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1 1 Integrali su una curva regolare Sia C R N una curva regolare, ossia: (1) C é l immagine di una funzione P (t) definita in un intervallo [a, b] (qui preso chiuso e limitato), tipicamente chiuso e limitato, ed a valori in R N (2) Si richiede che P (t) ammetta derivata prima continua (3) Si richiede che il vettore derivata P (t) sia P (t) per ogni t. Sia f una funzione continua definita in C a valori in R. Allora l integrale di f in C si denota con f(p )dl ed é dato, per P (t) una qualsiasi parametrizzazione di cui sopra, da b (1.1) f(p )dl = f(p (t)) P (t) dt C C a con P (t) il modulo del vettore P (t). La formula (1.1) puó essere presa come definizione (una dimostrazione della indipendenza dalla particolare rappresentazione parametrica si trova in [1]). Un modo per comprendere (1.1) é anche di considerare il fatto che se ripartiamo la curva C in una una unione di curve C j, di lunghezza l in ognuna delle quali scegliamo un punto P j, abbiamo somme di Riemann f(pj ) l j. Ora, l itegrale non é nient altro che f(p )dl = C lim max{ l j } f(pj ) l j. Se fissiamo una parametrizzazione P (t) per t [a, b], possiamo considerare le decomposizioni di C che prendono origine da decomposizioni di [a, b]. Ciascun C j sará sostanzialmente un segmento di estemi e quindi di lunghezza P (t j ) P (t j + t j ) P (t j ) + t j P (t j ) l j P (tj + t j ) P (t j ) tj P (t j ) = P (t j ) tj. Ma allora f(p )dl f(p j ) l j f(p (t j )) P (t j ) tj C b a f(p (t)) P (t) dt. La lunghezza di C é semplicemente l integrale della funzione 1 su C. 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 1.1 Integrali su grafici di funzione. ata una funzione F (x, y) definita sul grafico C di y = f(x) con x [a, b], abbiamo (1.1.1) C F (x, y)dl = b a F (x, f(x)) 1 + [f (x)] 2 dx. Basta applicare la formula (1.1) rappresentando parametricamente il grafico con x = x y = f(x) per x [a, b]. Allora il cui modulo é d dx (x, f(x)) = (1, f (x)) 1 + [f (x)] 2. Calcoliamo la lunghezza L di y = x 2 per x [, 1]. Applicando (1.1.1) abbiamo L = x2 dx Posto 2x = sinh t e per t la soluzione che identificheremo dopo dell equazione 2 = sinh t abbiamo dx = 1 2 cosh t dt, 1 + 4x2 = 1 + sinh 2 t = cosh t e pertanto = 1 4 sinh 2t + t x2 dx = t cosh 2 tdt = t cosh 2t + 1 dt = 2 Ora abbiamo sinh 2t = 2 sinh t cosh t = 2 sinh t 1 + sinh 2 t = 4 5.

3 3 Non ci resta che determinare t. Abbiamo Quindi a qui ricaviamo e quindi 2 = sinh t = et e t. 2 e 2t 4e t 1 =. e t = 2 ± 5 ( t = log 2 + ) 5 (ovviamente log ( 2 5 ) non ha senso). (1.1) Si tratta qui della curva 1.1 Cicloide x = t sin t y = 1 cos t. Notare che (x(t) t)2 + (y(t) 1) 2 = 1 ossia la distanza del punto della curva dal corrispondente punto (t, 1) é costante. Infatti (1.1) é il moto di un punto di una ruota di raggio 1 il cui centro si muova a velocitá costante 1. Calcoliamo la lunghezza per t [, 2π]. Abbiamo 2π 2π (1 cos t) 2 + sin 2 tdt = 1 2 cos t + cos 2 t + sin 2 tdt = 4 2π = π 2π 2 2 cos tdt = 4 1 cos t dt = 2 2 π sin 2 t = 4 sin t = Elicoide 2π sin 2 ( t 2 )dt = (1.2) La lunghezza per t [, R] é: R x = a cos t y = a sin t z = ct. a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t + c 2 dt = R a 2 + c 2

4 4 1.3 Cardioide Consideriamo la lunghezza del cardioide r = 1 + cos θ per θ [, 2π]. Poniamo (1.3) x = (1 + cos θ) cos θ = cos θ + cos 2 θ y = (1 + cos θ) sin θ = sin θ + cos θ sin θ. Abbiamo (x ) 2 + (y ) 2 == ( sin θ sin 2θ) 2 + (cos θ + cos 2θ) 2 = = 2 2 cos θ = 2 sin θ 2 Ora la lunghezza é 2π 2 sin θ π 2 = 4 sin tdt = 8. 2 Superfici regolari parametrizzate Un modo per dare una superficie S in R 3 é di definire S come l immagine di una funzione iniettiva definita in un qualche dominio in R 2. Esempi. Il piano Oppure la sfera x = x(u, v) = u + 3v y = y(u, v) = 2v z = z(u, v) = u + v. (2.1) x = x(ϑ, ϕ) = cos ϑ sin ϕ y = y(ϑ, ϕ) = sin ϑ sin ϕ z = z(ϑ, ϕ) = cos ϕ. Le variabili indipendenti sono dette parametri o coordinate e quelle sopra sono dette rappresentazioni parametriche delle superfici (nella fattispecie di un piano e della sfera unitaria). Nel seguito consideriamo funzioni x(u, v) (2.2) P = f(u, v) = y(u, v) z(u, v)

