6. I GAS IDEALI. 6.1 Il Gas perfetto

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1 6. I GAS IDEALI 6. Il Gas erfetto Il gas erfetto o ideale costituisce un modello astratto del comortamento dei gas cui tendono molti gas reali a ressioni rossime a quella atmosferica. Questo modello di riferimento è costituito da un gas er il quale algono le seguenti condizioni: le molecole sono immaginate come sfere di olume ressoché nullo e comunque trascurabile risetto al olume del reciiente che contiene il gas; il moto delle molecole aiene in ogni direzione con le medesime robabilità; non esistono forze di attrazione e reulsione tra le molecole e gli urti tra le molecole e il reciiente e tra una molecola e l altra sono elastici; ad ogni singola molecola ossono essere alicate le leggi della meccanica classica. Per un gas con queste rorietà si ossono ricaare leggi semlici in grado di descrierne il comortamento al ariare delle grandezze termodinamiche. In ogni stato termodinamico il comortamento di un gas erfetto segue la legge: = R (6.) essendo: la ressione, il olume secifico, R una costante caratteristica del gas in esame, la temeratura assoluta. Questa relazione, raresenta l equazione di stato dei gas erfetti. La rima rorietà del gas erfetto è quella di comortarsi in modo conforme a questa equazione di stato. La seconda rorietà è che la sua energia interna è funzione solo della temeratura. Prorietà che si uò esrimere analiticamente come u = f(). La terza rorietà è che anche la sua entalia è funzione solo della temeratura. ale rorietà si uò esrimere analiticamente come h = f(). Per il gas erfetto algono ertanto le seguenti tre rorietà: = R, u = f(), h = f(). 6. Comortamento dei gas reali a bassa ressione Una serie di imortanti leggi, che descriono il comortamento dei gas a bassa ressione, furono determinate tra il secolo XVII al XIX da alcuni i ricercatori che studiaano le trasformazioni comiute dai gas reali a ressioni icine alla ressione atmosferica. Il rimo imortante risultato fu ottenuto nel 66 da R. Boyle e, indiendentemente da lui, da E.Mariotte. Essi mostrarono che, a temeratura costante, il rodotto della ressione di un gas er il suo olume è una costante. 8

2 Questo risultato, oggi noto come legge di Boyle-Mariotte, ermette dunque di affermare che esandendo o comrimendo un gas con una trasforazione isoterma il rodotto della ressione er il olume occuato dal gas è una costante. Oero: ( V) =cost = costante (6.) Nel 80 G.Gay-Lussac mostrò che se si riscalda un gas a ressione costante al crescere della temeratura cresce linearmente anche il olume. Oero, se V 0 è il olume occuato da una massa di gas alla temeratura di 0 C, alla temeratura t il olume sarà: V = V ( + αt ) (6.3) 0 essendo: t la temeratura in gradi centigradi e α il coefficiente termico di dilatazione olumetrica che, a ressioni sufficientemente basse, ha il medesimo alore er tutti i gas ed è ari a /73.5 [/ C]. Questa relazione, oggi nota come legge di Gay-Lussac, uò essere enunciata nel seguente modo: riscaldando un gas mediante una trasformazione isobara il olume cresce linearmente con la temeratura. Da questa legge si uò trarre la seguente imortante relazione che lega il olume alla temeratura assoluta del gas quando rimanga costante la ressione, ricaando V e V dalla 6.3 eseguendo il raorto e moltilicando numeratore e denominatore er α si ha infatti: V V t = e quindi: t V = (6.4) V Un secondo risultato del laoro solto da Gay-Lussac mostrò che se si riscalda un gas a olume costante al crescere della temeratura cresce linearmente anche la ressione. Oero, se 0 è la ressione del gas alla temeratura di 0 C, alla temeratura t la ressione sarà: = ( + αt ) (6.5) 0 relazione che raresenta una forma diersa della legge di Guy-Lussac (detta anche legge di Volta) e che uò essere enunciata nel seguente modo: riscaldando un gas mediante una trasformazione isocora la ressione cresce linearmente con la temeratura. Dalla (6.5) si eince la relazione che lega la ressione alla temeratura assoluta del gas quando rimanga costante il olume: e quindi: t = t = (6.6) 8

