Programma del corso di Fisica Tecnica 7 crediti

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1 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Prof. Lucio Araneo Politecnico di Milano Laurea in Ingegneria della Produzione Industriale, Lecco, aa 014/15 Versione del file: v1b, data: 10 Marzo 015. Programma del corso di Fisica Tecnica 7 crediti Blocco ARGOMENTO Capitoli Moran 1 (4ore) Introduzione, libri. Unità di misura, (P, T..). Sistemi, stati, proprietà. Fasi. Trasformazioni reversibili e irreversibili, quasistatiche. 1.x.x (3ore) Equazioni di stato (liquidi e solidi incomprimibili ideali, gas perfetti) con diagrammi. 3.x (paragrafi in Sistemi bifase liquido vapore, diagrammi e tabelle termodinamiche. Gas reali. ordine diverso a Energia, calore e lavoro. 1 PdT per sistemi chiusi, Energia interna ed entalpia. Scambi lezione) energetici per i gas perfetti, calori specifici, diagrammi P-v. trasformazioni politropiche.. Inizio 4 3 (4) Diagrammi di stato di sistemi eterogenei e trasformazioni con cambiamento di fase. 4.x 4 (3+) Sistemi aperti, (volumi di controllo instazionari e stazionari: bilanci di massa ed energia 5.x (1 PdT). Dispositivi a flusso stazionario. 5(+3) PdT, macchine termodinamiche, serbatoi di calore. Entropia e bilanci entropici. 6.x Diagrammi P-v, T-s. Variazione di entropia per i gas perfetti, solidi e liquidi ideali. 7.x Trasformazioni isoentropiche. Eser.(4) Esercizi su tutto: sistemi chiusi e aperti, 1 e PdT, solidi liquidi gas e sistemi bifase. Eserciziario 6 (4) Cicli a vapore: ciclo Rankine a vapore d acqua, cenni ai cicli frigoriferi. Realizzazioni 8.x impiantistiche. 7 (3) Cicli a gas: Joule-Brayton, Otto (cenni Diesel) 9.x 8 (4) L aria umida: diagrammi, formule, uso. Trasformazioni e miscelazioni. Temperatura di 10.x bulbo secco e umido. Eser (3) Esercizi su tutto: Eserciziario Temi d esame 9 (7) Introduzione. Equazione generale della conduzione (Fourier), Conduzione in regime 15.x stazionario + nozioni convezione. Pareti piane (anche con generazione interna di calore) e cilindriche. Alette appunti 16.,3,4 10 (3) Conduzione in regime variabile, casi a parametri/capacità concentrati. Numero di Biot (4) Regime variabile, conduzione in pareti spesse finite e semi-infinite, numero di Fourier 16.5+appunti 1 (7) Convezione forzata e attrito. Numeri di Reynolds Prandtl Nusselt ,,3 13 () Convezione naturale (cenni) (4) Irraggiamento 18.x 15 () Scambiatori di calore. Metodo ε-ntu appunti 16 (1) Metodi numerici (cenni) Appunti e/o libro Guglielmini Libro di testo: Moran Shapiro Munson DeWitt, Elementi di fisica tecnica per l ingegneria. McGraw-Hill, 011 Libri di consultazione: Chengel, Termodinamica e trasmissione del calore: McGraw-Hill. Guglielmini Pisoni, Elementi di trasmissione del calore, II ed, CEA (versione completa, Isbn ). Ferruccio Miglietta, Appunti di Fisica Tecnica, CUSL, ISBN Esercitazioni, temi d esame etc: Orario Lezioni 014/15: Martedì, aula B.1, Giovedì, aula B.6 Verifica per compatibilità di stampa: 5 lettere accentate à è ì ò ù, 5 lettere greche α β γ δ ε 3 simboli { } ± ƒ 1

2 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Modalità di esame del corso di Fisica Tecnica (Termodinamica) L iscrizione è obbligatoria. Chi non ha intenzione di presentarsi ad un esame, è vivamente pregato di non iscriversi, o di cancellare l iscrizione, o avvertire il docente via mail fino a poche ore prima: gli assenti provocano stampa inutile di testi d esame, preoccupazioni organizzative inutili per reperire aule più grandi, etc. Durante gli esami (scritti e orali) è consentito l uso di calcolatrice, tabelle, un formulario (A4, una facciata per la termodinamica, una per la trasmissione del calore) scritto al computer non contenente nè grafici nè dimostrazioni, da consegnare in caso di esami scritti. NON sono consentiti il libro di testo, esercitazioni o temi d esame svolti. Parte scritta (esercizi, obbligatoria) Appelli regolari: prova scritta sul programma completo. Fino a luglio sarà disponibile anche un testo per la a parte del programma (trasmissione del calore), riservato agli studenti che hanno già superato con successo la 1 a prova. Prove in itinere. La 1 a (termodinamica) si terrà indicativamente entro l 11 maggio; chi la supera è esentato da quella parte di programma negli scritti successivi fino a fine luglio; potrà comunque rifiutare il risultato parziale e sostenere l esame completo. Voto sulla parte scritta (ripetere uno scritto annulla i corrispondenti risultati precedenti): scritto completo 18 ammesso all orale Entrambe le prove scritte 18 ammesso all orale, voto scritto = media tra le due prove 1 a 18, a < 18 La a prova può essere recuperata con lo scritto limitatamente a quella parte del programma entro il appello di luglio. E opzionale sostenere la prova completa che annulla i precedenti. 1 a prova o prova completa < 18 scritto completo dal 1 appello disponibile (inizio luglio) Parte orale (teoria, obbligatoria) La parte orale cambia il voto dello scritto con limiti da - a +3 punti. Viene sostenuta entro lo scritto successivo, salvo casi eccezionali di inevitabile sovrapposizione con altri esami. Schema delle prove scritte e orali INIZIO 1 a parte Mag 015 SI NO Scritto a parte Giugno e Luglio 015 SI Orale a parte NO SI NO Da Settembre 015 NO VOTO FINALE Scritto completo Già da Giugno 015 SI orale completo SI NO NO

3 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Date degli orali - Si svolgono dopo la correzione degli scritti in alcune date definite dal docente in funzione dei giorni di presenza nelle varie sedi del Politecnico, (generalmente in concomitanza di altri scritti, correzione di esami, lezioni). Gli orali sono possibili anche presso gli studi del docente al Politecnico di Milano sede Bovisa, o al CNR (Consiglio Nazionale delle Ricerche, via Cozzi 53, Milano zona stazione FS Greco Pirelli). Mappe su Laureandi - Chi avesse problemi di date (a causa di una laurea imminente, contemporaneità con altri esami), è pregato di segnalarlo al docente con largo anticipo per concordare le opportune misure. Erasmus - Il corso è tenuto in italiano. Il libro di testo è facilmente reperibile anche in inglese. L esame può essere sostenuto anche in inglese, francese o spagnolo. Per contattare il docente: scrivere a dal vostro indirizzo di posta da studenti del Politecnico (gli altri spesso finiscono nel filtro anti-spam), e specificare il proprio corso, anno, sede. Aggiornamenti di questo file di esercitazioni ed eventualmente temi d esame sono depositati sul sito Suggerimenti per preparare l esame Scaricare esercizi e temi d esame degli anni precedenti disponibili sul sito Studiare la teoria, svolgere gli esercizi, rivedere la teoria relativa ad ogni passaggio di cui non si è in grado di spiegare approfonditamente il perché. Reiterare. Immaginate di dover subire un intervento chirurgico importante. Immaginate che il chirurgo sia preparato come voi per l esame. Vi fareste operare? 3

