ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

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1 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione 1. Sino, b Z due interi, con b 0. Si chimno quoziente e resto dell divisione di per b gli interi q ed r, rispettivmente, che verificno entrmbe le seguenti condizioni: (1) = qb + r; (2) 0 r < b. Se l prim condizione è nturlmente ssocit l concetto di divisione, l second condizione è nch ess nturle se si vuole che quoziente e resto sino univocmente individuti, come mostr il seguente esempio. Esempio 2. Sino = 16, b = 5. Il quoziente ed il resto dell divisione di per b sono q = 3, r = 1. D ltr prte, è ver nche le uguglinze 16 = e 16 = che verificno l prim delle due condizioni sul quoziente ed il resto, m non l second. Definizione 3. Sino, b Z due interi con b 0. Dicimo che b divide e scrivimo b se il resto dell divisione di per b è zero. Possimo or definire i numeri primi. Definizione 4. Un numero p Z, p > 0, è primo se è divisibile solo per ±1, ±p. I numeri primi sono i blocchi elementri che permettono di costruire tutti gli ltri numeri interi. Vle inftti il seguente risultto: Teorem 5. Ogni numero intero si scrive in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi. Dimostrzione. Possimo rgionre sui numeri interi positivi, essendo nlog l dimostrzione per i numeri negtivi. Comincimo col provre che un simile decomposizione esiste. A tle scopo, procedimo per induzione su. Se = 1, llor esso è primo e quindi l sserto è vero. Supponimo che l sserto si vero per tutti i numeri minori di, e dimostrimolo per. Se è primo, l sserto è vero. Se non è primo, llor esistono b, c N con 1 < b <, 1 < c < tli che = b c. Essendo b e c minori di per essi vle l sserto e quindi b = p m 1 1 p m r r e c = q n 1 1 q n s s con p 1,... p r, q 1,..., q s numeri primi ed m 1,..., m r, n 1,..., n s interi positivi. Allor = p m 1 1 p m r r q n 1 1 q n s s, e l sserto vle nche per. Verifichimo or l unicità dell decomposizione. Si = p m 1 1 p mr r = q n 1 1 q ns s. Poiché p 1 divide llor esso divide nche q n 1 1 qs ns e quindi divide uno dei numeri primi q 1,..., q s, ossi p 1 è ugule d uno tr i primi q 1,..., q s. Supponimo p 1 = q 1. 1

2 2 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI Semplificndo le potenze di p 1 e q 1 (che hnno lo stesso esponente ltrimenti p 1 dovrebbe dividere un prodotto in cui esso non compre), ottenimo l uguglinz p m 2 2 p mr r = q n 2 2 q ns s. Iterndo l rgomento precedente, ottenimo che le due fttorizzzioni sono uguli. Possimo llor definire mssimo comun divisore e minimo comune multiplo di un coppi di interi. Definizione 6. Sino, b N due interi. Si chim mssimo comun divisore di, b e lo si indic come MCD(, b) il mssimo intero che divide si si b. Si chim minimo comune multiplo di e b, e lo si indic come mcm(, b) il minimo intero che è diviso si d si d b. Si può dimostre che minimo comune multiplo e mssimo comun divisore esistono e sono unici. Inftti, dte le fttorizzzioni di e b come potenze di numeri primi, il mssimo comun divisore di e b è il prodotto dei primi comuni elevti l minimo esponente, mentre il minimo comune multiplo è il prodotto dei primi comuni e non comuni elevti l mssimo esponente. Poiché però fttorizzre un intero è un procedimento piuttosto lborioso, mostrimo un metodo lterntivo di clcolo per il mssimo comun divisore ed il minimo comune multiplo di due interi, b. Proposizione 7. Sino, b due interi non nulli. Allor mcm(, b)mcd(, b) = b. Dimostrzione. Il prodotto mcm(, b)m CD(, b) è ugule l prodotto dei primi che compiono nelle fttorizzzioni di, b elevti ll somm degli esponenti, e quindi è ugule l prodotto di e b. Vedimo llor come clcolre il mssimo comun divisore con un lgoritmo dovuto d Euclide. Proposizione 8. Sino, b due interi non nulli. Sino = r 0, b = r 1 e si r i+1 il resto dell divisione di r i 1 per r i con i 1. Allor MCD(, b) = r k, essendo k il primo indice per cui r k+1 = 0. Inoltre, vle il seguente risultto: Teorem 9. Sino, b due interi non nulli. Allor esistono interi r ed s che verificno l uguglinz MCD(, b) = r + bs. Invece di dimostrre i risultti precedenti, li illustrimo su un esempio. Esempio 10. Sino = 143, b = 121. Dividendo per b ottenimo 143 = e quindi r 2 = 22. Dividimo or b per r 2 ed ottenimo 121 = e quindi r 3 = 11. Dividimo or r 2 per r 3 ed ottenimo 22 = e quindi r 4 = 0 e l lgoritmo si rrest. Inoltre, MCD(143, 121) = 11 essendo 11 l ultimo resto non nullo.

