124. Come spunto di riflessione si puo' pensare a come mai ottengo la parte che eccede 256 e non la parte che eccede 255. Come aiuto, provate a vedere come viene rappresentato Rappresentazione dei numeri interi I numeri interi comprendono anche i numeri negativi. Con un byte, cioe' 8 bit, si e' dovuto ridurre l'insieme dei numeri positivi per fare posto ai - 7 -

10 corrispondenti negativi. Per questo motivo, sono rappresentabili i numeri da -128 a +127 (uno in meno perche' c'e' anche il valore 0). In un primo momento si e' pensato di utilizzare il bit piu' a sinistra come "bit del segno": quando e' zero si tratta di un numero positivo, quando e' uno si tratta di un numero negativo. Il resto rimane tale e quale. In questo modo, il valore -4 corrisponderebbe a Questo modo non si e' rivelato efficace, perche' le operazioni aritmetiche e di confronto risultavano molto complicate, soprattutto per gli elaboratori. Si e' invece utilizzato un secondo metodo di memorizzazione dei numeri negativi, denominato Complemento a due Complemento a 2 per la rappresentazione dei numeri negativi Per ottenere la rappresentazione in complemento a 2 si un numero negativo si deve seguire una procedura, i cui passi sono i seguenti: 1: scrivere il corrispondente numero positivo; 2: "rovesciare" ogni singolo bit (cioe' ogni bit a zero diventa un uno e viceversa); 3: addizionare uno al numero cosi' ottenuto. Alla fine si ottiene il valore del numero negativo cercato. Vediamo un esempio: vogliamo il valore di -13. Primo passo: scriviamo 13 in 8 bit Secondo passo: rovesciamo i bit Terzo passo: aggiungiamo quindi il valore binario di -13 e' Per verificare la correttezza, proviamo a aggiungere al numero ottenuto il valore 13. Provando a fare a mano l'operazione, si ottiene , cioe' un numero con overflow. Gli otto bit piu' a destra, escludendo l'uno iniziale, corrisponde proprio al risultato corretto. Come verifica, provate a fare operazioni quali e verificare che risulti Ricerca del valore di un numero in complemento a 2 Per ottenere il valore assoluto di un numero negativo rappresentato in complemento a 2, e' sufficiente ripetere la procedura sul numero negativo: per il numero -13 quello che si ottiene e' infatti -(-13), cioe' Sottrazione in binario Con la rappresentazione dei numeri negativi con il complemento a 2, le sottrazioni si trasformano in addizioni: infatti puo' essere scritto come 76+(-40), cioe' una addizione tra un numero positivo e un valore negativo. Gli elaboratori quindi sanno fare addizioni ma non sottrazioni Moltiplicazione e divisione Le altre operazioni aritmetiche fondamentali sono fatte mediante sequenze di addizioni e sottrazioni: per l'elaboratore 5x4 diventa , mentre 35/4 provoca il conteggio di quante sottrazioni di 4 (addizioni di -4) possono essere fatte su 35 prima di arrivare a zero o meno. Alcune operazioni sono piu' "facili" per l'elaboratore: moltiplicare per una potenza di 2 corrisponde a aggiungere degli zeri in fondo (provare a fare 13x8), la divisione per una potenza di 2 significa buttare via gli ultimi bit

11 L'elaboratore in genere sfrutta queste proprieta' per aumentare la velocita' con sui ottenere i risultati, a scapito di complicazioni nella sequenza delle operaziono

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