4 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b prof. ARANEO Corso di Fisica Tecnica, AA 011/1 Indice Esercitazioni Termodinamica Programma del corso di Fisica Tecnica 7 crediti... 1 Modalità di esame del corso di Fisica Tecnica (Termodinamica)... Indice Esercitazioni Termodinamica Bilancio energetico di sistemi chiusi Bilanci (energetico ed entropico) in sistemi chiusi Equazione di stato e proprietà dei gas ideali a Trasformazioni nei gas ideali (teoria) b Trasformazioni nei gas ideali Sistemi bifase a Sistemi aperti (transitori e stazionari) b Dispositivi a flusso stazionario a Macchine termodinamiche motrici b Macchine termodinamiche operatrici Cicli a gas Cicli a vapore Aria umida a La trasmissione del calore: l equazione di Fourier (complementi al libro di testo) b Conduzione in regime stazionario, pareti piane e cilindriche: esercizi c Lastra con generazione interna, caso stazionario (complementi al libro di testo) d Alettature, barre. (complementi al libro di testo) Conduzione in regime variabile, casi a parametri concentrati T=T(t) a Regime variabile, conduzione in pareti spesse (1D+t), teoria b Regime variabile, conduzione in pareti spesse (1D+t), esercizi Convezione forzata Convezione naturale Irraggiamento a Scambiatori di calore, metodo ΔT ML, esecizi b Scambiatori di calore, metodo NTU Metodi numerici Parametri concentrati (0D+t), esatta, 1 e ordine...65 Lastra D stazionaria, soluzione Gauss-Siedel...65 Corpo 1D+t, 1 ordine (es: parete, barra trasversalmente omogena e isoterma)...66 Corpo D+t, 1 ordine (es: pilastro longitudinalmente omogeneo e isotermo)...67 Lastra 1-D+t, condizioni al contorno...67 Analisi di regressione lineare (Interpolazioni) Esercizi multidisciplinari e temi d esame TEMA D ESAME del 0 novembre 007. Prima parte...70 TEMA D ESAME del 14 gennaio 008, seconda parte 5 crediti...73 TEMA D ESAME del 5 febbraio 008, seconda parte 5 crediti TEMA D ESAME del 5 febbraio 008, aggiunta 7.5 crediti TEMA D ESAME del 6 Febbraio TEMA D ESAME del 9 Maggio Tabella: caratteristiche fisiche di alcune sostanze di uso comune Tabella: viscosità di alcuni fluidi Errata corrige al Libro di Testo Moran-Shapiro 1 a ed I risultati degli esercizi riportati tra parentesi [quadre] senza soluzione svolta non sono garantiti. Gli esercizi contrassegnati con un asterisco (*) e le parti in blu si riferiscono ad argomenti che potrebbero essere fuori programma. 4

5 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 1 Bilancio energetico di sistemi chiusi. Introduzione, libri. Sistemi, stati, proprietà, unità di misura, (P, T..). Equazioni di stato (gas perfetti, liquidi incomprimibili ideali). Calore e lavoro. 1 PdT. 1) Un sistema chiuso ha una variazione di energia interna ΔU = 00 kj. Durante tale processo il sistema assorbe dall ambiente del calore Q = 0 kcal. Determinare in valore e segno il lavoro ceduto all ambiente. Q in =0 Kcal= 83.7 kj Q in + L in = ΔU 00 = 83.7+L L in = kj Q in L out = ΔU 00 = 83.7-L L out = kj ) Un sistema chiuso ha una interazione con l ambiente durante la quale cede all ambiente calore (Q = 00 kcal) ed assorbe lavoro (L = 40 kj). Determinare la variazione di energia interna del sistema. Q in = -00 Kcal = -837 kj Q in + L in = ΔU ΔU = = -797 kj 3) In un sistema chiuso ha luogo una trasformazione a seguito della quale non si ha variazione di energia interna mentre viene ceduta all ambiente una quantità di calore Q = 150 kj. Determinare il lavoro che il sistema cede all ambiente. Q in +L in =ΔU dove ΔU = 0 quindi Q ed L si annullano, Q out =150, L in =150 ; L out =-150 4) Un sistema è costituito da quattro sottosistemi A, B C e D. Il sottosistema A cede il calore Q AB = 300 kcal al sottosistema B ed il calore Q AC = 10 kcal al sottosistema C. Il sottosistema C fornisce il lavoro L CB = 30 kj al sottosistema B ed assorbe il lavoro L CD = 400 kj dal sottosistema D. Si chiede di determinare le variazioni di energia interna (1) del sistema completo e () dei quattro sottosistemi. 1 Il sistema completo non scambia nulla con l esterno, quindi ΔUtot = 0 kj Q AB = 300 kcal = 155. kj, Q AC = 10 kcal = A 155. B 50.1 C 30 D 400 Δ UA = = kj Δ UB = = kj Δ UC = = 67.1 kj ΔU D = -400 kj volendo da questi dati si ricava anche ΔU TOT = Σ ΔU i = 0 5) Schematizzare i flussi energetici per un rigorifero funzionante lasciato aperto in una stanza. 5

6 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Bilanci (energetico ed entropico) in sistemi chiusi. Energia interna ed entalpia. Calori specifici. PdT. Entropia, bilanci entropici per sistemi chiusi. Trasformazioni reversibili e irreversibili. 1) Dimostrare che due corpi a temperature diverse messi a contatto raggiungono come stato di equilibrio finale la medesima temperatura. - Convenzioni: Q>0 entrante - Dati: masse m 1 e m, calori specifici c 1 e c, temperatura iniziale T 1, T, - Incognite: temperature finali T F1 T F, Q 1 = m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) Q = m c (T F T ) Q 1 = -Q m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) = - m c (T F T ) T F T = - m 1 c 1 / ( m c ) * (T F1 - T 1 ) T F = T - m 1 c 1 / ( m c ) * (T F1 - T 1 ) da confrontare dopo (eq1) ΔS 1 = m 1 c 1 ln (T F1 / T 1 ) ΔS = m c ln (T F / T ) = m c ln { [ T - m 1 c 1 / ( m c ) * (T F1 - T 1 ) ] / T } = = m c ln { [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] / [ m c T ] } ΔS TOT = ΔS 1 + ΔS = m 1 c 1 ln (T F1 / T 1 ) + m c ln { [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] / [ m c T ] } ds TOT /dt F1 = m 1 c 1 / T F1 + m c * [ m c T ] / [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] * [ -m 1 c 1 / ( m c T ) ] = 0 m 1 c 1 / T F1 - m c / [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] * m 1 c 1 = 0 1 / T F1 = m c / [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] T F1 = [ m c T - m 1 c 1 (T F1 - T 1 ) ] / m c = T - m 1 c 1 / (m c ) * (T F1 - T 1 ) = T F (eq1). CVD ALTERNATIVA Dal 1 principio (conservazione dell energia) si ottiene (*1) m 1 c 1 T 1 + m c T = m 1 c 1 T F1 + m c T F Da cui posso esprimere T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 ) / m c ; che userò anche dopo (eq). ΔS 1 = m 1 c 1 ln (T F1 / T 1 ) ΔS = m c ln (T F / T ) = m c ln [(m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 ) / (m c T )] ds TOT /dt F1 = m 1 c 1 / T F1 + m c * 1/(m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 ) * ( -m 1 c 1 ) m 1 c 1 / T F1 = m c * m 1 c 1 / (m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 ) semplifico, inverto m c * T F1 = m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 T F1 ( m 1 c 1 + m c ) = m 1 c 1 T 1 + m c T T F1 = (m 1 c 1 T 1 + m c T ) / ( m 1 c 1 + m c ) ; (eq3) trovata la prima incognita, che metto nella (eq) T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 T F1 ) / m c = = [m 1 c 1 T 1 + m c T - m 1 c 1 (m 1 c 1 T 1 + m c T ) / ( m 1 c 1 + m c ) ] / m c m c T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T ) * ( 1 - m 1 c 1 / ( m 1 c 1 + m c ) m c T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T ) * (m 1 c 1 + m c - m 1 c 1 ) / ( m 1 c 1 + m c ) m c T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T ) * m c / ( m 1 c 1 + m c ) T F = (m 1 c 1 T 1 + m c T ) / ( m 1 c 1 + m c ) che è uguale a T F1 (eq3). ) Un sistema chiuso subisce una trasformazione reversibile tra uno stato iniziale 1 ed uno stato finale, durante la quale cede sempre lavoro all ambiente per un totale di L= 0 kj mentre la variazione di energia interna del sistema è ΔU 1 = 10 kcal. Si chiede, giustificando la risposta, se la variazione di entropia del sistema è positiva, negativa, nulla o non determinabile con i dati a disposizione. Q+L = ΔU L = -0 kj ΔU =10 Kcal = kj Q = kj (entrante) Poiché ΔS 1 = S ST + S Gen = S ST = δq / T, poiché è sempre T > 0, se anche δq>0 ΔS 1 >0 3) Si chiede, giustificando la risposta, se un sistema chiuso costituito da una massa M di gas ideale può ridurre la propria entropia con una trasformazione irreversibile. 6

