Università degli Studi di Perugia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Anno Accademico

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1 Università degli Studi di Perugia Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Anno Accademico 00-0 Esercizi di Fisica Tecnica

2 ) Individuare sul diagramma P-v, punti e trasformazioni indicati sul diagramma P-T. Il diagramma di stato di una sostanza pura sul piano P-T è il seguente: Diagramma P-T di una sostanza pura (diagramma delle fasi). C Punto Critico. K Punto Triplo. T c Temperatura Critica. P c Pressione Critica. Sul piano P-v, invece, è questo: Diagramma P-v di una sostanza pura. ABCDEF generica isoterma.

3 Punto I: si trova nel campo di esistenza del vapore surriscaldato; si trova alla pressione P P I < P C ; si trova alla temperatura T I < T C, T I > T 3.

4 Punto II: si trova nel campo di esistenza del gas; si trova alla pressione P P I P II < P C ; si trova alla temperatura T I > T C, T I > T 3. Punto III: si trova nel campo di esistenza del gas; si trova alla pressione P P III > P C ; si trova alla temperatura T III > T C, T III > T 3. Punto IV: si trova nel campo di esistenza del vapore saturo (liquido + vapore); si trova alla pressione P P IV < P C. si trova alla temperatura T IV < T C, T IV > T 3. Punto V: si trova nel campo di esistenza del liquido + solido; si trova alla pressione P P V < P C ; si trova alla temperatura T V < T C, T V > T 3. Punto VI: si trova nel campo di esistenza del vapore + liquido + gas; si trova alla pressione P P VI < P C ; si trova alla temperatura T VI < T C, T I T 3. Trasformazione Isoterma dal punto VII: nel diagramma P-T i punti VIII e IX coincidono (le due linee isotitolo X e X0 sono sovrapposte); nel diagramma P-v è da notare che, nella campana dei vapori saturi, le isobare e le isoterme coincidono. Note: - con T 3 e P 3 sono indicate le temperature e le pressioni del punto triplo; con T C e P C sono indicate, invece, le temperature e le pressioni critiche); - Il punto IV ed il punto VI, nel diagramma P-v, sono indicati (per comodità) con un solo punto; in realtà rappresentano un segmento (indicato con il tratteggio).

5 ) Calcolare il lavoro reversibile compiuto da un sistema cilindro-pistone che comprime moli di azoto puro, considerando il caso di sistema chiuso e trasformazione reversibile. Dati: V 30 l; V 0 l; T T 300 K; R N (tab..3 pag. 58) 0,97 J/gK; Peso atomico dell azoto 4; Costanti dell equazione di van der Waals (tab..4 pag. 6): a 7,7 m 6 Pa/g ; b 0,89*0-3 m 3 /g; T c (azoto) 6,7 K. Per un sistema chiuso, il lavoro reversibile si calcola con il seguente integrale: Caso di gas ideale ( Pv RT ): RT Pv RT P v RT L P dv dv RT v L P dv ln v dv RT v V v dove V è il volume in m 3 ed m è la massa in g m numero moli massa in g peso molecolare 8 56 g 0,056 g ( ln v ) ln v RT v massa in g numero moli peso molecolare Si ottiene quindi: 3 0,03 m v 0, 5357 ; 0,056 g 3 0,0 m v 0, 786 0,056 g v 0,786 L RT ln 0, ln 97, 87 v 0,5357 a v Caso di fluido di van der Waals ( ( v b) P + RT a v ( v b) P + RT P L J g ): (forze attrazione intermolecolari + molecole con volume proprio) RT v b a v RT a RT a P dv dv dv dv RT dv a v b v v b v v b v b RT ln a 98, 44 v b + v v J g v dv

6 3) Assumendo che, in condizioni di equilibrio termico con il ghiaccio a pressione atmosferica, un asta di mercurio misuri mm e che all equilibrio termico con il punto di ebollizione dell acqua a pressione atmosferica misuri 8 mm, determinare una scala di temperatura. Si supponga, inoltre, di immergere l asta in un fluido e di misurare, una volta raggiunto l equilibrio termico, una lunghezza dell asta di 4,6 mm. L L finale L iniziale 8 7 mm T T finale T iniziale C L / T 7 / 00 0,07 mm/ C ovvero, ogni grado centigrado, l asta si allunga (o accorcia) di 0,07 mm. Una lunghezza di 4,6 mm corrisponde ad un allungamento di 3,6 mm (4,6 ) L / T 0,07 T L / 0,07 3,6 / 0,07 5,43 C T [ C] 00 5,43 0 4,6 8 L [mm]

