Il trasferimento del rischio di longevità ai mercati finanziari (Seminario tenuto presso Istituto Italiano degli Attuari il 20 maggio 2010)

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1 Il rasferimeno del rischio di longevià ai mercai finanziari (Seminario enuo presso Isiuo Ialiano degli Auari il 20 maggio 2010) Paolo De Angelis Universià Sapienza, Roma Andrea Forunai Universià Sapienza, Roma Agosino Tripodi Universià Sapienza, Roma 1. Inroduzione L argomeno longeviy-risk (LR) è indubbiamene un ema noo nel coneso auariale inernazionale e nazionale e ue le definizioni nel empo coniae sembrano convergere verso la formulazione presenaa in un lavoro del 2006 di Cairns ed alri 1 : a) Longeviy Risk:..The risk ha, in he long erm, aggregae survival raes for idenified cohors are higher han anicipaed.. b) Moraliy Risk:.all forms of deviaions in aggregae moraliy raes from hose anicipaed a differen ages and over differen ime horizons. c) Shor erm/caasrophic moraliy risk:.he risk ha, over shor periods of ime, moraliy raes are much higher or lower han would be experienced.. Il LR implica quindi l incerezza nel rend di lungo periodo dei assi di moralià (ovvero variazioni ineremporali non anicipae) ed i consegueni effei sulle probabilià di sopravvivenza di lungo ermine. In al senso il LR ineso come rend risk si conrappone al moraliy risk (MR), inerpreabile come incerezza di breve ermine o variabiliy risk, che nel caso di decessi collegai ad eveni di naura caasrofale assume la connoazione di un shor erm moraliy risk. 2. Longeviy Risk e sruura del Mercao Finanziario Il rasferimeno del rischio di longevià verso i mercai finanziari avviene araverso l uilizzo dei Longeviy Linked Securiy (LLS). In ale caegoria di srumeni finanziari rienrano ue quelle operazioni i cui pay-ou e/o pay-in sono funzionalmene dipendeni dal numero di decessi/sopravviveni osservabili da popolazioni di riferimeno opporunamene definie in sede di emissione/collocameno dell operazione finanziaria. E possibile rappresenare la sruura del mercao finanziario dei LLS individuando dal lao della domanda ui quei soggei pubblici e privai che perseguano sraegie di coperura del rischio di 1 Cairns A.J.G., Blake D. & Dowd K. (2006).

2 longevià/moralià a cui sono esposi, nel senso di esposizione delle proprie passivià a variazioni inaese sulla curva o sruura per eà dei assi di moralià e, quindi, alle consegueni necessià in ermini di capiali di rischio. Dal lao dell offera gli speculaori i quali a frone di un adeguao risk premium sono proni ad assumere una posizione simmerica rispeo agli hedgers, beneficiando, in quano invesiori isiuzionali, di una asse class ad elevaa decorrelazione rispeo alla dinamica delle foni di incerezza del mercao finanziario propriamene deo 2. Lo sviluppo di un mercao in cui avvenga il rading di LLS richiede una condizione di soddisfazione (rade-off) iniziale di equilibrio ra necessià degli hedgers e degli speculaors. Gli hedgers richiedono una reale coperura delle diverse componeni di rischio prodoe dal longeviy risk, nel senso di poer disporre di srumeni finanziari che realizzino un perfec maching rispeo al : basis risk: disallineameno ra popolazione di riferimeno del LLS e colleivià assicuraa a cui è esposo l hedger; unsysemaic risk: variazioni di moralià di naura accidenale, ipicamene gesie con ecniche di diversificazione (i.e. muualià); sysemaic risk: variazioni sruurali e di lungo periodo sulla curva dei assi di moralià non riducibili ramie le usuali ecniche di diversificazione. Gli speculaors richiedono l esisenza di un mercao liquido in cui non sussisano barriere allo scambio ed in cui sia possibile deerminare il risk premium per ciascuna delle foni - componeni di rischio. 3. Sraegie di conrollo del Longeviy Risk Sul piano operaivo, anche in riferimeno alle esperienze di mercao, le ecniche di coperura del LR/MR si possono classificare nell ambio di due filoni meodologici riconducibili rispeivamene a: a) Assured Based approach: rasferimeno del rischio via conrao di assicurazione/riassicurazione, nella forma del Full Buy-ou (parial buy-ou). b) Financial Based approach: rasferimeno al mercao finanziario del rischio di L/M. Secondo il primo approccio, l hedger cede asse e liabiliy sreamene connesse al pagameno di rendie vializie ed è prono a pagare un premio (risk premium), evenualmene anche ramie il ricorso a formule di finanziameno (bulk annuiy ransfer) 3. Nel secondo approccio, sulla base dell esperienza degli ulimi anni 4, è possibile classificare gli LLS in: obbligazioni del ipo floaing bulle bond, operazioni di carolarizzazione 5 e srumeni finanziari i cui pay-off sono riconducibili agli schemi usuali dei conrai derivai. 3.1 Gli srumeni finanziari di ipo obbligazionario assumono la forma di: bulle bond, con coupon (F) variabile secondo una paricolare funzione del empo e dell indice di sopravvivenza assuno come benchmark (basis risk), con scadenza prefissaa e nozionale indipendene dall indice ; 2 Con riferimeno alla leeraura scienifica sugli argomeni di eoria del porafoglio, srumeni del ipo LLS possono ben essere uilizzai per selezionare porafogli finanziari a minimo rischio nel senso di Markowiz con un richiamo direo al eorema dei due fondi. 3 Quesa è all aualià la siuazione dei Fondi Pensione Ialiani. 4 I primi srumeni finanziari di ipo LLS si rovano collocai in epoca recene, inizio anni In cui diviene preminene il ruolo dello speciale veicolo come colleore del rischio di longevià e rasformaore di srumeni illiquidi in srumeni liquidi e scambiabili sul mercao, con paricolare riferimeno al rischio di credio.