5 dove la funzione P (u, v) é differenziabile per ogni valore dei parametri. La regolaritá dei parametri non impedisce che la superficie S possa essere non liscia, cioé con punti in cui non esiste il piano tangente (punti angolosi, conici, spigoli). Ad esempio il cono z 2 = x 2 + y 2 z ammette una rappresentazione parametrica x = u 3, y = v 3, z = u 6 + v 6 dove la differenziabiliá non impedisce la singolaritá conica. Il piano tangente esiste in qualsiasi punto 1 chiedendo che la matrice Jacobiana Jf(u, v) = x u(u, v) x v (u, v) y u (u, v) y v (u, v) z u (u, v) z v (u, v) abbia rango 2 per ogni (u, v). In altre parole, che i vettori colonna f u (u, v) = x u(u, v) y u (u, v), f v (u, v) = x v(u, v) y v (u, v) z u (u, v) z v (u, v) siano linearmente indipendenti per ogni (u, v) ossia (2.3) f u (u, v) f v (u, v). Quando ció accade, in un punto P = f(u, v ) il piano tangente alla superficie é dato dal piano per P con vettore normale f u (u, v ) f v (u, v ). 3 Superfici regolari Notare subito che per la parametrizzazione (2.1) della sfera non é vero che per qualsiasi valore dei parametri si ha P ϕ P ϑ perché per esempio P ϑ (ϑ, ) = sin ϑ sin i + cos ϑ sin j =. Naturalmente la sfera é regolare qualsiasi sia il senso si voglia dare al termine regolare.. Si dice che una superficie é regolare quando essa puó essere suddivisa in pezzi ognuno dei quali é una superficie regolare parametrizzata (i parametri vengono detti anche coordinate locali). Quindi per esempio la sfera va suddivisa in due calotte, e la (2.1) rende la sfera meno il punto (,, 1) (polo nord) una superficie regolare parametrizzata. 5 1 Non che singolaritá di vario tipo non siano legittime e verosimili. Solo che nello svolgere la teoria ci teniamo alla larga per evitare complicazioni non necessarie. Molte cose che diremo qui si estrapolano peraltro abbastanza facilmente.

6 6 4 Area di superfici regolari parametrizzabili Supponiamo dunque di avere un superficie S e supponiamo che (2.2) sia una sua rappresentazione parametrica, differenziabile ovunque in e con JP (u, v) ovunque in di rango 2. Allora si definisce area di S l integrale (4.1) Area(S) = P u (u, v) P v (u, v) dudv. Se noi consideriamo un altra scelta di parametri, per esempio descriviamo la superficie con P (ϕ, ψ) e con dominio Ω, vale l uguaglianza (4.2) Area(S) = P ϕ (ϕ, ψ) P ψ (ϕ, ψ) dϕdψ, Ω ossia la formula non dipende dalla parametrizzazione. Un altro modo per capire intuitivamente 2 che (4.1) é intrinseca, é il seguente. Approssimiamo il dominio con una unione di rettangolini di lato u e v. Il rettangolino di vertici (u, v), (u + u, v), (u, v + v) e (u + u, v + v) finisce in una piccola superficie S con vertici P (u, v) P (u + u, v) P (u, v) + u P u (u, v) P (u, v + v) P (u, v) + v P v (u, v) P (u + u, v + v) A meno di infinitesimi di ordine superiore, l elemento di superficie S é il parallelogramma ottenuto applicando al punto P (u, v) i vettori u P u (u, v), v P v (u, v). Siccome l area di Sé la somma delle aree degli elementi di superficie S, se poniamo per A = Area( S) e sostituiamo A P u (u, v) P v (u, v) u v Area(S) = A P u (u, v) P v (u, v) u v. Quest ultima é una somma di Riemann che per u e per v converge all integrale P u (u, v) P v (u, v) dudv e, contemporaneamente, converge anche ad Area(S). 2 La seguente non é una dimostrazione rigorosa

7 vediamo un esempio importante. COnsideriamo l area del grafico di una funzione u(x, y) definita in un R 2. Ossia consideriamo la superficie di equazione z = u(x, y) con (x, y). L area é data da (4.3) 1 + u(x, y) 2 dxdy, dove u(x, y) = u x (x, y) i + u y (x, y) j. Per capirlo basta osservare che x = x y = y z = u(x, y) é una rappresentazione parametrica. Inoltre i j k P x P y = 1 u x = u x i uy j + k 1 u y 7 e pertanto P x P y = 1 + u(x, y) Area della sfera La sfera di raggio R e centro l origine puó essere espressa come x = x(ϑ, ϕ) = R cos ϑ sin ϕ y = y(ϑ, ϕ) = R sin ϑ sin ϕ z = z(ϑ, ϕ) = R cos ϕ. Con un conto si verifica P ϑ P ϕ = R 2 sin ϕ dϕ dϑ e pertanto l area é R 2 2π π dϑ sin ϕdϕ = 4πR 2.