3 Per inciso, sono state queste ultime due relazioni ad introdurre l idea di temeratura assoluta; queste due relazioni infatti forniscono alori nulli di P e V er t= I risultati descritti iù sora engono sintetizzati in quella che iene denominata equazione di Claeyron che descrie il comortamento dei gas atmosferici a bassa ressione riconoscendo al raorto V/ un alore che diende dalla massa m del gas e da una costante R che è caratteristica di ogni singolo gas. L equazione di Claeyron assume ertanto la nota forma: V = m R (6.7) La costante caratteristica R, che è esressa in [J/(kg K)], ha alori diersi a seconda delle sostanze e iene detta costante caratteristica del gas. Per esemio ale: er l aria 87, er il aor d acqua 46, er l ossigeno 60, er l idrogeno 45 J/(kg K). 6.3 Prima rorietà del gas erfetto Si noti che nella (6.7), ortando il termine m che esrime la massa al rimo membro e indicando con il olume secifico del gas in oggetto la cui unità di misura è [m 3 /kg], l equazione di Claeyron uò essere esressa nella forma: = R (6.8) La (6.8), sebbene in una forma articolare che richiede la determinazione della costante caratteristica secifica del gas in esame, esrime la rima rorietà del gas erfetto. Si osseri che essa esrime anche un legame funzionale tra le grandezze di stato intensie,, e raresenta ertanto anche l equazione di stato del gas erfetto. Si noti che, oichè il gas è un sistema monofase e monocomonente che er la regola delle fasi di Gibbs ha due gradi di libertà, imosti i alori di due delle tre grandezze,, dall equazione di stato (6.8) è ossibile ricaare la terza. Una forma iù generale e indubbiamente iù elegante della (6.8) si uò siluare in seguito alla legge di Aogadro, la quale afferma che olumi uguali V di gas erfetti alla medesima ressione e temeratura contengono un numero uguale di molecole (entità elementari). enendo a mente questa legge è ertanto ossibile legare il numero delle molecole del gas alla sua massa ed esrimere in modo iù generale la (6.7). Se m è la massa [kg] e M è la massa di una chilomole (detta massa molare [kg/kmol]) di un certo gas il raorto m/m fornisce il numero n di chilomoli [kmol] di quel gas che sono resenti nel olume V alla temeratura. La legge di Aogadro stabilisce dunque che il numero di molecole, e quindi il raorto m/m, è una costante er tutti i gas. Cioè si uò scriere: m n = = costante (6.9) M Dalla (6.9) risulta allora anche che m = n M. Si uò allora utilizzare questa eguaglianza nella 83

4 (6.7) e si ottiene: V = nmr (6.0) Si ossera che il rodotto tra la massa molare M e la costante caratteristica R ha un alore costante er tutti i gas che ale 834,3 [J/(kmol K)] e che qui si indica con R* (R*=RM). Questo alore è detto costante uniersale dei gas erfetti. La (6.0) si uò allora scriere: V = nr * (6.) oure, diidendo il olume V er il numero di chilomoli n e ottenendo così il olume di una mole * = V/n (detto olume molare o olume di Aogadro ed esresso in [m 3 /kmol]), l equazione di Claeyron si uò anche scriere: * = R* (6.) Per concludere è bene notare che la rima rorietà dei gas erfetti esressa dalle arie forme della (6.7), consente di definire molte altre rorietà. Per esemio, ricordando che l inerso del olume secifico (che si misura in m 3 /kg) corrisonde alla densità ρ (che si misura in kg/m 3 ), si ottiene: ρ = (6.3) R Pertanto, nota la densità ρ 0 di un dato gas in un certo stato di riferimento che corrisonde alla ressione 0, e alla temeratura 0, è ossibile ottenere la densità del gas in qualsiasi altro stato caratterizzato dalla ressione e dalla temeratura. Infatti dalla (6.3) risulta: e uguagliando le due si ottiene: 0 R = R = ρ 0 0 ρ ρ = ρ 0 0 (6.4) 0 Si noti d altra arte che la densità (al ari della ressione, della temeratura e di tutte le altre grandezze di stato) si uò definire numericamente solo attraerso le sue ariazioni risetto ad uno stato di riferimento: usualmente si assumono come riferimento le condizioni standard 0 = 73.5 K e 0 = 035 Pa. 6.4 Seconda e terza rorietà del gas erfetto La determinazione della seconda rorietà del gas ideale uò essere fatta deriare dalla classica eserienza sull esansione irreersibile di un gas condotta da J.P. Joule, eserienza oi erfezionata dall irlandese William homson (lord Kelin ). L eserienza uò enire realizzata immergendo due reciienti rigidi, tra loro collegati tramite una alola, in un serbatoio d acqua reso adiabatico er oterlo utilizzare come calorimetro. In uno dei due reciienti, aente olume V, è contenuta una massa m di gas a ressione ; 84