7 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b ΔS = S ST + S Gen < 0 se S ST < - S Gen cioè se il sistema cede una gran quantità di calore.. Si Ricordare che è l entropia di un sistema isolato che non può diminuire. La famosa frase l entropia dell universo aumenta sempre è vera perché l universo è isolato. 4) Un sistema chiuso A subisce un processo durante il quale la sua variazione di entropia è nulla. Durante questo processo il sistema cede ad un serbatoio di calore a temperatura T= 7 C una quantità di calore Q = 6000 J e cede, ad un serbatoio di lavoro, un lavoro pari a L= 150 J. Si chiede, giustificando la risposta, se il processo è reversibile, irreversibile o impossibile. Considero un sistema globale che include A, serbatoio di lavoro, serbatoio di calore Sistema A L = 150 J Serbatoio lavoro Q = 6000 J Serbatoio calore 7 C Sistema composto ΔS Tot = ΔS A + ΔS SC + ΔS SL = 0 + Q/T + 0 = 6000/300 = 0 J/K > 0 irreversibile Commenti: quello che accade è che il sistema A, pur cedendo calore, non diminuisce di entropia, quindi sta generando entropia pari a quella ceduta per scambio termico. Si può pensare per esempio che all interno di A vi sia lavoro dissipato per attrito in calore, poi smaltito. 3 Equazione di stato e proprietà dei gas ideali 1) Determinare la massa di azoto (N ) che occupa un volume V = 30 dm 3 a pressione P = 100 bar e con temperatura T = 0 C. 30 dm 3 = 0.03 m 3 P = 100bar = 10 7 Pa T = 0 C = 93 K R = 8314/8 pv = m R T m = 10 7 *0.03 *8 / 8314 / 93 = 3.45 kg ) Determinare il volume specifico di un gas ideale (N ) di cui è noto P = 7 ata, T= 30 C e M = 3 kg. p = 7 ata = 7*9.8 N/cm = 68.6 * cm /m = Pa (= 6.86 Bar) T= 30 C = 303 K p v = R T v = 8314/8 * 303 / = 0.13 m 3 /kg 3) Determinare il volume specifico di un sistema costituito da una massa M= 3 kg di azoto (N ) che si trova a temperatura T = 30 C e pressione P = 3 bar. p = 3 bar = Pa T= 30 C = 303 K p v = R T v = 8314/8 * 303 / = 0.3 m 3 /kg (= 3.33 kg/m 3 ) 4) Una massa M= 3 kg di azoto (N ) ha una pressione P= 4 bar ed una temperatura T= 5 C. Determinare il volume di gas. P = 4 bar = 400'000 Pa Mm = 8 T=5 C = 98K 7

8 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b pv = m R T V = 3 * 8314/8 *98 / 400'000 = m 3 (v = 0.664/3 = 0.1 m 3 /kg ρ = 4.5 kg/m 3 ) 5) Determinare la temperatura di un sistema costituito da una massa M= 0.3 kg di idrogeno (H ) che occupa un volume V= 30 dm 3 a pressione P= 150 bar. V = 30 dm 3 = 30 litri = 0.03 m 3 P= 150bar = 15 MPa, pv = m R T T = 15'000'000 * 0.03 / 0.3 / (8314/) = K = 87.7 C 6) Determinare la pressione a cui si trova, in condizioni di equilibrio, una massa M= kg di CO sapendo che occupa un volume V= 70 dm 3 a temperatura T= 90 C. Verificare se è applicabile l ipotesi di gas perfetto. 70 dm 3 = 0.07 m 3 90 C = 363 K pv = m R T p = *8314/44 * 363 / 0.07 = 1.96 *10 6 = 1.96 MPa = 19.6 bar 7) Calcolare la densità dell aria a 0 C e 5 C, alla pressione di 1 atmosfera (1% vol O, 79% vol N ), e la costante R massica - Legge di Dalton (stesso volume) P a + P b = P tot = Pa, inoltre m a + m b = m tot (vale anche per le ρ i : P i v i = R i T ρ i = P i / (R i T), ) per comodità considero 1m 3, così m=ρ, ρ O = *0.1 / (8314/3 * 73) = 0.3 ρ N = *0.79 / (8314/8 * 73) = ρ aria = m aria /V = (m O + m N )/V = (V ρ O + V ρ N )/V= 1.87 kg/m 73 K Da pv/t oppure p/ρt= costante ottengo ρ 73 T 73 =ρ 98 T 98 quindi ρ 98 = 1.87*73/98 = 1.18 kg/m 98 K - Legge di Amagat (stessa pressione) = V a + V b = V tot e N a + N b = N tot (esiste anche la frazione molare y i = N i / N tot = p i / p tot = V i / V tot ; Σ y i =1) da m = N * Mm si scrive m tot = N tot * Mm media ; per comodità considero N tot = 1 kmole N O = 1% di 1 = 0.1 ; m O = 0.1*3 = 6.7 kg, m N = 0.79*8 =.1kg, m tot = = 8.84kg da cui R = 8314/8.97 = 87 J / kgk Dati reali: N =78.08% (Mm=8), O = 0.95% (3), CO =0.033% (44), Ar = 0.93% (38.95), da cui Mm media = 8.97 kg 8) Calcolare il calore specifico a pressione costante del metano (CH 4 ) con l ipotesi che sia schematizzabile come gas perfetto M m = 16 R = 8314/16 = J/kg K molecola come triatomica, c p = c v + R = 6*1/ R + R = 4, R = * 4 = [J/kg K] L ipotesi di gas perfetto è discutibile poiché la molecola ha vari atomi, in effetti il c p del metano a temperatura ambiente è di circa 00 kj/kg.k 9) Calcolare il calore specifico a volume costante di una massa di elio (gas perfetto) a temperatura T= 30 C e pressione P= bar Mm = 4 R = 8314/4 = J/kg K molecola monoatomica, c V = 3/ R = 078.5*3/ = J/kg.K. Il valore non dipende da temperatura o pressione del gas. 8

