Trasformazioni termodinamiche - I parte

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Trasformazioni termodinamiche - I parte"

Transcript

1 Le trasormazon recproche tra le energe d tpo meccanco e l calore, classcato da tempo come una delle orme nelle qual avvene lo scambo d energa, sono l oggetto d studo su cu s onda la Termodnamca, una mportante parte della Fsca. Il rmo rncpo della Termodnamca sancsce, tra l altro, la completa equvalenza tra lo scambo d energa meccanca (o lavoro) e l calore, l uno legata a enomen su scala macroscopca, l altro connesso al movmento su scala mcroscopca. In quest appunt presentamo concett d base della Termodnamca, ormulamo l rmo rncpo e ne studamo l applcazone n alcun semplc enomen o process. I tem qua trattat s aancano al contenuto del captolo 17 del testo, e ne approondscono e completano alcun aspett molto mportant. Trasormazon termodnamche - I parte La Termodnamca è tradzonalmente concepta come parte della Fsca, ma per la sua mportanza assurge al ruolo d un settore autonomo della Scenza. I suo prncp sono alla base d molt svlupp recent d altre dscplne, come la chmca e la bologa. Essa s occupa prncpalmente delle trasormazon recproche dell Energa ne suo var aspett, rconoscbl essenzalmente nelle vare orme d Energa meccanca, come lavoro, energe cnetca e potenzale, no alla orma d Energa pù elusva, l calore. In altre parole essa s occupa delle trasormazon tra le orme pù organzzate d Energa con quelle meno organzzate come l calore, che è connesso n qualche modo al moto dsordnato delle molecole. La Termodnamca s propone anche d gettare un ponte tra l mondo mcroscopco de costtuent elementar delle sostanze, atom e molecole, e l mondo macroscopco degl oggett compless, compres gl esser vvent. E l problema arontato n partcolare da un dscplna detta Meccanca Statstca: come comprendere e prevedere l comportamento degl oggett macroscopc, che è molto complesso, organzzato e soggetto a legg evolutve, partendo da costtuent mcroscopc elementar, che sono soggett alle legg d conservazone della meccanca, che non sembrano a prma vsta n grado d orre l ncredble varetà d comportament rscontrata ne enomen natural a tutt lvell. In quest appunt comncamo l nostro studo dal prmo prncpo delle Termodnamca, con alcune delle sue pù mportant applcazon. 1) Lo stato d un sstema Oggetto d studo della Termodnamca è l sstema termodnamco, ovvero qualunque corpo o oggetto, anche vvente, n relazone col suo ambente esterno, con l quale è n grado d scambare matera o energa. La descrzone del sstema s basa sulla msura o la conoscenza d grandezze sche come la pressone, l volume, la temperatura T, l numero d mol (la composzone chmca, la polarzzazone elettrca, la tensone elastca ne sold, etc.), essenzalmente grandezze d tpo macroscopco, adatte a trattare collettvamente, anche con metod statstc, un nseme d un gran numero d costtuent elementar, come atom o molecole (dell ordne del numero d vogadro, ). Le grandezze menzonate descrvono lo stato del sstema, coè la conoscenza che no abbamo d esso. In generale queste grandezze non sono ndpendent, ma sono legate tra loro

2 da una relazone chamata equazone d stato, che è una espressone matematca approprata alle propretà del sstema n esame, dealmente esstente per tutt sstem, e n genere nota quando l sstema è n equlbro termco, stato nel quale l equazone d stato è supposta essere valda n qualunque punto del sstema n esame. Il sstema pù semplce da descrvere, su cu s proveranno e s rcaveranno mportant rsultat, è l gas peretto o deale all equlbro termco, coè un gas che obbedsce alla equazone d stato: = nrt ( o = N kt ) (1) dove n è l numero d mol del gas ( N è l numero delle molecole), R = J/mole K è la costante de gas ( K = 1.38 x 1-23 J/K è la costante d oltzmann) e T è la temperatura msurata sulla scala assoluta de grad Kelvn (K). La relazone tra le due ormulazon è data dal atto che k R / N N è l numero d vogadro. = dove Lo stato d un gas è completamente descrtto da questa equazone; ssato l numero d mol (o d molecole) basta conoscere due delle tre grandezze, o T perché la terza è ssata dall equazone d stato. Una utle rappresentazone graca, d uso unversale e non solo per gas, è l pano cartesano -. Il punto n questo graco rappresenta lo stato d un gas, determnato dalla sua pressone e dal volume (la temperatura è necessaramente denta dalla equazone d stato). Il gas peretto o deale è n realtà una costruzone teorca; gas real, su cu possamo are esperment d laboratoro, obbedscono abbastanza bene all equazone d stato, ma se ne possono dscostare pareccho a basse temperature, e qund necesstano d equazon d stato modcate. erò la semplctà dell equazone d stato de gas perett ne a un potente strumento d studo, e qund sarà sempre consderata valda. E mportante consderare che l equazone d stato de gas (come anche tutte le equazon d stato) vale se l sstema è omogeneo e all equlbro termco; solo n tal caso, natt, le grandezze termodnamche hanno valor ben dent e vald per tutto l sstema, ed è possble segure le trasormazon ad ogn passo. ensamo ad esempo al rscaldamento d un pentola d acqua: s creano vortc e movment d strat d ludo, che hanno dverse temperature, presson etc. sogna aspettare lo stablrs dell equlbro termco e l omogenezzazone del sstema per avere una msura attendble e globale d temperatura. Rtorneremo pù avant su questo dscorso. 2) Trasormazon e scamb d Energa Lo scambo d energa tra due sstem termodnamc, o tra un sstema e l ambente, avvene prncpalmente n due mod: α ) trasmssone d calore, coè scambo energetco d tpo mcroscopco, legato al movmento e agl urt delle molecole, e che non comporta varazone d volume del sstema; β ) lavoro meccanco, coè scambo energetco d tpo macroscopco che avvene secondo le legg della meccanca (azone d orze, teorema dell energa cnetca etc.), e che mplca spesso una varazone d volume. L equvalenza tra lo scambo d energa per mezzo d calore o per mezzo d lavoro meccanco è stata stablta con una numerosa sere d esperment da Joule nella prma parte dell 8, benché osse gà stata utlzzata molto prma nello studo delle macchne termche; ma non essendov charezza sulla natura mcroscopca del calore rmaneva allo stato d potes. Molto noto è l espermento n cu Joule msura l aumento d temperatura d una quanttà d acqua n un calormetro ben solato termcamente, n cu delle palette vengono atte grare tramte carrucole mosse dalla caduta d alcune masse da un altezza ssata. S ha dapprma la trasormazone d energa potenzale gravtazonale n lavoro meccanco per ar grare la paletta

3 contro le orze d attrto vscoso present nel ludo, che qund dsspano l energa ornta dall esterno n attrto e turbolenza nel ludo. l rstablrs dell equlbro s osserva l nnalzamento d temperatura dell acqua, coè la trasormazone nale n energa termca. Questo rsultato può essere naturalmente ottenuto semplcemente rscaldando l acqua nel calormetro, coè ornendo una adeguata quanttà d calore Q; rmane qund dmostrata l equvalenza tra le due orme d scambo d energa, e n partcolare vale l equvalenza tra le untà nelle qual le vare orme d energa vengono msurate, rappresentata dalla ormula: 1 cal = J assamo ora a studare n partcolare le trasormazon energetche nel pù semplce sstema sco, coè l gas deale o peretto, tenendo presente che le legg e le concluson a cu arrveremo hanno comunque valdtà unversale per tutt sstem, d qualsas natura o dmensone ess sano. Lo schema dell apparato spermentale d base è come nella gura: un recpente, eventualmente solato termcamente per mpedre scamb d calore con l esterno se necessaro, contene n mol d un gas peretto che possamo supporre per semplctà monoatomco. Un pstone consente d regolare dall esterno la pressone eserctata dal gas sulle paret del recpente, poché all equlbro la pressone eserctata dall esterno sarà uguale a quella del gas. Un termometro dy msura la temperatura T, rgorosamente n grad Kelvn (K), e un sstema d rscaldamento ornsce calore (o eventualmente un sstema d rareddamento sottrae calore). Inne l volume occupato dal gas è controllato dal movmento del pstone d T superce. er quanto detto n precedenza, ogn trasormazone termodnamca eettuata dal gas è utlmente descrtte gracamente da una lnea nel pano -. dq a) Utlzzando la convenzone che l calore Q è postvo se assorbto dal gas, s ha che ornendo la quanttà d calore nntesma dq la temperatura del gas s nnalza della quanttà dt secondo la legge: dq = c n dt (2) dove c è l calore specco molare (la quanttà d calore necessara per nnalzare d un grado d temperatura una mole d gas). er esser pù esatt è necessaro speccare n che modo è avvenuta la trasormazone; vedremo pù avant che esstono due dvers calor specc ondamental, dett a volume costante e a pressone costante, rert alle due trasormazon elementar. Il calore totale ornto sarà ovvamente: T Q = c n dt (3) T dove T e T sono rspettvamente le temperature nzale e nale; dato che l calore specco ne gas è pratcamente costante rspetto alla temperatura, rsulta: Q = c n ( T T ) = c n T b) Utlzzando la convenzone che l lavoro meccanco W è postvo se atto dal gas verso l esterno, l lavoro nntesmo eettuato dal gas per nnalzare l pstone d un altezza dy è dw = F y dy dove F y è la orza eserctata dal gas sul pstone (dretta sull asse y). Rcordando che la pressone è la orza per untà d superce ( = F y / ) s ha subto: H 2O T