5 e con temeratura uguale a quella dell acqua contenuta nel calorimetro; nel secondo reciiente di olume V. è inece stato rodotto il uoto. Doo un certo temo, abbastanza lungo erché l intero sistema si orti in equilibrio termico e assuma temeratura k,, la alola iene aerta ed il gas iene fatto esandere nel secondo reciiente. Doo tale oerazione il olume riemito dal gas, comrendendo anche il secondo reciiente, diiene V f = (V + V ), mentre la ressione diminuisce. Agendo con ressioni iniziali sufficientemente basse (condizione alla quale il comortamento dei gas reali arossima molto bene quello del gas erfetto), Joule constatò che la temeratura del sistema non subia ariazioni oero che la temeratura k, alla fine del rocesso si mantenea uguale a quella iniziale,. Il rocesso, ertanto, si otea considerare isotermo. D altra arte, oiché i reciienti erano rigidi essi non daano luogo neure a scambi di laoro tra il gas e l acqua del calorimetro e la trasformazione subita dal gas si otea considerare isoterma e a laoro nullo o, in altre arole, ad energia interna costante. Le conseguenze dei risultati messi in luce da tale eserienza definiscono chiaramente la seconda rorietà dei gas erfetti. Infatti, ricordando che l energia interna è una grandezza di stato, dalla regola delle fasi di Gibbs si ede che il suo alore resta determinato fissando quello di due qualsiasi grandezze indiendenti. Si uò ertanto scriere: u=f(,); u=f(,); ecc.. Ricordando che ogni grandezza di stato è un differenziale esatto, ciò corrisonde a scriere risettiamente: δ du = δ u δ u du = δ δ d + δ d + δ δ u u d d (6.5) (6.6) Ora, nell eserienza di Joule, doe è nulla la ariazione di energia interna, si ha che d=0, ed essendo d<>0 e d<>0, affinché du sia uguale a 0, le deriate arziali di u risetto a e deono essere nulle, oero u non dee ariare in funzione di e : (δu/δ) = 0 (δu/δ) = 0 se ne conclude che u è funzione solo della temeratura: u = f() e questa è la seconda legge che caratterizza il gas ideale: er un gas erfetto l energia interna è solo funzione della temeratura assoluta. La (6.5), tenendo conto della definizione di calore secifico a olume costante, conduce a δu du = δ d ---> du = c d (6.7) 85

6 doe c, er il gas ideale è funzione solo della temeratura, e non del tio di trasformazione, er cui questa esressione ale anche er le trasformazioni non isccore. Più esattamente, come si edrà nel seguito, l energia interna è una funzione lineare della temeratura. E infatti: u = c Se si considera la grandezza entalia come funzione di temeratura e ressione, h = f(,), in termini differenziali si ottiene: dh = (δh/δ) d + (δh/δ) d ma la definizione di entalia è h = u +, si uò osserare che entrambi gli addendi al secondo membro sono delle funzioni della temeratura (se infatti = R allora: h = u + R ), se ne deduce, ertanto, che l entalia di un gas erfetto è anch essa funzione della sola temeratura e questa è la terza rorietà dei gas erfetti. Ne segue: (δh/δ) = 0 e ricordando la definizione di calore secifico a ressione costante, si ottiene: dh = (δh/δ) d ---> dh = c d (6.8) doe c er il gas ideale è funzione solo della temeratura, e l esressione è alida anche er trasformazioni non isobare. Più esattamente, come si edrà nel seguito, l entalia è una funzione lineare della temeratura. E infatti: h = c Si sottolinea che le due esressioni (6.7) e (6.8) consentono di alutare le ariazioni di energia interna ed entalia del gas ideale qualunque sia la trasformazione che si considera. Oiamente du e dh coincidono con le quantità di calore scambiato dq solo nelle trasformazioni reersibili risettiamente a olume costante ed a ressione costante Calori secifici del gas erfetto Il fatto che c e c P siano funzioni della sola temeratura ermette di stabilire tra loro una relazione. c = f( ) c f( ) = Ricordando che la definizione di entalia one: e che er il gas erfetto: h = u + = R 86

