7. Teoria dell Informazione

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1 7. Teora dell Informazone 7. Introduzone Come mostrato n Fg., n un sstema dgtale d telecomuncazone una sorgente trasmette nformazone, tramte un canale trasmssvo, a una destnazone. Gl nconvenent ntrodott dal canale (dstorson, nterferenze, rumore) possono alterare smbol {X } emess dalla sorgente e, per tener conto della possble dverstà, smbol che s presentano alla destnazone sono ndcat con {Y }. Sorgente S {X } Canale {Y } trasmssvo D Destnazone Fg. Gl obettv che s perseguono nel progettare un sstema possono sntetzzars propro nel mnmzzare tal nconvenent e, al contempo, nel massmzzare la quanttà d nformazone da nvare n un determnato ntervallo d tempo. Quest sono obettv contrastant perché, come gà esamnato n altra parte del corso, l aumento della veloctà trasmssva favorsce le dstorson e gl error. Cononostante, è possble rcorrere a degl accorgment che consentano d mtgare tale contrasto, modfcando messagg orgnal n messagg pù adatt alla trasmssone. Tal accorgment sono fornt dalla codfca d sorgente e d canale, come ndcato n Fg.. S TX Codfca d sorgente Codfca d canale Canale trasmssvo + n(t) Deodfca d canale Deodfca d sorgente D RX Fg. La Fg. non deve trarre n nganno. In essa sono evdenzat soltanto dspostv funzonal all argomento trattato, con un rcevtore (RX) costtuto soltanto da dspostv complementar a quell present nel trasmetttore (TX). La codfca d sorgente ha lo scopo d comprmere, compattare o zppare l messaggo, elmnando quanto d rdondante sa presente n esso. La notazone 6 è, per esempo, una forma che compatta l numero. Un altro esempo d codfca d sorgente sono tutt gl acronm che entrano contnuamente nella vta quotdana: ONU, OCSE, G8, G, PIL, ICT, ecc.. Come valutare l lnguaggo degl SMS, se non come una compressone d sorgente? In un sstema d TLC (ancora una compressone d sorgente!) è puttosto evdente che, n rcezone, l decodfcatore d sorgente deve svolgere la funzone speculare, rprstnando quanto tolto dal messaggo orgnaro. Vceversa, l codfcatore d canale aggunge de bt d controllo a bt compattat del messaggo per abltare l decodfcatore d canale a rdurre, se non elmnare, gl nevtabl error ntrodott dal canale. Nella pratca. la sorgente d nformazone è un segnale vocale o muscale, un testo, un mmagne fssa (Fax) o n movmento (segnale vdeo). Graze alle operazon d camponamento e d quantz- Fondament d telecomuncazon 6

2 zazone che trasformano un segnale analogco (contnuo nel tempo e n ampezza) n un segnale dscreto nel tempo e nelle ampezze, anche le sorgent analogche possono essere trattate come delle sorgent dscrete. Come è gà stato esamnato, l segnale vocale n uscta da un mcrofono una volta camponato, quantzzato e codfcato (PCM), perde la sua caratterstca orgnara d segnale analogco e può essere consderato alla stregua d un segnale bnaro emesso da una sorgente dgtale (per es. da un calcolatore). Qund, nessuna meravgla se nel seguto s consderano soltanto le sorgent dscrete! Tal sorgent s esprmono tramte un nseme fnto d smbol che, n analoga con l lnguaggo umano, prende l nome d alfabeto (lo spazo che contene tutt possbl smbol n uscta dalla sorgente). Quando la sorgente s esprme con un alfabeto costtuto da due sol smbol, la sorgente è defnta bnara ed n tal caso l smbolo prende l nome d bt. Vceversa, quando l nformazone emessa dalla sorgente s manfesta tramte un numero superore d smbol ma sempre fnto, normalmente una potenza del due (M = n ), la sorgente è defnta M-ara. Pertanto, ogn messaggo emesso dalla sorgente s manfesta tramte una sequenza d bt o, n generale, d smbol M-ar. Ad ognuno d ess è dedcato un ntervallo d tempo, un ntervallo d bt T b o d smbolo T s, e n questo senso la sorgente è dscreta anche rspetto al tempo, oltre che rspetto al numero fnto d smbol, ed emette smbol con una veloctà (rate) d R s smbol al secondo. Un rapdo resame d quanto vsto nella tecnca PCM applcata al segnale telefonco può autare a esemplfcare quanto detto. Infatt, se c s lmta a prendere n consderazone le operazon d camponamento e d quantzzazone, la sorgente d nformazone può essere consderata una sorgente dscreta M-ara con un alfabeto costtuto da 56 smbol ( lvell d quantzzazone) e con un T s u- guale a 5 μs. Se, vceversa, s consdera anche la codfca a otto bt de lvell d quantzzazone, la sorgente s esprme tramte un alfabeto costtuto soltanto da due smbol. Pertanto, la sorgente può essere nterpretata come una sorgente bnara con un ntervallo d bt T b uguale a 5,65 μs. Poché smbol emess nel tempo e qund le loro sequenze non sono not a pror (altrment non avrebbe senso realzzare un sstema d telecomuncazone!), la sorgente può essere pensata, o pù propramente, modellata come un processo aleatoro dscreto { X, dove è l ndce temporale e la varable aleatora X può assumere, rspettvamente, gl M valor (x, x,.., x M- ) descrtt a loro volta dalle probabltà P(x m, m =,.. M-) con le qual s manfestano nella sequenza. Se le probabltà assocate agl M smbol non varano nel tempo, la sorgente è assmlable a un processo aleatoro dscreto stazonaro. Le lettere mauscole sono utlzzate per ndcare la varable aleatora dscreta e quelle mnuscole ndcano l partcolare valore assunto dalla varable aleatora. La notazone può essere estesa alla probabltà congunta e a quella condzonale. Così, se, come n Fg., con Y è ndcata un altra varable aleatora, la notazone P(x m, y n ) ndca la probabltà che la varable aleatora X assuma l valore x m e che la varable aleatora Y assuma l valore y n. La notazone P(x m /y n ) rappresenta la } = Fondament d telecomuncazon 7