3 o Sandards LBs: FT, S( x) k S( x) N k 0, T 1,2, o Inverse LBs: FT, S( x) k 1 S( x) N k 0, T 1,2, con k paramero cedolare prefissao, N nozionale di riferimeno e S ( x) il survivor index schemi con duraa finia ma collegaa alla via residua della popolazione di riferimeno (survivor); o sruura di ipo ZCB (longeviy zeros): FT, S( x) S( x) schemi con solo nozionale dipendene dall indice (principal a risk) e cedole fisse; o Principal a risk: F k N, k 0, 1,2,, T 1; F S( x) S( x) N 3.2 Nell ambio degli srumeni derivaives-based si rirovano sosanzialmene sruure riconducibili ai radizionali prodoi di mercao finanziario del ipo swap, forwards e fuures 6. I payoff dei derivaives L/M presenano una sruura dicoomica con la presenza di un fixed leg, calibrao su un asso di moralià fissao all emissione del conrao ed un floaing leg, derivao dalla moralià osservaa su una popolazione di riferimeno al momeno in cui ha luogo il pagameno. x, T N0 FixedLeg qˆ ; x, T N0 oss FloaingLeg q ; dove: N 0 è il nozionale di riferimeno, q ˆ( x, T ) e q oss ( x, T ) sono rispeivamene il quoziene di moralià fissao all emissione ed il quoziene di moralià osservao in T. 3.3 In ambio assicuraivo la carolarizzazione ha riguardao diverse faispecie ed in paricolare: Blocks of Business - Cessione di sooinsiemi di porafoglio per la capializzazione dei profii; Regulaory Reserving - Cessione parziale delle riserve per liberare capiale ai fini di solvibilià; Life Selemen - Cessione conrai via da pare degli assicurai ad un valore compreso in un inervallo ra il valore di riscao ed il valore del capiale assicurao; Reverse morgage securiisaion - Presii vializi. Lo schema ipico della carolarizzazione del longeviy risk, effeuaa mediane un apposio veicolo finanziario, può essere schemaizzao mediane il seguene grafo: 6 Non ancora preseni sul mercao opzioni.