9 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 4a Trasformazioni nei gas ideali (teoria) 1) Partendo dall'espressione del primo principio della termodinamica, ricavare l'espressione della variazione di entropia per un gas perfetto in funzione delle variabili T e V. Scrivendo il 1 principio per un sistema chiuso con le convenzioni Q IN >0 L OUT >0, in forma differenziale, si ottiene: dq dl = du, T ds p dv = c V dt ds = c V dt/t + p/t dv ; da p v = R T ricavo p/t = R/v ds = c V dt/t + R dv/v Δs 1 = c V ln(t /T 1 ) + R ln(v /v 1 ) notare che v /v 1 = V /V 1 ) Partendo dall'espressione del primo principio della termodinamica, ricavare l'espressione della variazione di entropia per un gas perfetto in funzione delle variabili T e P. Inizio come l esercizio precedente T ds p dv = c V dt; differenziando l eq. p v = R T ricavo p dv + v dp = R*dT che vado a sostituire T ds = c V dt + p dv = c V dt + R dt v dp = (c V + R) dt- v*dp ds = c P dt/t v/t*dp ; da p v = R T ricavo v/t = R/p ds = c P dt/t R*dp/p Δs= c P ln(t /T 1 ) - R ln(p /p 1 ) Oppure riparto dal 1 PdT, e uso l entalpia dq dl = du ; differenzio h= u +p*v ricavo c P dt = du +p*dv + v*dp ; du= c P dt - p*dv - v*dp T ds p dv = c P dt - p*dv - v*dp ds = c P dt/t v/t*dp (poi idem come prima) Oppure parto da ds=ds(t,v) cerco di eliminare v=v(t,p) ds = c V dt/t + R dv/v pv = Rt differenzio p*dv + v*dp = r*dt debbo isolare dp/p, quindi tutto diviso v*p p*dv / (v*p) + v*dp / (v*p)= r*dt / (v*p) ricordo p*v/r = T dv/v + dp/p= dt/t quindi dv/v = dt/t - dp/p che inserisco nella espressione del ds ds = c V dt/t + R dv/v = c V dt/t + R (dt/t - dp/p) = (c V + R)dT/T - R dp/p (poi idem..) 3) Partendo dall'espressione della variazione di entropia per un gas perfetto ricavare l'espressione dell'adiabatica reversibile (relazione tra p e v) Nell adiabatica reversibile, q=0 e Δs=0 ΔS= c P ln(t /T 1 ) - R ln(p /p 1 ) = 0 c P ln(t /T 1 ) = R ln(p /p 1 ) ln(t /T 1 ) Cp = ln(p /p 1 ) R facendo l esponenziale di tutto (T /T 1 ) Cp = (p /p 1 ) R R/Cp = (γ-1)/γ T /T 1 = (p /p 1 ) per esprimere in funzione di sole (p, v) debbo eliminare le T così: T /T 1 = p v /(p 1 v 1 ) p /p 1 * v /v 1 = (p /p 1 ) R/Cp R/Cp 1 = (R-Cp)/Cp = -Cv/Cp v /v 1 = (p /p 1 ) (v /v 1 ) Cp/Cv = p 1 /p pongo c P / c V = γ (γ>1 sempre) (v /v 1 ) γ = p 1 /p v γ p = v γ 1 p 1 da cui p v γ = costante Notare R/c p = (c p c V )/c p = 1 - c V /c p = 1-1/γ= (γ-1)/γ 4b Trasformazioni nei gas ideali 4) Determinare la variazione di energia interna di una massa M = 3 kg di gas perfetto (H ) che esegue una trasformazione composta ABC quasi-statica costituita da: (1) trasformazione AB 9

10 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b isoterma a temperatura T A = 80 C tra la pressione P A = 3 bar e la pressione P B = 9 bar; () trasformazione isoentropica sino alla temperatura T C = 30 C. Disegnare un grafico della trasformazione L energia interna di un gas perfetto è funzione di stato, e della sola variabile temperatura, quindi interessa conoscere solamente le temperature iniziali e finali del gas, e la sua massa. ΔU = m Δu = m c v ΔT = 3 * 8314/ * 5/ * (30-80) = = kj 5) Determinare la variazione di entalpia di una massa M = 10 kg di gas ideale (N) per una trasformazione irreversibile tra uno stato di equilibrio con T= 30 C e P= 7 atm ed un secondo stato di equilibrio con T= 40 C e P= 8 atm. L entalpia di un gas perfetto è funzione di stato... ΔH = m Δh = m c p ΔT = 10 * 8314/8 * 7/ * (40-30) = kj 6) Una massa di 1 kg di N (M m = 8 kg/kmol, gas perfetto biatomico) viene espansa adiabaticamente e irreversibilmente, mediante un sistema cilindro-pistone, con una produzione di entropia S p = 100 J/K. Le condizioni iniziali sono P 1 = 5 bar e T 1 = 50 C, mentre le condizioni finali sono P = 1 bar. Calcolare: - la variazione di energia interna - la variazione di entalpia - il calore scambiato - il lavoro della trasformazione. ds = c p dt/t R dp/p ΔS = m R [ 7/ ln (T / T 1 ) ln(p / p 1 ) ] 100 = 1*8314/8 * [3.5 ln (T / 53) ln(1/5) ] (800/ ln 0.) / 3.5 = ln (T / 53) = ln (T / 53) tutto esponenziale * 53 = T =363.6 K T = = 90.6 C ΔU = m c v ΔT = 1 * 8314/8 * 5/ * ( ) = J ΔH = m c p ΔT = 1 * 8314/8 * 7/ * ( ) = J Q = 0 perché è adiabatica Q + L = ΔU Q = 0 L = ΔU = J (uscente) 7) Un cilindro del volume massimo di dm 3, con coperchio mobile senza attrito, contiene inizialmente anidride carbonica (gas ideale triatomico) che occupa metà del volume, alle condizioni P 1 = 1 bar, T 1 = 300K. Il gas viene scaldato fino a T 3 =4T 1. Calcolare il calore ed il lavoro scambiati dal gas. Al punto intermedio il coperchio raggiunge il volume massimo ammesso (raddoppia l iniziale) P 1 = 1 bar, T 1 = 300K, V 1 = 0.001m 3 ; P = P 1 = 1 bar, V = V T = T 1 = 600K, T 3 = 4 T 1 = 100K = T (da a 3 raddoppia) V 3 = V (costante) P 3 = P = bar L 13out = L 1out = P 1= ΔV 1 = P 1 V 1 = * = 100 J; (notare L 3 =0. Il lavoro inoltre non dipende dal tipo di gas, ma solo da P e V) Dal 1 PdT Q in -L out =ΔU; ΔU 13 ; m c V ΔT 13 = m * 3R * ( ) = 700 m*r = 700 P V /T = 700 P 1 V 1 /300 = 9L 1 quindi Q 13 = ΔU 13 + L 13 = (9+1) * L 13 = 1000 J 8) Un cilindro di diametro D=0 cm contiene 30 litri di azoto (gas ideale) alla pressione P 1 =.4 bar e alla temperatura T 1 = +5 C. Il coperchio superiore é un pistone libero di scorrere facendo espandere il gas fino al 0% in più del volume iniziale, poi si blocca. Il gas viene scaldato a 10