4 dw = dy = d (4) dove d è la varazone nntesma del volume del gas. Questa è l espressone ondamentale per l lavoro meccanco n ambto termodnamco. Il lavoro totale eettuato dal gas n una espansone dal volume nzale al volume nale è dato qund da: W = d (5) e ha una rappresentazone graca molto ecace sul pano -: come c nsegna la Matematca, questo ntegrale corrsponde all area sottesa dal tratto d curva che partendo dal punto nzale arrva al punto nale, seguendo valor d pressone e volume percors dal gas durante la sua trasormazone. Questo atto è molto mportante e consente d trattare cert problem anche per va graca. Naturalmente anche n questo caso per poter eettvamente calcolare l lavoro meccanco eettuato dal gas è necessaro conoscere ne partcolar come s è svolta la trasormazone. 3) Esemp d trasormazon ne gas perett e calcolo d W Con opportune combnazon d rscaldament o rareddament, compresson del pstone o dmnuzon della orza esterna applcata è possble esegure e controllare qualunque trasormazone anche complessa del gas nel recpente; la sua rappresentazone graca sul pano - può essere qualunque curva a pacere. Qua trattamo solo del calcolo del lavoro meccanco W per alcun process ondamental. a) Rscaldamento del gas a volume costante (ottenuto tenendo ssato l pstone). Questo processo è rappresentato dal segmento vertcale ; dall equazone d stato de gas, se T aumenta deve aumentare anche la pressone, essendo tenuto costante l volume. Il lavoro meccanco dw non può che essere zero. b) Espansone del gas a pressone costante; n questo caso l gas vene lascato espandere dal volume nzale al volume nale C mantenendo la pressone esterna sul pstone costante. La rappresentazone graca è l segmento orzzontale C C, e l lavoro eettuato dal gas s calcola dalla (5): C W = d = d = ( C C ) (6) poché la costante può essere estratta dall ntegrale. Il quale corrsponde all area sottesa dal segmento, coè l rettangolo (C C ) come è evdente anche dalla ormula. c) Espansone soterma da a ; n questo caso l contentore del gas è mantenuto a temperatura costante per mezzo d un opportuno termostato. Il gas vene lascato espandere dmnuendo la pressone esterna, natt dalla legge de gas vedamo che se T è costante deve essere = costante, la pressone è nversamente proporzonale al volume e la rappresentazone graca è una perbole. Dato che la pressone vara durante l processo, l calcolo del lavoro meccanco atto dal gas deve essere eettuato n generale utlzzando l equazone d stato de gas (1), rcavando la pressone: = nrt e sosttuendola nell ntegrale (5):

5 [ ] = = nrt d W d d = nrt = nrt ln = nrt ln (7) dove s è tenuto conto che anche T è costante se la trasormazone è soterma. Nel nostro caso rsulta dunque: W = nrt ln e al solto questa espressone corrsponde all area sotto l tratto d perbole da a nel pano -. oché per questo processo d espansone s ha >, rsulta correttamente W >, coè l lavoro atto dal gas nel sollevamento del pstone è postvo. Se consderamo l caso opposto, un processo d compressone soterma n cu l volume del gas vene portato dal volume nzale al volume nale (qund < ) la ormula rsultante sarebbe: W = nrt ln < ovvero l lavoro atto dal gas rsulterebbe negatvo. Inatt n questo caso è necessaro ntervenre dall esterno agendo sul pstone, qund l lavoro meccanco atto dall ambente esterno è postvo, mentre l lavoro del gas vene eseguto contro le orze esterne e qund deve essere negatvo. La ormula (7) descrve qund correttamente tutte le trasormazon soterme. E da notare che n tutt quest process d espansone (o d compressone) una certa quanttà d calore ha dovuto essere ornta al gas (o ceduta dal gas) perché quest avesse energa da mpegare nel sollevamento del pstone (o energa rcevuta dall abbassamento del pstone); su questo punto rtorneremo presto. Notamo nne che l lavoro meccanco atto dal gas dpende strettamente dal percorso, coè dal tpo d trasormazon eettuate. Questo lo s vede charamente dalle rappresentazon grache de process, oltre a poterlo vercare con calcol esplct. d esempo n gura vedamo un gas che vene portato dallo stato nzale allo stato nale n tre mod dvers: (I) (curva rossa) l gas vene rareddato a volume costante no a raggungere la pressone, po rscaldato a pressone costante n a raggungere l volume nale; l lavoro W I è dato dall area del rettangolo sotto la lnea a costante. (II) (curva blu) l gas s espande sotermcamente; l lavoro WII è l area sotto l tratto d perbole. (III)(curva verde) l gas subsce una trasormazone d tpo non elementare che lo porta a passare su alt valor della pressone; l lavoro totale atto W è dato dall area sotto la curva. E evdente che l lavoro atto dal gas ne tre percors è ben dverso, W III > WII > WI, e questo è un atto molto mportante anche per le possbl utlzzazon pratche del gas come meccansmo per eettuare trasormazon energetche, ad esempo per trasormare energa mcroscopca e dsorganzzata n orma d calore, n energa macroscopca e organzzata n orma d lavoro meccanco. Lo stesso dscorso può essere atto per l calore Q ; s osserva natt che nelle trasormazon termodnamche tra uno stato nzale e uno stato nale l calore assorbto dal gas dpende strettamente dal percorso. III (II) (I) (III)

6 Schema rassuntvo delle convenzon rguardo alle dverse orme d scambo d energa tra l sstema n esame e l ambente Macroscopco: lavoro meccanco W (W<) mbente W> Scambo d Energa Sstema Q> Mcroscopco: calore Q (Q<) Trasormazon termodnamche - II parte 4) Il rmo rncpo della Termodnamca Il prmo prncpo della Termodnamca è essenzalmente l aermazone della conservazone dell energa per tutt sstem termodnamc. bbamo vsto che l energa può essere scambata tra sstem, o tra un sstema e l ambente esterno, nelle due orme dette calore Q e lavoro meccanco W. Inoltre è noto dalla teora cnetca de gas, o pù n generale dalla meccanca statstca, che un sstema qualsas possede una sua energa, detta energa nterna e ndcata convenzonalmente con U, che dpende dal moto delle partcelle, dal loro stato d legame e da altr attor. d esempo rcordamo che nel caso del gas peretto monoatomco la sua energa nterna s calcola tramte la teora cnetca ed è data da 3 3 U = N k T ( U = n R T ) (8) 2 2 ed è qund una unzone della sola temperatura, mentre ne cas pù general l energa nterna potrà essere anche unzone delle altre grandezze o varabl d stato. (N.. nel caso d gas peretto batomco l attore numerco vale 5/2, nel caso d gas polatomc vale 3, poché v sono contrbut energetc provenent da movment d rotazone delle molecole, oltre al movmento d traslazone nelle tre drezon cartesane degl atom nel gas monoatomco). Enuncamo qund l rmo rncpo della Termodnamca nella orma generale: U = Q W (9) dove U = U U è la varazone d energa nterna del sstema n esame quando avvene una qualsas trasormazone, Q è l calore assorbto e W l lavoro meccanco eseguto dal sstema verso l ambente esterno. Il blanco energetco tra l energa che entra sotto orma d calore e l energa che vene persa verso l esterno n orma d lavoro meccanco dà l energa rmasta mmagazznata nternamente nel sstema.