4 4. Esperienze di mercao Nell ineno di voler racciare un primo quadro di riferimeno sulle esperienze inernazionali di rasferimeno al mercao finanziario del rischio L/M, appare uile dare una breve descrizione delle esperienze più significaive. 4.1 Re Swiss [2003], [2005], [2007]: si raa del primo moraliy bond presenao sul mercao (ne seguono alre 2 emissioni dopo la prima, daaa 2003) nella forma di principal a risk e coupon rimesrale indicizzao al USD Libor più spread di 135 bps; a scadenza il payoff prevede la liquidazione dell ulima cedola e del nozionale ridoo in ragione dello scaro posiivo osservao su base annuale ra il livello dell indice di moralià considerao ed il livello floor, pari ad un quoziene di moralià dell 1,30% fissao all emissione (prezzo di esercizio); l indice di moralià considerao risula media pesaa dei assi di moralià relaivi a 5 paesi. L emissione rae origine dall esigenza di coperura di polizze via di assicurazione e riassicurazione. Il pricing è eseguio adoando la eoria dei valori esremi, assumendo una disribuzione di Pareo generalizzaa; la perdia aesa fu simaa in 22bps, inferiore al livello dello spread considerao nel coupon. 4.2 European Invesmen Bank/BNP Paribas [2004] : la sruura, creaa da BNP Paribas e desinaa ai fondi pensione, si richiama ad uno sandard LB con duraa 25 anni, cedole variabili in funzione dell andameno di un survivor index calcolao sulla coore dei 65-enni di Inghilerra e Galles del il Longeviy Risk è riassicurao su Parner Re con sruure di moraliy swap. L emissione non ha rovao un paricolare gradimeno da pare degli invesiori isiuzionali sia in ragione del risk premium (rienuo non adeguao) circa 20 bp sia per la incapacià dello srumeno di ridurre in modo significaivo il Basis Risk e quindi inadeguao per sraegie di coperura. 4.3 JP Morgan q-forward(2006): si raa di un moraliy forward emesso da JP Morgan con scadenza il 31/12/2016 e duraa 10 anni. Il iolo prevede un payoff pari alla differenza ra l ammonare fisso a carico di JP Morgan nella misura dell 1,20% (quoziene di moralià programmao) del nozionale di riferimeno ed il asso di moralià osservao alla scadenza, a carico del bond holder. Lo srumeno inconra le esigenze di coperura sia dei soggei in posizione di ne shor longeviy (fondi pensione, compagnie via) che di ne long longeviy (compagnie con esposizione al rischio di moralià). L indice di riferimeno è il Life Merics riferio alla coore di 65 anni di eà di Inghilerra e Galles. 4.4 Presio vializio EUVIS: I presii vializi hanno origine negli Sai Unii all inorno degli anni 80, disponibili per pensionai proprieari di immobili con eà non inferiore a 62 anni. Si presenano nella forma di presii ipoecari con piano di resiuzione in una unica soluzione alla daa del decesso del proprieario (o della coppia) del debio e capializzazione degli ineressi di finanziameno. In Ialia rovano avvio con la legge finanziaria del 2005; Lo schema di finanziameno prevede un imporo finanziabile pari ad una percenuale (dal 15% al 50%) del valore dell immobile funzione crescene all aumenare dell eà del richiedene all ao del finanziameno. Alla daa del decesso il finanziameno viene rimborsao dagli eredi evenualmene anche ramie la vendia dell immobile. Il piano di ammorameno prevede una clausola di no negaive equiy guaranee, che uela gli obbligai al rimborso in caso di andameno negaivo dei prezzi del mercao immobiliare. A ui gli effei dea clausola si configura come una opzione PUT di ipo europeo eserciabile all ao del decesso, con prezzo di esercizio il valore dell immobile a dea daa. Lo srumeno viene opporunamene confezionao quale asse per invesiori isiuzionali evenualmene esposi al rischio di longevià. 4.5 Eskaos I Fund: fondo di invesimeno regolamenao con asse cosiuii da srumeni di carolarizzazione collegai ad eveni caasrofali (rischi non life) ed eveni via (longeviy e