3 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 3 Esprimimo or 11 come combinzione di 143 e 121. L prim divisione effettut ci dice che 143 = , e quindi 22 = Sostituendo nell second divisione, ottenimo 121 = 5 ( ) + 11 d cui 121 = ossi 11 = Considerimo or equzioni coefficienti interi, e chiedimoci qundo esse hnno soluzioni intere. Tli equzioni vengono dette Diofntee. Per semplicità ci limitimo d equzioni lineri. Comincimo d un equzione del tipo (1) x = b. Proposizione 11. L equzione x = b con, b Z, 0, h soluzioni in Z se, e solo se, b. In tl cso, l soluzione è unic ed è x = b/. Dimostrzione. Se c Z è soluzione llor b = c e quindi b. Vicevers, se b, llor b = c per qulche c Z e quindi c è soluzione dell equzione. L unicità è evidente come nche l form dell soluzione. Trttimo or un equzione linere due incognite. Proposizione 12. L equzione (2) x + by = c h soluzioni intere se, e solo se, MCD(, b) c. In questo cso, le soluzioni sono infinite e dipendono d un prmetro libero in Z. Dimostrzione. Si (x 0, y 0 ) Z 2 un soluzione, ossi x 0 +by 0 = c. Poiché MCD(, b) e MCD(, b) b llor MCD(, b) x 0 + by 0 = c. Vicevers, si c = qmcd(, b). Poiché esistono r, s Z tli che MCD(, b) = r + bs bbimo nche che c = (qr) + b(qs), e quindi l equzione h soluzioni. Voglimo or trovre tutte( le soluzioni) dell equzione. D ltr prte, qulunque si bh h Z bbimo + b h = 0, e quindi MCD(,b) MCD(,b) ( ) ( ) bh h c = qr + + b qs MCD(, b) MCD(, b) ( ) bh qulunque si h Z e quindi S = { qr +, qs h h Z} è un insieme MCD(,b) MCD(,b) di soluzioni dell equzione dt. Verifichimo che non ce ne sono ltre. Si (x 0, y 0 ) un soluzione. Allor c = x 0 +by 0 = qr+bqs. Sottrendo bbimo (x 0 qr)+b(y 0 qs) = 0 e quindi (x 0 qr, y 0 qs) è soluzione dell equzione omogene X + by = 0. Dividendo per MCD(, b) bbimo l equzione con MCD( in comune con, MCD(,b) b MCD(,b) MCD(, b) X + b MCD(, b) Y = 0 b ) = 1. Poiché MCD(,b) llor esso divide Y, e quindi Y = Sostituendo e dividendo per bbimo X = MCD(,b) Anlogmente, si può dimostrre che MCD(,b) divide b MCD(,b) MCD(,b) Y m non h primi h per qulche h Z. b h e quindi (x MCD(,b) 0, y 0 ) S. Proposizione 13. L equzione x + by + cz = d con, b, c, d Z h soluzioni se, e solo se, MCD(, b, c) d. In questo cso, h infinite soluzioni che dipendono d due prmetri liberi in Z.