11 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b partire dalle condizioni iniziali fino a raddoppiarne la pressione. Calcolare il calore ed il lavoro scambiati dal gas. R = 8314/8 = [J/Kmol.K]; T 1 = [K] ; V = 0.03 m 3, M = P V / (R T) = 40'000 * 0.03 / (96.9 * 78) = [kg] P 3 = P 1 = 4.8 bar; V 3 =V =1.*V 1 ; da PV/T = cost ottengo T = T 1 * P /P 1 * V /V 1 = * 1 * 1. = [K] T 3 = T 1 * P 3 /P 1 *V 3 /V 1 = * * 1. = [K] Q 1 = ΔH 1 = c P ΔT 1 = 7/ R ΔT 1 = 7/ * R *0.T 1 = 5040 [J] ΔU 1 = c V ΔT 1 = M *5/ R * ΔT 1 = M * 5/ R *0.T 1 = 3600 [J] dal 1 PdT Q 1in - L 1out = ΔU 1 da cui L 1 = L 13 = 1440 [J] volendo L 1 = si calcola come P*dV = P 1 * ΔV 1 = P 1 * 0. V 1 = 40'000 * 0. * 0.03 = 1440 J ΔU 13 = M c V ΔT 13 = M * 5/ R * ΔT 13 = M * 5/ * R *1.4T 1 = 500 [J] dal 1 PdT Q 13in - L 13out = ΔU 13 da cui Q 13 = 6640 [J] il dato D=0cm può quindi non essere utilizzato 9) Un cilindro contiene 6 litri di CO (gas triatomico considerato ideale) alla pressione P 1 =.8 bar e temperatura T 1 =-5 C. Il gas prima si espande adiabaticamente ed isoentropicamente fino alla pressione ambiente; poi si porta a volume costante fino alla temperatura ambiente 0 C. Calcolare il lavoro ed il calore scambiati dal gas, e la produzione totale di entropia. (Discutere l ipotesi di gas perfetto, se in grado). R = [J/mol K] Cv = 6/ R = 3R = m = R/Cp = 0.5 Nell isoentropica T /T 1 = (p /p 1 ) Con i dati T 1 = [K] P 1 =.8 bar P =1.013 bar trovo T = T 1 ( /.8) 1/4 = * = 08 K T 3 = 93K V 3 = V quindi P 3 = P * T 3 /T = * 93 / 08 = 1.47 bar L 1out = Q 1in - ΔU 1 = 0 - m c V ΔT 1 = * * (08-68 ) = 1131 J Q 3 = L 3 + ΔU 3 = 0 + m c V ΔT 3 = * * (93-08 ) = 1601 J. Considero solamente il ΔS 3, perché so già che ΔS 1 =0 ΔS gas3 = m [ c V ln(t 3 /T ) + R ln(v 3 /v ) ] = * * ln(93/08) = 6.45 J/K ΔS amb = Q amb /T amb = -Q gas /T amb = J/K ΔS tot = ) Una bombola contiene V =40_litri di azoto alla pressione P 1 =160_bar relativi e temperatura pari a quella ambiente T amb =30 C. La bombola ha una perdita e lentamente si svuota. Quanto vale la variazione di entropia del gas? Specificare le ipotesi adottate. (esame 0 novembre 007. Es 1). (Traccia ) L ipotesi di gas perfetto biatomico fa commettere errori modesti, poiché la pressione inizia ad essere alta e comparabile con la pressione critica dell azoto. La lentezza del processo fa si che sia isotermo. Non è adiabatico perché il gas espandendosi si raffredderebbe, e riceve calore per restare isotermo. La variazione di entropia è quella data dall espansione del gas, la parte che resta nella bombola e la parte fuoriuscita. Si determina la massa del gas a bombola piena (7.05 kg). A bombola vuota resterà all interno P=1 Atm, T=Tamb (trasformazione isoterma perché lenta), quindi m dentro =0.051kg, ΔS dentro =74.3J/K. La massa fuoriuscita arriva a P finale =0.78 Atm (pressione parziale dell azoto nell aria), ΔS uscita =10 76 J/K. Sommare i due ΔS. Altra ipotesi accettabile: anche nella bombola a equilibrio raggiunto si ha aria, quindi tutto l azoto si espande fino a 0.78 bar. Ipotesi errata: l azoto si espande fino a pressione ambiente. Sarebbe valida in un pianeta con atmosfera di solo azoto. 11

12 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 11) Una massa d aria ambiente viene compressa fino alla pressione P =8 bar relativi, secondo una trasformazione politropica. Sapendo che l innalzamento di temperatura è il 60% di quello che si avrebbe in una compressione adiabatica isoentropica, calcolare le condizioni finali dell aria (T, ρ), l esponente della politropica, gli scambi energetici per kg di aria. Disegnare il grafico che rappresenta la trasformazione su un grafico p-v. (esame 6 aprile 01. Es 3). Si ipotizzi T 1 = 0 C = 93K, si approssima p 1 =1 bar. Con una trasformazione isoentropica si otterrebbe T is =T 1 (p /p 1 ) R/Cp = /1.4 =547.5 K Risulta ΔT is = =54.5 K, si ottiene quindi ΔT pol = = 15.7, Quindi T = = K a fine politropica. Tramite la legge dei gas perfetti o sue semplificazioni si ottengono v e ρ. ρ 1 =p 1 /R/T 1 = / (8 314/9) / 93 = 1.0 [kg/m 3 ]; v 1 = 1/ρ 1 =0.83 [m 3 /kg/] ρ =p /R/T = / (8 314/9) / = [kg/m 3 ]; v = 1/ρ =7.051 [m 3 /kg/] Ricordando che nella politropica p 1 v n 1 = p v n (=cost) da cui p 1 /p = (v /v 1 ) n si ottiene ln(p 1 /p ) = n ln(v /v 1 ), da cui n= ln(p 1 /p )/ ln(v /v 1 ) = ln(1/9)/ln(7.051/0.83) = 1.4 Dal primo principio della termodinamica (scritto per sistemi chiusi, unità specifiche) q in -l out =Δu 1 sono calcolabili Δu 1 =c V ΔT 1 = 5/ R ΔT 1 = = 5/ 8314/ = 109'459 J/kg L in_1 = -(p v -p 1 v 1 )/(1-n) = 184'609 J/kg, Si ricorda come ricavarlo per un sistema chiuso: L out_1 = p dv = cost/v n dv = cost v -n dv = = cost [v -n+1 /(-n+1)] 1 = cost (v 1-n v 1-n 1 )/(1-n) = = (cost v 1-n cost v 1-n 1 )/(1-n)] = = (p v n v 1-n p 1 v n 1-1 v n 1 )/(1-n)] = = (p v p 1 v 1 )/(1-n)] p p is Da cui q 1_in = -75'150 J/kg: poiché il gas alla fine si trova più freddo rispetto alla compressione adiabatica, vuol dire che ha T 1 T T is ceduto calore durante la trasformazione. Il lavoro durante la trasformazione è rappresentato nel piano p-v dall area sottesa dalla curva p 1 1 (rossa). Sono riportate le altre curve: isoterme, isobare, isocore (rosse), isoentropica di confronto. 1) Una massa M = 0.5 kg di elio (gas perfetto) esegue una trasformazione politropica con c x = 4157 J/kgK. Determinare l indice n della trasformazione politropica. [n=3] 13) Una massa di 0.5 kg di He (M m = 4 kg/kmol, gas perfetto monoatomico) si riscalda seguendo una trasformazione politropica avente calore specifico c x = (c p +c v )/. Le condizioni iniziali sono P 1 = bar e T 1 = 150 C, mentre le condizioni finali sono T = 00 C. Calcolare: - il calore scambiato - la variazione di energia interna - la variazione di entalpia - la variazione di entropia - il lavoro della trasformazione. v 1

13 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 5 Sistemi bifase 1) Determinare, facendo uso delle tabelle, la quantità di calore che deve essere fornita ad una massa M = 10 kg di acqua con temperatura T= 180 C e titolo x= 0.4 per avere, con un processo isobaro, vapore saturo. Tab P650 h L = 763. kj/kg h V =778. ΔH = 10* 0.6*( ) = 10*0.6*015 = 1090 kj ) Facendo uso delle tabelle dell acqua determinare, giustificando la risposta, le condizioni dell acqua a temperatura T = 180 C e massa volumica ρ = 100 kg/m 3. Tab P C v L = (ρ= 887.3), v V = (ρ= 5.15) ρ X = 100 kg/m 3 v X = 0.01 X = (v X -v L ) / (v V -v L ) = ( ) / ( ) = / 0.19 = p = MPa 180 C) 3) Facendo uso delle tabelle dell acqua determinare, giustificando la risposta, le condizioni dell acqua a temperatura T = 10 C e massa volumica ρ = 5 kg/ m 3. Tab P650 dalle tabelle a 10 C: P = MPa; v X = 1/5 = 0.04 ; v L = , v V = x = (v X - v L ) / (v V - v L ) = ( )/( ) = / = ) In un sistema chiuso si miscelano adiabaticamente ed a pressione costante (P =.75 bar) una massa M 1 = 4 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x 1 = 0. ed una massa M = kg di acqua allo stato liquido con temperatura T = 80 C. Determinare la temperatura finale del sistema. (Si devono utilizzare sia formule approssimate, sia le tabelle). H = m * [(1-x) * h L + x * h V ], trovo i valori nelle tabelle H 1 = 4 * [(1-0.) * * 71.3] = 4 * ( ) = kj (! Unità d.m.) - Per l acqua liquida ho solo i valori sulla curva di saturazione. Applico allora la definizione h=u+pv, considerando che l energia interna è funzione della sola temperatura, e quindi la stessa dell acqua satura a 80 C, poi aggiungo il termine pv appropriato. H = m * (u + pv) = * (334, * ) = errore, unità di misura miste (kj + J) H = m * (u + pv) = * ( * ) = * J= kj - Oppure applico una formula equivalente: h = h L,80 C + (p p SAT )*v MED = (75' ) * ( )/ = * = 334' = J/kg M TOT = 4+ = 6 kg; H TOT = H 1 + H = = h TOT = /6 = kj/kg si trova fra e 71.3 quindi T sat = C x = ( ) / ( ) = 0.1 5) In un sistema chiuso si miscelano adiabaticamente ed a pressione costante (P =.75 bar) una massa M 1 = 4 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x 1 = 0. ed una massa M 3 = 0 kg di acqua allo stato liquido con temperatura T = 80 C. Determinare la temperatura finale del sistema. (Si devono utilizzare sia formule approssimate, sia le tabelle). H 3 = m * (u + pv) = 0 * ( * ) = 0* = kj M TOT = 4+0 = 4 kg; H TOT = H 1 + H = = h TOT = /4 = kj/kg si trova sotto quindi x<0, u = h pv = kj/kg - 75* = 44.9 kj/kg 13