3 probabltà che la varable aleatora X assuma l valore x m una volta che la varable aleatora Y abba assunto l valore y n. 7. Msura dell nformazone ed entropa d sorgente Il prmo aspetto affrontato dalla teora è quello d msurare la quanttà d nformazone presente n un messaggo emesso da una sorgente. Ma prma d msurare una grandezza è necessaro defnrla! Cosa s ntende per quanttà d nformazone? Per sgombrare l campo da equvoc, va subto detto che non c s rfersce al contenuto del messaggo, al suo sgnfcato. Nell affrontare la codfca d sorgente e d canale, Shannon, nel suo lavoro A mathematcal theory of communcaton del 948, propone che la quanttà d nformazone sa una funzone della probabltà. Alcun semplc esemp dovrebbero charre quanto suggerto da Shannon. Se s consderano le due fras Doman l sole sorge e Doman l sole sorge alle 6 e 34 mnut, alla prma non è assocata alcuna nformazone, dato l carattere d regolartà e d certezza dell evento, mentre la seconda frase presenta una quanttà d nformazone dversa da zero. S dce che fa notza la frase Un uomo morde un cane e non l vceversa, perché tale evento s manfesta con una probabltà tendente a zero. In un testo scrtto c sono lettere che s manfestano con maggore frequenza d altre, per esempo la lettera e è pù frequente della lettera q. Lo stesso accade nella lngua parlata dove alcune parole sono pù probabl d altre. Pertanto, seguendo tale crtero, s può affermare che la quanttà d nformazone assocata a un messaggo è legata alla probabltà che l messaggo ha d manfestars. Quanto pù alta è la sua probabltà d presentars, tanto mnore è l nformazone ad esso assocata. Al contraro, se la probabltà d un messaggo è puttosto bassa la quanttà d nformazone che esso convogla è notevole. C sono molt event nella vta quotdana che possono essere osservat da questo punto d vsta. Event, per esempo, legat alle condzon clmatche, agl andament del mercato azonaro o alla vta socale possono presentare, a seconda de cas, bassa o alta quanttà d nformazone. Elemento comune d quest event è l loro carattere aleatoro. Quando s legge o s ascolta un nuovo argomento, la quanttà d nformazone che s rceve è notevole. Se, vceversa, l argomento è n parte o del tutto noto, la quanttà d nformazone dventa scarsa o nulla. Pertanto, per la msura dell nformazone dventa d fondamentale mportanza l ncertezza a pror sul contenuto del messaggo. Maggore è l ncertezza a pror, maggore sarà l nformazone acqusta dopo che l messaggo è rcevuto. Uno de vantagg delle trasmsson dgtal rspetto a quelle analogche è che lvell del segnale, o delle forme d onda, utlzzat per la trasmssone sono ben defnt e n numero lmtato e, pertanto, not al rcevtore. Cò che l rcevtore non conosce è l lvello nvato n un partcolare ntervallo d tempo e l loro sussegurs nel tempo. Compto del rcevtore è propro quello d ndvduare, nell ntervallo corrente, quale lvello tra quell possbl sa stato trasmesso dalla sorgente, compto Fondament d telecomuncazon 8

4 non sempre facle per l rcevtore a causa delle lmtazon present ne sstem d telecomuncazon. Esemp d queste lmtazon sono: una potenza del segnale trasmesso che non può superare cert valor, l nevtable rumore termco d fondo, le possbl nterferenze e la necesstà d mpegnare una banda lmtata sa su mezz fsc (doppn telefonc, cav coax, fbra ottca) sa nelle trasmsson va rado. Passando alle sorgent convolte ne sstem d nostro nteresse, queste possono essere dstnte n due categore : sorgent senza memora, quando cascun smbolo emesso è ndpendente da smbol precedent; sorgent con memora, quando l smbolo emesso dpende da uno o pù smbol precedent. Una sorgente dgtale senza memora (DSM) è defnta completamente quando: è noto l alfabeto de smbol utlzzat; sono note le probabltà con le qual s manfestano smbol; è nota la frequenza con la quale la sorgente emette smbol (numero d smbol/s). Indchamo con {x, x, x,.., x M- } l alfabeto tramte l quale la sorgente X s esprme e con P(x m ) le probabltà con le qual var smbol s manfestano. Se la sorgente è stazonara le probabltà rmangono costant nel tempo. Ogn smbolo può essere consderato come un messaggo che s presenta con la probabltà P(x m ). Per defnzone deve valere la relazone M m = P ( x m ) =. La quanttà d nformazone fornta dal sngolo smbolo, detta anche autonformazone, è defnta dall espressone I(x m ) = log = log P(x m ) () P(x ) La () ha l grande prego d razonalzzare quanto detto sul pano ntutvo. Infatt, se l generco smbolo x m fosse caratterzzato da una P(x m ) = (evento certo), la quanttà d nformazone sarebbe nulla. Vceversa, se P(x m ) assumesse valor sempre pù vcn allo zero, la quanttà d nformazone crescerebbe asntotcamente verso l nfnto. La funzone I(x m ), decrescente al crescere della probabltà, è rportata n Fg. 3, nell ntervallo [,] n cu sono defnte le P(x m ). S può osservare che la quanttà d nformazone è sempre maggore d zero [I(x m ) ] e, se un smbolo x h è meno probable d un smbolo x, a esso è assocata una quanttà d nformazone maggore. I(x h ) > I(x ) se P(x h ) < P(x ) () m I(x m ) Fg. 3 P(x m ) Fondament d telecomuncazon 9

5 È prass normale che l logartmo della () sa n base, perché s adotta come rfermento una sorgente bnara che emette due smbol e n modo equprobable, ovvero con la massma ncertezza a pror. In tal caso, la quanttà d nformazone fornta da ogn smbolo emesso dalla sorgente rsulta uguale ad, come ndcato d seguto. I(x m,m =,) = log = log = [bt] (3) / Pur essendo una grandezza admensonale, la quanttà d nformazone adotta come untà d msura l bt (bnary unt). Purtroppo l adozone d tale nome può far confondere con la parola bt (bnary dgt) che, nvece, ndca la cfra bnara. Dato che qualsas calcolatrce tascable calcola l logartmo naturale e n base, s rammenta che sono valde le seguent uguaglanze log con /log e =,44 e /log = 3,3. log e x log x x =. (4) log log = e Esempo S supponga che una sorgente sa n grado d emettere se smbol {x, x, x, x 3, x 4, x 5 }, statstcamente ndpendent tra loro, e che le loro probabltà d manfestars sano ugual. In base a tale potes, la probabltà assocata al sngolo evento è data da P(x m ) = /6. S consder che l comportamento d tale sorgente è analogo al lanco d un dado equlbrato. La quanttà d nformazone che s ottene dopo l emssone d un smbolo è data da I = log = log 6 = ln6/ ln = log 6/ log =,585 [bt]. (5) / 6 Se un altra sorgente è n grado d emettere soltanto due smbol {x, x } (la cosddetta sorgente bnara), statstcamente ndpendent tra loro ed equprobabl, comportamento analogo al lanco d una moneta equlbrata, la quanttà d nformazone che s ottene dopo l emssone d un smbolo è data da = log = log = [bt] (6) / I I due dvers rsultat confermano che nell emssone della prma sorgente c è una maggore ncertezza a pror (maggor numero d smbol) d quanto ne sa presente nell emssone della seconda. Pertanto, a posteror, l nformazone acqusta sarà maggore. S supponga ora che se smbol emess dalla prma sorgente sano statstcamente ndpendent ma non pù equprobabl (un dado non equlbrato), caratterzzat dalle seguent probabltà: P(x ) =., P(x 3 ) =.3, P(x ) =., P(x 4 ) =.5, (7) P(x ) =.5, P(x 5 ) =.. Fondament d telecomuncazon