7 4) Classificare quantitativamente e qualitativamente le seguenti forme di energia: Quantitativo di energia Tipologia di energia 0 J Potenziale 0000 cal Calore a 400 K 5 cal Cinetica 50 Wh Lavoro 0000 J Calore a 000 C Per confrontare quantitativamente le differenti fonti di energia basta portarle tutte alla stessa unità di misura (si sceglie quella del Sistema Internazionale), il Joule (ed il suoi multipli/sottomultipli). Quantitativo di energia Tipologia di energia 0 J Potenziale 0000 J 0 J 0000 cal Calore a 400 K 0000 * 4, J 4,86 J 5 cal Cinetica 5000 * 4, J 0,93 J 50 Wh Lavoro 50 * J 80 J 0000 J Calore a 000 C 0000 J 0 J Si ricorda che: cal 4,86 J; Cal (grande caloria) 000 cal; W J / s Per un confronto qualitativo occorre utilizzare la definizione di rendimento del ciclo di Carnot (ciclo di massimo rendimento fissate le temperature di funzionamento). η Q Q dove con T si intende la temperatura a cui viene ceduto il calore (es. T T ambiente 300 K) e con T la temperatura di ingresso. Moltiplicando, quindi, l energia a disposizione per il rendimento di Carnot, si ottiene il massimo lavoro eseguibile. T T Quantitativo di energia Tipologia di energia Confronto quantitativo η carnot Confronto qualitativo 0 J Potenziale 0000 J 0 J J cal Calore a 400 K 0000 * 4, J 4,86 J 0, 5 0,46 J cal Cinetica 5000 * 4, J 0,93 J ,93 J 50 Wh Lavoro 50 * J 80 J J J Calore a 000 C 0000 J 0 J 0, 76 5, J 73

8 5) Supponiamo di voler comprimere adiabaticamente 0 grammi di H (ipotizzare il comportamento di gas ideale) a 300 K, da bar a 0 bar, con un sistema cilindro pistone; il pistone ha una superficie di 0,5 m. Calcolare il lavoro reversibile e quelli irreversibili considerando che per ottenere tale compressioni si impiegano rispettivamente 300 e 60 secondi con rispettive forze di reazione di 500 e 800 N. Dati sull idrogeno: R 4,4 J/gK; γ p calore specifico a P costante (a 5 C e bassa P) 4,30 J/gK; γ v calore specifico a V costante (a 5 C e bassa P) 0,78 J/gK. L rev B A P dv La trasformazione è adiabatica, quindi vale la relazione cost γ p 4,30 Pv cost P ;,405 v γ 0,78 cost Pv v L rev cost P B A P dv 875 0,0 57,5 J cost v dv cost v 3 m 3,43,404 g J g Pv cost 3 RT m ; v,37 ; cost 00000,37 P g,405 v v ,839,875 0 v,405 6,405 0,405 v,404,37 cost,405 J 875 ( lavoro reversibile) g ,405 J g L irr + R L dx rev dove R è la forza che si contrappone al moto di avanzamento del pistone (attrito). R 500 N; R 800 N L irr Lrev + R dx Lrev + R ( x x ) L + R x V x dove V è la variazione di volume ed S è la superficie del pistone. S 3 V v m ( v v ) m (,404,37) 0,0 0, 99m V 0,99 x 0,398 m S 0,5 L L + R x L L + R x , J L irr irr () rev L rev irr () rev rev + R x , J ( lavoro irreversibile) ( lavoro irreversibile) Per calcolare quanta potenza occorre nel primo dei due casi, si utilizza la seguente formula: L lavoro [ J ] Potenza P [ W ] 9, 33W t tempo [ s] 300 nel secondo caso, invece: 5788 P 963, 63W 60

9 6) Si consideri una massa d acqua contenuta in un serbatoio. Alla parte inferiore del serbatoio è collegato un condotto cilindrico. Trascurando le perdite di carico, determinare: - la velocità di uscita dell acqua; - la portata in volume; - la portata in massa. Dati: A 5 m B 4,5 m C 3,5 m D 0,6 m Per la risoluzione di questo esercizio si utilizza l equazione di Bernoulli: g z + P v + V g z + P v + V + R I pedici e si riferiscono a due sezioni (si scelgono arbitrariamente le più convenienti ): sezione pelo libero dell acqua; sezione uscita dell acqua. P P pressione atmosferica; V 0; V è l incognita; R 0 (da testo). g z g z + V V g z g z V g m m 9,8 8 56,96,53,53 3,6 45, s h ( z z ) V g( z z ) portata in volume G portata in massa G V M π d A V 4 ρ A V V 3,4 0, ,83 83 m,53 3,54 s g s 3 0, l s

