Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di Corporate Banking and Finance a.a (Professor Eugenio Pavarani) Evoluzione della teoria del rischio finanziario da Markowitz al teorema della separazione al CAPM 1 Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz ha dimostrato l esistenza della Frontiera Efficiente Ma quale portafoglio sulla Frontiera è preferibile? Dipende dall avversione/propensione al rischio dell investitore (la scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza) E (R) Spazio oltre-frontiera Portafogli oggettivamente dominanti Y X Portafogli dominati σ 2 1

2 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line (1958) 1 Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe (1964) 2 e la Security Market Line 1 Tobin, James (1958), Liquidity Preference as Behavior towards Risk, Review of Economic Studies, 25, Sharpe, W. F. (1964), Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of Finance, 19 (September) 3 Investimento al tasso privo di rischio Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi Tobin ipotizza ora l esistenza di titoli caratterizzati da rischio nullo (σ = 0) che garantiscono quindi un rendimento sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate (Rf) E ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di rischio (es. titolo B) σ² p = a² σ² A +b² σ² B +2 a b σ A σ B ρ AB 4 2

3 Investimento al tasso privo di rischio E ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di rischio (es. titolo B) σ² p = a² σ² A +b² σ² B +2 a b σ A σ B ρ AB σ² p = a² σ² A a = σ p / σ A E(R p ) = a E(R A ) + b Rf E(R p ) = σ p / σ A E(R A ) + (1- σ p /σ A ) Rf E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p /σ A E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p y = a + b * x σa 5 Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una spezzata E (R p ) Rf x x A A A y σ p E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p σa 6 3

4 Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una spezzata E (R p ) x A x A A Rf La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita da portafogli con minor rischio a parità di rendimento y σ p E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p σa 7 Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una spezzata E (R p ) E (R A ) A y x 3^ ipotesi: 0 < σ p < σ A % del P A 1^ ipotesi: a = 0% σ p = 0 Rf 2^ ipotesi: a = 100% σ p = σ A σ A E(R p ) = Rf + [E(R A ) Rf] σ p σ p σ p = a * σ A σa 8 4

5 Indebitamento al tasso privo di rischio Abbiamo ipotizzato la possibilità di investire al tasso privo di rischio Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di rischio Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso Risk Free, e investire al rendimento offerto dal portafoglio di mercato (= effetto di leva finanziaria maggior rendimento e maggior rischio) Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente che diventa una semiretta 9 La nuova frontiera efficiente: una semiretta E(R x ) = (50 * 0,20) + (50 * 0,10) = 15% σ px = 50% * σ A E (R) x A y y es. W=100 Rf = 10% E(Ra)=20% Rf E(R A ) = 100 * 0,20 = 20% σ pa = 100% * σ A E(R y ) = (200 * 0,20) (100 * 0,10) = 30% σ σ py = 200% * σ A 10 5

6 La Capital Market Line E (R) R(p) = Rf + R(m) - Rf σ(m) σ(p) R(m) Rf CML m Pendenza CML Rf = Risk Free Rate R(m)= rendimento atteso del portafoglio di mercato σ(m) σ p σ(m)= sqm del portafoglio di mercato 11 Il portafoglio di mercato Il portafoglio m, detto Portafoglio di Mercato, è oggettivamente il migliore portafoglio di soli titoli rischiosi e domina qualsiasi altro portafoglio di soli titoli rischiosi La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è denominata Capital Market Line (CML) Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato da una quota del titolo privo di rischio e da una quota del portafoglio di mercato 12 6

7 Il portafoglio di mercato La scelta del portafoglio rischioso è oggettiva: non dipende dalla propensione al rischio dell investitore La quota dell investimento nell intero portafoglio rischioso da combinare con la quota nel titolo non rischioso è soggettiva: dipende dalla propensione al rischio del singolo investitore i due momenti decisionali sono separati 13 Il prezzo di mercato del rischio La pendenza della CML è il prezzo di mercato del rischio esprime il premio di rendimento pagato dal mercato per ogni unità di rischio aggiuntiva il rendimento di un portafoglio efficiente è funzione del peso attribuito alla componente rischiosa del portafoglio ed è determinato dall equazione della CML R(p) = Rf + R(m) - Rf σ(m) σ(p) 14 7