5 moraliy) ramie acquiso di conrai di assicurazione via/more direamene dai conraeni a valori di realizzo superiori al valore di riscao. Le esperienze osservae sino ad oggi forniscono una inequivocabile evidenza dei puni di criicià per lo sviluppo di un mercao efficiene di LLS. In paricolare le cause sono da ricercarsi nella scarsa rasparenza conrauale delle operazioni finanziarie che produce asimmeria informaiva e quindi cauela da pare degli invesiori isiuzionali; la vischiosià informaiva si collega peralro agli aspei finanziari più rilevani: la individuazione di un opporuno modello di pricing da cui poer rilevare il livello del risk premium, seppure in presenza di un mercao incompleo, in cui è del uo impossibile definire prezzi ramie opporune sraegie replicani con srumeni finanziari quoai sul mercao. Ceramene il primo passo operaivo richiede la cosiuzione di indici di moralià e sopravvivenza che godano di opporune proprieà di rasparenza e che li rendano, quindi, immediaamene disponibili e misurabili e pienamene osservabili. Il primo sforzo in ale direzione è rappresenao dal Credi Suisse Longeviy Index, riferio alla popolazione sauniense ed, ha avuo poca foruna anche in ragione della poca rasparenza e manuenzione da pare del promoore. Migliore sore è aribuibile ai Life Merics Indices (2007); gli indici comprendono dai pubblici di moralià e sono sruurai per eà e coore, e si riferisco a popolazioni quali UK, US, Olanda e Germania. 5. Il Survivor Index e la logica del mercao dei capiali La cosruzione di un modello maemaico per il pricing di srumeni di ipo LLS richiede una preliminare definizione su base assonomica delle grandezze aleaorie implicae nel processo di evoluzione della moralià. La necessià di disporre di un indice di moralià rasparene permee di formalizzare ad un epoca fuura T il Survivor Index, di una coore di soggei in eà x all epoca, in ~ ragione dell unica fone di incerezza, rappresenaa dal asso isananeo aleaorio di moralià x s, s : T T, x P x T x Eˆ ~ / exp x s s ds S, (1) ovvero S, x P I 1M u Eˆ u S, x M u S u, x Eˆ u M u u Su x, 0, (2) con I (), variabile aleaoria indice di deerminazioni 0 ed 1. Il modello di rappresenazione del survivor index (SI) presena analogie fori con gli schemi probabilisici per il pricing dei defaulable zero coupon bond, ovvero il empo residuo di via di un individuo idenificao quale empo di arrivo del defaul e, quindi S T, x equivalene al prezzo al empo di un defaulable ZCB. Dall esame della leeraura scienifica sull argomeno si può osservare che nel empo si sono andae a consolidare due meodologie, riconducibili a: acuarial approach e risk neural approach. La valuazione di un LLS richiede l adozione di un processo mulifase, aricolao sulla opporuna scela di modelli socasici descriivi delle due principali foni di incerezza : asso isananeo di ineresse e asso isananeo di moralià. Con riferimeno alla dinamica aleaoria dell inensià isananea di moralià, la leeraura auariale degli ulimi 20 anni presena una varieà di conribui scienifici con aspei di massima originalià.

6 5.1 I modelli socasici di moralià si disinguono in modelli a empo discreo e modelli a empo coninuo. Sicuramene il modello base di riferimeno per i modelli a empo discreo è dovuo all originale lavoro del 1992 di Lee Carer: ln m x x xk x, k 0, x x, x 1, ~ N 0, (3) Il modello fornisce una rappresenazione lineare del logarimo dell inensià isananea di moralià di parameri x e x, che riassumono gli effei, rispeivamene, di rend e volailià indoi dall eà e k (dipendene solo dal empo) che isola gli effei aleaori delle variazioni ineremporali, indoe dalle variazioni sisemiche sulla moralià. Il modello è reso operaivo inervenendo con sime di massima verosomiglianza su x e x e adoando procedure auoregressive del ipo Box Jenkins per la dinamica di k. Ovviamene, x, esprime la pare residuale della dinamica di m x non cauraa dal modello. Negli anni il modello è sao oggeo di uleriori approfondimeni e migliorameni, anche ramie l inroduzione di uleriori parameri necessari per enere opporunamene cono dell effeo coore 7. Il passaggio ai modelli a empo coninuo rappresena il momeno di profonda inegrazione ra la eoria auariale radizionale e la eoria della finanza maemaica; infai l ipoizzare per k una dinamica riconducibile ai processi aleaori generalizzai di Io consene la rappresenazione a empo coninuo della dinamica di m x. Il caso emblemaico riconducibile all originale lavoro di Milevsky- Promislow 8 è il modello Mean Revering Brownian Gomperz, in cui la dinamica in versione discrea dell inensià isananea aleaoria di more è fornia dall equazione: ~ g s x x, Y x, x,0 e (4) con g,, x,0 0 x, s x In paricolare, g x, s riassume sulla scadenza specifica s la correzione di ipo deerminisico prodoa conesualmene dalla variazione dell eà e dall effeo del longeviy risk, su cui si innesano perurbazioni aleaorie prodoe dal processo Y e x rappresena la deviazione sandard del processo ~ x, ; 1,2,... ; in paricolare il processo Y è un processo mean revering, la cui dinamica è descria da: dy by d dw, Y0 0, b 0 (5) In realà si raa di una esensione al caso aleaorio del classico modello di Gomperz di paramero g che esplica una correzione di ipo deerminisico per l eà ed il longeviy su cui si innesano variazioni aleaorie implicae dal processo aleaorio Y. 5.2 Con riferimeno al modello socasico di evoluzione emporale della curva dei assi di ineresse, implicaa nelle procedure di valuazione, il dibaio ra modelli di equilibrio a uno o due faori vs modelli ad arbiraggi nulli non è del uo esaurio anche per la cosane ricerca da pare 7 A queso proposio si soolinea il conribuo fornio dal lavoro di Cairns ed alri del Milevsky M. A., Promislow S.D. (2001).