14 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b il valore può essere trovato per interpolazione sulle tabelle dell acqua satura, oppure sapendo che la scala dell energia interna parte da u=0 a 0 C, quindi Δu=c ΔT, per esmpio rispetto all acqua satura a.75 bar, 130.6, ha un ΔT = ( )/4. = -5 C, cioè è più fredda. In questo casa l acqua liquida era molta di più, ha condensato tutto il vapore, e poi continuato a raffreddare l acqua condensata. 6) Facendo uso delle tabelle dell acqua in condizioni di saturazione, determinare il calore necessario per portare una massa M= 3 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x= 0. e temperatura T= 10 C sino a vapore saturo a temperatura T= 10 C. La temperatura costante dice che il processo è isobaro (relazione T-P di saturazione) ΔH = m * (1-x) * Δh EV = 3 * (1-0.) * 0.6 kj = kj 7) Determinare, facendo uso delle tabelle, il volume di un serbatoio che contiene una massa M= 4 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x= 0. e temperatura T= 100 C. v L = , v V = V X = m*v X = 4 * (0.8 * * 1.679) = = 4 * ( ) = 4 * = 1.34 m 3 8) Determinare, facendo uso delle tabelle, la temperatura di un sistema costituito da una massa M= kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x= 0.5 a pressione P= 1 atm. 100 C perché è sulla curva di saturazione. 9) Un sistema chiuso con volume V = 0. m 3 contiene una massa M = 4 kg di acqua a temperatura T = 150 C. Determinare il titolo del vapore e la massa di acqua allo stato liquido. Tab P650 v = 0./4 = 0.05 m 3 /kg, v L = ; v V = 0.398, X = ( ) / ( ) = / = 0.13; m L = 4*(1-0.13) = 3.5 kg 10) Determinare, facendo uso delle tabelle, il volume di un serbatoio che contiene una massa M= 5 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x= 0.7 e temperatura T= 168 C. Tab P650 v L = ( )/5*3 = v V = ( )/5*3 = v x = 0.3 * * = = V =m*v = m 3 11) Determinare, facendo uso delle tabelle, la temperatura di un sistema costituito da una massa m = 9 kg di acqua allo stato di vapore umido con titolo x = 0.8 a pressione P = 44 bar. Tsat (40 bar) = 50.4 C Tsat (50 bar) = C T med = (44-40) * ( ) / (50-40) = / 10 * 4 = 55.8 C 1) Una massa M = 5 kg di vapore d'acqua alla temperatura T i = 100 C e con titolo x = 0.9, viene posta a contatto con una sorgente isoterma a T s = 60 C. Determinare la quantità di calore che deve essere asportata dall'acqua per raffreddarla sino alla temperatura T f = 80 C a pressione costante. Determinare la variazione di entropia complessiva del sistema sorgente + massa di acqua. 14

15 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Prima l acqua allo stato di vapore (m V = x m TOT = 0.9*5 = 4.5 kg; m L = 0.5 kg) condensa a T e P costanti (ΔH COND ), poi tutto il liquido si raffredda fino a 80. Calore asportato = variazione di entalpia. Modo 1: segue le trasformazioni passo passo: 4.5 kg condensano Q COND = m V * Δh LV = 4.5kg * 57.0 kj/kg = kj. Poi 5 kg si raffreddano: Q RAFF = m TOT * c P * ΔT = 5kg * 4. kj/kg. C * 0 C = 40 kj. Q TOT = 10' = 10'576.5 kj (uscente) Modo : Q TOT = m TOT Δh TOT h 100 C, X=0.9 = (1-x) h L + x h V = 0.1 * * = kj/kg h L,80 C = u L,80 C + pv = 334'860 [J/kg]+ 101'35 [Pa]* [m 3 /kg] = kj/kg (notare la minima differenza tra u e h, dati i modesti p*v in gioco) Q TOT = 5 * ( ) = -10'577.1 kj (la leggera differenza di risultati proviene dall approssimazione del c P, e fornisce un idea delle approssimazioni usuali) Variazione di entropia Modo 1: ΔS COND = - Q COND /T COND = - 10'156.5 / 373 = -7.3 kj/k (ragiono con i moduli, e so che il calore esce quindi l entropia diminuisce) ΔS RAFF = dq/t = m c P dt/t = 5 * 4. * ln (353/373) = kj/k(il segno è dato correttamente dall applicazione della definizione del ds) ΔS HO = ΔS COND + ΔS RAFF = kj/k ΔS SORG = Q SORG / T SORG = + Q TOT / T SORG = /333 = kj/k ΔS TOT = = 3.38 kj/k Modo : ΔS HO = m TOT Δs TOT s 100 C, X=0.9 = (1-x) s L + x s V = 0.1 * * = kj/kg s L,80 C,1bar s L,80 C,Psat = (è approssimato, ma la variazione di entropia per variazione di pressione di un liquido è minima, tanto che le isobare non si distinguono sui grafici) ΔS HO = 5 * ( ) = kj/k (la leggera differenza di risultati proviene dall approssimazione usata). Poi il seguito come sopra 13) In un serbatoio rigido con volume V= 3 m 3 è presente vapore d'acqua surriscaldato alla temperatura T i = 400 C e P i = 30 ata. Al sistema viene asportato calore sino ad ottenere condizioni di vapore saturo. Facendo uso delle tabelle determinare: - la massa di acqua contenuta nel sistema; - la temperatura e la pressione al termine del raffreddamento; - la quantità di calore asportata; [30. kg, 1.4 C, MPa, kj] 14) Determinare, facendo uso delle tabelle, il volume di un serbatoio che contiene una massa di acqua M = 10 kg allo stato di vapore umido con titolo X = 0.6 e temperatura T= 333 C. Tab 651 (Interpolo, poi calcolo) V L v V V X= = m 3 /kg ) Acqua liquida satura a 50 C viene compressa isoentropicamente fino a 150 bar. Determinarne l entalpia specifica finale., Tab P650 Nelle condizioni di liquido, usare l equazione dell adiabatica reversibile di un gas perfetto è errore GRAVISSIMO (e comunissimo). Lo si considera invece liquido a volume costante (la variazione di volume è trascurabile, si prende un valore medio). Dalle tabelle v = m 3 /kg, h 1 =

16 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b kj/kg. Quindi Δh = v dp = v dp = v ΔP = * (15' ) = kj/kg, h = = 4.5 kj/kg. 16) Determinare le proprietà dell acqua alle condizioni P=100 bar, T=510 C Tab P650 [ed1[ Occorre stabilire per prima cosa le condizioni a cui si trova l acqua. Per esempio dalla curva di saturazione si ottiene che a 100 bar la T sat è C, essendo la T>T sat abbiamo vapore surriscaldato. Dalle tabelle del vapore surriscaldato alla pressione di 100 bar=10 MPa troviamo i valori prossimi da interpolare P [bar] T [ C] ρ [g/m 3] V [m 3 /kg] u [kj/kg] h [kj/kg] s [J/g*K] La grandezza ρ non è addittiva, mentre v lo è, quindi il valore corretto di ρ viene calcolato per inversione di v; calcolarlo per interpolazione produce un errore, normalmente trascurabile. 16