6 In tal caso la quanttà d nformazone non è pù costante ma vara tra un valore d.737 bt (emssone del smbolo pù probable x 3 ) e un valore d 3.3 bt (emssone de smbol meno probabl x e x 5. Qund anche la quanttà d nformazone, varando n base al smbolo emesso, dventa una varable aleatora dscreta. Nel lavoro ctato, Shannon chamò l valore medo o l valore atteso della quanttà d nformazone entropa della sorgente ndcandola con la lettera H. Se s generalzza, una sorgente che emetta M smbol descrtt dalle relatve probabltà P(x m ) presenta a pror un ncertezza meda, ovvero un entropa data da M H (X) = P(x. bt/smb (8) m = M m )log = - P(xm)logP(x m) P(x m) m = A posteror, dopo una lunga emssone de smbol, essa fornsce una quanttà d nformazone meda calcolable con l espressone H(x) = P(x )log + P(x)log + P(x)log + P(x3)log + P(x4)log + P(x5)log, P(x) P(x) P(x) P(x3) P(x4) P(x5) e, n base alle (7), fornsce un valore H =,364 bt/smb. (9) Se smbol sono equprobabl, s ottene H(x) = 6 log6 =,585 bt/smb, 6 un valore superore a quello fornto dalla (9), a conferma che la condzone d equprobabltà è quella d massma ncertezza a pror. Il nome entropa derva dall analoga tra l ncertezza assocata a un messaggo e l dsordne n un sstema termodnamco. D seguto sono rchamate alcune sue propretà: se tutte le P(x ) sono nulle, tranne una sola, non c è alcuna ncertezza e l entropa è nulla. se tutte le P(x ) sono ugual l entropa è massma, perché è massma l ncertezza su quale smbolo sarà emesso. Nel caso partcolare d sorgente bnara (lanco d una moneta), se s ndca con P la probabltà che sa emesso lo (Testa) e con (-P) la probabltà che sa emesso l (Croce) s ha H(X) = P(xm)log = - P logp + (P ) log( P). () P(x ) m = m In Fg. 4 è rportato l andamento della (), dal quale è mmedato verfcare che l valore massmo dell entropa della sorgente s ha per p =,5, condzone d equprobabltà, e corrsponde a H(X) = bt/smb H(X).5 P Fg. 4 Fondament d telecomuncazon

7 Come rsulterà pù charo nel seguto, s può affermare che l entropa rappresenta anche una msura della lunghezza meda d un messaggo che dovrebbe essere trasmesso a dstanza per descrvere l emssone della sorgente. Per esempo, nel caso precedente d sorgente bnara equprobable, per trasmettere a dstanza l rsultato, per es. d lanc della moneta, devono essere trasmesse cfre bnare. Se, vceversa, la moneta presentasse due Teste, rsultat de lanc sarebbero sempre Testa. L ncertezza meda sarebbe nulla e non c sarebbe alcun motvo per trasmettere l messaggo Quanttà d nformazone ed entropa congunta Poché l potes d sorgent senza memora è pù ddattca che concreta, l passo successvo è quello d consderare coppe d smbol emess dalla sorgente, ndcate con (x, x ). Per estensone d quanto detto n precedenza, s defnsce quanttà d nformazone assocata a una coppa d smbol l espressone I(x,x ) = log () P(x,x ) dove P(x,x ) rappresenta la probabltà che due smbol s presentno conguntamente. S osserv che se due smbol sono statstcamente ndpendent, la probabltà congunta può scrvers come P(x ) P(x ), pertanto la () s trasforma nella I(x,x ) = log = log + log = I(x ) + I(x ), () P(x ) P(x ) P(x ) P(x ) La () suggersce che, nell potes d ndpendenza statstca tra due smbol, la quanttà d nformazone è data dalla somma delle nformazon assocate a sngol smbol. In una sequenza d smbol suffcentemente lunga, n modo che valor delle frequenze relatve concdano con le probabltà, la quanttà d nformazone meda assocata a coppe d smbol, defnta entropa congunta della sorgente, è data da = M- M = = H (X,X ) P(x, x )log. (3) P(x,x ) In altre parole, l entropa congunta rappresenta l ncertezza assocata a due varabl. Esempo S consder una sorgente ternara che s esprme con un alfabeto costtuto da tre smbol x, x e x. In un prmo momento s supponga che smbol sano equprobabl e statstcamente ndpendent tra loro e s vuole valutare l entropa congunta della sorgente. L potes d ndpendenza statstca suggersce che la (3) possa essere rscrtta come H(X, X ) P(x ) P(x )log (4) P(x )P(x ) = = = Poché l equprobabltà mplca P(x ) = P(x ) = P(x 3 ) = /3, la (4) dventa Fondament d telecomuncazon

8 H(X = 3,6 bt/coppa d smbol (5) =, X ) log 9 = = 9 È puttosto semplce verfcare che per le potes d lavoro, l rsultato concde con l doppo dell nformazone meda per smbolo che rsulta uguale a,58 bt/smbolo. Supponamo ora che sa mantenuta l potes d ndpendenza statstca e che tre smbol non sano pù equprobabl ma descrtt dalle probabltà P(x ) = 9/7, P(x ) = 6/7 e P(x ) = /7. La prma potes consente ancora d lavorare con la (4). Nella Tab. sono ndcat var pass del calcolo che fornsce l entropa congunta della sorgente, ovvero Tab. y = P(x ) P(x ) /y log /y z = 3,3 log /y y z P(x )P(x ) =, 9,,9544 3,73,35474 P(x )P(x ) =,9753 5,65,7436,346,463 P(x )P(x ) =,469 4,558,6746 5,3439,38595 P(x )P(x ) =,9753 5,65,7436,346,463 P(x )P(x ) =,3565,84766,45448,599,534 P(x )P(x ) =,43895,7863, ,53, P(x )P(x ) =,469 4,558,6746 5,3439,38595 P(x )P(x ) =,43895,7863, ,53, P(x )P(x ) =,5486 8,87,674 7,576,44 Σ Σ P(x )P(x ) = H =,5378 H(X, X ),538 bt/coppa d smbol. (6) Per l potes d ndpendenza statstca, dalla (6) s rcava un entropa d sorgente,7 bt/smb. S osserv che se s confronta la (6) con la (5), c s rende conto che l assenza d equprobabltà contrbusce a rdurre l ncertezza a pror e d conseguenza l nformazone meda per smbolo decresce rspetto al valore precedente. Che succede se anche l potes d ndpendenza statstca vene meno? In effett tale potes non è molto realstca. Pertanto, contnuando a consderare la sorgente precedente, s supponga che tre smbol s manfestno con le stesse probabltà P(x ) = 9/7, P(x ) = 6/7 e P(x ) = /7 ma non sano pù ndpendent statstcamente tra loro. La loro nterdpendenza è descrtta d seguto e sntetzzata nella tabella seguente: dopo l emssone d x non può rpresentars lo stesso smbolo x, mentre 4 volte su cnque s presenta x e una volta su cnque s presenta x ; dopo l emssone d x non s presenta l smbolo x, mentre gl altr due smbol s presentano n modo equprobable; Esemp llumnant d dpendenza statstca sono fornt dalle strutture lngustche. Per esempo la lettera q è sempre seguta dalla lettera u. Nella lngua talana c è soltanto una parola che fa eccezone: soqquadro. Sempre nella lngua talana, la maggor parte delle parole termnano con vocal. La vocale fnale degl aggettv è molto spesso uguale a quella del sostantvo a cu s rferscono, ecc.. Queste forme d dpendenza abbassano l ncertezza meda a pror d ch legge o ascolta la sorgente d nformazone e d conseguenza la quanttà d nformazone che ne rcava. Fondament d telecomuncazon 3