4 4 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI Non dimostrimo l precedente Proposizione, m dimo l form delle soluzioni. Assumimo che l equzione bbi soluzioni, e che MCD(, b, c) = 1. Detti r, s interi che verificno r + MCD(b, c)s = 1, e detti r, s interi che verificno br + cs = MCD(b, c) llor le soluzioni sono tutte e sole quelle dell form (rd MCD(b, c)h, r sd + r h c k, MCD(b,c) ss d + s b h + k) con h, k Z. MCD(b,c) Ovvimente, le Proposizioni precedenti possono essere generlizzte d un equzione linere in un numero rbitrrio di incognite. Inoltre, risolvendo un equzione ll volt, è possibile trovre le soluzioni intere nche di un sistem linere coefficienti interi. Esempio 14. Trovimo d esempio le soluzioni intere dell equzione 8x + 6y = 8. Poiché MCD(8, 6) = 2 divide 8 termine noto dell equzione, l equzione h soluzioni. Osservimo che ( 1) = MCD(8, 6). Quindi, in ccordo ll formul trovt, le soluzioni sono tutte e sole quelle dell form (4 + 3h, 4 4h), con h Z. Esempio 15. Risolvere in Z, se possibile, il sistem linere { 2x + 5y = 4 3x + 2y = 5 Risolvimo l prim equzione, usndo il metodo precedentemente esposto. Ess h soluzioni perché MCD(2, 5) = 1, ed esse sono tutte e sole quelle dell form (8 + 5h, 4 2h) con h Z. Sostituendo nell second equzione, ottenimo l nuov equzione 3(8 + 5h)+2( 4 2h) = 5 ossi 11h = 11 nell incognit h. Ess h l unic soluzione h = 1, e quindi l unic soluzione del sistem dto è (8 5, 4 + 2) = (3, 2). Riprendimo or l divisione tr interi. Fissimo N, 0. I possibili resti dell divisione per sono 0, 1,..., 1, ed è ovvio che tutti vengono relizzti. Non solo, m possimo riprtire gli interi in bse l resto che si ottiene nell divisione per, ottenendo le cosiddette clssi dei resti. Inftti, bbimo Lemm 16. Si N un intero non nullo, e si r un possibile resto, ossi 0 r <. Tutti e soli gli interi che divisi per hnno resto r sono quelli dell insieme [r] = {r + h h Z}. Dimostrzione. È evidente che ogni elemento di [r] h resto r nell divisione per, dll definizione di quoziente e resto. Si c Z un intero che h resto r nell divisione per. Allor c = q + r, e quindi c [r] per h = q. Per convenzione, se b Z ponimo [b] = [r] dove r è il resto dell divisione di b per. Infine, è chiro che Z = [0] [1] [ 1] e che [r] [r ] se, e solo se, r ed r hnno lo stesso resto nell divisione per. Definizione 17. Si N un intero non nullo. L insieme delle clssi dei resti nell divisione per si indic con Z, ossi Z = {[0], [1],..., [ 1] }. Voglimo or definire l operzione di somm e di prodotto tr gli elementi di Z. Comincimo con l seguente osservzione. Lemm 18. Sino b [r] e c [r ] due interi. Allor b + c ed r + r hnno lo stesso resto nell divisione per. Dimostrzione. Dll definizione delle clssi dei resti, bbimo che b = h + r, c = k + r. Sommndo bbimo b + c = (h + k) + r + r. Se r + r = q + r llor b + c = (h + k + q) + r e questo prov l sserto.

