CALCOLO LETTERALE I MONOMI. Il primo tipo di oggetto che incontriamo nel calcolo letterale è il MONOMIO.

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1 CALCOLO LETTERALE Il calcolo letterale è importante perchè ci consente di realizzare un meccanismo di astrazione fondamentale per l'apprendimento in generale. Scrivere, ad esempio, che l'area di un rettangolo si calcola con la formula A = B*H è un esempio di espressione letterale che generalizza il calcolo dell'area per rettangoli di qualsiasi tipo e misura. Se poi voglio calcolare l'area di un ben preciso rettangolo allora dovrò sostituire opportunamente le misure della base e dell'altezza nella formula. E' evidente che le lettere utilizzate nella formula sono da intendersi come numeri, pertanto anche nel calcolo letterale è necessario specificare regole e proprietà proprio come lo si è fatto per gli insiemi numerici. I MONOMI Il primo tipo di oggetto che incontriamo nel calcolo letterale è il MONOMIO. Un monomio è un prodotto tra numeri e lettere (con o senza esponenti) il numero viene detto anche PARTE NUMERICA e può essere un numero appartenente a qualsiasi insieme numerico N, Z e Q. Le lettere formano la PARTE LETTERALE NB: la parte numerica può essere sottintesa. In tal caso vale 1. Sono monomi le seguenti espressioni 2ab -5a 2 b 8x 2 y 3 5xzxy in esse infatti troviamo solo prodotti tra numeri o lettere (con o senza esponente) Non sono monomi, invece, le seguenti espressioni: 3a + 2x 5x 3xy 2a(5b+c) xy : 3ab In tutti questi casi, infatti, oltre alla moltiplicazione sono presenti anche altre operazioni. La forma normale di un monomio Un monomio è detto in FORMA NORMALE se la parte numerica è costituita da un solo numero, e nella parte letterale le lettere non si ripetono. i seguenti monomi sono in forma normale perchè rispondono alla definizione appena data: 3ab -4x 2 y 5a 2 b 3 c xy i seguenti, invece, pur essendo monomi, non sono in forma normale: 2xyxz -3x 2 yx 2x4y a3b2ab

2 I monomi che non sono in forma normale possono essere ridotti alla forma normale applicando le regole e le proprietà già studiate sugli insiemi numerici per cui possiamo scrivere: 2xyxz = 2xxyz = 2x 2 yz che è in forma normale -3x 2 yx = -3x 2 xy = -3x 3 y che è in forma normale 2a4y = 8ay che è in forma normale a3b2ab = 6a 2 b 2 che è in forma normale IL GRADO Per ogni monomio è possibile definire il grado, caratteristica molto importante da usare principalmente per controllare la correttezza delle operazioni sui monomi. GRADO COMPLESSIVO: il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti delle lettere che compongono la parte letterale. 2x 2 yz ha grado complessivo = 4 (ricorda se manca l'esponente si sottintende uguale ad 1) -3x 3 y ha grado complessivo 3+1 = 4 8ay ha grado complessivo 1+1 = 2 6a 2 b 2 ha grado complessivo 2+2 = 4 GRADO RISPETTO AD UNA LETTERA: il grado rispetto ad una lettera di un monomio è semplicemente l'esponente di quella lettera. 2x 2 yz ha grado 2 rispetto la lettera x, 1 rispetto la y e 1 rispetto la z. Ha ovviamente grado 0 rispetto ogni altra lettera che risulta assente dalla parte letterale. -3x 3 y ha grado 3 rispetto la x e 1 rispetto la y. 8ay ha grado 1 sia rispetto la a che rispetto la y. 6a 2 b 2 ha grado 2 sia rispetto la a che rispetto la b. Monomi simili ed opposti I concetti di monomi simili ed opposti sono molto importanti per eseguire le operazioni di somma algebrica tra monomi. Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale E' ovvio, quindi, che monomi simili hanno lo stesso grado complessivo ed anche lo stesso grado per ogni lettera.