9 nfne, dopo l emssone d x, l smbolo x s presenta con probabltà ½, l smbolo x s presenta volte su 5 mentre l smbolo x s presenta una volta su dec, come rassunto nella Tab.. Tab. P(x /x ) x x x x ½ ½ x 4/5 ½ /5 x /5 / Nel caso d dpendenza statstca, graze al teorema d Bayes, la (3) può scrvers H (X,X ) P(x ) P(x /x )log (7) = = = P(x ) P(x / x ) Nella Tab. 3 sono ndcat var pass del calcolo. Tab. 3 z = P(s, s ) w = /z z 3,3 log w P(x )P(x /x ) = 9/7 = P(x )P(x /x ) = 9/7 4/5 = 36/35 35/36,5855 P(x )P(x /x ) = 9/7 /5 = 9/35 35/9,648 P(x )P(x /x ) = 6/7 ½ = 4/35 35/4,5 P(x )P(x /x ) = 6/7 ½ = 4/35 35/4,5 P(x )P(x /x ) = 6/7 = P(x )P(x /x ) = /7 ½ = 5/35 35/5,76 P(x )P(x /x ) = /7 /5 = 4/35 35/4,543 P(x )P(x /x ) = /7 / = /35 35,54 H(X,X ),88 Pertanto, l entropa congunta della sorgente rsulta H(X, X ),88 bt/coppa d smbol (8) e qund, se s confronta quest ultmo rsultato con la (6), s ha la conferma che la dpendenza statstca rduce l ncertezza a pror della sorgente e d conseguenza la quanttà d nformazone meda fornta dalla sorgente. Generalzzando, graze a Bayes, la (3) può essere rscrtta come o come M - M - M - M - H(X, X ) = P(x ) P(x /x ) log (9) = = H(X, X ) = P(x ) P(x /x ) log + = = P(x ) M - M - = = P(x )P(x /x ) P(x ) P(x /x ) log () P(x /x ) Saturando l prmo termne rspetto a, l entropa congunta s può rscrvere nella forma seguente Fondament d telecomuncazon 4

10 M- M- M- H(X, X ) = P(x ) log + P(x ) P(x /x ) log. () P(x ) P(x /x ) = = = da cu s ha H(X, X ) = H(X ) + HX /X ). () Graze a Bayes, s ha anche H(X, X ) = H(X ) + HX /X ). (3) 7. 4 Entropa condzonale Il secondo termne delle ( 3) rappresenta l entropa condzonale espressa come M- M- H(X /X ) = P(x, x ) log (4) P(x /x ) = = pertanto l entropa congunta delle varabl aleatore (X,Y ) è uguale all entropa della varable aleatora X pù la quanttà d nformazone meda fornta dalla varable aleatora X una volta che s è presentata X o vceversa come suggersce la (3). Dalla () s rcava H(X /X ) = H(X,X ) - H(X ). (5) Applcata la (5) all esempo precedente, l entropa condzonale rsulta essere H(X /X ) =,88 -,7 =,98. Il rsultato precedente suggersce che se l ncertezza sulla varable X è uguale a,7, la dpendenza statstca rduce tale ncertezza sulla varable X a,98 ed equvalentemente l nformazone che s acqussce a posteror. Nel caso d ndpendenza statstca le () e (3) s rducono alla H(X,X ) = H(X ) + H(X ) L entropa proposta da Shannon è stata largamente applcata nell analzzare lnguagg: n partcolare lnguagg scrtt. La maggor parte d ess s basano su un nseme fnto (alfabeto) d smbol (caratter) che varamente aggregat formano le parole. Alcun caratter rcorrono pù frequentemente d altr e lo stesso avvene per le parole. Lmtandoc alle lngue europee, caratter come X e Z sono rar rspetto a caratter A ed E. Va detto che per quanto rguarda le parole, la loro statstca dpende fortemente dal contesto dello scrtto (poltco, fnanzaro, scentfco ecc.), ma n ogn contesto v sono parole pù frequent d altre e lo stesso dcas per caratter. Nella tabella seguente sono rportate, n ordne decrescente, le probabltà con le qual s manfestano caratter nell nglese e nell talano scrtto. Se caratter fossero equprobabl, le rspettve massme entrope sarebbero H n = 4,7 bt/smb e H t = 4,4 bt/smb, dove la dfferenza dpende da cnque caratter n pù, present nell nglese scrtto, che creano una maggore ncertezza. Poché caratter non sono equprobabl le due entrope scendono, rspettvamente, a H n = 4,7 bt/smb e H t = 3,96 bt/smb Fondament d telecomuncazon 5

11 Inoltre, tenendo conto della dpendenza statstca tra caratter, presente n entrambe le lngue, c s deve aspettare un ulterore rduzone de valor precedent. Tab. 4 INGLESE SCRITTO ITALIANO SCRITTO x P(x ) H(x ) x P(x ) H(x ) e,7,3783 e,79, t,956,33796 a,74,3683 a,867,9566,8,355 o,757,8439 o,983,38984,6966,67746 n,688,65673 n,6749,6487 l,65,56578 s,637,5968 r,637,5358 h,694,45988 t,56,334 r,5987,4399 s,498,555 d,453,93744 c,45,33 l,45,86557 d,373,7698 c,78,43769 p,35,5357 u,758,4874 u,3,53 m,46,9379 m,5,33439 w,36,756 v,,745 f,8,78 g,64,9757 g,5,359 h,54,974 y,974,785 f,95,638 p,99,9878 b,9,63 b,49,956 q,5,38839 v,978,659 z,49,37599 k,77,5474,53,439 k x,5,47 w q,95,9538 x z,74,7696 y Σ ι P(x ) = H = 4,7585 H = 3, Codfca d sorgente Per descrvere una sorgente bnara spesso s rcorre all mmagne o al modello del lanco d una moneta. Se gl zer e gl un (le cfre bnare) emess dalla sorgente sono equprobabl, s deve aggungere che la moneta è ben equlbrata n modo che possbl rsultat del lanco, n meda, sano ugual. Vceversa, se s suppone che due smbol emess dalla sorgente non sano equprobabl, s parla d moneta polarzzata o non equlbrata. Detto cò, s supponga d esegure un numero molto elevato d lanc, per esempo mlon d lanc, e d voler trasmettere a dstanza rsultat d tal lanc. Se la moneta è equlbrata due rsultat sono equprobabl e l entropa della sorgente, come s è vsto, è data da bt/smb. Qund, per la trasmssone a dstanza, a ogn esto de lanc deve essere trasmessa una cfra bnara, per un totale d Mbt trasmess. Fondament d telecomuncazon 6