8 Il teorema della separazione di Tobin L introduzione del tasso privo di rischio e la nuova frontiera efficiente (CML) separano: l individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta oggettiva indipendente dalla propensione al rischio la scelta soggettiva di posizionamento lungo la CML, cioè la quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di indifferenza) ogni investitore razionale detiene il portafoglio di mercato per importi diversi quindi la reale composizione del portafoglio di mercato rispecchia la composizione ottimale 15 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 16 8

9 Diversificazione e valore La diversificazione consente di migliorare la relazione rischio/rendimento Un portafoglio di n titoli ha un rendimento pari alla media ponderata dei singoli rendimenti; per contro, ha un rischio complessivo inferiore alla media ponderata dei rischi dei singoli titoli in sostanza: è meno rischioso a parità di rendimento dei titoli che lo compongono 17 Diversificazione e valore Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma dei valori dei singoli titoli? In altri termini: quanto valore aggiunge la diversificazione? 18 9

10 Diversificazione e valore titolo prezzo quantità ATTIVITA PASSIVITA AUTOGRILL 9,595 x B.P. MILANO 3,273 x B. POLARE 3,715 x BENETTON 5,585 x CAMPARI 4,593 x DE LONGHI 4,150 x QUOTE ENI 16,490 x n FIAT 12,520 x FINMECC.CA 9,545 x GENERALI 16,030 x totale A quale prezzo potranno essere collocate le quote? Considerando che il sottoscrittore beneficia della diversificazione.. 19 Diversificazione e valore Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma dei valori dei singoli titoli? LA RISPOSTA E : NO, NON HA UN VALORE MAGGIORE Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore delle quote è dato dalla somma del valore dei singoli titoli presenti nel fondo stesso diviso per il numero delle quote Il mercato non riconosce nessun premio alla diversificazione Perché? 20 10

11 Perchè non è prezzato il rischio diversificabile? Non c è premio, da parte del mercato, per chi fa semplicemente scelte razionali E invece penalizzato chi non segue la strada della razionalità Il mercato prezza il rischio che rimane dopo la diversificazione Il rischio che viene prezzato dal mercato è il contributo fornito dal singolo titolo al rischio ineliminabile del portafoglio di mercato Chi preferisce tenersi anche il rischio diversificabile, non ottiene un rendimento corrispondente a quella componente del rischio Come misurare la componente rilevante del rischio? 21 La riduzione della varianza di un portafoglio con la diversificazione σ Rischio complessivo del titolo a Rischio eliminabile attraverso la diversificazione Rischio non eliminabile abc... n 22 11

12 Come misurare la componente rilevante del rischio? σ² p = a² σ² A +b² σ² B +2 a b σ A σ B ρ AB Il σ 2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché ingloba nella misura del rischio anche la componente eliminabile tramite la diversificazione In un portafoglio ben diversificato ogni singolo titolo non porta il proprio rischio complessivo Ciò che conta è l insieme delle covarianze ponderate del singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti nel mercato E quindi necessaria una nuova metrica del rischio 23 Il Capital Asset Pricing Model Come misurare il contributo di ogni singolo titolo al rischio complessivo del portafoglio di mercato? solo questa componente di rischio è rilevante per determinare il rendimento del titolo poichè la componente specifica del rischio è eliminabile attraverso la diversificazione, il mercato finanziario considera, nella determinazione del rendimento atteso, soltanto la componente non diversificabile 24 12

13 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 25 La varianza di un portafoglio di due titoli la matrice varianza-covarianza a a σ A σ A ρ AA a b σ A σ B ρ AB a 2 σ A 2 a b σ AB a b σ A σ B ρ AB b b σ a b σ B σ B ρ BB b 2 σ 2 AB B σ² p = a² σ² A +b² σ² B +2 a b σ A σ B ρ AB 26 13

14 La varianza di un portafoglio di due titoli la matrice varianza-covarianza a a σ A σ A ρ AA a b σ A σ B ρ AB a 2 σ A 2 a b σ AB a b σ A σ B ρ AB b b σ a b σ B σ B ρ BB b 2 σ 2 AB B All interno del portafoglio ogni titolo porta, con il rispettivo peso, - quote del proprio rischio complessivo e - quote delle covarianze con il rendimento degli altri titoli 27 La varianza di un portafoglio di tre titoli la matrice varianza-covarianza σ² P = a² σ² A +b² σ² B + c² σ² C + 2 a b σ AB +2 a c σ AC +2 b c σ BC A A a² σ² A B b a σ BA C c a σ CA a = peso del titolo A nel portafoglio B C a b σ AB a c σ AC b² σ² B b c σ BC c b σ CB c² σ² C b = peso del titolo B nel portafoglio c = peso del titolo C nel portafoglio 28 14