5 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 5 Il Lemm precedente permette llor di definire l somm di due clssi come l clsse del resto dell somm di due elementi qulsisi nell clsse, ossi Definizione 19. In Z definimo l somm come qulunque sino le clssi [r] ed [r ]. [r] + [r ] = [r + r ] L somm verific le stesse proprietà dell somm di interi, ossi è ssocitiv, commuttiv, l clsse [0] è elemento neutro, ossi [r] + [0] = [r] per ogni [r] Z, ed ogni clsse h l opposto perché [r] + [ r] = [0]. Prim di definire il prodotto di due clssi osservimo l seguente proprietà. Lemm 20. Sino b [r], c [r ]. Allor bc ed rr hnno lo stesso resto nell divisione per. Dimostrzione. Dll definizione delle clssi dei resti bbimo che b = h+r, c = k+r. Quindi bc = (hk + kr + hr ) + rr. Se rr = q + r llor bc = (hk + kr + hr + q) + r e quindi bc ed rr hnno lo stesso resto nell divisione per. Possimo llor definire il prodotto di due clssi come l clsse del prodotto di due elementi qulsisi nelle clssi, ossi Definizione 21. Sino [r], [r ] Z due clssi di resti. Allor [r] [r ] = [rr ]. Anche il prodotto h regole di clcolo simili quelle del prodotto di interi. Inftti, il prodotto è ssocitivo, commuttivo, l clsse [1] è elemento neutro del prodotto, ossi [r] [1] = [r] qulunque si [r] Z. Inoltre, vle l proprietà distributiv del prodotto rispetto ll somm. A differenz del prodotto in Z, possono esistere ltri elementi oltre ll clsse [1] che hnno inverso moltiplictivo. Non solo, m possono esistere nche elementi non nulli che moltiplicti tr loro dnno [0] come risultto. Esempio 22. Clcolimo i prodotti [3] 8 [3] 8, ed [4] 8 [6] 8. Dll definizione ottenimo [3] 8 [3] 8 = [3 3] 8 = [9] 8 = [1] 8 e quindi [3] 8 è l inverso moltiplictivo di se stesso. Sempre dll definizione ottenimo che [4] 8 [6] 8 = [4 6] 8 = [24] 8 = [0] 8 e quindi possimo ffermre che in Z 8 non vle l legge di nnullmento del prodotto. Per fissre l terminologi, dimo l definizione seguente. Definizione 23. [r] è invertibile se esiste [s] tle che [r] [s] = [1]. [r] è divisore dello zero se esiste [s] [0] tle che [r] [s] = [0]. Crtterizzimo or gli elementi invertibili ed i divisori dello zero in Z. Teorem 24. [r] è invertibile in Z se, e solo se, MCD(r, ) = 1. [r] è un divisore dello zero in Z se, e solo se, MCD(, r) 1. Dimostrzione. Se [r] è invertibile llor esiste [s] tle che [r] [s] = [1] per definizione di elemento invertibile. Per come definito il prodotto, bbimo che [rs] = [1] ossi rs h resto 1 se diviso per. Quindi rs = q + 1 ossi rs q = 1. L uguglinz precedente vuol dire che l equzione rx + y = 1 h soluzioni, m questo può cpitre se, e solo se, MCD(r, ) divide il termine noto 1, ossi se, e solo se, MCD(r, ) = 1. Vicevers, se MCD(r, ) = 1 llor l equzione rx + y = 1 h soluzioni e quindi [r] è invertibile.

6 6 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI Supponimo or che [r] si un divisore dello zero. Quindi esiste [s] [0] tle che [r] [s] = [0]. Per come definito il prodotto, bbimo che [rs] = [0] ossi rs = q. Se MCD(r, ) = 1 llor divide s e quindi [s] = [0], [ m questo ] è escluso. Quindi MCD(r, ) 1. Vicevers, se MCD(r, ) 1, llor [r] = [mcm(r, )] = [0] perché divide mcm(r, ). Essendo MCD(r,) divisore dello zero. Dl Teorem segue immeditmente che MCD(r,) non divisibile per llor [r] è un Corollrio 25. Tutti gli elementi non nulli di Z sono invertibili se, e solo se, è un numero primo. In ultimo, voglimo risolvere equzioni lineri in un incognit in Z, dette equzioni congruenzili. Un tle equzione si present nell form [r] [x] = [b] oppure nell form equivlente rx = b mod. Per come definite le operzioni in Z, l equzione precedente è equivlente ll equzione rx + y = b. In prticolre, l equzione congruenzile dt h soluzioni se, e solo se, MCD(r, ) divide b. Le sue soluzioni si ricvno poi d quelli dell equzione in due vribili, come si può vedere dl seguente esempio. Esempio 26. Risolvere l equzione 6x = 2 mod 8. L equzione dt è equivlente ll equzione 6x + 8y = 2. Poiché MCD(6, 8) = 2 l equzione h soluzioni. Dll formul spiegt