7 Questo prncpo costtusce una sorta d generalzzazone della legge d conservazone dell energa meccanca a comprendere anche l mondo mcroscopco; natt, la legge che vale per corp macroscopc, qual scambano energa tramte lavoro, vene qua allargata a comprendere gl scamb d energa sotto orma d calore (essenzalmente urt tra oggett mcroscopc come le molecole), e l mmagazznamento d energa n orma d movmento mcroscopco che vene msurata drettamente dalla grandezza macroscopca temperatura T, almeno per l semplce caso del gas deale. Osservamo che, come abbamo vsto n precedenza, l calore Q e l lavoro W dpendono dalla partcolare trasormazone atta; la varazone d energa nterna U è nvece ndpendente dal percorso, ma dpende soltanto dagl stat nzale e nale. Quest aermazone è d dmostrazone mmedata nel caso del gas peretto, nel quale l energa nterna U dpende solo dalla temperatura, coè da una grandezza che specca lo stato del sstema. ale anche per sstem pù compless e vene rtenuta unversalmente vercata (anno eccezone solo cert rar e partcolar sstem dotat d memora ). S dce che l energa nterna è una unzone d stato, e qund una volta speccato lo stato del sstema s conosce dealmente anche la sua energa nterna. 5) Un semplce processo termodnamco: l espansone lbera de gas Il atto che l energa nterna d un gas peretto è unzone della sola temperatura (ved la ormula (8)) era n realtà gà stato stablto da Joule n un suo espermento, ben prma della ormulazone della teora cnetca de gas da parte d oltzmann (che dede appunto l nome alla costante k ). L espermento n questone è l espansone lbera d un gas nel vuoto, e a parte d quella sere d esperment ondamental e d carattere concettuale che costtuscono le bas della Fsca, e servono a charre e stablre mportant rsultat. Questo espermento s rtroverà anche quando s studeranno alcun aspett del secondo prncpo. Come s vede n gura, n un calormetro, solato dall esterno e contenente acqua, v sono due contentor d uguale volume, conness da un condotto con una valvola. Il contentore è rempto nzalmente un gas all equlbro termco, le cu due varabl d stato ndpendent hanno valor e T, e n partcolare la temperatura è ndcata dal termometro (la pressone dpende dalle altre due tramte l equazone d stato). Il contentore è nzalmente vuoto. L espermento consste nell apertura della valvola: l gas s espande qund n tutt e due contentor. Dopo l rstablrs dell equlbro termco una lettura del termometro del calormetro mostra che la temperatura non è pratcamente varata; anz, per un gas peretto s ammette che la temperatura rmanga esattamente dentca. Questo sgnca che non v è stato alcun passaggo d calore tra l gas e l acqua del calormetro, e qund Q =. D altra parte l nostro gas non ha computo nessun lavoro all esterno, perché non c è stato nessuno spostamento meccanco d nessun pstone o parete, e qund W =. Se ne deduce dal prmo prncpo che l energa nterna del gas è rmasta costante: U = ; U = costante. Nell espermento qund v è stata una varazone d volume del gas (s è raddoppato), ma la temperatura non è varata, e nemmeno l energa nterna. Dobbamo concludere che una varazone d volume a T costante non ha conseguenze sull energa nterna del gas, o n altre parole l energa d un gas peretto è unzone solamente della temperatura: U = U( T ) ( T n grad K) e questo vale per tutt gas; per l gas monoatomco l espressone esplcta d U (T ) è la (8).

8 6) rmo rncpo della Termodnamca per process d equlbro L espermento precedente ha mostrato una semplce applcazone del prmo prncpo nella sua orma macroscopca, coè nella orma d valdtà unversale n cu compaono quanttà nte d calore scambato e lavoro atto dal sstema. D altra parte la trasormazone realzzata è un esempo d processo d non-equlbro, coè un processo che avvene n modo non omogeneo, dsordnato e n temp brev (l moto delle molecole che s muovono per occupare l altro contentore non è certamente regolare). In quest process, benché gl stat nzal e nal sano d equlbro termco e qund con varabl d stato, e T ben dente e unorm per tutto l sstema, per gl stad ntermed non è possble speccare una precsa temperatura o una precsa pressone. I process d non-equlbro hanno anche un carattere d rreversbltà, coè avvengono n genere n modo spontaneo, senza ntervento esterno, come s studerà approondtamente esponendo l secondo prncpo. Mentre l ntervento esterno dventa necessaro se volessmo ar rtornare tutto l gas nel recpente d partenza ; non c aspettamo certo che le molecole s muovano da sole tutte nseme per rtornarv. Le varabl d stato,, T sono grandezze d tpo macroscopco e hanno senso solo se rerte a un sstema con un gran numero d atom o molecole, come nel gas, ma omogeneo e all equlbro termco. Il concetto statstco d veloctà con modulo e drezone a caso che è necessaro alla teora cnetca de gas per rcavare l espressone dell energa, non è charamente applcable a un nseme d molecole che s muovono da un luogo dove ve ne sono tante (l contentore ) verso un luogo n cu ve ne sono poche (l contentore ); solo quando s è rstablto l equlbro termco, e qund la denstà (l numero d molecole per untà d volume) è rtornata unorme s può tornare a parlare d veloctà a caso e d statstca. In conclusone process d non-equlbro non possedono n ogn stante valor ben dent delle varabl d stato, e qund non sono rappresentabl gracamente sul pano -; d solto s rcorre a una lnea ondulata rregolare che l smbolegga. Nel dsegno vedamo per l appunto l espansone lbera d Joule a conronto con l espansone soterma; sono process analogh dato che per entramb T è costante, e qund entramb possono nzare e nre dagl stess stat, ma solo per la seconda possamo speccare valor d e durante l processo. bbamo però supposto tactamente che questa espansone soterma acca parte d un'altra categora d process, e coè de process che avvengono attraverso stat d equlbro. Queste trasormazon sono molto mportant perché n esse le varabl d stato mantengono valor ben dent durante tutta la trasormazone, per cu valgono n ogn stante le equazon d stato, l sstema è sempre omogeneo e vrtualmente n equlbro termco. S può rappresentare l processo sul pano -, e ogn punto della curva è uno stato d equlbro. erché una trasormazone termodnamca avvenga attraverso stat d equlbro è necessaro che essa avvenga molto lentamente e senza perturbazon; s tratta coè d process chamat quas-statc. Se s tratta d un rscaldamento, l calore deve essere ornto n pccole quanttà (nntesme) e ogn volta s attende l rstablrs dell'equlbro. Se s tratta d lavoro meccanco sul pstone, l aumento o la dmnuzone d pressone deve essere pccolo (ad esempo aggungendo o toglendo granell d sabba). Da queste consderazon s vede anche che quest process possedono caratterstche d reversbltà, coè possono essere nvertt tornando alle condzon precedent, ntervenendo con le stesse modaltà con cu stavano procedendo, senza grosse perturbazon (ad esempo toglendo o mettendo lo stesso granello d sabba sul pstone). In realtà process quas-statc sono dealzzazon, sullo stesso pano della dealzzazone del gas peretto, realzzabl qund spermentalmente con qualche approssmazone, ma sono comunque process termodnamc real, un potente oggetto d studo e l punto d partenza per Espansone lbera Isoterma