12 S supponga ora che la moneta sa squlbrata, per cu Testa s presenta con una probabltà uguale a, e Croce con una probabltà uguale a,8. In tal caso l entropa assocata al lanco della moneta non è pù uguale a bt/smb ma dventa,7 bt/smb. Per analoga con quanto detto prma, ad ogn lanco dovrebbe corrspondere la trasmssone dello,7 d cfra bnara. Ovvamente, non è possble trasmettere l esto d ogn lanco con una frazone d cfra bnara! Ma se s pensa d trasmettere tutt 7 est de lanc, dovrebbe essere suffcente trasmettere 7, Mbt nvece che Mbt a conferma della mnore ncertezza e qund della mnore nformazone da acqusre. La codfca d sorgente ha propro come obettvo quello d rdurre le cfre bnare da trasmettere n modo da usarne un numero che tenda all entropa della sorgente. Nel nostro esempo, una codfca d sorgente ottma è quella che consente d trasmettere soltanto 7, mlon d cfre bnare, con una lunghezza meda della parola d codce uguale all entropa della sorgente. Con l avvento de calcolator, la conversone de caratter generat dalla tastera n parole bnare costtute da e, segue l codce ASCII. Anche se dal 97, per ncludere caratter d altr lnguagg, l codce ASCII usa parole d codce a otto bt (56 parole bnare), per nostr scop la versone precedente a sette cfre bnare ( 7 = 8 parole bnare) è pù che suffcente per codfcare l alfabeto della tastera. Per esempo, alla lettera mauscola A corrspondeva la parola bnara e alla lettera mnuscola b corrspondeva la parola bnara. Se tutte le 8 parole del codce ASCII fossero equprobabl, l entropa massma assocata a tale codce sarebbe H max = log 7 = 7 bt/smb, valore che concde con la lunghezza della parola d codce. Quando s verfca che l numero d bt per smbolo concde con l numero d cfre bnare usate per la conversone, l codce è defnto ottmo. Ma, come rsulta dalla Tab. 4, caratter non hanno una probabltà unforme, pertanto la loro entropa è mnore della lunghezza d parola d codce (7 cfre bnare). Come è mmedato constatare n queste pagne, ne fle d testo caratter pù frequent sono lo spazo e le lettere mnuscole. L assenza dello spazo nella Tab. 4 suggersce che se lo s consdera come ulterore carattere, passando da 6 a 7, l entropa rsulta leggermente superore a 4,7 bt/smb, ma sempre nferore alle sette cfre bnare. La codfca ASCII può essere consderata, pertanto, una codfca non- ottma. Se, vceversa, l fle non è d testo ma d tpo pù generale la probabltà de caratter è pù unforme e qund la codfca ASCII s avvcna a quella ottma., 3,3 log 5 +,8 3,3 log (/8) =,7 bt/smb Fondament d telecomuncazon 7

13 S può, qund, dedurre che se l codfcatore d sorgente genera una parola d codce d lunghezza fssa, uguale per tutte le parole d codce, non esste la possbltà d ottmzzare l codce. Vceversa, l codce potrà essere ottmzzato se la parola d codce è a lunghezza varable. Un esempo storco d codfca d sorgente a lunghezza varable è dato dal codce Morse che assoca a caratter pù frequent le parole d codce pù corte e a quelle meno frequent le parole d codce pù lunghe, come s può constatare dalla Tab. 5: Tab. 5 Codce Morse A G M S Y 4 B H N T Z 5 C I O U 6 D J P V 7 E K Q W 8 F L R X 3 9 Per esempo, la sequenza costtuta da tre punt (dot), da tre lnee (dash) e da altr tre punt rappresenta l famoso messaggo SOS (Save Our Souls). Come doveroso rconoscmento a Morse, è opportuno osservare che egl era gà consapevole che le lettere E, T e A erano quelle che s manfestavano con maggore frequenza nell nglese scrtto. Indagn statstche comparse nel 94, dopo un secolo dal suo tempo, gl avrebbero suggerto, per esempo, che la lettera O è pù frequente della lettera I e che la lettera K (tre smbol) è meno frequente d molte altre lettere, alle qual assocò quattro smbol. Se c s lmta a osservare le sole ventse lettere present nella tabella precedente, c s rende conto che la lunghezza della parola d codce vara da una a quattro cfre bnare. Dventa, pertanto, nteressante calcolare una lunghezza meda della parola d codce o, n altre parole, l numero medo d cfre bnare, n base alla seguente espressone. L (X ) 6 = P (x ) λ (x ), [bt/smb] (6) x = dove λ(x ) è la lunghezza della parola d codce corrspondente al carattere x. Come rsulta dalla Tab. 6, l codce Morse presenta ha una lunghezza meda d cfre bnare L(X),54. Se s confronta tale valore con le cnque cfre bnare necessare per codfcare ventse caratter ( 5 = 3), s cogle l vantaggo della codfca a lunghezza varable della parola d codce. Fondament d telecomuncazon 8

14 Tab. 6 x P(x ) λ(x ) L(x ) = P(x ) λ(x ) x P(x ) λ(x ) L(x ) = P(x ) λ(x ) e,7,7 m,46,48 t,956,956 w,36 3,78 a,867,6334 f,8 4,89 o,757 3,5 g,5 3,645,6966,393 y,974 4,7896 n,6749,3498 p,99 4,776 s,637 3,898 b,49 4,5968 h,694 4,4376 v,978 4,39 r,5987 3,796 k,77 3,36 d,453 3,759,53 4,6 l,45 4,6 x,5 4,6 c,78 4,8 q,95 4,38 u,758 3,874 z,74 4,96 Σ P(x) = L(X) =, Codfca d sorgente a lunghezza varable Partamo da un esempo elementare, consderando una sorgente che dspone soltanto de cnque caratter A, B, C, D ed E, con P(A) =,7, P(B) =,, P(C) =,3, P(D) =,3, P(E) =,4. In base alla (8), l entropa della sorgente è data da H =,9346 bt/smb. Un crtero per assegnare una parola d codce con lunghezza varable a ognuno de cnque smbol è quello d mpostare l cosddetto albero della codfca. Come prmo passo, caratter sono ordnat secondo l ordne decrescente delle rspettve probabltà, come ndcato n Fg. 5. Carat. P(x ) Parole d codce E,4 D,3,6 B,3 A,7, C,3 Fg. 5 Come secondo passo, s sommano le probabltà de due caratter meno frequent (,3 +,7 =,) dstnguendo due percors: quello superore con uno zero e quello nferore con un uno. La procedura s rpete, sommando d nuovo le due probabltà pù basse (, +, =,3) e dstnguendo due percors come nel caso precedente. Fondament d telecomuncazon 9

15 La procedura termna quando l ultma somma delle probabltà raggunge l untà. Procedendo a rtroso, da destra verso snstra, s attrbuscono a caratter le cfre bnare che contraddstnguono relatv percors. Se l percorso superore fosse contraddstnto con un e quello nferore con uno zero le parole d codce rsulterebbero complementar alle precedent (seconda colonna), Usando la (6), s ottene una lunghezza meda della parola d codce L(X) = bt/smb. Il rapporto tra l entropa della sorgente e la lunghezza meda della parola d codce prende l nome d effcenza della codfca d sorgente. Per l esempo precedente s ottene un effcenza del 96%. H(X),9346 η = = =,96 L(X) Osservando la Fg. 5, anche se abbastanza asmmetrco, è puttosto mmedato ndvduare l cosddetto albero della codfca rportato n Fg. 6,7,3,,,3,3,6,4 Fg. 6 Inoltre, osservando le parole d codce present nella Fg. 5, vale la pena esamnare una loro propretà: tutte soddsfano la condzone del prefsso, ovvero nessuna d esse s comporta come prefsso delle altre parole d codce e l rspetto d tale propretà rsulta fondamentale n rcezone. In effett, dato per scontato che l decodfcatore conosca come lavora l codfcatore, se n ngresso al decodfcatore s presenta la seguente sequenza d cfre bnare.., esso non può equvocare nel segmentare la sequenza ed estrarre le parole d codce. Infatt, dopo l prmo non è presente uno e qund per decodfcare deve rcevere la terza cfra bnara. Se questa fosse uno la decodfca produrrebbe l carattere B, ma poché la terza cfra è un, per decodfcare deve rcevere la quarta cfra bnara. Poché essa è uno l decodfcatore produce l carattere A. La cfra bnara successva è un che non è tra le parole d codce qund deve rcevere la successva cfra bnara, che è uno. La coppa è una parola d codce e qund l decodfcatore la rconosce e la converte nel carattere D. Procedendo, s presenta la cfra bnara. Questa è una parola d codce e qund è convertta nel carattere E. Cosa analoga accade per l successvo. Infne, estendendo quanto detto per le prme quattro cfre bnare della sequenza, gl ultm quattro un sono convertt nel carattere C. Pertanto, caratter estratt dalla sequenza rcevuta saranno A D E E C.. Su questo modo d procedere s basa la codfca d Huffman, llustrata d seguto. Fondament d telecomuncazon 3