precedentemente ottenimo che le soluzioni sono tutte e sole quelle dell form ( 1 + 4h, 1 3h) con h Z. Quindi, le soluzioni dell equzione congruenzile sono le clssi [ 1 + 4h] 8 con h Z. Per h pri, ossi h = 2k i numeri 1 + 8k hnno resto 7 nell divisione per 8. Per h dispri, ossi h = 2k + 1, i numeri 3 + 8k hnno resto 3 nell divisione per 8. Quindi, le soluzioni sono [3] 8, [7] 8. Esplicitmente osservimo che equzioni di primo grdo in un incognit in Z possono vere nche più soluzioni. Ricordimo or lcuni cmbimenti reltivi l modo con cui si lvor con le mtrici d entrte in Z. Teorem 27. Si A un mtrice qudrt d entrte in Z. A è invertibile se, e solo se, det(a) è invertibile in Z. Nell riduzione di mtrici, invece, le operzioni elementri effettubili sono (1) scmbio di righe: R i R j ; (2) prodotto di un rig per un elemento invertibile: R i [r] R i con [r] invertibile; (3) combinzione di un rig per un multiplo di un ltr: R h R h +[r] R i con i h. Osservzione 28. Esistono mtrici qudrte di rngo mssimo che non sono invertibili. Ad esempio, l mtrice ( ) è ridott di rngo 2 m non invertibile in Z Esercizi Esercizio 29. Scrivere quoziente e resto dell divisione delle seguenti coppie di interi: (1) 152, 13; (2) 134, 21; (3) 73, 14.

7 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 7 Esercizio 30. Trovre il mssimo comun divisore, si con l decomposizione in primi, si col metodo di Euclide, ed il minimo comune multiplo delle seguenti coppie di interi: (1) 16, 24; (2) 27, 45; (3) 55, 121. Esercizio 31. Per le coppie di interi (, b) del precedente Esercizio 30, trovre gli interi r, s in modo che MCD(, b) = r + sb. Esercizio 32. Dire, per le coppie di interi degli Esercizi 29, 30, qule clsse di resti modulo b corrisponde il numero. Esercizio 33. Elencre gli elementi di Z 6 e clcolre le tvole dell somm e del prodotto. Quli sono gli elementi invertibili? Esercizio 34. Trovre, se possibile, tutte le soluzioni intere delle seguenti equzioni: (1) 4x + 6y = 0; (2) 12x 18y = 6; (3) 12x + 10y = 3. Trovre poi le eventuli soluzioni comuni lle prime due equzioni. Esercizio 35. Risolvere le seguenti equzioni congruenzili: (1) 4x = 3 mod 5; (2) 4x = 5 mod 9; (3) 6x = 3 mod 35. Esercizio 36. Clcolre il rngo dell mtrice ( ) i cui elementi sono in Z 6, oppure in Z 3, oppure in Z 4. Esercizio 37. Discutere il sistem linere coefficienti in Z 3 l vrire di Z 3 x + y + z = 1 x + z = 2 2x + z = 2. Posto poi = 1 clcolre le soluzioni del sistem si con il metodo di riduzione, si con quello di Crmer, se possibile. Esercizio 38. Clcolre se possibile l invers dell mtrice ( ) si in Z 4, si in Z 5, si in Z 6. Esercizio 39. Il prodotto 5 4 = 0 in (1) Z 6 ; (2) Z 10 ; (3) Z 8 ; (4) Z 12.

8 8 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI Esercizio 40. L mtrice è invertibile in (1) Z 3 ; (2) Z 4 ; (3) Z 5 ; (4) Z 6. ( Esercizio 41. L soluzione dell equzione 7x = 3 mod 8 è (1) 1; (2) 3; (3) 5; (4) Soluzioni di lcuni esercizi Soluzione dell Esercizio 29. Ricordimo che il quoziente q ed il resto r dell divisione di per b con, b interi sono due interi tli che (1) = qb + r; (2) 0 r < b. Per l prim coppi di interi, = 152 e b = 13. Effettundo l divisione, bbimo ) 152 = e quindi q = 11, r = 9. Per l second coppi, bbimo = 134, b = 21, e 134 = Quindi q = 6, r = 8. Per l terz ed ultim coppi, bbimo = 73, b = 14 ed inoltre Quindi, q = 6, r = = Soluzione dell Esercizio 30. Anlizzimo l prim coppi (, b) = (16, 24). Utilizzndo l decomposizione in primi bbimo 16 = 2 4, 24 = 2 3 3, e quindi MCD(16, 24) = 2 3 = 8. Usndo il metodo di Euclide, bbimo l seguente successione di divisioni: (1) 24 = , (2) 16 = L successione si rrest qundo il resto è ugule 0, e l ultimo divisore è il mssimo comun divisore cercto. Quindi nche con questo metodo bbimo MCD(, b) = 8. Il minimo comune multiplo di (16, 24) è ugule mcm(16, 24) = MCD(16, 24) = 48 = L second coppi è (, b) = (27, 45). Procedendo come nel cso precedente, bbimo 27 = 3 3, 45 = 3 2 5, e quindi Usndo l lgoritmo di Euclide, bbimo (1) 45 = , MCD(27, 45) = 3 2 = 9.