17 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 6a Sistemi aperti (transitori e stazionari) 1) In un recipiente pieno di acqua fredda viene introdotto un flusso di acqua calda, che si miscela con quella presente, e fa traboccare un eguale flusso di acqua. Esprimere la temperatura dell acqua nel recipiente in funzione del tempo. m IN = m OUT = m flusso entrante m : temperatura T E costante, h E = c P T E, H E = m c P T E massa contenuta: M costante, T=T(t), T iniziale T 0, H = M c P T flusso uscente m : T=T(t), h U = c P T, H U = m c P T bilancio di entalpia nel tempo dt dh E = m c P T E dt dh U = m c P T dt ricordare che è T=T(t) dh = M c P dt = dh E dh U M c P dt = m c P T E dt - m c P T dt M dt = - m (T-T E ) dt dt/( T-T E ) = - m /M dt ln (T-T E )/( T 0 -T E ) = e t/τ dove τ = M/m è il tempo che ci vorrebbe per riempire il recipiente inizialmente vuoto con la portata m. La curva è l esponenziale smorzata che dopo 3τ è prossima all asintoto (95%), e dopo 5τ è indistinguibile da esso (99.3%). ) In un boiler elettrico sono presenti m = 60 litri di acqua a T 0 =50ºC. Viene aperto un rubinetto con portata di 0.1 litri/s (m = 0.1 kg/s), per cui una portata di acqua uscente viene rimpiazzata da acqua entrante a T IN =15ºC. Nel boiler è accesa una resitenza elettrica che fornisce 1000 W Calcolare l andamento della temperatura dell acqua all interno del boiler T(t), con l ipotesi di miscelamento perfetto. Risolviame il transitorio con Q = 0, Man mano che entra acqua fredda ed esce acqua calda, la temperatura interna T(t) si abbassa fino a portarsi a T IN. La soluzione del transitorio è come quella dell esercizio precedente: in tal caso la T FIN =T IN. Le costanti, le incognite e le equazioni di bilancio sono Costanti nel tempo : m = 60, T IN = 15ºC m IN = m OUT = m = 0. kg/s Q =1000 W, c P = 4184 J/kg.ºC Variabili: T(t), interna ed in uscita Bilancio energetico H = dh/dt = H IN H OUT (qui apparirebbe Q se diverso da 0) H = m c P T da cui dh = m c P dt (dm interna =0, c P costante) H IN = m c P T IN H OUT = m c P T(t) Da cui dh/dt = m c P dt/dt = m c P T IN - m c P T(t) chiamo m/m = τ (tempo di ricambio dell acqua) = 60/0.1 = 600 secondi = 10 minuti τ dt/dt = T IN - T(t) riordinando dt / [ T IN - T(t) ]= dt / τ. integrando a sinistra tra T 0 e T(t) generico, a destra tra 0 e t si ottiene T To dt / [ T IN - T(t) ]= t 0 dt / τ ln[(t IN T) / (T IN T 0 )] = t/τ (T T IN ) / (T 0 T IN ) = e t/τ si verifica facilmente che per t=0, T= T 0, cioè all inizio esce acqua calda a 50ºC. Per t= risulta T = T IN. Dopo i soliti 3τ o 5τ, la temperatura di uscita è praticamente a regime. Consideriamo invece il caso a regime con Q =1000 W, 17

18 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Entra m con T IN =15ºC, riceve 1000W, ed esce con T OUT =T IN +ΔT = T IN + Q / m c P = / 0.1 / 4184 = 17.4 ºC. La soluzione completa è la composizione delle due soluzioni preedenti, per cui la T(t) si abbassa nel tempo fino a 17.4ºC, per poi restare costante. Considerare anche Q in modo completo dovrebbe includere il corretto posizionamento dell introduzione di calore, cioè considerare anche la geometria reale del sistema che il modello semplificato non permette. La soluzione trovata assomiglia ad una introduzione di Q uniforme in tutto la massa dentro al boiler, il cui risultato globale è un incremento di temperatura di.4ºc sul flusso in uscita. Se Q viene introdotto vicinissimo al flusso entrante, si potrebbe considerare T IN = 15+.4ºC. Se invece Q fosse introdotto vicinissimo all uscita, si potrebbe sempre considerare T OUT = T(t)+.4ºC. 3) In un sistema aperto adiabatico, orizzontale ed operante in regime stazionario fluisce una portata di gas m = 0. kg/s; nella sezione di ingresso del dispositivo la temperatura è T in = 50 C con una velocità media di sezione w in = 4 m/s. Nella sezione di uscita si ha una velocità w out = 10 m/s. Sapendo che al fluido viene fornita una potenza L = 0.6 kw determinare la temperatura del gas nella sezione di uscita. (Il calore specifico del fluido è c P = 1 kcal/kg.k). Q + L in = m (Δθ) = m (Δh + Δe CIN ) = m [c p ΔT + (w w 1 )/] q + l in = /0. = 4184 * ΔT + (10 4 )/ [3000 (100-16)/ ] / 4184 = ΔT = [3000-4] / 4184 = 0.7 T OUT - T IN = 0.7 T OUT = T IN = 50.7 C 4) In un sistema aperto adiabatico, orizzontale ed operante in regime stazionario fluisce una portata di gas m = 0. kg/s; nella sezione di ingresso del dispositivo la temperatura è T in = 50 C con una velocità media di sezione w in = 40 m/s. Nella sezione di uscita si ha una velocità w out = 100 m/s. Sapendo che al fluido viene fornita una potenza L = 0.6 kw determinare la temperatura del gas nella sezione di uscita. (Il calore specifico del fluido è c P = 1 kcal/kg.k). : come precedente [3000 ( )/ +] / 4184 = ΔT = [ ] / 4184 = ) Una portata G = kg/s di ossigeno (O ) entra in un sistema, disposto in un piano orizzontale, con una velocità media w in = 00 m/s ed una temperatura T = 300 K. All uscita il gas si trova alla temperatura T = 90 K ed una velocità w out = 60 m/s. Nell ipotesi che il sistema sia adiabatico e che operi in regime permanente determinare in valore e segno la potenza meccanica ceduta dal sistema all ambiente. Q-L OUT = ΔH + ΔE CIN L OUT = - m [c p ΔT +(w w 1 )/] L OUT = - * [7/ * 8314/3 * (90-300)+ (60 00 )/ ] = * (909 * ) = W 6) In un sistema aperto adiabatico ed operante in regime stazionario fluisce una portata di vapore d acqua G= 0. kg/s; nella sezione di ingresso del dispositivo si ha vapore saturo con temperatura T in = 300 C con una velocità media di sezione w in = 40 m/s. Nella sezione di uscita si ha una velocità w out = 100 m/s. Sapendo che al fluido viene fornita una potenza L = 0.6 kw determinare l'entalpia specifica del fluido nella sezione di uscita. Q + L IN = m ( Δh + Δe CIN ) /0. = h h 1 + w / w 1 / dalle tabelle h 1 =749 kj/kg (attenzione kj/j) h = ' / / + 40 / = = '749' = '747.8 kj/kg la pressione non può essere specificata 18