7 si ottiene anche: h = u + R Una ariazione infinitesima di entalia uò allora essere descritta dall equazione: dh = du + R d Diidendo entrambi i membri er d si ottiene infine: che corrisonde a scriere: o anche: Da ciò risulta: Si uò ora definire il raorto: dh d dh d c = + du d du d + R = R c R (6.9) P = c = R + c c = k (6.0) c nel quale k ha un alore semre maggiore dell unità che ale: 5/3, cioè,66, er i gas monoatomici; 7/5, cioè,40, er i gas biatomici; 4/3, cioè,33, er i gas triatomici. Questo erchè, a arità di aumento di temeratura del gas, il calore da somministrargli a costante è maggiore di quello da somministrare a costante; nel rimo caso infatti una arte del calore fornito ritorna all ambiente sotto forma di laoro di esansione ( d), anzichè incrementare l energia interna del gas considerato. Dalle ultime due equazioni si ricaa inoltre: c k = R c = R (6.) k k Dalle (6.) si ede che i calori secifici a olume e ressione costante er un gas ideale sono delle costanti essendo, er un dato gas con comortamento ideale, costanti sia R che k. Da questo fatto si deduce che, come già si è isto, l energia interna e l entalia sono funzioni lineari della temeratura. 6.8 Processi dei gas ideali 6.8. Processo isocoro ( = costante) d = 0. Mediante una trasformazione isocora quasistatica reersibile un gas ideale assa dallo stato in cui ale la relazione: = R 87

8 Allo stato in cui: = R diidendo la rima equazione er la seconda si ottiene: = (6.) dunque a olume costante le ressioni sono direttamente roorzionali alle temerature assolute. Il laore secifico scambiato da un sistema senza deflusso è nullo dl = d = 0 l = 0 quindi l'equazione del rimo rinciio si riduce a: segue: dq = du q = u - u = c ( - ) Nel caso di un sistema con deflusso, semre con una trasformazione quasistatica e reersibile, essendo = =, si ha che il laoro utile è: O anche: l' = - d = - d = - ( - ) (6.3) l' = d - + = - ( - ) 6.8. Processo isobaro ( = costante) d = 0. Mediante una trasformazione isobara quasistatica reersibile un gas ideale assa dallo stato in cui ale la relazione: Allo stato in cui: = R = R diidendo la rima equazione er la seconda si ottiene: = (6.4) Per un sistema chiuso, nel caso di una trasformazione quasistatica e reersibile, essendo = =, si ha: l = ( - ) (6.5) Mentre, er lo scambio termico (er unità di massa): 88

9 q = (u - u ) + ( - ) = c ( - ) + ( - ) (6.6) Se, al contrario, il sistema è con deflusso (sistema aerto), essendo dl c = 0, ed essendo in tal caso (trasformazione quasistatica reersibile): dl' = - d = 0, dal Primo Princiio della termodinamica, segue: dq = dh Q = m& (h - h ) = m& c ( - ) Processo isotermo d = 0. A temeratura costante la resione di un gas ideale è inersamente roorzionale al olume (legge di Boyle): = costante (6.7) che raresenta sul iano - un'ierbole equilatera (figura 6.). Figura 6. Legge di Boyle er il gas ideale (fonte [3]). Per un sistema chiuso l'equazione del rimo rinciio er un sistema chiuso si uò scriere: essendo d = 0: dq = c d + d dq = d = dl oero il calore scambiato eguaglia il laoro scambiato anziché tradursi anche in ariazione di energia interna. Per un rocesso finito si ha: 89