10 7) Dato un condotto cilindrico in acciaio della lunghezza di 6,5 metri, dove scorre un fluido di caratteristiche note, calcolare le perdite di carico ripartite. Dati: D 0,85 m; µ 0-3 g/m s; V 3,5 m/s; ρ 950 g/m 3. Per il calcolo delle perdite di carico ripartite è indispensabile conoscere la tipologia di moto del fluido (laminare/turbolento); per far ciò si utilizza il numero di Reynolds: ρ V D V D Re µ ν Re < 000 moto laminare 000 < Re < 3000 transizione Re > 3000 moto turbolento dove: ρ densità del fluido [g/m 3 ]; V velocità del fluido nel condotto [m/s]; D diametro interno del condotto [m]. µ viscosità dinamica [g/m s]; ν viscosità cinematica [m /s]. Re ρ V D 950 3,5 0,85,86 0 µ moto turbolento In tal caso si fa riferimento all equazione dr dx dove: f ρ V f ρ V l g m g N R dimensionalmente m Pa 3 D D m s m m s m R perdite di carico ripartite [Pa]; f fattore di attrito [adimensionale]; ρ densità del fluido [g/m 3 ]; V velocità del fluido nel condotto [m/s]; l lunghezza del condotto [m]; D diametro interno del condotto [m]. Per trovare f occorre utilizzare il diagramma di Moody.

11 Per muoversi all interno del diagramma di Moody occorre conoscere due valori: ε - il numero di Reynolds (Re); questo valore è già stato calcolato: Re, la scabrezza relativa (ε). e indice di scabrezza D diametro L indice di scabrezza si trova tabellato. In questo caso prendiamo il valore centrale del range 0,04 0,5 ovvero 0,095 mm (0, m). D e ε 0, ,85 0,000 Utilizzando i valori di Re e ε calcolati, si trova su diagramma di Moody il valore f 0,03. dr dx f ρ V D f ρv l R D 0, ,5 0,85 6,5 496,4 468,4 Pa,7

12 8) Si supponga di dover trasportare acqua da un serbatoio ad un altro posto ad una quota maggiore (si faccia riferimento allo schema riportato di seguito). Calcolare: - le perdite ripartite nel condotto che unisce i due serbatoi. Dati: lunghezza condotto 5 m; diametro interno condotto 0 cm; viscosità dinanica dell acqua µ 0-3 g/m s; densità dell acqua ρ 000 g/m 3 ; portata volumica dell acqua G V 0, l/s; indice di scabrezza del condotto 0, mm. Z Z Per il calcolo delle perdite di carico ripartite è indispensabile conoscere la tipologia di moto del fluido (laminare/turbolento); per far ciò si utilizza il numero di Reynolds: ρ V D V D Re µ ν Re < 000 moto laminare 000 < Re < 3000 transizione Re > 3000 moto turbolento dove: ρ densità del fluido [g/m 3 ]; V velocità del fluido nel condotto [m/s]; D diametro interno del condotto [m]. µ viscosità dinamica [g/m s]; ν viscosità cinematica [m /s]. Ricavo il valore della velocità dalla portata e dalla sezione del condotto: V G 0,000 0,000 V 0, A D 0, π 4 m s ρ V D 000 0,07 0, Re 73 3 µ 0 moto laminare f 6 Re ,03 dr dx f ρ V D R f ρv l D 0, ,07 0, 5 0,5 Pa

13 9) Si consideri l impianto di sollevamento d acqua, a cielo aperto, rappresentato in figura. Considerando le perdite di carico concentrate e distribuite, calcolare: a) la prevalenza della pompa necessaria a mantenere nel condotto una portata in volume pari a 0,0 m 3 /s; b) la potenza della pompa; c) la spesa necessaria (in ) a far fluire nel serbatoio superiore 340 m 3 di acqua. Dati: - la differenza di quota tra i due peli liberi è pari a 0 m; - la lunghezza totale dei tubi è di 8 m; - il diametro dei condotti (tubi di acciaio usati) è di 5 cm; - assumere, per il calcolo della perdita di carico concentrata relativa al collegamento della pompa al circuito, una lunghezza equivalente (L e ) pari a 50 D; - viscosità dinamica µ 0-3 g/m s; - densità dell acqua ρ 000 g/m 3 ; - costo energia elettrica 0,0773 /Wh; - rendimento pompa η P 0,78; - rendimento motore elettrico η E 0,9. Breve ripasso teorico: g z + P v + V g z + P v + V P g z + + V ρ g g ( z z ) ( z z ) g z + P v + V g z + P v + V P g z + + V ρ P P V + + ρ P P V + + ρ V V + R + R 0 + R L + R ( senza ( eq. 3.6 pag.03) ( con perdite) ( con perdite) perdite, con lavoro esterno sul fluido) Con L è indicata, in questo caso, la prevalenza della pompa connessa al circuito (L P ). Prevalenza energia per unità di massa fornita dalla pompa al fluido [J/g]. Dividendo tutti i membri per g si ottengono delle altezze [m]. Moltiplicando, invece, per ρ si ottengono delle pressioni [Pa].