16 7. 7 Codfca d Huffman D seguto è llustrata la codfca secondo Huffman. L ngresso del codfcatore è costtuto da un blocco d caratter d lunghezza fssa, per esempo un carattere per volta, mentre l uscta è costtuta da una lunghezza varable d bt. Come esamnato n precedenza e smlmente alla codfca Morse, l crtero è quello d assegnare brev sequenze d bt a blocch d caratter n ngresso con probabltà elevate e vceversa sequenze d bt pù lunghe a blocch d caratter n ngresso con basse probabltà. Il processo d codfca è llustrato n Fg. 7 e consste ne seguent pass: caratter da codfcare sono elencat secondo l ordne decrescente delle loro probabltà; assocare uno e un agl ultm due caratter della lsta; sommare le probabltà e rordnare la lsta delle probabltà secondo l ordne decrescente. Qualora la somma sa uguale alla probabltà d un altro carattere dsporla nella poszone superore; Prosegure fno a quando rmane una sola coppa d smbol. x 5,74,74,74,74,39,47,593, x,73,73,73,34,74,39,47 x 8,63,63,63,73,34,74 x 3,56,56,56,63,73 x 4,89,89,45,56 x 6,85,85,89 x,3,6 X 7,9 Fg. 7 Se la sorgente emette gl otto smbol x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, descrtt dalle probabltà P(x ) =,73, P(x ) =,3, P(x 3 ) =,56, P(x 4 ) =,89, P(x 5 ) =,74, P(x 6 ) =,85, P(x 7 ) =,3, P(x 8 ) =,9, l prmo passo è quello d ordnare gl otto smbol secondo l ordne decrescente delle rspettve probabltà d manfestars. S sommano le probabltà degl element (caratter) meno frequent (gl ultm due) e s rordnano n senso decrescente le probabltà. I due ram convergent sono etchettat: per esempo l ramo superore con uno e l ramo nferore con un o vceversa, purché la convenzone sa sempre la stessa. Una volta che alla snstra rmanga una sola coppa d probabltà, l processo termna fornendo la probabltà untara. Percorrendo cammn che unscono gl element della prma colonna con l ultma coppa ( ), s regstrano le cfre bnare present negl otto percors. Per esempo partendo da x 5 s ncontra un nella penultma colonna e nfne uno. Ebbene, la parola d codce da attrbure a x 5 s ottene nvertendo l ordne d comparzone rcavando pertanto, come parola d codce, la coppa. Fondament d telecomuncazon 3

17 Iterando tale crtero, s ottengono le parole d codce rportate a destra nella Fg. 7. Tab, x P(x ) x P(x ) Parola d Parola H(x ) λ(x ) P(x )λ(x ) codce speculare x,73 x 5,74,5775,548 x,3 x,73, ,346 x 3,56 x 8,63, ,489 x 4,89 x 3,56, ,468 x 5,74 x 4,89,36 3,67 x 6,85 x 6,85,33 4,34 x 7,9 x,3, ,5 x 8,63 x 7,9, ,45 Σ = Σ = H(X) =,78 L(X) =,754 Nelle colonne 3 e 4 della Tab. 8 sono rportat caratter e le probabltà a ess assocate n base all ordne decrescente delle P(x ). Nella colonna 5 sono rportate le parole d codce da attrbure a caratter d colonna 3. La colonna 6 ndca come sarebbero le parole d codce se, nvece d adottare per ram superor lo e per ram nferor l, s adottasse la scelta opposta. Infne le colonne 7, 8 e 9 calcolano l entropa d sorgente nell potes d ndpendenza statstca de caratter e la lunghezza meda della parola d codce. S osserv che l effcenza della codfca rsulta η = H(X) L(X) =,7,754 =,9843 = 98,43 %. Poché H(X) è da L(X), la codfca è non-ottma, ma l effcenza è molto prossma all untà. In Fg. 7 è mostrato un altro algortmo d codfca, nel quale l rordno delle probabltà n senso decrescente è eseguto soltanto all nzo.,74,447,73,,63,553,56,39,89,34,85,45,3,6,9 Fg. 7 Dalla Tab. 9 s desume che la lunghezza meda della parola d codce è maggore d quella rcavata n precedenza, per cu l effcenza è nferore. In effett, l effcenza della codfca rsulta data da Fondament d telecomuncazon 3

18 η = H(X) L(X) =,7,89 =,9579 = 95,79 %. Tab x P(x ) x P(x ) Parola d codce Parola speculare H(x ) λ(x ) L(X)=P(x )λ(x ) x,73 x 5,74,5775,548 x,3 x,73, ,346 x 3,56 x 8,63,465894,36 x 4,89 x 3,56, ,468 x 5,74 x 4,89,36 4,356 x 6,85 x 6,85,33 5,45 x 7,9 x,3, ,86 x 8,63 x 7,9, ,74 Σ = H(X) =,78 L(X)=,89 Per concludere, va detto che la codfca secondo Huffman soddsfa l crtero del prefsso e s avvcna alla codfca ottma. Va, però, messo n evdenza l suo nconvenente e coè che essa rchede la conoscenza a pror della statstca d sorgente. Se della sorgente non s conosce la sua statstca, la codfca secondo Huffman prevede una prma fase destnata a costrure la statstca d sorgente e successvamente la fase d codfca, l che mplca un mpegno d tempo che può essere rlevante. Dopo aver llustrato la codfca a lunghezza varable e, n partcolare, rsultat della codfca d Huffman, dovrebbe rsultare comprensble l Teorema della codfca d sorgente d Shannon che afferma: data una sorgente X che s esprme con M element {x, x, x,... x M- }, a qual sono assocate le probabltà {P, P, P,... P M- }, è possble ndvduare una codfca d tal element che present una lunghezza meda delle parole d codce tale da soddsfare la relazone H(X) L(X) < H(X) +, dove H(X) è l entropa della sorgente Codfca d Lempel e Zv Rspetto a quella d Huffman, la codfca d Lempel e Zv può fare a meno d conoscere le caratterstche statstche della sorgente e pertanto può essere utlzzata per molt tp d sorgent. Cononostante, le sue prestazon, anche se non ottme, sono buone tanto da gustfcare l suo largo uso nella compressone senza perdta d fle. Contraramente a quella d Huffman, tale codfca agsce su segment a lunghezza varable della sequenza d ngresso per produrre parole d codce a lunghezza fssa. C sono molte verson dell algortmo d codfca d Lempel e Zv ma, per vncol del corso, c s lmta a llustrare quello defnto fondamentale. Fondament d telecomuncazon 33