8 8 Calcoliamo l area di 4.2 Paraboloide Abbiamo da (4.3) x 2 +y 2 1 z = x 2 + y 2 per x 2 + y 2 1. dxdy x 2 + 4y 2 = 2π dr r 1 + 4r Superfici di rotazione Partiamo dal grafico y = f(x), x [a, b]. Se lo ruotiamo attorno all asse x otteniamo una superficie di area b (4.3.1) 2π f(x) 1 + (f (x)) 2. a Se invece ruotiamo il grafico attorno all asse y otteniamo una superficie di area b (4.3.2) 2π x 1 + (f (x)) 2. a In effetti, nel primo caso, se pensiamo di avere invece r = f(z) e di ruotare attorno all asse z, abbiamo una rappresentazione parametrica x = f(z) cos θ y = f(z) sin θ z = z. Quindi consideriamo i j k f (z) cos θ f (z) sin θ 1 = f(z) sin θi f(z) cos θj + f (z)fk. f(z) sin θ f(z) cos θ Il valore assoluto é f(z) 1 + (f (z)) 2 da integrare per z [a, b] e per θ [, 2π]. Nel secondo caso se pensiamo di avere invece z = f(r) e di ruotare attorno all asse z, abbiamo una rappresentazione parametrica x = r cos θ y = r sin θ z = f(r).

9 9 Quindi consideriamo i j k cos θ sin θ f (r) = rf (r) cos θi rf (r) sin θj + rfk. r sin θ r cos θ Il valore assoluto é r 1 + (f (r)) 2 da integrare per r [a, b] e per θ [, 2π] Area del toro Ricordiamoci del toro, che é ottenuto ruotando attorno all asse y la circonferenza (x a) 2 + y 2 = c 2. Quindi La sua area é a+c (x a)2 2 x 1 + a c c 2 (x a) 2 dx = 2 + 2a = 2ac a+c a c a+c a c (x a) (x a+c a)2 c 2 dx = 2ac (x a) 2 a c 1 dx = 4ac. 1 x (x a)2 c 2 (x a) 2 dx+ 1 c2 (x a) 2 dx = 5 Integrale di una funzione su una superficie regolare parametrizzabile Sia f(x, y, z) una funzione continua definita su una superficie S parametrizzabile. Vogliamo definire f(x, y, z) da S dove da é l elemento di area. Scegliamo una qualsiasi parametrizzazione parametrizzazione P (u, v) di S definita in un dominio ed abbiamo (5.1) f(x, y, z) da = f(p (u, v)) P u (u, v) P v (u, v) dudv. S La definizione é intrinseca, non dipende dalla particolare parametrizzazione, come si puó intuire col ragionamento di 4: f(x, y, z) da f(p ) A f(p (u, v)) P u (u, v) P v (u, v) u v S f(p (u, v)) P u (u, v) P v (u, v) dudv.

10 1 6 Campi e funzioni su una superficie regolare ata S possiamo considerare funzioni continue (6.1) F : S R n. Per n = 1 la formula (6.1) ci dice che F é una funzione scalare. Per n = 3 abbiamo un campo vettoriale (per esempio un campo di forze applicato sui punti della superficie). 7 Superfici regolari orientabili Sono quelle che ammettono un campo continuo normale ovunque non nullo, ossia N: S R 3 che é ortogonale, cioé N(P ) = per ogni P S e N(P ) ortogonale al piano tangente per ogni P S. Un campo normale unitario é un campo normale il cui modulo é costantemente 1. Notare che una superfice regolare orientabile ammette esattamente due versori normali (che puntano in direzioni opposte). Non tutte le superfici sono orientabili. Un esempio é il nastro di Möbius ottenuto prendendo [, 1] [, 1] ed identificando coppie di punti (x, ) e (1 x, 1) per ogni x [, 1] (notare che identificando coppie di punti (x, ) e (x, 1) si ottiene invece una cilindro topologico, che invece é orientabile). 8 Superfici regolari orientate SOno superfici orientabili su cui si é fatta una scelta di campo normale unitario. 9 Flusso di un campo attraverso una superficie regolarie orientata ata S e E : S R 3 un campo continuo N: S S 2 un campo normale unitario (S 2 la sfera unitaria di centro l origine) il flusso di E attraverso la superficie regolare orientata S (abbiamo scelto N) é F lusso( E, S) = Se S é parametrizzata mediante P (u, v), e se S E N da. N(P (u, v)) = P u(u, v) P v (u, v) P u (u, v) P v (u, v) (i due membri possono differire solo del segno) allora

11 11 ci consentono di scrivere che F lusso( E, S) = da = P u (u, v) P v (u, v) dudv N(P (u, v)) = P u(u, v) P v (u, v) P u (u, v) P v (u, v) E (P (u, v)) Pu (u, v) P v (u, v) dudv.

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