14 Per il calcolo della prevalenza della pompa si impiega l equazione di Bernoulli scegliendo i due peli liberi come sezioni (sezione pelo libero più basso; sezione pelo libero più alto): P P V V g ρ ( z z ) R LP P P (perché ambedue i peli liberi sono a pressione atmosferica); V V (perché sono ambedue approssimabili a zero (serbatoio grande)); quindi l equazione di Bernoulli diviene: ( z z ) + R LP g Per far si che la pompa sia in grado di far circolare l acqua dal serbatoio inferiore a quello superiore, essa deve avere una prevalenza tale da equilibrare la somma delle perdite di carico (ripartite e concentrate) e il carico dovuto alla differenza di quota tra i due serbatoi. J g m s N g J g ( z z ) 9,8 0 96, m m g Dividendo per g ottengo un altezza (comunemente usate con Bernoulli) ( z z ) 0 m La questione del calcolo delle perdite di carico si divide in due problemi: uno inerente alle perdite di carico distribuite lungo tutto il condotto, l altro relativo alle perdite di carico concentrate. Analogamente al procedimento illustrato nell esercizio 7, si calcola: ρ V D V D Re µ ν Re < 000 moto laminare 000 < Re < 3000 transizione Re > 3000 moto turbolento V G 0,0 0,0 V 0, A D 0, π 4 m s ρ V D 000 0,566 0,5 Re µ 0 In tal caso si fa riferimento all equazione dr dx f ρ V D f ρv l R D moto turbolento Per trovare f si utilizza il diagramma di Moody (fig. 4. pag. 35).

15 Per muoversi all interno del diagramma di Moody occorre conoscere due valori: ε - il numero di Reynolds (Re); questo valore è già stato calcolato: Re la scabrezza relativa (ε). e indice di scabrezza D diametro L indice di scabrezza si trova tabellato (a seconda della tubazione che si utilizza). In questo caso (tubi di acciaio usati) prendiamo il valore centrale del range 0, 0, ovvero 0,5 mm (0,0005 m). D e ε 0,0005 0,5 0,00 Utilizzando i valori di Re e ε calcolati, si trova su diagramma di Moody il valore f 0,03. In questo caso, essendo presenti anche delle perdite di carico concentrate, occorre valutare la lunghezza equivalente.

16 Utilizzando il metodo della lunghezza equivalente trovo il valore da aggiungere alla lunghezza reale della tubazione. Per far ciò si utilizzano i valori della seguente tabella. Tabella 4. pagina 39. Occorre valutare la lunghezza equivalente relativa a quattro perdite di carico concentrate: ) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 90. L e 60 Le 60 D 60 0,5 m D 9 ) perdita di carico concentrata dovuta al collegamento della pompa (effettuato, ad esempio, con flange). L e 50 D (dai dati del problema) 7,5 m 3) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 45. L e 5 Le 5 D 5 0,5, m D 5 4) perdita di carico concentrata dovuta alla curva a 45. L Come per la precedente, si avrà e 5 Le 5 D 5 0,5, m D 5 La lunghezza totale relativa alle perdite di carico concentrate è pari a 9 + 7,5 +,5 +, 5 m Questa lunghezza va sommata alla lunghezza reale del circuito. Il questo modo trovo l da inserire nella formula per il calcolo delle perdite R l m dr dx f ρ V D R f ρv l D 0, ,566 0, Pa