9 (2) 27 = , (3) 18 = , ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 9 e quindi MCD(27, 45) = 9. Il minimo comune multiplo è ugule mcm(27, 45) = = 135. L ultim coppi è (, b) = (55, 121). Abbimo che 55 = 5 11, 121 = 11 2 e quindi MCD(55, 121) = 11. Con l lgoritmo di Euclide, bbimo invece (1) 121 = , (2) 55 = , e quindi MCD(55, 121) = 11. Il loro minimo comune multiplo è ugule mcm(55, 121) = = 605. Soluzione dell Esercizio 31. Seguimo le divisioni effettute nell lgoritmo di Euclide, ed ottenimo gli interi r, s cercti. Per l prim coppi, dobbimo cercre r, s tli che 8 = r 24 + s 16. Quindi bbimo che l second ed ultim divisione conferm che 8 è il mssimo comun divisore di 16, 24, e l prim, fornisce 8 = Quindi r = 1, mentre s = 1. Per l second coppi, dobbimo cercre gli interi r, s in modo che 9 = r 27 + s 45. Seguendo le divisioni, bbimo che l terz conferm che 9 è il mssimo comun divisore di 27 e 45, l second che 9 = , e l prim che 18 = Sostituendo l espressione che clcol 18, ottenimo 9 = ( ) = Quindi, r = 2, s = 1. Per l terz coppi, è immedito, dll prim divisione, che 11 = Soluzione dell Esercizio 32. Bisogn clcolre il resto dell divisione di per b. Quindi bbimo (1) 152 = , d cui 152 = 9 mod 13; (2) 134 = , d cui 134 = 8 mod 21; (3) 73 = , d cui 73 = 11 mod 14; (4) 16 = , d cui 16 = 16 mod 24; (5) 27 = , d cui 27 = 27 mod 45; (6) 55 = , d cui 55 = 55 mod 121. Soluzione dell Esercizio 33. divisione per 6, e quindi Gli elementi di Z 6 sono tutti e soli i possibili resti dell Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Per qunto rigurd le tvole dell somm e del prodotto, esse sono Gli unici elementi invertbili sono 1 e 5 ed i loro inversi sono 1 e 5, rispettivmente.