10 q R = l = d = d = R d = R ln( ) (6.8) che raresenta nel diagramma in figura l'area A 0 ABB 0. Nel caso con deflusso, essendo dh = c d = 0 l'equazione del rimo rinciio si uò scriere: dq = c d - d = - d =dl' e er un rocesso finito: q = l' = d = R d = R d = R ln( ) siccome = cost = R e = R/: q = l' R / = R ln( R / ) = R ln( dunque il laoro è lo stesso del caso senza deflusso, ed il laoro di immissione uguaglia il laoro di esulsione, come si uò osserare nel diagramma. ) Processo adiabatico dq = 0. In questo caso l'equazione del rimo rinciio er un sistema chiuso, esendo dq=0 si riduce a: c d + d = 0 differenziando l'equazione di stato si ha: d + d = R d ricaandone d e sostituendolo nell'equazione del rimo rinciio e tenendo conto che R = c - c si ottiene: c ( d + d) + d = 0 c c da cui: c d + c d = 0 e, diidendo er c, er e er : da cui, integrando: k d / + d / = 0 k = cost (6.9) la cura che raresenta questa equazione nel diagramma - è alquanto iù riida dell'ierbole equilatera che raresentya l'isoterma (figura 6.). Infatti deriando la (6.7) si 90

11 ottiene la endenza: d/d = -/ mentre deriando la (6.9) si ottiene: d/d = -k (/) Figura 6. Isoterme ed adiabatica reersibile sul iano - Da quest ultima equazione, o dalla rima di questo aragrafo, er mezzo dell equazione di stato, si arria alle seguenti relazioni: (-k)/k = costante (6.30) (k-) = costante (6.3) Queste ultime tre relazioni sono molto imortanti nella tecnica, dato che i rocessi che aengono nei comressori e negli esansori sono con grande arossimazione adiabatici ed il comortamento dei gas utilizzati è rossimo a quello dei gas ideali (er ressioni non eleate). Le tre relazioni ( ) resuongono che i calori secifici, dunque il loro raorto k, non arino con la temeratura. Non si tratta di equazioni di stato, descriono il legame tra due delle tre grandezze, e durante la trasformazione adiabatica, quasistatica e reersibile. Essendo nullo il calore scambiato (dq=0), l esressione del laoro scambiato lungo un adiabaticaè dato da (semre con ariazioni nulle di energia cinetica e otenziale): dl = -du e dl = -dh risettiamente nei rocessi senza deflusso e con deflusso, er il gas ideale sarà quindi: dl = - c d e dl = - c d 9

12 E' eidente che lo scambio di laoro sarà realizzato da ariazioni di olume secifico (sistemi senza deflusso, macchine olumetriche), o da ariazioni di ressione (sistemi con deflusso). Comressori ed esansori (o turbine) sono le macchine che realizzano questi rocessi. Nella quasi totalità dei casi in queste macchine, il rocesso è considerato adiabatico. Se il sistema è chiuso, risulta: l = u -u = c ( - ) (6.3) ale esressione uò anche essere resa come (ricaando dall eq. di stato): c l = ( - ) = ( ) = ( ) R k k k k (6.33) A tale esressione si farà ricorso er il calcolo del laoro di comressione o di esansione. Analogamente, in un sistema con deflusso, si uò facilmente ricaare: da cui: l = h -h = c ( - ) (6.34) c k k l = ( - ) = ( ) = ( ) R k k dunque il laoro con deflusso è k olte il laoro senza deflusso. k k (6.35) 6. 8 Politroiche Si dice olitroica una trasformazione quasistatica reersibile durante la quale ressione e olume sono legati dalla relazione: n = cost (6.40) la definizione è indiendente dal fatto che si tratti di un gas ideale. Ma se la trasformazione riguarda un gas ideale allora er essa algono anche le relazioni: (-n)/n = costante (n-) = costante Se si tratta di un gas ideale con k costante allora si uò dimostrare che durante una olitroica il calore secifico è costante; sono articolari olitroiche: - l isobara n=0 =cost. c= c - l isocora n=infinito =cost. c= c - l isoterma n= =cost. c= infinito - l adiabatica n=k k =cost. c=0 9