9 rcavare numeros rsultat d portata generale applcabl anche per sstem natural compless, no a quell d tpo bologco. Da quanto detto è evdente che possamo ormulare nel seguente modo l: rmo rncpo della Termodnamca per process d equlbro (reversbl) du = dq dw (1) dove dq è la quanttà nntesma d calore assorbto, dw è la quanttà nntesma d lavoro atto dal sstema verso l esterno, du è la varazone nntesma d energa nterna. Ovvamente da questa relazone tra quanttà mcroscopche (1) dscende drettamente la relazone tra le quanttà macroscopche (9) per ntegrazone (coè somma delle quanttà nntesme su tutto l percorso atto dal sstema n una trasormazone). Il vceversa è vero solo se s tratta d process che hanno la propretà d essere d equlbro e reversbl, coè avvengono n modo quas-statco. 7) pplcazon del rmo rncpo Consderamo alcune semplc applcazon del prmo prncpo a trasormazon termodnamche, senza speccare se avvengono attraverso stat d equlbro o meno perché rsulta evdente dalla trattazone. La prma applcazone elementare, l espansone lbera d Joule è gà stata presentata nel paragrao 5). a) Rscaldamento d un gas a volume costante In questa trasormazone l gas è nel recpente mostrato nella I parte; l pstone vene tenuto ermo, s ornsce calore e s osserva un aumento della temperatura da T a T (oltre al corrspondente aumento d pressone). Dato che dw =, dal prmo prncpo nella orma mcroscopca e dalla ormula dello scambo d calore (2) s ha: du = dq = c n dt (11) dove c è l calore specco molare a volume costante, coè l calore specco approprato per questo tpo d trasormazone. er un gas monoatomco dall espressone esplcta della sua energa nterna (8) U = 3/ 2 nrt, s ha subto la varazone macroscopca U = 3 / 2nR T e la varazone mcroscopca (derenzale) du = 3/ 2 nr dt (rcordamo che l energa dpende solo dalla temperatura T) e qund trovamo: 3 3 n R dt = c n dt c = R (12) 2 2 che è l espressone del calore specco a volume costante per tutt gas preett monoatomc (non dpende dalla natura del gas, e ha qund carattere unversale, come del resto l equazone d stato). er gas batomc rsulta nvece c = 5 / 2 R, mentre per gas polatomc s ha c = 3R ; n quest cas bsogna ornre pù calore per l aumento d temperatura speccato perché v sono pù grad d lbertà delle molecole (possbltà d movmento, ved l prncpo d equpartzone). Osservazone mportante: vsta l espressone esplcta (12) per l calore specco a volume costante (e anche quelle successve) per tutt gas perett possamo rscrvere l espressone della varazone d energa nterna nella orma molto usata: du = c n dt (13)

10 b) Rscaldamento d un gas a pressone costante In questo caso l pstone vene lascato lbero d muovers, ma vene mantenuta costante la pressone eserctata dall esterno; s osserva qund un aumento d volume del gas. Il lavoro totale atto dal gas nell espansone s calcola come u atto per la ormula (6); qua nvece consderamo la varazone d energa nterna e applchamo qund l prmo prncpo: du = dq dw = c p n dt d dove s sono usate le espresson esplcte de derenzal dq e dw, con l calore specco a pressone costante c, approprato per questo tpo d processo. Dalla equazone d stato = nrt, essendo n questo caso la pressone costante possamo scrvere mmedatamente la ormula per la varazone nntesma del volume con la temperatura, che è d = nrdt ; sosttuendo con questa e con quella gà nota d du ottenamo: 3 5 n R dt = cp n dt n RdT c = R (14) 2 2 che è l espressone del calore specco a pressone costante per tutt gas preett monoatomc. Osservamo che n tutt cas possamo scrvere c = c + R (15) che è una ondamentale relazone che connette due calor specc de gas perett (tale relazone s dmostra subto n generale utlzzando la (13) per du ). Il atto che c sa sempre maggore d c è presto spegato: nel rscaldamento a pressone costante l gas mpega una parte dell energa assorbta sotto orma d calore per eettuare lavoro meccanco all esterno sollevando l pstone, per cu a partà d varazone d temperatura necessta d una maggor quanttà d calore. ll opposto, se l rscaldamento avvene a volume costante tutta l energa assorbta dventa energa nterna. c) Trasormazon soterme Questo tpo d trasormazone è gà stato dscusso nella parte I; l sstema è mantenuto a temperatura costante T, la rappresentazone graca è un tratto d perbole sul pano -, l lavoro è dato dalla ormula (7). Dato che l energa nterna dpende solo dalla temperatura, essa rmane costante: du =. pplcando l prmo prncpo s ha dunque: dq dw ( Q = W ) = (16) coè tutta l energa ornta sotto orma d calore vene mpegata per eettuare lavoro meccanco all esterno. Questo tpo d processo, come vedremo, potrebbe qund essere ndcato per le macchne termche, coè per quegl oggett l cu scopo è produrre energa macroscopca (lavoro meccanco) a partre dalla energa mcroscopca (calore). d) Trasormazon adabatche S chama adabatca una trasormazone termodnamca che avvene senza scambo d calore con l esterno. d esempo, process adabatc per l gas peretto nel recpente mostrato nella I parte avvengono se l contentore vene solato termcamente dall esterno (come per calormetr, dove avvengono pure process adabatc). Un altro mportante caso è quando un processo avvene molto rapdamente, coè n temp pù brev del tempo necessaro al sstema per scambare calore; è l caso delle onde acustche nell ara: la vbrazone sonora (movmento

11 ordnato d molecole) che a aumentare e dmnure localmente la pressone dell ara è tanto rapda da mpedre pratcamente ogn scambo d calore (movmento mcroscopco dsordnato) e qund l eventuale dsspazone d energa che smorzerebbe presto l suono. er un processo adabatco s ha qund dq =, e dal prmo prncpo: du = dw ( U = W ) (17) coè l lavoro atto dal sstema all esterno ( dw > ) avvene a spese dell energa nterna che dmnusce (s ha du < ). ll opposto, se l ambente esterno esegue lavoro meccanco sul sstema (qund l lavoro del sstema dw < per convenzone) s ha che l energa nterna aumenta, du > ; ad esempo è questo l caso dell espermento d Joule volto a dmostrare l equvalenza tra calore e lavoro. Nel caso delle trasormazon adabatche d un gas deale, usando la (13) possamo connettere drettamente l lavoro atto con la varazone d temperatura: ( dw ) = du = c n dt adab. La rappresentazone graca d un processo adabatco sul pano - è una curva smle a una perbole, ma pù rpda, e questo è un atto d mportanza captale per la teora del cclo d Carnot d cu s parlerà nelle lezon successve. Nel dsegno osservamo la curva rappresentatva d un processo adabatco a conronto con un processo sotermo (che per l appunto è rappresentato dall perbole = cost.). L espressone esatta della unzone ( ) che lega la pressone al volume del gas peretto n una trasormazone adabatca è rcavata negl pproondment; s può comunque comprendere n manera elementare l andamento della curva. Supponendo d consderare un processo d espansone del gas, l energa spesa per l lavoro atto sul pstone derva dal calore assorbto nel caso dell soterma, ma vene prelevata dall energa nterna nel caso dell adabatca; qund n questo secondo caso la temperatura del gas s abbassa rspetto a quella, costante, del prmo caso; d conseguenza la pressone tenderà ad abbassars ulterormente, e la curva tenderà a scendere al d sotto della soterma. dabatca Isoterma e) Trasormazon cclche Nel caso che una successone d process qualsas nz da uno stato nzale del sstema e nsca allo stesso stato, s dce che la trasormazone è cclca. Un esempo è n gura: una trasormazone (I) porta l sstema dallo stato nzale allo stato, successvamente un altra trasormazone (II) rporta l sstema n, ma con un percorso dverso. Dato che l energa nterna U è una unzone d stato, sul cclo completo s ha U =, e qund dal prmo prncpo W (process cclc ) Q = (18) ovvero l lavoro totale atto durante un cclo è uguale al calore totale assorbto. Inoltre, dato che l lavoro W è rappresentato dall area sotto la curva nel pano -, l lavoro totale d un processo cclco corrsponde all area racchusa nel cclo stesso, e n partcolare sarà W > per un cclo percorso n senso oraro, W < per un cclo percorso n senso antoraro. Inatt, come s vede dalla gura successva che mostra l caso del cclo oraro, l lavoro totale è la somma del lavoro W I postvo (aumenta ) col lavoro W II che è negatvo (dmnusce ); l area corrspondente a quest ultmo è negatva perché vene percorsa nel senso sbaglato ; la somma delle aree corrsponde dunque a quella contenuta nel cclo, che è postva dato che II I

12 l area I è maggore della II. Nel caso opposto d cclo antoraro l area nel cclo rsulterà negatva. W I > W II < + = W cclo > ) Cambament d ase (usone, ebollzone) Nel caso n cu s abbano de cambament d ase delle sostanze sappamo che la temperatura rmane costante durante l ntera trasormazone, mentre vene ornto calore dall esterno. E ad esempo l caso del processo d ebollzone dell acqua, n cu la temperatura rmane ssata a 1 C (al lvello del mare) anche se del calore vene assorbto, e questo rmane valdo no a che tutta l acqua non è convertta allo stato d vapore. L energa nterna della sostanza però non può rmanere costante perché, a derenza delle trasormazon soterme ne gas, la sostanza rsultante da una trasormazone d ase è dversa da quella che lo ha nzato. è qund una varazone d energa nterna propra del cambamento d stato, che vene attrbuta n genere all energa necessara alla rottura de legam tra le molecole (o all energa rlascata dalla loro rcomposzone nel caso del enomeno opposto). Nel caso dell ebollzone l prmo prncpo s scrve dunque: U = Q W (19) eboll lat dove U eboll è la varazone d energa nterna propra del cambamento d ase d una massa m d acqua, = m L è l calore assorbto per l ebollzone ( L è l calore latente d Q lat ebollzone) e W sarà l lavoro atto dal vapore acqueo per espanders contro la pressone atmoserca, trattable n genere come espansone a pressone costante.