7 dei praciioners di una coerenza con la sruura per scadenza dei assi di ineresse osservaa sul mercao; alcuni esempi già operaivi nelle procedure di calcolo esiseni presso gli inermediari finanziari generano problemi non banali di calibraura dei parameri e di definizione del iming di aggiornameno. Tra i modelli appareneni alla prima famiglia ha sicuro rilievo il CIR, menre sull alro frone il modello HJM di dinamica dei assi forward rappresena oggi il modello più uilizzao dagli operaori anche per la migliore qualià di fiing rispeo alla curva osservaa sui rai emporali a più lungo ermine. Nel seguio sono fornii i più imporani riferimeni dei modelli di evoluzione emporale della sruura per scadenza dei assi d ineresse: MODELLI DI EQUILIBRIO: CIR [1985] di equazione: dr k r r d r dw r (6) Dove è il asso normale di lungo periodo, k è il coefficiene di mean revering (ovvero il r coefficiene di richiamo al asso di lungo periodo), r è la volailià dello spo rae ed infine W è il moo browniano sandard. Alri riferimeni: Rendleman, Barer [1980], Vasicek [1977], Brennan, Schwarz [1979,1982] MODELLI AD ARBITRAGGIO NULLO: Heah, Jarrow, Moron [1992] di equazione:,t m, d 1,TF,Tdz z,tf, Tdz 1 z2 df 2 (7) dove F, T è il asso isananeo, 1, TF, T wis e dz moi browniani sandard non correlai. i z 1,2 il faore di shif addiivo,, TF, T faore di 5.3 In un mercao incompleo, quale quello assicuraivo, la valuazione di SSL può essere sviluppaa secondo due diversi approcci meodologici. Il primo, acuarial approach, si fonda sull uilizzo di un operaore di disorsione per indurre da una disribuzione daa (ie. disribuzione della probabilià fisica) una equivalene disribuzione risk adjused e oenere il fair value della LLS adoando una media soo quesa paricolare disribuzione aggiusaa. Il secondo, risk neural approach, è riconducibile alle ecniche di pricing degli srumeni derivai, nella logica dell assenza di arbiraggio. Il disorion approach 9 uilizza la rasformaa di Wang (2000) per simare il risk premium di un LLS. Tale srumeno è sao largamene uilizzao in leeraura per il calcolo del fair value di srumeni finanziari ed assicuraivi. La rasformaa di Wang consene di oenere da una disribuzione di probabilià fisica, l equivalene disribuzione risk adjused; fonda sull impiego dell inversa della disribuzione normale sandard, oenua operaivamene ramie ecniche di simulazione numerica. Il paramero x rappresena il risk premium isolabile dai prezzi osservai di rendie vializie, come radice dell equazione rispeo alla sruura per eà dei prezzi di rendie vializie. In paricolare l equazione che governa il calcolo può essere formalizzaa nel modo seguene: 2 9 Per approfondimeni, si veda: Lin Cox [2005]; Cox Lin Wang [2006];Denui Devolder Goderniaux [2007]; Levanesi Menziei Torri [2008].