17 Dividendo l espressione dr f ρ V per ρg si ottiene dx D dr f V (relazione di Darcy-Weisbach (eq. 4.6 pag. 34)) dx D g dr f V f V l m s R dimensionalmente m m dx D g D g s m m In questo caso: R 03 Pa 0, 3 m ρg 000 9,8 Ci sono ora tutti i valori necessari per il calcolo della prevalenza della pompa: H P 0 + 0,3 0, 3 m (prevalenza della pompa (espressa in m)) La pompa deve avere una prevalenza di almeno 0,3 m per poter trasportare acqua da un serbatoio all altro. Per il calcolo della potenza che deve avere la pompa, si impiega la formula: 3 m m g m g W GV LP ρ GV H Pg ρ 0,0 0,3 9, W m W 3 3 s s m s Questo valore rappresenta il lavoro netto da cedere all acqua (per unità di tempo) affinché superi le perdite di carico e raggiunga il serbatoio superiore. La potenza elettrica richiesta per questa operazione include, però anche il rendimento del macchinario in questione (la pompa), nonché quello del motore elettrico che la muove (motore elettrico). Se collegassi cioè questa pompa ad una rete elettrica, non impegnerei una potenza di 974 W, bensì una potenza maggiore: 974 W η η P E 974 8W,8 W 0,78 0,9 Per il calcolo del consumo elettrico occorre sapere quanti Wh consuma la pompa per spostare 340 m 3 d acqua. Tramite la portata calcolo il tempo impiegato al trasporto suddetto: quantità d' acqua s s m s portata 0,0 m t 3 Avendo il costo dell energia in Wh, converto i secondi in ore: t s 9, 44 h 3600 L energia richiesta allo spostamento dell acqua è ovviamente data dal prodotto E W t,8 9,44 6, 55 Wh da cui: C consumo 6,55 0,0773,05

18 0) Si consideri il ciclo Diesel, rappresentato in figura, percorso da un chilogrammo di gas ideale. Calcolare: - la quantità di calore q ceduta all esterno dal fluido; - il rendimento del ciclo. Dati: v A m 3 /g (volume specifico del gas all inizio della compressione adiabatica); T A 50 C (temperatura del gas all inizio della compressione adiabatica); P B,5 * 0 6 Pa (pressione alla fine della compressione adiabatica); q 00 cal/g (calore fornito al fluido alla pressione P ); c p /c v,4 (rapporto tra i calori specifici); c v 0,7 cal/g K (calore specifico a volume costante); Per calcolare il calore ceduto all esterno q ed il rendimento occorre conoscere tutte le temperature del ciclo (T A, T B, T C, T D ); infatti: ) ( A D v T T c q e ) ( ) ( B C p A D v T T c T T c q q η T A è fornita dal testo; T A 50 C K. T B? è la temperatura di fine compressione. La trasformazione AB è una compressione adiabatica; per una trasformazione adiabatica vale la nota espressione: Pv cost; utilizzando l equazione di stato dei gas prefetti (Pv RT), si perviene anche alle seguenti relazioni: cost cost esima radice cost cost Tv v Tv v v T v v RT Pv Tv TP T P T P T P P P T P RT P Pv TP Quindi si può calcolare T B utilizzando l espressione B A A B B A A B B B A A P P T T P P T T P T P T TP cost T A, P B sono fornite dal testo. P A può essere calcolata con l equazione dei gas perfetti. A A A v RT P dove R è ricavabile dalla Relazione di Mayer (c p c v R)

19 c v è fornita dal testo, mentre c p è ricavabile dalla relazione cp cal cal J cp cv,4 0,7 0, ,86 996, 68 c g K g K g K v Occorre convertire anche c v nel Sistema Internazionale: quindi J R c p cv 996,68 7,6 84, 65 g K sostituendo i valori trovati si ricava P A : RTA 84,65 33 PA 994 Pa v A,4 P A 994,4 TB TA P B,5 0 c v 0,857 ( 0,063) 77, K J 0, ,86 7, 6 g K Per il calcolo della temperatura T C, si utilizza il calore q (fornito dal testo). q 00 cal g , q q c p ( TC TB ) TC + TB + 77, 37, 4 K c 996,68 p J g Per il calcolo della temperatura T D, si utilizza una relazione relativa alle trasformazioni adiabatiche: Tv cost v v D C T CvC T DvD 3 m? vd va g T D T C v v C D,4 Tv cost. 3 RTC 84,65 37,5 m? dalla legge dei gas perfetti PC vc RTC vc 0, P,5 0 g (ricordando che P C P B ) C,4 v C 0,586 TD TC 37,4 66 K v D 0,4 Conoscendo, quindi, tutte le temperature, è possibile calcolare q e η. q J cv ( TD TA) 7,6 (66 33) , 5 g J g q η q cv( T c ( T T T ) 7,6 ) 996,68 ( 66 33) ( 37,4 77,) D A p C B 0,50