7. TERMODINAMICA RICHIAMI DI TEORIA

7. TERMODINAMICA RICHIAMI DI TEORIA 7. ERMODINMI RIHIMI DI EORI Introduzone ermodnamca: è lo studo delle trasformazon dell energa da un sstema all altro e da una forma all altra. Sstema termodnamco: è una defnta e dentfcable quanttà d matera

Dettagli

5. Il lavoro di un gas perfetto

5. Il lavoro di un gas perfetto 5. Il lavoro d un gas perfetto ome s esprme l energa nterna d un gas perfetto? Un gas perfetto è l sstema pù semplce che possamo mmagnare: le nterazon a dstanza fra le molecole sono così debol da essere

Dettagli

Induzione elettromagnetica

Induzione elettromagnetica Induzone elettromagnetca L esperenza d Faraday L'effetto d produzone d corrente elettrca n un crcuto prvo d generatore d tensone fu scoperto dal fsco nglese Mchael Faraday nel 83. Egl studò la relazone

Dettagli

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/controllautomatcgestonale.htm MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI Ing. Federca Gross Tel. 059 2056333 e-mal: federca.gross@unmore.t

Dettagli

ESERCIZI ESERCIZI. La termodinamica Stati termodinamici e trasformazioni

ESERCIZI ESERCIZI. La termodinamica Stati termodinamici e trasformazioni La termodnamca Stat termodnamc e trasormazon QUNTO? Gl stat e rappresentat nel dagramma sono relatv a n mol d gas peretto. Quanto vale l rapporto T T ra le temperature de due stat? 6@ 40 4 P =,4 $ 0 Pa,

Dettagli

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS Captolo 7 1. Il modello IS-LM La «sntes neoclassca» e l modello IS-LM Defnzone: ndvdua tutte le combnazon d reddto e saggo d nteresse per le qual l mercato de ben (curva IS) e l mercato della moneta (curva

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora Progetto: Metodo d soluzone basato su generazone d colonne Lug De Govann Vene presentato un modello alternatvo per l problema della turnazone delle farmace che

Dettagli

Unità Didattica N 25. La corrente elettrica

Unità Didattica N 25. La corrente elettrica Untà Ddattca N 5 : La corrente elettrca 1 Untà Ddattca N 5 La corrente elettrca 01) Il problema dell elettrocnetca 0) La corrente elettrca ne conduttor metallc 03) Crcuto elettrco elementare 04) La prma

Dettagli

MODELLI DI SISTEMI. Principi di modellistica. Considerazioni energetiche. manca

MODELLI DI SISTEMI. Principi di modellistica. Considerazioni energetiche. manca ONTOI UTOMTII Ingegnera della Gestone Industrale e della Integrazone d Impresa http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/ontrollutomatcgestonale.htm MODEI DI SISTEMI Ing. ug Bagott Tel. 05 0939903

Dettagli

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari Captolo 3 Covaranza, correlazone, bestft lnear e non lnear ) Covaranza e correlazone Ad un problema s assoca spesso pù d una varable quanttatva (es.: d una persona possamo determnare peso e altezza, oppure

Dettagli

Fondamenti di Fisica Acustica

Fondamenti di Fisica Acustica Fondament d Fsca Acustca Pro. Paolo Zazzn - DSSARR Archtettura Pescara Anals n requenza de segnal sonor, bande d ottava e terz d ottava. Rumore banco e rumore rosa. Lvello equvalente. Fsologa dell apparato

Dettagli

Moduli su un dominio a ideali principali Maurizio Cornalba versione 15/5/2013

Moduli su un dominio a ideali principali Maurizio Cornalba versione 15/5/2013 Modul su un domno a deal prncpal Maurzo Cornalba versone 15/5/2013 Sa A un anello commutatvo con 1. Indchamo con A k l modulo somma dretta d k cope d A. Un A-modulo fntamente generato M s dce lbero se

Dettagli

Riflessione, diffusione e rifrazione

Riflessione, diffusione e rifrazione LUCE E VISIONE I COLOI APPUNTI DI FISICA lessone, dusone e rrazone Per meglo capre prncìp della vsone è necessaro conoscere come s propaga la luce e come s comporta quando ncontra un ostacolo Una prma

Dettagli

Corrente elettrica e circuiti

Corrente elettrica e circuiti Corrente elettrca e crcut Generator d forza elettromotrce Intenstà d corrente Legg d Ohm esstenza e resstvtà esstenze n sere e n parallelo Effetto termco della corrente Legg d Krchhoff Corrente elettrca

Dettagli

Trigger di Schmitt. e +V t

Trigger di Schmitt. e +V t CORSO DI LABORATORIO DI OTTICA ED ELETTRONICA Scopo dell esperenza è valutare l ampezza dell steres d un trgger d Schmtt al varare della frequenza e dell ampezza del segnale d ngresso e confrontarla con

Dettagli

Il pendolo di torsione

Il pendolo di torsione Unverstà degl Stud d Catana Facoltà d Scenze MM.FF.NN. Corso d aurea n FISICA esna d ABORAORIO DI FISICA I Il pendolo d torsone (sezone costante) Moreno Bonaventura Anno Accademco 005/06 Introduzone. I

Dettagli

9.6 Struttura quaternaria

9.6 Struttura quaternaria 9.6 Struttura quaternara L'ultmo lvello strutturale é la struttura quaternara. Non per tutte le protene è defnble una struttura quaternara. Infatt l esstenza d una struttura quaternara é condzonata alla

Dettagli

2 Modello IS-LM. 2.1 Gli e etti della politica monetaria

2 Modello IS-LM. 2.1 Gli e etti della politica monetaria 2 Modello IS-LM 2. Gl e ett della poltca monetara S consderun modello IS-LM senzastatocon seguent datc = 0:8, I = 00( ), L d = 0:5 500, M s = 00 e P =. ) S calcolno valor d equlbro del reddto e del tasso

Dettagli

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo

Dettagli

Progetto Lauree Scientifiche. La corrente elettrica

Progetto Lauree Scientifiche. La corrente elettrica Progetto Lauree Scentfche La corrente elettrca Conoscenze d base Forza elettromotrce Corrente Elettrca esstenza e resstvtà Legge d Ohm Crcut 2 Una spra d rame n equlbro elettrostatco In un crcuto semplce

Dettagli

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse Lezone 1. L equlbro del mercato fnanzaro: la struttura de tass d nteresse Ttol con scadenza dversa hanno prezz (e tass d nteresse) dfferent. Due ttol d durata dversa emess dallo stesso soggetto (stesso

Dettagli

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione 1 La Regressone Lneare (Semplce) Relazone funzonale e statstca tra due varabl Modello d regressone lneare semplce Stma puntuale de coeffcent d regressone Decomposzone della varanza Coeffcente d determnazone

Dettagli

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita Automaton Robotcs and System CONTROL Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Corso d laurea n Ingegnera Meccatronca MODI E STABILITA DEI SISTEMI DINAMICI CA - 04 ModStablta Cesare Fantuzz (cesare.fantuzz@unmore.t)

Dettagli

Variabili statistiche - Sommario

Variabili statistiche - Sommario Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su

Dettagli

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA Mnstero della Salute D.G. della programmazone santara --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA La valutazone del coeffcente d varabltà dell mpatto economco consente d ndvduare gl ACC e DRG

Dettagli

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale Calcolo della caduta d tensone con l metodo vettorale Esempo d rete squlbrata ed effett del neutro nel calcolo. In Ampère le cadute d tensone sono calcolate vettoralmente. Per ogn utenza s calcola la caduta

Dettagli

Cenni di matematica finanziaria Unità 61

Cenni di matematica finanziaria Unità 61 Prerequst: - Rsolvere equazon algebrche d 1 grado ed equazon esponenzal Questa untà è rvolta al 2 benno del seguente ndrzzo dell Isttuto Tecnco, settore Tecnologco: Agrara, Agroalmentare e Agrondustra.