15 Ipotizziamo che il portafoglio di mercato sia composto da 8 titoli Matrice Varianze-Covarianze portafoglio di mercato con 8 titoli. A B C D E F G H A B C D E F G H covarianze tra i rendimenti dei singoli titoli Varianze dei singoli titoli 29 Aggiungiamo il titolo I al portafoglio Il contributo del nuovo titolo I alla varianza del portafoglio di mercato è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli. A B C D E F G H I A B C D E F G H I La varianza del titolo I incide sul rischio del portafoglio soltanto per 1 / 81 = 1 / N*N se i titoli hanno tutti lo stesso peso 30 15

16 Il contributo del singolo titolo al rischio del portafoglio di mercato Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze dei rendimenti del titolo con i rendimenti degli altri titoli presenti nel mercato La varianza del titolo è una componente minima All aumentare del numero di titoli nel mercato il contributo della sola varianza diventa sempre più piccolo ed irrilevante: in tal modo viene realizzata la diversificazione 31 Il rischio sistematico e il rischio diversificabile Il rischio di un qualsiasi titolo può essere distinto in due componenti rischio non sistematico (o diversificabile) rischio sistematico Rischio non sistematico: deriva da fattori specifici legati alla società emittente il titolo (firm specific). E eliminabile con la diversificazione Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici (di sistema) ed è ineliminabile 32 16

17 La riduzione della varianza di un portafoglio con la diversificazione σ Rischio non sistematico Rischio sistematico n 33 Evoluzione della teoria del rischio finanziario Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 34 17

18 La Security Market Line È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a E[R(i)] = Rf + [ R(m) Rf] σ (i, m) / σ 2 (m) rapporto - tra il rischio rilevante del singolo titolo e - il rischio del portafoglio di mercato es: se i valori sono uguali, il rapporto è = 1 il titolo ha stesso rischio e stesso rendimento del portafoglio di mercato > 1 = più elevato rendimento atteso e più rischio < 1 = più basso rendimento atteso e minor rischio 35 La Security Market Line È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a E[R(i)] = Rf + [ R(m) Rf] σ (i, m) / σ 2 (m) E[R(i)] = Rf + [ R(m) Rf] β i La SML stima il rendimento atteso di un titolo in funzione del suo contributo al rischio del portafoglio di mercato Il contributo del singolo titolo al rischio del portafoglio m è misurato dall indice Beta dato dal rapporto della covarianza tra titolo e mercato con la varianza del mercato β i = σ (i, m) σ 2 (m) β m = σ (m, m) = 1 σ 2 (m) Per rappresentare l equazione che definisce il rapporto rischio rendimento per un singolo titolo occorre passare dal piano (R,σ) al piano (R,β) 36 18

19 La Security Market Line E (Ri) Alto rendimento R(m) Basso rendimento es. 3,0% Rf MRP Basso rischio es. 8,69% es. 5,69% m β(m) = 1 SML E[R(i)] = Rf + β i [ R(m) Rf] Pendenza SML Market risk Premium (MRP) Alto rischio βi 37 L indice Beta La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e quelli del portafoglio di mercato Il β rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato Il β del mercato è per definizione pari ad uno, poichè la covarianza tra il mercato e se stesso è pari alla varianza Il β del mercato è la media ponderata dei β dei diversi titoli presenti nel mercato 38 19

20 Il Beta e il Market Risk Premium Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio sistematico del mercato ha un β inferiore ad 1 Un titolo che fornisce un rilevante contributo al rischio sistematico del mercato ha un β superiore ad 1 Il MRP è il premio per il rischio del mercato, poiché indica quante unità di rendimento è possibile attendersi per avere assunto rischio nella misura β = 1 Uno studio di Banca d Italia, ha stimato su base storica - nel 5,69% il MRP sul mercato finanziario italiano 39 L applicazione della SML la stima del costo del capitale azionario Il rendimento atteso dall azionista è il costo opportunità del capitale azionario per l impresa per non distruggere valore, l impresa deve remunerare l azionista in misura coerente con il rischio assunto e con il rendimento atteso Rendimento atteso dagli azionisti che hanno investito nel titolo azionario i R(i) = Rf + β i [ R(m) Rf] Costo del capitale azionario 40 20

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