3 Due monomi sono opposti se hanno stessa parte letterale ed inoltre le loro parti numeriche sono una l'opposto dell'altra. Si capisce, quindi, che se due monomi sono opposti allora sono anche simili, ma non il viceversa. Infatti se due monomi sono simili non è detto che siano opposti. Sono quindi monomi simili i seguenti 3ab -2ab 5ab 7ab Sono opposti i monomi 4ac e -4ac. Somma algebrica tra monomi La somma algebrica (addizione o sottrazione) tra due o più monomi può essere effettuata solo se i monomi sono simili tra loro. In ogni altro caso tale operazione non è possibile. Per sommare algebricamente due o più monomi simili è sufficiente sommare algebricamente la loro parte numerica, lasciando invariata la parte letterale. Ne consegue che il risultato è un monomio anch'esso simile a quelli sommati. 2ab + 3ab i monomi sono simili per cui posso effettuare l'operazione sommando le parti numeriche 2ab + 3ab = (2+3)ab = 5ab 5ac + 4a 2 c in tal caso i monomi non sono simili, perchè pur avendo le stesse lettere hanno gradi diversi. L'operazione non può, quindi, essere svolta. 3a 2b + 4a 3b i monomi non sono tutti simili, ma all'interno dell'espressione troviamo due coppie di monomi simili che quindi possiamo sommare. 3a 2b + 4a 3b = (3+4)a + (-2-3)b = 7a-5b Prodotto tra monomi Mentre la somma algebrica (addizione o sottrazione) tra due o più monomi può essere effettuata solo se i monomi sono simili tra loro, l'operazione di prodotto (moltiplicazione) può essere sempre effettuata. Per moltiplicare tra loro due o più monomi è necessario separare il calcolo tra parte numerica e parte letterale. Parte numerica: si effettua l'operazione di moltiplicazione tra le parti numeriche seguendo tutte le regole di calcolo studiate negli insiemi N, Z e Q; come le regole dei segni e le regole per moltiplicare tra loro due frazioni. Parte letterale: si prendono in considerazione le lettere presenti nei monomi da moltiplicare e, nel caso una lettera fosse presente più volte, se ne sommano gli esponenti.

4 Esempio: (3a 2 b) * (4a 2 bc) = 12 a 4 b 2 c Per la parte numerica devo semplicemente moltiplicare tra loro le parti numeriche, quindi 3 * 4 = 12 Per la parte letterale osserviamo che la lettera a ha esponente 2 nel primo monomio ed esponente 2 nel secondo monomio: nel risultato avrà quindi esponente = 4. La lettera b ha in entrambi i monomi esponente 1 (sottinteso), perciò nel risultato avrà esponente = 2. La lettera c compare solo nel secondo monomio e quindi rimane identica nel risultato. Osservazione sul grado Dall'esempio possiamo osservare che nel risultato sia il grado complessivo che il grado rispetto ogni lettera risulta essere la somma dei gradi dei monomi che abbiamo moltiplicato. Monomio Grado complessivo Grado rispetto a Grado rispetto b Grado rispetto c 3a 2 b a 2 bc a 4 b 2 c (risultato) Potenza di un monomio L'operazione di potenza sui monomi conserva la stessa definizione che abbiamo studiato sui numeri. Elevare a potenza un monomio significa, quindi, moltiplicarlo per se stesso tante volte quante indica l'esponente Anche per calcolare la potenza di un monomio è necessario separare il calcolo tra parte numerica e parte letterale. Parte numerica: si calcola la potenza della parte numerica seguendo tutte le regole e le proprietà studiate negli insiemi N, Z e Q. Parte letterale: si prendono in considerazione tutte le lettere presenti nella base e si applica ad esse la proprietà delle potenze potenza di potenza. Esempio: (3a 3 b 2 c 4 ) 3 = 27a 9 b 6 c 12 Per la parte numerica devo semplicemente calcolare la potenza della parte numerica e cioè 3 3 = 27. Per la parte letterale devo prendere in considerazione ogni lettera ed applicare ad essa la potenza di potenza: (a 3 ) 3 = a 9 (b 2 ) 3 = b 6 (c 4 ) 3 = c 12 Osservazione sul grado Dall'esempio possiamo osservare che il grado complessivo del risultato (27) è il prodotto tra l'esponente (3) ed il grado complessivo della base (9). Ciò accade anche per i gradi rispetto le

5 singole lettere. Monomio Grado complessivo Grado rispetto a Grado rispetto b Grado rispetto c 3a 3 b 2 c a 9 b 6 c N.B.: Per operare correttamente con la potenza di un monomio è necessario conoscere regole e proprietà delle potenze studiate sugli insiemi numerici. Divisione tra monomi Ricordiamo che: la somma algebrica (addizione o sottrazione) tra due o più monomi può essere effettuata solo se i monomi sono simili tra loro, le operazioni di prodotto e potenza possono essere sempre effettuate. Per dividere tra loro due monomi è necessario, ancora una volta, separare il calcolo tra parte numerica e parte letterale. Parte numerica: si effettua l'operazione di divisione tra le parti numeriche seguendo tutte le regole di calcolo studiate negli insiemi N, Z e Q; come le regole dei segni e le regole per dividere tra loro due frazioni. Parte letterale: si prendono in considerazione le lettere presenti nei monomi da dividere e se ne sottraggono gli esponenti. Esempio: (8a 3 b 4 ) : (4a 2 b) = 2ab 3 Per la parte numerica devo semplicemente dividere tra loro le parti numeriche, quindi 8 : 4 = 2 Per la parte letterale osserviamo che la lettera a ha esponente 3 nel primo monomio ed esponente 2 nel secondo monomio: nel risultato avrà quindi esponente 3 2 = 1. La lettera b ha esponente 4 nel primo monomio ed esponente 1 nel secondo monomio, perciò nel risultato avrà esponente 4 1 = 3. Osservazione L'operazione di divisione non sempre è possibile. Va ricordato, infatti, che nei monomi che stiamo studiando non vengono presi in considerazione gli esponenti negativi. Per questo motivo è possibile effettuare l'operazione di divisione tra monomi solo nel caso in cui tutti gli esponenti della parte letterale del primo monomio siano maggiori o uguali dei corrispondenti esponenti del secondo monomio. Nell'esempio precedente l'operazione ha avuto risultato perchè sia per la lettera a che per la lettera b gli esponenti del primo monomio erano maggiori dei corrispondenti esponenti del secondo monomio. (8a 2 b 4 ) : (4a 5 b) =???