8 a x x 0 P0 1 qˆ 1 1 qˆ (8) MKT x 0, qˆ * 1 x x x 0 * dove q ˆx è la probabilià di decesso risk adjused. L imporane caraerisica della Trasformaa di Wang è che preserva le proprieà della disribuzione normale e lognormale sulla disribuzione risk-adjused (quindi in modo coerene con la leeraura finanziaria sul CAPM e sulla lognormalià dei rendimeni), uavia quesa caraerisica rappresena anche il limie dell approccio, quando ci si muove in conesi di variazioni di prezzo non coereni con disribuzioni di ale ipo. L approccio risk neural fonda sull argomeno dell esisenza sul mercao di due ipologie di Zero Coupon Bond (ZCB), enrambi con scadenza in T e con payou, rispeivamene, il primo il risulao in T del survivor index [ PayOu S T ST, x ] e il secondo del survivor index più l effeo di un roll-over sui assi di ineresse a breve ermine [ PayOuCS T CT S T, x ]. Nell ipoesi di indipendenza socasica ra assi di ineresse e assi di moralià, affinchè sia preclusa la possibilià di arbiraggi non rischiosi, ra i prezzi dei due diversi longeviy zeros deve valere la seguene relazione di uguaglianza 10 : P, T BCS, x BS, x (10) C dove: C exp ru du è il cash accoun socasico e B S, x e B CS, x, rispeivamene, i 0 prezzi dei due ZCB di ipo longeviy. Noi i prezzi dei longeviy-zeros è possibile derivare la sruura delle probabilià di sopravvivenza a proni e forward 11 BCS, x pq, x (11) C( ) S, x da cui pq, T1, x pq, T0, T1, x (12) p, T, x Q Per alra via le quesioni di caraere meodologico del pricing di SSL, possono essere affronae ricorrendo all argomeno delle procedure di hedging 12. In ale ambio appare ad elevao conenuo esplicaivo il seguene esempio, inrodoo in Leppisaari (2008). Si consideri una compagnia esposa al rischio di longevià con un ammonare annuo di rendie in pagameno pari ad A, x; in T la perdia dell assicuraore è pari a L T A, xpt, x pt, x; b, ovvero dipendene dallo scaro ra probabilià osservaa ( p T, x) e probabilià eorica ( p T, x; b, BT del 1 ordine); visa in, L T è una variabile aleaoria. (9) 10 Cfr., Cairns, Blake, Dowd [2006]. 11 Soo il profilo operaivo la possibilià di disporre di un mercao di conrai assicuraivi di ipo capiale differio con rivaluazione del capiale, porebbe fornire il primo elemeno per una sima di mercao delle probabilià di sopravvivenza secondo l approccio risk neural. 12 Il dibaio sui pro e i conro delle due sraegie di hedging prevaleni cashflow hedge paradigm vs. value hedge paradigm- non è del uo esaurio e la leeraura scienifica presena ineressani osservazioni; si veda ad esempio Biffis Blake (2009).

9 Quale sraegia di coperura adoare uilizzando srumeni del ipo LLS: acquiso di un longeviy bond (LB) che paga un coupon indicizzao su un survivor index e con payoff: C T kst, x; finanziameno del LB, con emissione di un bulle bond a cedola fissa pari a K ed N il nozionale di riferimeno dell inera operazione. Al empo T, il saldo aleaorio aivo/passivo è pari a Y T T LT T NT xc T K l obbieivo di perfec hedging è realizzao quando per ogni T risuli Y T 0., con, replicao come flusso finanziario neo delle due sraegie sopra definie; In paricolare il problema soosane ad una sraegia di hedging a minima varianza (min. Var [Y(T)]), fornisce un elegane soluzione per il valore del nozionale di riferimeno della sraegia sopra illusraa; infai: che si riduce a:, xcovpt, xs T, x k vars, x A N, x (13), x A, x pt, xs T, x kn ; T (14) misurando il coefficiene l inensià del Basis Risk. 6. Alcune sperimenazioni quaniaive Nell allegao saisico sono riporai i risulai di alcune applicazioni dei modelli di pricing degli LLS e prodoi assicuraivi, realizzai in coneso meodologico coerene con quano rappresenao nella presene noa. In paricolare: Allegao 1: Survivor-Index calcolao con il modello Lee-Carer su una coore iniziale di 50-enni e 65-enni, anno base Confrono ra probabilià di sopravvivenza spo e forward ; Allegao 2: Fair Value, componeni e percenili, di un conrao rivaluabile, così come proposo in Baione e al. (2006); Allegao 3: Pricing di Longeviy Bond e rappresenazione della disribuzione di probabilià campionaria del I.R.R. aleaorio; Allegao 4: Ammorameno auariale di presii vializi, Fair Value dell opzione no negaive equiy guaranee ed analisi di sensiivià dell I.R.R. risk adjused.