13 6. 9 Miscele ideali di gas ideali Una miscela di gas ideali si comorta globalmente come un gas ideale qualora essa si troi in stati termodinamici caratterizzati da densità sufficientemente bassa in modo che si ossano erificare le iotesi che sono alla base del modello dei gas erfetti (molecole a olume trascurabile con moto che aiene in ogni direzione con le medesime robabilità; assenza di forze di attrazione e reulsione tra le molecole e urti elastici tra molecole e reciiente). In tali condizioni lo stato termodinamico di una miscela di N comonenti è determinato quando siano note (N+) grandezze di stato intensie indiendenti tra le quali si deono annoerare quelle che descriono la comosizione della miscela stessa. Vale allora quanto comunemente a sotto il nome di legge di Gibbs-Dalton er le miscele che si uò così riassumere: La ressione totale di una miscela ideale di gas è uguale alla somma delle ressioni arziali di ogni singolo comonente; si definisce ressione arziale di un comonente la ressione che assumerebbe tale comonente qualora occuasse da solo, alla medesima temeratura e nella quantità in cui è resente nella miscela, lo stesso olume occuato dalla miscela. L energia interna totale di una miscela ideale di gas è uguale alla somma dell energia interna di ogni singolo comonente; si definisce energia interna di un comonente l energia interna roria alla quantità del singolo comonente alla medesima temeratura della miscela. Si ha ertanto: = N i i U N = i U i (6.43) enuto conto della definizione di entalia, si uò dedurre che anche l entalia H della miscela risulta ari alla somma delle entalie H i dei singoli comonenti. Si ricorda che er un gas ideale ale l equazione di stato: = R (6.44) doe R è la costante caratteristica del gas, è la temeratura e il olume secifico del gas (m 3 /kg). Sebbene la (6.44) alga anche er la miscela ideale di gas, essa non è immediatamente alicabile a meno che non si conosca già il alore della costante caratteristica er la miscela che chiameremo R m. Il alore di R m. diende dalla comosizione della miscela oero diende sia dai gas che la costituiscono sia dalla quantità nella quale è resente ognuno di essi. In altre arole R m. diende dalla quantità di materia che corrisonde ad ogni secie di gas che comone la miscela. E bene ricordare, a questo unto, che la quantità di materia è misurata da una delle grandezze fondamentali del Sistema Internazionale: la mole [mol]. La (6.44), inoltre uò essere scritta anche nella forma: * = R* (6.45) 93

14 doe: R* è la costante uniersale dei gas ed è ari a 834,3 J/(kmol K), è la temeratura assoluya e * è il olume secifico di una kilomole di gas (m 3 /kmol). Il olume secifico di una mole è detto anche olume molare e raresenta il olume occuato dalla quantità di materia corrisondente ad una mole (oero alla quantità di materia che ha una massa ari al eso molecolare della sostanza considerata esresso in grammi). Allora, oiché il numero n di moli contenuto in una data massa di gas è n = V / * (mol), si uò anche scriere * = V / n e sostituendo nella (6.44) risulta: V = n R* (6.46) doe V è il olume globalmente occuato dalla miscela. Si ede allora che er il caso della miscela è sufficiente conoscere il numero n i di moli che corrisondono ad ogni singolo comonente. Si ha quindi: n N = n i (6.47) La (6.46) richiede l uso del olume V (m 3 ) che è una grandezza di stato estensia in quanto diende dalla massa. Per oter utilizzare il olume secifico della miscela (kg/m 3 ), che è una grandezza intensia, è necessario conoscere la massa molare M i di ogni singolo comonente. Poiché la massa globale m della miscela è data dalla somma dei rodotti del numero di moli er la massa molare di ogni singolo comonente si ha: N m n im = i (6.48) la massa molare equialente della miscela M m risulta dalla relazione: da cui si ricaa: La (6.44) uò ertanto essere riscritta nella forma: m M m = (6.49) n n = m / M m (6.50) V m = R* (6.5) M m e, ricordando che il raorto V/m corrisonde al olume secifico della miscela mentre R*/M m corrisonde alla costante caratteristica della miscela R m, si ottiene anche er la miscela l equazione di stato del gas erfetto nella forma corrisondente alla (6.38) oero: = R m (6.5) 94

15 Pertanto la ressione totale di una miscela ideale di gas uò essere esressa nella forma: R m = (6.53) BIBLIOGRAFIA: [] Carlo Castagnoli. Fisica Generale: Meccanica ermodinamica. Libreria Editrice Uniersitaria Lerotto & Bella, orino, 984. [] Marcantonio Bragadin, Giancarlo Rossi. Meccanica ermodinamica. CEDAM, Padoa, 994. [3] Alberto Caallini, Lino Mattarolo. ermodinamica Alicata. CLEUP Editore, 99, Padoa [4] Gaetano Alfano, Vittorio Betta. Fisica ecnica - ermodinamica alicata, Princii d imianti termici. Liguori Editore, Naoli,

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