Dettagli

E. Il campo magnetico

E. Il campo magnetico - 64 - - 65 - E. Il campo magnetco V è un mportante effetto che accompagna sempre la presenza d una corrente elettrca e s manfesta sa all nterno del conduttore sa al suo esterno: alla corrente elettrca

Dettagli

Economie di scala, concorrenza imperfetta e commercio internazionale

Economie di scala, concorrenza imperfetta e commercio internazionale Sanna-Randacco Lezone n. 14 Econome d scala, concorrenza mperfetta e commerco nternazonale Non v è vantaggo comparato (e qund non v è commerco nter-ndustrale). S vuole dmostrare che la struttura d mercato

Dettagli

MACROECONOMIA A.A. 2014/2015

MACROECONOMIA A.A. 2014/2015 MACROECONOMIA A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 2 MERCATO MONETARIO E MODELLO /LM ESERCIZIO 1 A) Un economa sta attraversando un perodo d profonda crs economca. Le banche decdono d aumentare la quota d depost

Dettagli

Valutazione delle opzioni col modello di Black e Scholes

Valutazione delle opzioni col modello di Black e Scholes Valutazone delle opzon col modello d Black e Scholes Rosa Mara Mnnn a.a. 2014-2015 1 Introduzone L applcazone del moto Brownano all economa é stata nnescata prncpalmente da due cause. Attorno agl ann 70,

Dettagli

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc Lez. 8/0/04 Statstca descrttva

Dettagli

Computers subacquei, software ed algoritmi decompressivi nella didattica subacquea italiana

Computers subacquei, software ed algoritmi decompressivi nella didattica subacquea italiana Computers subacque, sotware ed algortm decompressv nella ddattca subacquea talana La grande partecpazone d subacque a congress d Medcna Iperbarca testmona lnteresse crescente per lapproondmento delle conoscenze

Dettagli

Problemi variazionali invarianti 1

Problemi variazionali invarianti 1 Problem varazonal nvarant 1 A F. Klen per l cnquantesmo annversaro del dottorato. Emmy Noether a Gottnga. Comuncazone presentata da F. Klen nella seduta del 26 luglo 1918 2. 1 Invarante Varatonsprobleme,

Dettagli

Antonio Licciulli, Antonio Greco Corso di scienza e ingegneria dei materiali. Microstrutture, equilibrio e diagrammi di fase

Antonio Licciulli, Antonio Greco Corso di scienza e ingegneria dei materiali. Microstrutture, equilibrio e diagrammi di fase Antono Lccull, Antono Greco Corso d scenza e ngegnera de materal Mcrostrutture, equlbro e dagramm d fase 1 Fase Fase d un sstema è una parte d esso nella quale la composzone (natura e concentrazone delle

Dettagli

Dati di tipo video. Indicizzazione e ricerca video

Dati di tipo video. Indicizzazione e ricerca video Corso d Laurea n Informatca Applcata Unverstà d Urbno Dat d tpo vdeo I dat vdeo sono generalmente rcch dal punto d vsta nformatvo. Sottottol (testo) Colonna sonora (audo parlato e/o musca) Frame (mmagn

Dettagli

2. Le soluzioni elettrolitiche

2. Le soluzioni elettrolitiche . Le soluzon elettroltche Classfcazone degl elettrolt: 1) soluzon elettroltche ) solvent onc: a) sal fus b) lqud onc 3) elettrolt sold Struttura del solvente Interazone one/solvente Interazone one/one

Dettagli

Lezione n.13. Regime sinusoidale

Lezione n.13. Regime sinusoidale Lezone 3 Regme snusodale Lezone n.3 Regme snusodale. Rcham sulle funzon snusodal. etodo de fasor e fasor. mpedenza ed ammettenza. Dagramm fasoral 3. Potenza n regme snusodale 3. Potenza attva e reattva

Dettagli

LA COMPATIBILITA tra due misure:

LA COMPATIBILITA tra due misure: LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore

Dettagli

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard VALORI MEDI Introduzone Con le dstrbuzon e le rappresentazon grafche abbamo effettuato le prme sntes de dat. E propro osservando degl stogramm

Dettagli

ENERGIA CINETICA. T := 1 2 mv2. (1) T := N 1 2 m ivi 2. (2) i=1

ENERGIA CINETICA. T := 1 2 mv2. (1) T := N 1 2 m ivi 2. (2) i=1 ENERGIA CINETICA Teorema de energa cnetca Defnzone Per un punto P dotato d massa m e veoctà v, s defnsce energa cnetca a seguente quanttà scaare non negatva T := mv. () Defnzone Per un sstema dscreto d

Dettagli

Analisi ammortizzata. Illustriamo il metodo con due esempi. operazioni su di una pila Sia P una pila di interi con le solite operazioni:

Analisi ammortizzata. Illustriamo il metodo con due esempi. operazioni su di una pila Sia P una pila di interi con le solite operazioni: Anals ammortzzata Anals ammortzzata S consdera l tempo rchesto per esegure, nel caso pessmo, una ntera sequenza d operazon. Se le operazon costose sono relatvamente meno frequent allora l costo rchesto

Dettagli

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione Captolo 6 Rsultat pag. 468 a) Osmannoro b) Case Passern c) Ponte d Maccone Fgura 6.189. Confronto termovalorzzatore-sorgent dffuse per l PM 10. Il contrbuto del termovalorzzatore alle concentrazon d PM

Dettagli

La POLITICA di BILANCIO espansiva della DOMANDA Il Deficit spending Il DEBITO PUBBLICO

La POLITICA di BILANCIO espansiva della DOMANDA Il Deficit spending Il DEBITO PUBBLICO 1 Ettore Peyron P.A.S. 2014 Ddattca della MACROECONOMIA Lezone N 4 A Testo tratto dalle Dspense del Corso d Economa pubblca Unverstà degl stud d Torno Anno accademco 2010/2011 Facoltà d Economa Lezone

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo.

Dettagli

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz LEZIONE e 3 La teora della selezone d portafoglo d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa () È puttosto frequente osservare come gl nvesttor tendano a non

Dettagli

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO 4. SCHMI ALTRNATIVI DI FINANZIAMNTO DLLA SPSA PUBBLICA. Se l Governo decde d aumentare la Spesa Pubblca G (o Trasferment TR), allora deve anche reperre fond necessar per fnanzare questa sua maggore spesa.

Dettagli

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

Università degli Studi di Cassino, Anno accademico 2004-2005 Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno Unverstà degl Stud d Cassno, Anno accademco 004-005 Corso d Statstca, Pro. M. Furno Eserctazone del 5//005 dott. Claudo Conversano Eserczo Ad un certo tavolo d un casnò s goca lancando un dado. Il goco

Dettagli

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza

Dettagli

Prof. Giulio Cainelli. appunti di Giovanni Gentile

Prof. Giulio Cainelli. appunti di Giovanni Gentile ECONOMIA POLITICA Macroeconoma Prof. Gulo Canell LA CONTABILITA NAZIONALE E LE VARIABILI MACROECONOMICHE La macroeconoma s occupa del comportamento aggregato del sstema economco, de meccansm d funzonamento

Dettagli

Questo è il secondo di una serie di articoli, di

Questo è il secondo di una serie di articoli, di DENTRO LA SCATOLA Rubrca a cura d Fabo A. Schreber Il Consglo Scentfco della rvsta ha pensato d attuare un nzatva culturalmente utle presentando n ogn numero d Mondo Dgtale un argomento fondante per l

Dettagli

Laboratorio di Strumentazione e Misura. Cesare Bini

Laboratorio di Strumentazione e Misura. Cesare Bini Laboratoro d Strumentazone e Msura Cesare Bn Corso d laurea n Fsca Anno Accademco 006-007 Quest appunt sono basat sulle lezon del modulo d Laboratoro d Strumentazone e Msura del prmo anno delle lauree

Dettagli

Proprietà spettrali dei Laser

Proprietà spettrali dei Laser Propretà spettral de Laser Larghezza d rga e funzonamento n multmodo Smone Cald Outlne Anals delle cavtà e delle msure Msura del FSR Msura della focale termca Introduzone (prop. Spettral de Laser) Larghezza

Dettagli

Newsletter "Lean Production" Autore: Dott. Silvio Marzo

Newsletter Lean Production Autore: Dott. Silvio Marzo Il concetto d "Produzone Snella" (Lean Producton) s sta rapdamente mponendo come uno degl strument pù modern ed effcac per garantre alle azende la flessbltà e la compettvtà che l moderno mercato rchede.