19 L dea su cu s basa è puttosto semplce e consste nel realzzare un dzonaro costtuto da voc, ognuna ndvduata da un propro ndrzzo. Tal voc sono costrute segmentando la sequenza emessa dalla sorgente n sottosequenze d lunghezza varable che prendono l nome d fras, che a loro volta sono trasformate n parole d codce a lunghezza fssa. Per charre quanto detto, supponamo che la sorgente emetta la sequenza bnara (7) L algortmo lavora suddvdendo la sequenza n fras e costrusce, va va, l dzonaro delle fras a partre da quelle pù corte, assegnando loro un ndrzzo, chamato puntatore. Pertanto, esamnando la (7), la prma frase sarà costtuta dal prmo bt e la seconda frase dal bt. Ad entramb è assocato un puntatore costtuto da tutt zer. La terza frase dversa dalle precedent è costtuta dalla segmentazone costtuta dalla frase alla quale è aggunto l bt. Pertanto, la sua parola d codce sarà costtuta dal puntatore n formato bnaro della frase a cu va appeso l ultmo bt. Proseguendo nella segmentazone della (7), la quarta frase da nserre nel dzonaro dversa dalle precedent è costtuta da, la cu parola d codce è data dal puntatore della frase a cu va aggunto lo. Proseguendo nel defnre le vare voc del dzonaro, la prossma dversa dalle precedent è costtuta dalla coppa, la cu parola d codce è data dal puntatore della frase a cu va aggunto un. A questo punto, per avere una frase dversa dalle precedent da nserre nel dzonaro, vanno consderat tre bt a qual corrsponderà come parola d codce l puntatore della frase, ovvero, a cu va aggunto l bt. Seguendo questo crtero la (7) rsulta segmentata come d seguto. (8) La Tab. auta a osservare che ogn frase rsulta prefsso d fras successve. Per esempo, la terza frase è prefsso della nona frase e la quarta frase è prefsso della sesta e della settma. Qund ogn frase successva può essere dentfcata dalla combnazone del puntatore assocato alla frase prefsso e dell ultmo bt. Le prme due fras, costtute d un solo bt sono combnate con un puntatore uguale a. Va osservato che le 4 cfre bnare present nella (7) dopo la codfca dventano 75, l che non suggersce una forma d compressone. Va detto che questa espansone è gustfcata dalla lunghezza lmtata della (7). Dopo una fase d nzalzzazone, n cu prevale un espansone, al crescere della lunghezza della sequenza da codfcare s manfesta l effetto d compressone raggungendo effcenze d codfca elevate anche se nferor a quelle ottenbl con la codfca d Huffman. Fondament d telecomuncazon 34

20 Tab. Puntatore Fras Parola d codce Decodfca In rcezone, per svolgere l suo compto, l decodfcatore deve realzzare lo stesso dzonaro creato dal codfcatore n trasmssone. L aspetto mportante del crtero è che tale dzonaro non deve essere trasmesso n antcpo ma s costrusce va va che arrva la sequenza codfcata. Per comodtà, d seguto è rportata la codfca della sequenza precedente, dove le separazon sono nserte per facltarne la lettura Poché l algortmo mpone l vncolo che le prme due parole d codce sano o tutt oppure tutt e un, l decodfcatore può rsalre al numero d bt d cu è costtuta la parola d codce, ndcata con L c. Sottraendo a essa un bt, l decodfcatore è n grado d rsalre alla dmensone del dzonaro data da Lc. Effettuato tale dmensonamento, va va che le parole d codce arrvano realzzano l dzonaro, rcostruendo a rtroso la tabella precedente. 7.9 Informazone mutua Un altra quanttà mportante, ntrodotta da Shannon, è l nformazone mutua, defnta dall espressone I(Y; X) = H(Y) - H(Y/X). [bt/smb] (9) S osserv che per evtare d confonderla con l nformazone congunta, come separatore tra le due varabl aleatore s adotta l punto e vrgola e non la vrgola. Fondament d telecomuncazon 35

21 L nformazone mutua rappresenta la rduzone meda dell ncertezza crca la varable aleatora Y una volta che sa noto l valore assunto dalla varable X. La (9) può essere esplctata come segue M I(Y;X) = M- M- P(y ) log - = P(y ) = = P(x, y ) log (3) P(y /x ) Con le seguent manpolazon, l secondo termne della (3) può essere trasformato come segue M- M- = = M- M- M- M- P(x ) P(x ) P(x, y ) P(x, y ) log = P(x, y ) log = - P(x, y ) log. P(y /x )P(x ) P(x, y ) P(x ) = = e pertanto, l nformazone mutua può essere defnta, n modo alternatvo alla (9), con l espressone M I(Y;X) = P(y ) log = P(y I(Y;X) = ) + = = P(x, y ) M M P (x, y )log = = P(x ) M M (x, y )log = = P(x )P(y ) P(x, y ) P (3) Da quest ultma relazone è mmedato dedurre che nel caso d ndpendenza statstca tra le due varabl l nformazone mutua è uguale a. Per vsualzzare le relazon tra le dverse entrope è comodo utlzzare la rappresentazone dervata da dagramm d Venn, rportata n Fg. 8. H(X) I(X;Y) H(Y) H(X/Y) H(Y/X) Fg. 8 Uno sguardo alla Fg. 8 suggersce che l nformazone mutua è se due nsem H(X) e H(Y) presentano un nseme ntersezone, ovvero una dpendenza statstca. Inoltre, da essa possono essere dedotte altre relazon, per esempo, tra l entropa congunta e quelle margnal H(X,Y) = H(X) + H(Y/X) = H(Y) + H(X/Y) (3) e una defnzone alternatva alla (9) I(X;Y ) = H(X) - H(X/Y) (propretà d smmetra dell nformazone mutua) Quest ultma relazone rappresenta l ncertezza che s ha rspetto alla varable presente all ngresso del canale una volta che s sa osservata l uscta del canale. Un modo alternatvo, altrettanto effcace, per vsualzzare le precedent relazon è l seguente Fondament d telecomuncazon 36