19 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b 7) Attraverso un condotto cilindrico orizzontale con un diametro d = 1 cm fluisce una corrente d aria. All imbocco del condotto l aria si trova alla temperatura di 90 C, una pressione di 8 bar assoluti ed una velocità di 100 m/s. All uscita del condotto, la pressione dell aria si riduce a 6 bar assoluti, per effetto degli attriti, mentre la sua velocità aumenta a 13 m/s. Nell ipotesi che il condotto sia orizzontale, che lo stato sia stazionario e che l aria si comporti come un gas perfetto biatomico di massa molare pari a 9 kg/kmole, determinare: - la portata in massa di gas nel condotto; - la temperatura dell aria all uscita del condotto; - la quantità di calore eventualmente scambiata dal gas con l ambiente (ritenuto a 90 C) - la variazione di entropia del flusso di gas durante il processo, e totale m = ρ w A in cui ρ 1 = p 1 / (R T 1 ) = 800'000 / (8314/8.9) / = 7.66 [kg/m 3 ]; m 1 = 7.66 * 100 * π/4 * 0.1 = 8.66 kg/s m = (m 1 ) = ρ w A = ρ 1 w 1 A 1 da cui ρ = ρ 1 w 1 /w = 7.66 *100 / 13 = 5.80 [kg/m 3 ]; p 1 /(ρ 1 T 1 ) = p /(ρ T ) T = T 1 * p /p 1 * ρ 1 /ρ = * 6/8 * 7.66/5.80 = K = 86.6 C! se faccio il conto con la conservazione dell entalpia totale h 1 + w 1 / = h + w / sbaglio, perché dò per scontato che il sistema sia adiabatico e non scambi lavoro o calore. Il bilancio mi serve invece per calcolare il q in q l = Δθ = Δ (h +w /)= c P (T -T 1 ) + W / W 1 / ovviamente l=0 q = 7/*8314/9*( )+( )/ = = +300 J/kg (entrante) ΔS gas = m (Δs) = m (c P * ln T /T 1 - R * ln p /p 1 ) = 8.66 * 8314/8.9 * [7/ ln (359.7 / ) ln (6/8) ] = 8.66 * 87.7 * ( ) = [W/K] ΔS amb = Q amb / T amb = - m q gas / T amb = -300*8.66 / 363 = W/K ΔS TOT = = W/K 8) Svolgere l esercizio precedente considerando le stesse condizioni in ingresso, in uscita imposta solamente la pressione a 6 bar, la trasformazione adiabatica reversibile. Calcolare le condizioni all uscita. m = 8.66 kg/s, P 1 = 8 bar, T 1 = K, ρ 1 = 7.66 [kg/m 3 ]; T = T 1 *(P /P 1 ) R/Cp = *(6/8) /7 = K = 61.5 C P 1 /ρ 1 /T 1 = P /ρ /T da cui ρ = ρ 1 * P /P 1 * T 1 /T = 7.66 * 6/8 * 363/335 = 6.5 La velocità può essere calcolata dalla conservazione dell entalpia totale h 1 + w 1 / = h + w / (dove h= c P * T) 100 / *( ) = w / da cui w = 57 m/s La sezione si calcola da m = ρ w A da cui A = 8.66 / 6.5/ 57 = m da cui D =8.3 cm 9) In un sistema aperto disposto orizzontalmente fluisce in regime permanente una gas perfetto (O ) con una portata m = 0. kg/s. Nella sezione di ingresso sono note velocità w 1 = 4 m/s, temperatura T 1 = 10 C e pressione P 1 = 9 bar. Al gas viene fornita una potenza termica Q = 15 kw. Sapendo che nella sezione di uscita si ha una w = 50 m/s e pressione P = bar, determinare la temperatura del gas. [168.1 C] 10) Una portata m = 0.5 kg/s di elio (M m = 4 kg/kmol) fluisce in un condotto orizzontale al cui interno c è una macchina non nota. Nella sezione di ingresso sono note le seguenti grandezze: T 1 = 330 C, w 1 = 150 m/s P 1 = 6 bar. Nella sezione di uscita sono note le seguenti grandezze: T = 30 C, w = 300 m/s P = 1 bar. 19

20 Fisica Tecnica, ESERCITAZIONI, Prof. Araneo, aa Termodinamica v1b Nelle ipotesi che: (a) il condotto sia isolato termicamente dall esterno e (b) il sistema si trovi in stato stazionario, calcolare: - la potenza meccanica scambiata; - la produzione di entropia per irreversibilità nell'unità di tempo. R = 8314/4 = [J/kg.K], c V = 3/R = [J/kg.K], c P = 5/R = [J/kg.K] Q IN - L OUT = ΔΘ da cui L OUT = m (θ 1 -θ ) = m (h 1 - h + w 1 / - w / ) = = m (c P ΔT + w 1 / - w / ) = 0.5 * [ * ( )/] = kw S = m * Δs 1 = m * (c P ln(t /T 1 ) R ln(p /P 1 ) = 0.5 * * [5/ ln(303/603)- ln(1/6)] = 74.1 [kg/s * J/kg.K = W/K] (essendo il condotto adiabatico nel Δs = Δs ST + s GEN il termine Δs ST è nullo) 11) Una bombola in cui è stato fatto il vuoto viene aperta e l aria può entrarvi dentro. Determinare le condizioni dell aria a riempimento raggiunto. L aria prima di entrare nella bombola avrà condizioni note T 1, P 1, incognite la massa m e il volume V 1. Quando occuperà la bombola avrà V noto, P =P 1, incognite temperatura T e ancora la massa. Affrontare il problema come un sistema aperto, la bombola in cui entra gas, richiede una notevole complicazione in quanto le condizione dell aria all interno della bombola variano man mano che altra aria entra e comprime quella già entrata. Si affronti il problema considerando il sistema chiuso dell aria che prima è fuori e poi entra, ed ipotizzando che l aria all interno si mescoli in modo da avere temperatura omogenea. Ipotizzando l aria come gas perfetto si potrà dire m = P 1 V 1 / (R T 1 ) *eq1 = P V / (R T ) *eq, ed anche P 1 V 1 /T 1 = P V /T *eq3, essendo P =P 1, si ottiene V 1 /T 1 = V /T *eq4, useremo l espressione * che sarà più utile. Applico il 1 PdT: Q in +L in =ΔU 1 dove L in = P 1 (V 1-0) poiché il lavoro è fatto dall aria ambiente che spinge dentro l aria nella bombola, compiendo il lavoro pressione * volume. Sostituirò *eq4 V 1 = V * T 1 /T, ΔU 1 = m c V ΔT 1 = m c V (T - T 1 ) Q in =0, Ottengo L in =ΔU 1 P 1 (V * T 1 /T ) = m c V (T - T 1) sostituisco *eq P 1 (V * T 1 /T ) = P V / (R T ) c V (T - T 1 ) semplifico i termini uguali (ricordo P =P 1 ) Resta T 1 = c V /R (T - T 1 ) T 1 *R/c V = T - T 1 T 1 (1+R/c V ) = T Per l aria T = T 1 (1+/5) = 1.4 T 1 = 1.4 * 300K 0 40K = 147 C 6b Dispositivi a flusso stazionario 1) Determinare il rendimento isoentropico di espansione di una turbina a gas adiabatica ed operante in regime stazionario che produce un lavoro specifico l = 000 kj/kg espandendo una portata di elio (gas perfetto) da uno stato di ingresso noto (P 1 = 8 bar, T 1 = 800 C) ad una condizione di uscita con pressione P = bar. q-l out,is = Δh is, ricavabile dal ΔT is T = T 1 * (p /p 1 ) R/Cp = 1073 * (/8) /5 = K ΔT 1,is = K Δh is = c P ΔT is = 5/ * 8.314/4 * (-456) = -373 kj rendimento η = 000/373 = ) Determinare la potenza assorbita da una pompa ideale isoentropica che viene utilizzata per elaborare una portata in massa m = 300 kg/h di olio (massa volumica ρ= 900 kg/m 3 ) tra la condizione di ingresso T 1 = 0 C e P 1 = 1 ata ed una condizione di uscita con P = 60 ata. liquido con ρ = costante, q-l = Δh = v ΔP, L = m * 1/ρ * ΔP = 300/3600 / 900 * 59*98'060 = 536 W. 0

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