10 Bibbliografia [1] Baione f., De Angelis P. & Forunai A. (2006). On a Fair Value Model for Paricipaing Life Insurance Policies. Invesmen Managemen and Financial Innovaions, Volume 3, Issue 2, [2] Biffis. E. & Blake D.(2009). Moraliy-Linxed Securiies and Derivaives. The Pension Insiue, London. [3] Cairns A.J.G., Blake D. & Dowd K. (2006). Pricing deah: frameworks for he valuaion and securiizaion of moraliy risk. Asin Bullein 36(1), [4] Cairns A.J.G., Blake D. & Dowd K. (2008). Modelling and Managemen of moraliy risk: a review. Scandinavian Acuarial Journal, 2008, 2-3, [5] Cairns A.J.G., Blake D. & Dowd K. (2008). The birh of he Life Marke. The Pension Insiue, London. [6] Dahl M., Melchior M. & Moller T. (2008). On sysemaic risk-minimizaion wih survivor swaps. Scandinavian Acuarial Journal, 2008, 2-3, [7] Leppisaari M. (2008). Managing Longeviy Risk wih Longeviy Bonds. Helsinky Universiy Technology Faculy of Informaion and Naural Science, Deparemen Mahemaics and Naural Science. [8] Levanesi S., Menziei M. & Torri T. (2008). Longeviy Bond pricing models: an applicaion o he ialian annuiy marke and pension scheme. Ai del convegno A.F.I.R. (2008) [9] Milevsky M. A. & Promislow S.D. (2001). Moraliy derivaives and he opion o annuiise. Insurance: Mahemaics e Economics, (29):

11 Allegai Saisici

12 Allegao 1: Modello Lee-Carer Figura 1: Survivor Index - eà 50 Figura 2: Survivor Index - eà 65

13 Figura 3: Probabilià spo vs Probabilià forward

14 Allegao2: Fair Value di un conrao rivaluabile Il Fair Value in 0, n di un generico conrao di assicurazione sulla via è: r,,s V r,μ,s, Ê,τ CFLτ,τ CFAτ F τ,s τ,s (15) essendo Ê. l operao di media aggiusao per il rischio;, il faore di scono socasico ra e dipendene dalla dinamica del asso spo; CFL τ e CFA τ, rispeivamene, il flusso aleaorio annuale degli impegni conrauali dell assicuraore e del conraene/assicurao, dipendeni congiunamene dalla dinamica del asso spo e dall inensià isananea di more e dalla dinamica prezzi azionari; r S F, la filrazione congiuna in dei re processi r,, S. x Tabella 1: Caraerisiche dei conrai Conrao A B C Sesso Maschio Maschio Maschio Eà Aniduraa Duraa Tasso ecnico 4,00% 2,50% 1,00% Tavola di moralià SIM 51 SIM 81 SIM 92 Capiale assicurao iniziale 100,00 100,00 100,00 Capiale assicurao alla daa di valuazione 132,00 100,55 100,00 Coefficiene di rerocessione 87,5% 85,0% 85,0% Rivaluazione garania annua 0,00% 0,00% 0,00% Coefficiene di conversione in rendia 8,32% 7,57% 4,85% Tasso di aualizzazione per il calcolo del capiale di riscao 5,50%-5,25% 4,72%-4,13% 3,00-2,50% Tabella 2: Fair Value - componeni e percenili Base Rivaluazione Opzione rendia Opzione Riscao Fair Value RM FV_95% FV_99% Conrao A 33,93 27,76 17,98 0,00 79,66 55,57 111,01 122,73 Conrao B 2,52 6,78 6,36 0,00 15,66 11,67 33,02 41,46 Conrao C -17,07 13,00 0,00 2,20-1,87 0,00 2,73 8,76