20 ) Si consideri un motore a ciclo Otto, in cui il fluido operante sia aria, con rapporto di compressione ρ pari a 0. Sapendo che il consumo di carburante è di g ogni 0 minuti, calcolare il rendimento del ciclo e la potenza meccanica sviluppata. Dati: - potere calorifico inferiore ( LHV Lower Heating Value) 0000 cal/g; - aria,4. η OTTO ρ Il rendimento quindi: W Q& L Q 0,4 0,60 η può essere visto anche come rapporto di potenze (potenza lavoro / tempo), η W Q& η cal cal J J LHV , g g g g In dieci minuti il motore brucia un chilogrammo di combustibile, quindi il calore a disposizione sarà: Q J t s La potenza termica è quindi J Q& , 8 W 0 60 s La potenza meccanica si ricava attraverso il rendimento: W Q& η 69,8 0,60 4 W

21 ) Un impianto di generazione elettrica operante con un ciclo Brayton fornisce 0000 CV ad un alternatore. Le temperature massima e minima raggiunte nel ciclo valgono rispettivamente 6 C e 840 C. La pressione massima raggiunta è di 4 bar, la minima di bar. Calcolare: - la potenza sviluppata dalla turbina; - la portata in massa necessaria. Dati:,4 R 0,87 J/gK C T A L L L il lavoro prodotto dalla turbina è utilizzato dal compressore e dall alternatore (o utilizzatore) Il lavoro richiesto dal compressore è ( A ) B P A B C T T c h h L questo perché: vdp TdS dh + ma TdS 0 perché è una trasformazione adiabatica, vdp, invece, è il lavoro di un sistema aperto (ovvero il lavoro del compressore). se si approssima il fluido ad un gas perfetto, si ha dh c P dt T A è fornita dal testo, T B e c P sono da calcolare. TP T P T P T P P P T P RT P Pv TP esima radice cost cost K P P T P P T T P T P T A B A B A A B B B A A 4 49, 4 89,4,4

22 c P? c P cp cp c v c c R v v cv cv R c ( ) R ( ) R cv ( ) R 0,87 J LC hb ha cp( TB TA) ( TB TA),4 ( 49,4 89) 4 0,4 g v cp cv ( ) R R ( ) Analogamente si trova T D, conoscendo T C e il lavoro in turbina L T,4 P C 4,4 TD TC K P D R 0,87 LT hc hd cp( TC TD ) ( TC TD ),4 ( 3 749) 365, 6 0,4 ( ) Il lavoro netto, utilizzabile quindi dall alternatore è LA LT LC 365,6 4 4, 6 J g Conoscendo questo dato e la potenza disponibile al generatore (dal testo), è possibile ricavare la portata in massa J g WA 0000 g GM 65, 47 L,36 4,6 s A W J g J s J g J s g J g s La potenza sviluppata dalla turbina (quella che va al compressore + quella che va all alternatore) è WT GM LT 65,47 365,6 475,8 W 3554 CV

23 3) Sia dato un ciclo di Ranine percorso da acqua. Sapendo che la temperatura di evaporazione in caldaia (T e ) è di 50 C e la temperatura di condensazione nel condensatore (T c ) è di 0 C, calcolare: - il rendimento del ciclo; - il lavoro prodotto dal ciclo per unità di massa che lo percorre; - la potenza meccanica ideale sviluppata in turbina (supponendo una portata d acqua di 000 g/h). Si trascuri il lavoro della pompa di alimentazione del liquido in caldaia. Dati: x 3 titolo del vapore d acqua all ingresso in turbina ; x 4 titolo del vapore d acqua alla fine dell espansione in turbina 0,7; c p calore specifico dell acqua (allo stato liquido) cal/g C; r T calore di evaporazione alla temperatura di condensazione 453 J/g; r T calore di evaporazione alla temperatura di evaporazione 75 J/g. q q Eq. 7. pag. 35: η q q c p ( T r T x 4 T ) + r T x 3 q r T x q c ( T T ) + r x p 4 q η q 453 0,7 77, T 3 77, 677,8 J g 4,86 (50 0) , ,8 0,359 J L q q 677,8 77, 960, 7 η q g 000 W L GM W 533, 7W 3600 ( ) J g

