Forza gravitazionale

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1 Foza gavitazionale Tea Mecuio Venee Mate Pianeti inteni Uano Nettuno Plutone atuno Giove istea solae Il oto dei pianeti descitto dalle 3 leggi di Kepleo Di qui Newton icavò la legge di gavitazione univesale: 1 a foza fondaentale

2 1 a Legge di Kepleo i pianeti si uovono su obite piane ed ellittiche, aventi il sole in uno dei fuochi nel caso più geneale, l obita è una conica (ellisse, ipebole o paabola) a Legge di Kepleo la velocità aeolae è costante Il aggio che congiunge il sole al pianeta spazza aee uguali in tepi uguali. 5,5 da dt a cost 3 a Legge di Kepleo Il quadato del tepo di ivoluzione è popozionale al cubo del seiasse aggioe 3 T a logt 1.5log a + k log(t(d)) 5, 4,5 4, 3,5 3,,5 y 1,4999x +,566, se M sole >> M pianeta 1,5 -,5,5 1 1,5 log(a (AU))

3 Legge di Gavitazione Univesale F G 1 Agisce fa due asse qualsiasi (è univesale) Foza sepe attattiva Inteazione fa copi + pincipio di sovapposizione. igoosaente vea pe copi puntifoi a vale anche pe copi sfeici se si considea la distanza dal cento (o fa i centi). G /(kg s ) F G 1 1 ˆ 1 foza che 1 esecita su dove 1 va da 1 a. M anubio sospeso, gievole M La costante G è piccola. Misuata in laboatoio da Cavendish (1798) con una bilancia a tosione

4 Gavitazione La foza peso è foza di attazione gavitazionale da pate della Tea. e ne deducono alcune popietà coe la dipendenza di g dall altezza. Nota g e la legge di gavitazione univesale si può icavae la assa teeste. g g G T T T g G kg essendo 6373 k il aggio edio teeste vaiazione di g con l altezza: h3k pe iduzione dell 1% g ( h) G G T T ( ) g ( + h) + h + h

5 Obite cicolai. v Es. pianeta in obita cicolae intono al sole. P P v T P ω 4π G 3 G P 3 a legge di Kepleo tovata la costante di popozionalità Nota G e i paaeti dell obita teeste, o di alti pianeti, si icava la assa del sole kg Pe un satellite in obita intono alla tea, a distanza dal cento: T π G 4 T 3 e l obita è geostazionaia: T4h > 358 k

6 Ancoa sulle obite in un capo gavitazionale. Taiettoie di un poiettile lanciato oizzontalente da un altezza di 1k. GM h v 735 / s è la velocità pe cui l obita isulta cicolae + v > v ipebole v,5v v v v,8v paabola v v 1,v

7 La foza gavitazionale è consevativa F 1 1 F 1 G ˆ u F integando da 1 a W G non dipende dal tagitto 1 dw dw F G ds 1 F uˆ d ds 1 E P G dove si è assunto che E P pe

8 Foza gavitazionale. Consevazione dell enegia enegia Un oggetto è lanciato veso l alto, dalla supeficie teeste, con velocità v. Calcolae l altezza assia aggiunta (tascuando la esistenza dell aia) In appossiazione di g costante si aveva: Ma g vaia con l altezza. v gh h v g Usando l espessione esatta: V (/s) 1 h (g cost) (k) 5,97 h esatto (k) 51,38 h/h (%),8 v GM GM + h , ,, 51, pe h Velocità di fuga E E F M G + E + E PF KF v I v GM Velocità inia affinché si un copo si allontani indefinitaente pe la Tea v F 1118 /s 45k/h

9 Appendice 1. i è visto che l enegia potenziale gavitazionale è: 1 E P G avevao visto in pecedenza l espessione coe possono essee copatibili? E P gy O y M M E P G G + y espandendo al pio odine in y: M M E P G + G y costante, si può tascuae g

10 Appendice II. Capo gavitazionale. Dato un copo puntifoe di assa, si definisce capo gavitazionale, nella posizione di, la foza gavitazionale agente su divisa pe la assa. g FG Nota: il capo gavitazionale è l acceleazione di gavità 1 F G1 F G secondo la elatività geneale il capo gavitazionale è dovuto alla cuvatua dello spazio-tepo podotta dalle asse 1 e F G Ad ogni odo, è una popietà dello spazio odificato dalla pesenza delle asse sogenti

11 Appendice II flusso del capo gavitazionale attaveso una supeficie (infinitesia) g d n θ d Φ gd cosθ g n d Attenzione: il flusso ha un segno il flusso attaveso una supeficie finita è Φ gd cosθ g n d i ceca il flusso entante attaveso una supeficie chiusa del capo gavitazionale geneato da una assa puntifoe intena d n dφ gd cosθ angolo solido sotteso da d d cosθ GM dω

12 Appendice II Φ d cosθ GM GM dω ovveo Φ 4π GM Analogaente si diosta che il flusso entante del capo gavitazionale geneato da una assa puntifoe estena è nullo. d n Applicando il teoea di sovapposizione si ottiene Φ 4π GM INT è il Teoea di Gauss pe il capo gavitazionale è la assa totale all inteno della supeficie chiusa.

13 Appendice II. Applicazioni capo gavitazionale geneato da una distibuzione di assa sfeica, ad una distanza > Pendiao una supeficie sfeica concentica di aggio. Pe sietia, il capo g è costante in odulo e ovunque otogonale alla supeficie Φ g n d g ( ) 4π g( ) Ma pe il Teoea di Gauss: Φ 4 π GM INT 4π GM g G M uguagliando si ottiene: ( ) il capo gavitazionale è uguale a quello geneato da una assa M puntifoe, posta nel cento.

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