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa 2012-2013 Esercitazione: 4 aprile 2013

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa 2012-2013 Esercitazione: 4 aprile 2013 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa 2012-2013 Eserctazone: 4 aprle 2013 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/41? Aula "Ranzan B" 255 post 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dettagli

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura Sergo Frasca Appunt delle lezon d Laboratoro d Strumentazone e Msura Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Museo del Dpartmento d Fsca dell'unverstà La Sapenza Versone 5 ottobre 004 Versone aggornata

Dettagli

Valore attuale di una rendita. Valore attuale in Excel: funzione VA

Valore attuale di una rendita. Valore attuale in Excel: funzione VA Valore attuale d una rendta Nella scorsa lezone c samo concentrat sul problema del calcolo del alore attuale d una rendta S che è dato n generale da V ( S) { R ; t, 0,,,..., n,... } n 0 R ( t ), doe (t

Dettagli

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E Strutture deformabl torsonalmente: anals n FaTA-E Il comportamento dsspatvo deale è negatvamente nfluenzato nel caso d strutture deformabl torsonalmente. Nelle Norme Tecnche cò vene consderato rducendo

Dettagli

Introduzione al Machine Learning

Introduzione al Machine Learning Introduzone al Machne Learnng Note dal corso d Machne Learnng Corso d Laurea Magstrale n Informatca aa 2010-2011 Prof Gorgo Gambos Unverstà degl Stud d Roma Tor Vergata 2 Queste note dervano da una selezone

Dettagli

8.1 Sintesi, descrizione, interpretazione

8.1 Sintesi, descrizione, interpretazione 8.1 Sntes, descrzone, nterpretazone Molte duse tecnche d anals statstca multvarata consentono d studare smultaneamente un numero elevato d varabl sntetzzandone l azone snergca attraverso un numero rdotto

Dettagli

Calibrazione. Lo strumento idealizzato

Calibrazione. Lo strumento idealizzato Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d dentfcare l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta

Dettagli

Misure su sistemi trifasi

Misure su sistemi trifasi Msure su sstem trfas - Msure su sstem trfas - Tp d collegamento Collegamento a stella Un sstema trfase è caratterzzato n generale da tre fl d lnea (L L L ) pù un eventuale quarto conduttore L detto conduttore

Dettagli

Analisi del moto pre e post urto del veicolo

Analisi del moto pre e post urto del veicolo Captolo Anals del moto pre e post urto del vecolo 3.1 Moto rettlneo p. xx 3.1.1 Accelerazone unforme p. xx 3.1. Dstanza per l arresto del vecolo ed evtabltà p. xx 3.1.3 Dagramm veloctà-tempo e dstanza

Dettagli

Concetti principale della lezione precedente

Concetti principale della lezione precedente Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl

Dettagli

Il Ministro delle Infrastrutture e dei Trasporti

Il Ministro delle Infrastrutture e dei Trasporti Il Mnstro delle Infrastrutture e de Trasport VISTO l decreto legslatvo 30 aprle 1992, n. 285, come da ultmo modfcato dal decreto legslatvo 18 aprle 2011, n. 59, recante Attuazone delle drettve 2006/126/CE

Dettagli

DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI

DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI LA MISURA DELLE GRANDEZZE Nel descrere fenomen, occorre da un lato elaborare de modell (coè delle

Dettagli

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale Studo grafco-analtco d una funzon reale n una varable reale f : R R a = f ( ) n Sequenza de pass In pratca 1 Stablre l tpo d funzone da studare es. f ( ) Determnare l domno D (o campo d esstenza) della

Dettagli

10-7-2009. GAZZETTA UFFICIALE DELLA REPUBBLICA ITALIANA Serie generale - n. 158. ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2)

10-7-2009. GAZZETTA UFFICIALE DELLA REPUBBLICA ITALIANA Serie generale - n. 158. ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2) ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2) Indcazon per l calcolo della prestazone energetca d edfc non dotat d mpanto d clmatzzazone nvernale e/o d produzone d acqua calda santara 1. In assenza d mpant termc,

Dettagli

RETI TELEMATICHE Lucidi delle Lezioni Capitolo VII

RETI TELEMATICHE Lucidi delle Lezioni Capitolo VII Prof. Guseppe F. Ross E-mal: guseppe.ross@unpv.t Homepage: http://www.unpv.t/retcal/home.html UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PAVIA Facoltà d Ingegnera A.A. 2011/12 - I Semestre - Sede PV RETI TELEMATICHE Lucd

Dettagli

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 -

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 - PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE (Metodo delle Osservazon Indrette) - - SPECIFICHE DI CALCOLO Procedura software per la compensazone d una rete d lvellazone collegata

Dettagli

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL Grafco d una sere d dat spermental n EXCEL 1. Inseramo sulla prma rga l ttolo che defnsce l contenuto del foglo. Po nseramo su un altra rga valor spermental della x e su quella successva valor della y.

Dettagli

Introduzione... 2 Equazioni dei telegrafisti... 3 Parametri per unità di lunghezza... 7 Soluzione nel dominio della frequenza... 7 Risoluzione delle

Introduzione... 2 Equazioni dei telegrafisti... 3 Parametri per unità di lunghezza... 7 Soluzione nel dominio della frequenza... 7 Risoluzione delle Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 parte I nee d trasmssone Introduone... Equaon de telegrafst... 3 Parametr per untà d lunghea... 7 Soluone nel domno della frequena... 7 soluone delle equaon de telegrafst...

Dettagli

Per il seminario di cultura formale - Dottorato GIA

Per il seminario di cultura formale - Dottorato GIA Per l semnaro d cultura formale - Dottorato GIA Luca Mar, dcembre 003 Lezone 1: la matematca come strumento per pensare Cnque ncontr, da 1 ora e mezza cascuno. Con questo tempo complessvo a dsposzone,

Dettagli

Analisi dei Segnali. Sergio Frasca. Dipartimento di Fisica Università di Roma La Sapienza

Analisi dei Segnali. Sergio Frasca. Dipartimento di Fisica Università di Roma La Sapienza Sergo Frasca Anals de Segnal Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Versone 13 dcembre 011 Versone aggornata n http://grwavsf.roma1.nfn.t/sp/sp.pdf Sommaro 1 Introduzone: segnal e sstem... 7 1.1

Dettagli

ROBOTS A CINEMATICA RIDONDANTE: NUOVI SVILUPPI CONSENTITI DAGLI AZIONAMENTI DIRETTI E DAGLI ALGORITMI DI CONTROLLO GENETICI

ROBOTS A CINEMATICA RIDONDANTE: NUOVI SVILUPPI CONSENTITI DAGLI AZIONAMENTI DIRETTI E DAGLI ALGORITMI DI CONTROLLO GENETICI ROBOTS A CINEMATICA RIDONDANTE: NUOVI SVILUPPI CONSENTITI DAGLI AZIONAMENTI DIRETTI E DAGLI ALGORITMI DI CONTROLLO GENETICI R. Fagla (*), M. Flppn (**), A. Zappon (***) (*)Dp. Ing. Meccanca Unv. degl Stud

Dettagli

Controllo e scheduling delle operazioni. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

Controllo e scheduling delle operazioni. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena Controllo e schedulng delle operazon Paolo Dett Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Unverstà d Sena Organzzazone della produzone PRODOTTO che cosa ch ORGANIZZAZIONE PROCESSO come FLUSSO DI PRODUZIONE

Dettagli

10.2 Come stimare l amaro di una birra: le unita IBU 1

10.2 Come stimare l amaro di una birra: le unita IBU 1 10.2 Come stmare l amaro d una brra: le unta IBU 1 Il prncpale contrbuto al sapore amaro della brra provene dagl alfa-acd (abbrevato n AA) del luppolo che durante l processo d bolltura vengono trasformat

Dettagli

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone

Dettagli

Richiami di Termodinamica Applicata

Richiami di Termodinamica Applicata Unverstà degl Stud d aglar ors d Studo n Ingegnera hca ed Elettrca Rcha d Terodnaca Applcata Il ro rncpo della Terodnaca, o rncpo d onservazone dell Energa, n tern dfferenzal e con rferento all untà d