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26 ESERCIZIO FRIGO DOMESTICO Si consideri un frigorifero domestico e si assumano le seguenti condizioni di esercizio: - volume vano frigo 300 lt; - dimensioni vano frigo: 0.6 m, 0.5 m, m; - volume vano congelatore: 90 lt; - dimensioni vano congelatore: 0.6 m, 0.5 m, 0.3 m; - temperatura ambiente: 0 C; - temperatura vano frigo: 0 C; - temperatura vano congelatore: -0 C; - fluido refrigerante R-34a; - temperatura di evaporazione: 0 C; - temperatura di condensazione: 40 C; - potenza elettrica assorbita: 00 W. Calcolare l effetto utile del frigorifero. Le parti del frigorifero siano costituite da lamiere di acciaio di mm con interposto uno strato di 5 cm di poliuretano. La trasmittanza risulta pari a: H s + λ a a s + λ is is W/m K

27 Le quantità di calore scambiate risultano quindi determinate dalle relazioni: Q Q frigo S frigo H T W S H T congelator e congelatore W Q frigo congelatore S H T W Q 30 W t Si può ammettere che, a seguito delle aperture della porta del vano frigo, si abbia mediamente un ricambio d aria pari a volume/ora. Il corrispondente calore Q a è fornito da: Q ( T ) a γ ρ GV est Tint W Per quanto riguarda Q s + Q Lf, si può assumere che gli alimenti siano introdotti a temperatura ambiente e portati all equilibrio con l aria nei due vani in un tempo di due ore; si ipotizza inoltre un riempimento del 50% del volume nel vano congelatore e del 50% nel vano frigo. Siano: - γ 480 J/gK il calore specifico medio delle vivande al di sopra del punto di congelamento; - γ 450 J/g K il calore specifico medio delle vivande al di sotto del punto di congelamento; - ρ v 0 g/m 3 la densità media delle vivande; - r 63 J/g il calore di trasformazione medio delle vivande. Q s + Q Lf è la somma del calore sensibile per il raffreddamento delle vivande, dalla temperatura ambiente fino alla temperatura di conservazione, e del calore latente per il congelamento delle vivande nel solo congelatore. segue: V frigo Vcongelatore Q ( ) s ρv γ T f + ρv γ T f + γ Tc W Vcongelatore QLf ρv r 4 W 700 Q W e La portata di fluido refrigerante è data da: La potenza assorbita dal compressore è infine data da: L effetto utile del frigorifero risulta: Qe 778 g r g/s ( h h ) (385 60) B A ( h h ) 0.0 ( ) N K gr C B W

28 Q e ξ L

29 ESERCIZIO Un serbatoio di forma cilindrica ha un diametro D e contiene acqua sino ad un livello H. Sul fondo di esso viene aperto un foro circolare con bordi smussati (coeff. di perdita localizzata β), con diametro pari a d, per cui l acqua comincia ad uscire. Determinare la velocità iniziale di uscita dell acqua ed il tempo necessario al completo svuotamento del serbatoio. V Aria H Acqua V Foro di uscita acqua, D 0,08 m Chiamiamo V la velocità media di uscita dell acqua e V quella superficiale di discesa. La soluzione del problema si basa sull equazione di Bernoulli nel caso di fluido incomprimibile e deflusso irreversibile: V + g V ( z z ) + v( P P ) + R 0 dove z sono le quote, la cui differenza vale - H (l asse z è rivolto verso l alto), g è l accelerazione di gravità, P sono le pressioni (uguali per cui la differenza si annulla), R rappresenta le perdite di carico. La V è trascurabile rispetto a V visto la scelta di prendere le due sezioni uno e due, rispettivamente al pelo libero e subito dopo lo sbocco. Ricordando la formula delle perdite di carico concentrate: V R c β ρ l equazione di Bernoulli in questo caso specifico diventa:

30 V V gh + β 0 Da cui, ricavo V : V gh β + Questa velocità non è costante, perché va diminuendo con lo scendere del livello d acqua nel serbatoio. dh V V dτ A A gh + β d D dh d dτ D 0 H d dh h D d H D τ S gh + β H g + β g τ + β D d s τ 0 β + g s dτ E possibile risolvere il problema anche valutando la quantità di liquido ( dw ) che esce nel tempo infinitesimo ( d τ ) dw dw V A dτ gh π d β + 4 dτ dw è valutabile in termini di abbassamento del pelo libero (mentre il volumetto dw esce dal foro, dw AS dh scompare dal serbatoio un volumetto dw pari a: ( ) dove A S rappresenta la sezione del serbatoio. dw D π 4 ( dh) uguagliando: gh π d β + 4 D dτ π 4 dh

31 dh h D d d g + π τ π β integro il primo membro in τ d ed il secondo in : dh dh h D d d g H S π τ π β τ dove S τ indica il tempo di svuotamento dh h D d d g H S τ π τ π β ( ) 0 D h d g H S + π τ π β H D d g S + π τ β g d D H S + β τ