10 10 ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI Soluzione dell Esercizio 34. Il mssimo comun divisore dei coefficienti dell prim equzio- ne è 2. Semplificndolo, ottenimo l equzione 2x + 3y = 0. È ovvio che (3, 2) è un soluzione, e che nche (3, 2) è un soluzione, qulunque si Z. Si (r, s) un soluzione. Allor,2r = 3s, e quindi 2 divide s, ossi s = 2b, per qulche b Z. So- stituendo, ottenimo 2r = 6b, ossi r = 3b, e quindi tutte e sole le soluzioni sono dell form (3, 2) con Z. L second equzione h soluzioni perché il termine noto è un multiplo del mssimo comun divisore dei coefficienti delle incognite (condizione necessri e sufficiente perché l equzione bbi soluzioni). Dopo ver semplificto il mssimo comun divisore, l equzione divent 2x 3y = 1. Un soluzione prticolre dell equzione è (1, 1), mentre le soluzioni dell equzione omogene ssocit sono (3b, 2b) l vrire di b Z. Quindi, tutte e sole le soluzioni sono dell form (3b + 1, 2b + 1), con b Z. L terz equzione non h soluzioni perché il mssimo comun divisore dei coefficienti delle incognite è 2 ed il termine noto non è divisibile per 2. Le soluzioni comuni lle prime due equzioni si possono ricvre dll uguglinz (3, 2) = (3b + 1, 2b + 1). Si ottiene llor il sistem { 3 3b = 1 2 2b = 1. Tle sistem non h soluzioni perché il termine noto dell prim equzione non è divisibile per 3 che è il mssimo comun divisore dei coefficienti delle incognite dell equzione in oggetto. Non vendo l prim equzione soluzioni, tutto il sistem non h soluzioni. Soluzione dell Esercizio 35. Ricordimo che un elemento è invertibile mod b se, e solo se, MCD(, b) = 1. Considerimo l prim equzione. MCD(4, 5) = 1 e quindi 4 è invertibile mod 5. Il suo inverso è 4 perché 4 4 = 16 = L soluzione dell prim equzione è llor x = 4 3 mod 5 = 2 mod 5, ottenut moltiplicndo entrmbi i membri dell equzione per l inverso del coefficiente dell x. Per l second equzione bbimo MCD(4, 9) = 1, e quindi 4 è invertibile nche mod 9. Il suo inverso è 7 perché 4 7 = 28 = L soluzione dell equzione si ottiene moltiplicno mbo i membri per 7 ed è x = 5 7 = 35 = 8 mod 9. Per l terz equzione, bbimo che MCD(6, 35) = 1, e l inverso di 6 è ugule 6 mod 35. Moltiplicndo mbo i membri per 6 ottenimo x = 6 3 = 18 mod 35. Soluzione dell Esercizio 36. In Z 6, l unico elemento invertibile dell prim rig è 1. Per ridurre l mtrice, effettuimo llor l operzione elementre R 2 R 2 +R 1 ed ottenimo l mtrice ( ) e quindi il rngo di A è ugule 1. In Z 3 l mtrice A divent ( Effettundo l operzione elementre R 2 R 2 + 2R 1 ottenimo l mtrice ( ) e quindi l mtrice A h rngo 2. ).

11 In Z 4, l mtrice A divent che h rngo 2 essendo già ridott. ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 11 ( Soluzione dell Esercizio 37. L mtrice complet del sistem è Effettundo l operzione elementre R 3 R 3 + R 2 ottenimo l mtrice Il rngo dell mtrice dei coefficienti è 3 se 1 + 0, ossi se 2, mentre è ugule 2 se = 2. Il rngo dell mtrice complet è ugule 2 se = 2, ed è ugule 3 se 2. Quindi i rnghi delle due mtrici sono sempre uguli, ed il sistem h un sol soluzione se 2, mentre h soluzioni che dipendono d un prmetro libero se = 2. Posto = 1 nell mtrice ridott, ottenimo l unic soluzione del sistem che è ugule (0, 2, 2). Per = 1, l mtrice dei coefficienti del sistem è invertibile, e l su invers è A 1 = e quindi, con il metodo di Crmer, l soluzione si clcol come X = A 1 B essendo B l colon dei termini noti. Ovvimente, si riottiene l stess soluzione. Soluzione dell Esercizio 38. Un mtrice qudrt è invertibile se, e solo se, il suo determinnte è invertibile. Il deteminnte di A è ugule det(a) = 8, che è invertibile solo in Z 5 tr le tre possibilità dte. In prticolre, l inverso di 8 è 2 mod 5. L invers di A si clcol o risolvendo il sistem AX = I o con i complementi lgebrici. In entrmbi i csi si ottiene l mtrice ( ) 0 3 A 1 =. 1 4 Soluzione dell Esercizio 39. Se l uguglinz è ver, llor 20 è divisibile per l bse in cui effettuimo i clcoli. L unic rispost ver è quindi Z 10 d cui l (2) è ver. Soluzione dell Esercizio 40. L mtrice è invertibile se il suo deteminnte è invertibile. Poiché det(a) = 12, ottenimo che A è invertibile solo in Z 5. Quindi, (3) è l unic rispost ver. Soluzione dell Esercizio è invertibile mod 8 ed il suo inverso è 7. L soluzione è llor x = 7 3 = 21 = 5 mod 8. Quindi, (3) è l unic rispost ver. ),