Dettagli

Economia del Settore Pubblico 97. Economia del Settore Pubblico 99. Quale indice di diseguaglianza usare? il rapporto interdecilico PROBLEMA:

Economia del Settore Pubblico 97. Economia del Settore Pubblico 99. Quale indice di diseguaglianza usare? il rapporto interdecilico PROBLEMA: Economa del Settore Pubblco Laura Vc laura.vc@unbo.t www.dse.unbo.t/lvc/edsp_.htm LEZIONE 4 Rmn, 9 aprle 008 Economa del Settore Pubblco 96 I prncpal ndc d dseguaglanza: ndc d entropa generalzzata Isprata

Dettagli

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007 Fondament d Vsone Artfcale (Seconda Parte PhD. Ing. Mchele Folgherater Corso d Robotca Prof.ssa Guseppna Gn Anno Acc.. 006/007 Caso Bdmensonale el caso bdmensonale, per ndvduare punt d contorno degl oggett

Dettagli

Calcolo della potenza e dell energia necessaria per la climatizzazione di un edificio

Calcolo della potenza e dell energia necessaria per la climatizzazione di un edificio Calcolo della potenza e dell energa necessara per la clmatzzazone d un edfco Rcambo d ara Ø dsperson Rcambo d ara φ φ dsperson + φ rcambo d'ara φ dsperson ΣUS (t nt t est ) φ rcambo d'ara Σn V ρ ara c

Dettagli

PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA

PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA La acque d precptazone atmosferca che gungono al suolo scorrono n superfce o penetrano n profondtà dando orgne alla crcolazone, la quale subsce l nfluenza d molt fattor

Dettagli

FIBRE TESSILI: PROVE E CONTROLLI

FIBRE TESSILI: PROVE E CONTROLLI CAPITOLO 4 FIBRE TESSILI: PROVE E CONTROLLI 1. INTRODUZIONE 2. CONTENUTO DI UMIDITÀ E CONDIZIONATURA DELLE FIBRE TESSILI 2.1 METODI DIRETTI: ESSICCAZIONE IN STUFA 2.2 METODI INDIRETTI DI CONDIZIONATURA

Dettagli

Teoria e pratica della compressione dati senza perdita. L esempio dell algoritmo DEFLATE

Teoria e pratica della compressione dati senza perdita. L esempio dell algoritmo DEFLATE Unverstà degl Stud d Padova DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Corso d Laurea Trennale n Ingegnera dell Informazone Teora e pratca della compressone dat senza perdta. L esempo dell algortmo DEFLATE

Dettagli

Mauro Vettorello. Vi veneto. come Calcolare la Rata di un Finanziamento o di un Leasing senza calcolatrice STUDIO VETTORELLO

Mauro Vettorello. Vi veneto. come Calcolare la Rata di un Finanziamento o di un Leasing senza calcolatrice STUDIO VETTORELLO Mauro Vettorello V veneto come Calcolare la Rata d un Fnanzamento o d un Leasng senza calcolatrce STUDIO VETTORELLO V veneto come Calcolare la Rata d un Fnanzamento o d un Leasng senza calcolatrce Mauro

Dettagli

METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE

METODOLOGIE DI INDIVIDUAZIONE DELLE AREE SOGGETTE A RISCHIO IDRAULICO DI ESONDAZIONE Unone Europea Repubblca Italana Regone Calabra Autortà d Bacno POR Calabra 000-006 Asse I - Rsorse natural Msura.4 - Azone.4.c "STUDIO E SPERIMENTAZIONE DI METOLOGIE E TECNICHE PER LA MITIGAZIONE DEL RISCHIO

Dettagli

Rudi Mathematici. 1. Editoriale. Rudy d'alembert Alice Riddle Piotr R. Silverbrahms. Numero 017-2000-06. 1. Editoriale...1

Rudi Mathematici. 1. Editoriale. Rudy d'alembert Alice Riddle Piotr R. Silverbrahms. Numero 017-2000-06. 1. Editoriale...1 Rud Mathematc Numero 07-000-06. Edtorale.... Problem.... Ancora sulle blance.... Estrazon del lotto... 3. Soluzon e Note... 3. [06]... 3.. Problema dell'oste... 3.. Blance...3 4. Paraphernala Mathematca...3

Dettagli

Argomenti. Misure di corrente elettrica continua, di differenza di potenziale e di resistenza elettrica.

Argomenti. Misure di corrente elettrica continua, di differenza di potenziale e di resistenza elettrica. ppunt per l corso d Laboratoro d Fsca per le Scuole Superor rgoent Msure d corrente elettrca contnua, d dfferenza d potenzale e d resstenza elettrca. Struent d sura: prncp d funzonaento. Coe s effettuano

Dettagli

I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE

I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Facoltà d Economa Valutazone de prodott e dell mpresa d asscurazone I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Clauda Colucc Letza Monno Gordano Caporal Martna Ragg I Modell Multstato sono un

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dpartmento d Economa Azendale e Stud Gusprvatstc Unverstà degl Stud d Bar Aldo Moro Corso d Macroeconoma 2014 1.Consderate l seguente grafco: LM Partà de tass d nteresse LM B A IS IS Y E E E Immagnate

Dettagli

Misura della distanza focale. di una lente convergente. Metodo di Bessel

Misura della distanza focale. di una lente convergente. Metodo di Bessel Zuccarello Francesco Laboratoro d Fsca II Msura della dstanza focale d una lente convergente Metodo d Bessel A.A. 003-004 Indce Introduzone..pag. 3 Presuppost Teorc.pag. 4 Anals de dat.pag. 8. Modo d operare...pag.

Dettagli

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri Artmetca de calcolator Rappresentazone de numer natural e relatv Addzone e sommator: : a propagazone d rporto, veloce, con segno Moltplcazone e moltplcator: senza segno, con segno e algortmo d Booth Rappresentazone

Dettagli

Capitolo 2 Dati e Tabelle

Capitolo 2 Dati e Tabelle Captolo 2 Dat e Tabelle La Descrzone della Popolazone La descrzone d una popolazone passa attraverso due fas: 1. la formazone de dat statstc 2. la sntes de dat La formazone del dato statstco prevede: ()

Dettagli

FORMULARIO DI TERMODINAMICA

FORMULARIO DI TERMODINAMICA Formularo d ermodnama e eora neta Pagna d 5 FORMURIO DI ERMODINMIC Denzone d alora: la CORI e' la quanttà d alore eduta da un grammo d aqua nel rareddars da 5.5 C a 4.5 C alla ressone d una atmosera alora

Dettagli

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE at RISK (VaR) Chara Pederzol - Costanza Torrcell Dpartmento d Economa Poltca - Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Marzo 999 INDICE Introduzone. Il concetto

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL Corso d CPS - II parte: Statstca Laurea n Informatca Sstem e Ret 2004-2005 1 Obettv della lezone Introduzone all uso d EXCEL Statstca descrttva Utlzzo dello strumento:

Dettagli

Approfondimenti disciplinari

Approfondimenti disciplinari UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI FERRARA CORSO SPECIALE ABILITANTE anno accademco 2006/2007 CORSO DI: Approfondment dscplnar UNITÁ DIDATTICA DELLA CLASSE A049 LA PROBABILITA DOCENTE: PROF. BERNARDI EROS TITOLO:

Dettagli

Generatori di Numeri Pseudocasuali

Generatori di Numeri Pseudocasuali CORSO DI LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA DELLE TECNOLOGIE DELLA COMUNICAZIONE E DELL INFORMAZIONE Generator d Numer Pseudocasual Dego Belvedere, Alessandro Brugnola, Alessa Vennarn Prof. Francesca Merola

Dettagli

Divagazioni in margine all Introduzione alla Probabilità di P. Baldi A. Visintin Facoltà di Ingegneria di Trento a.a. 2010-11

Divagazioni in margine all Introduzione alla Probabilità di P. Baldi A. Visintin Facoltà di Ingegneria di Trento a.a. 2010-11 Dvagazon n margne all Introduzone alla Probabltà d P. Bald A. Vsntn Facoltà d Ingegnera d Trento a.a. 2010-11 Indce 1. Statstca descrttva. 2. Spaz d probabltà e calcolo combnatoro. 3. Varabl aleatore dscrete.

Dettagli