32 ESERCIZIO 3 Si consideri il serbatoio dell esercizio precedente a cui è stato applicato (all estremità inferiore) un condotto di lunghezza L e diametro d. Determinare il tempo di svuotamento del condotto. D H SEZ. d L Sez. - Lunghezza condotto L 30 m - Altezza serbatoio H 6m - Diametro serbatoio D m - Diametro condotto d m - Viscosità dell acqua υ 6 0 m /s acqua In questo caso, è necessario considerare anche le perdite di carico distribuite lungo il condotto la cui formula è: f V R d ρ d R R c + R d V Il fattore d attrito f dipende da Re, che a sua volta dipende dalla velocità: d Re υ Applico l equazione di Bernoulli di bilancio dell energia: L V Da cui ricavo il valore della velocità: V V ( h + L) g + β + f 0 d

33 V ( h + L) g L + β + d f Poiché L >> H la velocità varia dunque tra valori poco differenti. E sul valore medio dell altezza che calcolo il fattore d attrito: L + H 33 m La velocità incognita ( V ) dipende dal fattore d attrito, che a sua volta dipende dalla stessa V ; dunque è necessario procedere per tentativi mediante il metodo iterativo, in riferimento al valor medio di dislivello del serbatoio. Ipotizzo di trascurare le perdite distribuite ponendo f 0 (questo permette di considerare il condotto liscio). Da cui segue: Dal diagramma di Moody m V (velocità di primo tentativo) m + s m / s m e 0 / m s R m / s f 0.07 Da questo valore ricavo la velocità di secondo tentativo: m / s m V 8.7 m / s m / m m / s m Re / m s Torno a stimare il valore f dal diagramma di Moody f m da questo valore calcolo: V m / s s Re ξ W 8. m / s

34 Si procede per iterazioni successive fino ad entrare nei limiti di tolleranza. Una volta raggiunto questo scopo, si considera il valore di fattore d attrito trovato (f) e si applica la formula precedente per trovare il tempo di svuotamento: L + β + f D τ H d S d g

35 ESERCIZIO 4 Determinare l altezza del getto d acqua di una fontana alimentata da una pompa di prevalenza p 4 Bar Sezione 3 - L 6 m - D 0.08 m - d 0.0 m - ρ 0 3 Kg/m 3 - v µ/ρ 0-6 m /s - L eq 0.55 m Per semplicità si considerino tubi lisci Sezione Sezione Svolgimento Prima di tutto applichiamo l equazione di Bernoulli alle sezioni e indicate in figura Il termine p p ρ V ) V p p + g( z z + ρ p + R ρ è trascurabile poiché le due sezioni possono essere considerate entrambe a pressione atmosferica; R sono le perdite di carico totali, mentre ( z z) non è altro che L. Sfruttando l equazione di continuità, uguagliamo le portate massiche nelle due sezioni ρ ρ AV AV D D poiché A π si ricava V V 6V 4 d Si deve quindi risolvere il seguente sistema: V V V 6V p + g( L) + R ρ Ora dobbiamo calcolare le perdite di carico, in particolare per la perdita di carico concentrata, data dal restringimento dell ugello, usiamo le lunghezze equivalenti, sfruttando l apposito nomogramma in appendice. L eq 0. 55m V L + Leq R f f V D 40.93

36 Andando a sostituire R nel sistema otteniamo V in funzione di f V f Come sappiamo per individuare f sul diagramma di Moody ci occorre il numero di Reynolds. In questo caso non è però possibile calcolarlo poiché esso stesso dipende dalla velocità. La risoluzione di questo problema richiede quindi un processo iterativo. Per cominciare possiamo calcolare la velocità che avremmo con coefficiente di attrito nullo: f 0 V 635 m. s Con questo valore di velocità possiamo calcolare il corrispondente numero di Reynolds: V D Re 6 ρ Ora con questo valore di Re e sapendo che i tubi sono lisci dal diagramma di Moody ricavo una nuova f f 0.08 Con questo nuovo coefficiente di attrito ripeto i calcoli trovando una nuova velocità V 63 m. Questa nuova velocità differisce di pochissimo dalla precedente e posso quindi considerarla il mio valore definitivo. Sostituendo nel sistema iniziale, calcolo la velocità nella seconda sezione: V V m s In fine considero le sezioni e 3. La formula di Bernoulli si riduce ad una equazione molto semplice, e ricavo facilmente l altezza del getto d acqua: w H m g s

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