15 Figura 4: Ordinameno saisico del Fair Value del conrao

16 Allegao3: Pricing di Longeviy Bond Tabella 3: Longeviy Zeros - Bs Prezzo 2010 Pay-off T B S 2010, x S T, x Figura 5: Longeviy Zeros Bs(2010,x) Tabella 4: Longeviy Zeros - Bcs Prezzo 2010 Pay-off T B CS 2010, x C ( T ) ST, x Figura 6: Longeviy Zeros Bcs(2010,x)

17 Figura 7: Disribuzione campionaria del I.R.R. - Longeviy Zeros - Bcs(,x) Tabella 5: Indicaori di sinesi della disribuzione campionaria del I.R.R. - Longeviy Zeros - Bcs(,x) x=65;t=10 x=65;t=20 Media 3,52% 4,15% Devianza 1,33% 1,27% Skewness 1,120 0,934 min 0,75% 1,33% perc. 2,5% 1,60% 2,22% mediana 3,29% 3,94% perc.97,5% 6,73% 7,14% max 12,07% 11,06%

18 Tabella 6: Longeviy Bulle Bond Tipo A Tipo B Nominale Mauriy T T Cedola 0, S k, x 0, C ( k) Sk, x T Prezzo 75 BS 2010, k, x 100 P(2010,2010 T ) k 1 75 T k 1 B CS 2010, k, x 100 P(2010,2010 T ) Figura 8: Longeviy Bulle Bond - Eà 65 Figura 9: Disribuzione campionaria del I.R.R. - Longeviy Bulle Bond Tipo A - eà 65

19 Figura 10: Disribuzione campionaria del I.R.R. - Longeviy Bulle Bond Tipo B - eà 65 Tabella 7: Indicaori di sinesi della disribuzione campionaria del I.R.R. - Longeviy Bulle Bond Tipo A Tipo B Media 3,49% 3,80% Devianza 0,01% 1,19% Skewness 0,008 0,997 min 3,45% 1,28% perc. 2,5% 3,47% 2,03% mediana 3,49% 3,61% perc.97,5% 3,52% 6,58% max 3,54% 11,51%

20 Allegao 4: Presii vializi Figura 11: Ammorameno auariale del presio vializio (valore immobile:400k ) Valuazione dell opzione implicia no negaive equiy guaranee Parameri di valuazione: Eà iscrio:70 Eà coniuge:65 Valore Immobile: 400 k euro Tasso finanziameno nominale: 7,5% annuo Volailià mercao immobiliare: 20% Figura 12: Ammorameno auariale del presio vs valore opzione Pu

21 Tabella 8: Probabilià di esercizio dell'opzione Pu. Anni Probabilià di Esercizio 1 0,00% 5 0,00% 10 0,01% 15 0,14% 20 0,84% 25 2,40% 30 2,62% 35 0,98% 40 0,11% 46 0,00% Tabella 9: Disribuzione per eà dei debiori e valore opzione Pu Eà LTV: 17,40% Eà LTV: 40,40% Volailià 10% 20% 25% Volailià 10% 20% 25% IRR Risk Adjused 7,22% 6,00% 5,38% IRR Risk Adjused 7,32% 6,22% 5,51% Cos o opzi one 0,28% 1,50% 2,12% Cos o opzi one 0,18% 1,28% 1,99% Toa l e 7,50% 7,50% 7,50% Toa l e 7,50% 7,50% 7,50% Base annua Base annua Eà LTV: 29,80% Eà LTV: 43,50% Volailià 10% 20% 25% Volailià 10% 20% 25% IRR Risk Adjused 7,23% 6,07% 5,44% IRR Risk Adjused 7,39% 6,43% 5,70% Cos o opzi one 0,27% 1,43% 2,06% Cos o opzi one 0,11% 1,07% 1,80% Toa l e 7,50% 7,50% 7,50% Toa l e 7,50% 7,50% 7,50% Base annua Base annua

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