6 In questo esempio non posso effettuare l'operazione perchè, applicando la regola della divisione, gli esponenti della lettera a darebbero come risultato un valore negativo (2 5 = 3), e ciò non è ammesso. Osservazione sul grado Dall'esempio possiamo osservare che nel risultato sia il grado complessivo che il grado rispetto ogni lettera risulta essere la differenza dei gradi dei monomi che abbiamo diviso. Monomio Grado complessivo Grado rispetto a Grado rispetto b (8a 3 b 4 ) (4a 2 b) = ab 3 (risultato) Osservazione sull'operazione di divisione Un errore piuttosto comune che si può commettere nello svolgere l'operazione di divisione è quello di applicare alla lettera la definizione di tale operazione, trasformandola in moltiplicazione ed invertendo il secondo termine. Questo è vero nel caso di divisioni tra numeri e, di conseguenza, nel caso della parte numerica di un monomio, ma non vale per la parte letterale. Esempio 3 a 4 b 2 :2 a 2 b non può essere trasformato in 3a 4 b a2 b perchè si commette un errore nel calcolo degli esponenti. Il procedimento corretto è quindi quello di separare il calcolo della divisione tra parte numerica e parte letterale come spiegato nella lezione precedente. Espressioni con monomi Le espressioni con i monomi non hanno alcuna differenza, dal punto di vista del procedimento, con le espressioni che già abbiamo analizzato negli insiemi numerici. L'unica cosa da ricordare è quindi la corretta applicazione delle regole di precedenza delle operazioni che qui ricordiamo. Le parentesi vanno svolte dall'interno verso l'esterno. Le operazioni del primo gruppo (moltiplicazione e divisione) vanno svolte prima delle operazioni del secondo gruppo (addizione e sottrazione). Nel caso in cui le operazioni fossero tutte dello stesso gruppo allora vanno svolte da sinistra verso destra. MCD e mcm tra monomi Anche tra monomi, vista l'esistenza delle operazioni di moltiplicazione e divisione, esiste il concetto di multiplo e di divisore. Il significato di tali concetti è lo stesso che abbiamo visto sugli insiemi numerici.

7 2 * 3 = 6 allora 6 è multiplo di 2 e di 3 mentre 2 e 3 sono divisori di 6 analogamente 3a 4 b 2 2a 2 b=6a 6 b 3 6a 6 b 3 è multiplo di 3a 4 b 2 e di 2a 2 b; 3a 4 b 2 e 2a 2 b sono divisori di 6a 6 b 3 Di conseguenza ha senso parlare, anche per i monomi di Massimo Comun Divisore e di minimo comune multiplo. Le regole di calcolo sono, per entrambi, le stesse che abbiamo incontrato negli insiemi numerici, avendo sempre cura di separare la parte numerica dalla parte letterale. Esempio MCD: Calcolo del MCD tra 10ac 5 e 4b 3 c 6 Parte numerica: è necessario calcolare MCD tra 10 e 4. Il procedimento studiato prevedeva di: Scomporre i numeri Prendere solo i fattori comuni Una sola volta Con il minimo esponente 10 = 2*5 4 = 2 2 L'unico fattore comune è il 2 che viene preso con il minimo esponente. Quindi MCD ( 10; 4) = 2 Parte letterale: Prendere solo le lettere comuni Una sola volta Con il minimo esponente Nel nostro esempio l'unica lettera comune è la c che viene prese con esponente 5 (il minimo) Quindi l'mcd tra 10ac 5 e 4b 3 c 6 è 2c 5 Esempio mcm: Calcolo del mcm tra 10ac 5 e 4b 3 c 6 Parte numerica: è necessario calcolare mcm tra 10 e 4. Il procedimento studiato prevedeva di: Scomporre i numeri Prendere tutti i fattori, comuni e non comuni Una sola volta Con il massimo esponente

8 10 = 2*5 4 = 2 2 I fattori sono 2 e 5. Il 2 viene preso con il massimo esponente. Quindi mcm ( 10; 4) = 5*2 2 = 20 Parte letterale: Prendere tutte le lettere, comuni e non comuni Una sola volta Con il massimo esponente Nel nostro esempio le lettere sono a,b e c, la c viene prese con esponente 6 (il massimo) Quindi l'mcd tra 10ac 5 e 4b 3 c 6 è 2ab 3 c 6