22 7. Canal bnar Un canale bnaro rumoroso può essere schematzzato come n Fg. 9, dove con X è ndcata la varable aleatora che rappresenta la sorgente, descrtta dalle due probabltà P{X = } = p e P{X = } = p, con l vncolo p + p =. A causa del rumore d canale, la trasmssone può essere affetta da error, per cu pur essendo stato trasmesso un a valle del comparatore è rvelato uno o, vceversa, pur essendo stato trasmesso uno a valle del comparatore è rvelato un. Per descrvere l ulterore aleatoretà ntrodotta dal canale, sono utlzzate le seguent probabltà condzonate P{Y = /X = } = P{Y = / X = } = p, (33) P{Y = /X = } = P{Y = / X = } = - p dove l valore d p è fornto, numercamente, dalla probabltà d errore P e, vsta n precedenza. X p p Y - p p p - p Fg. 9 Quando sono valde le (33) l canale bnaro è defnto smmetrco. Dalla statstca della sorgente e dalle (33) s rcavano le probabltà che descrvono la varable Y, P{Y = } e P{Y = }: P{Y = } = P{X = } P{Y = /X = } + P{X = } P{Y = /X = }= p ( p) + p p. P{Y = } = P{X = } P{Y = /X = } + P{X = } P{Y = /X = }= p p + p ( p). (34) S osserv che nel caso deale d canale non rumoroso, le (3) dventano P{Y = /X = } = P{Y = / X = } = P{Y = /X = } = P{Y = / X = } = e la statstca dell uscta dventa uguale a quella della sorgente. Nel caso reale d canale rumoroso, tanto pù è pccola p tanto pù l canale approssma l canale deale e l suo uso dventa sempre pù affdable mentre, come caso lmte opposto, se p è = ½, l canale dventa nservble poché smbol n uscta sono completamente scorrelat da quell n ngresso. Prma d passare ad applcare concett d entropa e d nformazone mutua al canale bnaro smmetrco (BSC), per completezza va detto che questo non è l unco modello d canale trasmssvo che s può ncontrare. In effett, se un canale bnaro può essere schematzzato come n Fg., n cu soltanto uno de due smbol emess dalla sorgente è nfluenzato dal rumore, s parla d canale bnaro non smmetrco. Fondament d telecomuncazon 37

23 X p Y p p - p Fg. Ferma restando la statstca della sorgente, le (33) dventano P{Y = /X = } =, P{Y = /X = } =, P{Y = /X = } = p P{Y = /X = } = - p (35) e la statstca dell uscta è data da P{Y = } = P{X = } P{Y = /X = } + P{X = } P{Y = /X = }= p + p p. P{Y = } = P{X = } P{Y = /X = }= p ( p). 7. Entropa d canale Tornando al canale BSC e ponendo p = p, l entropa d sorgente, è data da H(X) = - p log p - (- p ) log ( p ). Per quanto rguarda l calcolo d H(Y), graze alle poszon P{Y = } = p + p - p p = a P{Y = } = p p + p p = a. s può scrvere pù sntetcamente H(Y) = - a log a - ( a) log ( a). (36) È opportuno evdenzare che per p =, canale non rumoroso, l entropa dell uscta è uguale all entropa della sorgente d nformazone. Quanto detto è anche confermato da un osservazone della seguente fgura. La Fg. rporta l andamento d H(Y) al varare della statstca della sorgente per alcun valor della probabltà d errore del canale P e = p. La curva pù bassa è traccata per P e =, quando H(Y) = H(X), mentre la curva leggermente superore è traccata per una P e = 5-3. Per valor d P e nferor a 5-3, le curve sono pratcamente sovrapposte. Le altre curve sono traccate per valor crescent d P e ( -,,5 -, 3 -, per fnre con 5 - ) e s dmostrano utl perché evdenzano che l ncertezza dell uscta è maggore d quella assocata alla sorgente a causa del rumore d canale e cresce con essa, a meno che la sorgente non emetta suo smbol n modo equprobable. In altre parole, a tale aumento d ncertezza non deve essere attrbuto un analogo ncremento d nformazone a posteror, perché esso è ntrodotto dal rumore del canale. Fondament d telecomuncazon 38

24 .4 H(Y)..8.6 P e = p Fg. Fatte queste consderazon sulle grandezze esamnate, s pass ad esamnare, graze alle (33), l entropa condzonale H(Y/X). Rcorrendo al secondo termne della (), quattro termn della sommatora sono rspettvamente: - P(x )P(y /x )log P(y /x ) = - p log ( p) + p p log ( p) - P(x )P(y /x )log P(y /x ) = - p p log p - P(x )P(y /x )log P(y /x ) = - p log p + p p log p - P(x )P(y /x )log P(y /x ) = - log ( p) + p log ( p) + p log ( p) p plog ( p). Pertanto, elmnando termn d segno opposto s ottene H(Y/X) = - p log p + (p ) log ( p). (37) La (37) evdenza che l ncertezza assocata alla varable n uscta, una volta noto l smbolo e- messo dalla sorgente, dpende soltanto dal rumore del canale e non dalla probabltà del smbolo emesso. In effett, nella (37) compare solo la p = P e ed è ndpendente dalla statstca dell ngresso. Per tale motvo, nella letteratura d rfermento, l entropa condzonale prende anche l nome d equvocazone. Dsponendo della (36) e della (37), l nformazone mutua è data da I(Y;X) = H(Y) - H(Y/X) = - a log a - ( a) log ( a) + P e log P e - (P e ) log ( P e ). (38) Anche per questa grandezza è comodo ragonare con l supporto della Fg., dove è rportata la (38) al varare della statstca della sorgente e della rumorostà del canale. La curva superore è traccata per valor della P e molto mnor d -. Per tal valor l terzo e l quarto termne della (38) sono trascurabl e qund la curva rappresenta I(X;Y) = H(Y) = H(X). Al crescere della rumorostà del canale, l nformazone mutua decresce tendendo a zero al tendere d P e a,5, a prescndere dalla statstca dell ngresso. Per P e =,5 s dce che l canale è nservble. Altra osservazone mportante è che, a prescndere dalla rumorostà del canale, l nformazone mutua è sempre massma quando smbol emess dalla sorgente sono equprobabl. Consderando che H(Y/X) rappresenta la rumorostà del canale, s può affermare che puttosto che la H(Y) è la I(Y;X) che fornsce l effettva msura della quanttà d nformazone presente all uscta del canale. Fondament d telecomuncazon 39

25 I(X;Y) Pe = Pe = -. Pe = 3 -. Pe = p Fg. 7. Capactà d nformazone del canale La Fg. 3 mostra uno schema a blocch semplfcato d un canale d comuncazone bnaro passa banda con modulazone, per esempo, PSK. In esso l canale fsco realzza la connessone tra l trasmetttore e l rcevtore. L ngresso al canale d comuncazone e la sua uscta sono forme d onda analogche (pacchett d snusod). Tra l uscta del codfcatore d canale e l uscta del comparatore, l canale è dscreto con ngresso e uscta d tpo bnaro. A causa del rumore ntrodotto, prncpalmente nel canale analogco, l bt n uscta al comparatore può essere dverso da quello che s presenta n ngresso al modulatore. Trasmetttore Ingresso bnaro Codfcatore d sorgente Codfcatore d canale Modulatore HPA Canale dscreto Canale analogco Canale fsco Mezzo trasmssvo Uscta bnara Decodfcatore d sorgente Decodfcatore d canale Rvelatore e comparatore Fltro Passa banda + n(t) Rcevtore Fg. 3 Per capactà d nformazone del canale s ntende l numero d bt d nformazone che può essere trasmesso n un secondo [bt/sec]. Poché per quanto rguarda l canale analogco, nserto nel canale bnaro, la P e dpende dal rapporto E b /N, anche la capactà dpenderà da tale rapporto, oltre che dalla larghezza d banda del canale trasmssvo. Se la frequenza R s, con cu l codfcatore d sorgente emette bt (le cfre bnare, ovvero l supporto fsco dell nformazone), rsulta nferore alla capactà d canale, allora è possble pensare d rdurre la probabltà d errore senza aumentare la potenza n trasmssone, ovvero l E b, rcorrendo alla codfca d canale. Fondament d telecomuncazon 4

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