Lezione 12: La legge di gravitazione universale.

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1 Lezione 1 - pag.1 Lezione 1: La legge di gaitazione unieale L acceleazione di un poiettile Abbiamo ito nella lezione 9 che la elocità di 7,9 km/ (pima elocità comica) è quella che pemette a un copo, quale che ia la ua maa, di pecoee intono alla ea un obita di aggio 370 km (pai cioè popio al aggio della ea). L acceleazione centipeta in queto moto è: km 7,9 km a 0, km m 9,8 Queto iultato non ci opende: - pe compiee un moto cicolae ci dee eee una foza in diezione del cento, e queta foza è l attazione gaitazionale, cioè il peo; - il peo, ulla upeficie della ea, poduce un acceleazione, dietta eo il cento, pai a 9,8 m/ ; - l acceleazione centipeta nel moto obitale non può quindi eee che di 9,8 m/. 1.. L acceleazione della Luna Un oggetto cagliato alla elocità di 7,9 km/, che pecoe un obita di aggio 370 km, aebbe un atellite atificiale della ea, pe la peciione il atellite con l obita più icina che ia poibile. La ea, come tutti appiamo, ha un atellite natuale: la Luna. Le caatteitiche del uo moto intono alla ea ono le eguenti: - il aggio dell obita è 3, km - il tempo che impiega a pecoee l obita è di 7,3 gioni Se i fanno i conti i ede che l acceleazione centipeta della Luna, nella ua obita intono alla ea, è 300 olte più piccola di quella di un oggetto che pecoe l obita aotea: π a 9,8 0,007 4π 300 4π 4 (3,14) 3,8 10 (7,3 8400) 5 0,007 m

2 Lezione 1 - pag. Newton i accoe di un fatto daeo noteole: 300 è il quadato di 0, e la Luna dita dalla ea cica 0 aggi teeti! ( fig.1.1) Fig.1.1 La Luna, che obita a una ditanza di 0 aggi teeti, ha un acceleazione 0 olte più piccola ipetto a un obita aotea (il diegno non è in cala!) Fu queta oeazione che uggeì a Newton la teoia della gaitazione unieale: i moti teeti (ad eempio quello di un poiettile che cade) e i moti celeti (ad eempio il moto obitale della Luna) ono douti alla tea foza, cioè l attazione della ea. Pu tattandoi della tea foza, a una ditanza 0 olte maggioe l attazione dienta olte più piccola, e peciò poduce un acceleazione 300 olte più piccola La legge di gaitazione unieale Le conideazioni ite al paagafo pecedente condueo Newton a fomulae una legge di caattee geneale. Ea è nota come legge di gaitazione unieale, ed affema che: due copi qualiai, di mae m 1 e m, poti a una ditanza, i attaggono con una foza, detta attazione gaitazionale, che è diettamente popozionale a ciacuna delle due mae, e ineamente popozionale al quadato della ditanza che le epaa. In fomula: m1 m F G Una peciazione impotante: e gli oggetti ono feici, come lo ono (almeno appoimatiamente) il Sole e i pianeti, la ditanza che compae nella fomula è quella che epaa i loo centi.

3 Lezione 1 - pag.3 L aggettio unieale ignifica che ea è alida ounque nell immeno Unieo. Poiamo uala pe calcolae l attazione ta il Sole e Gioe, oppue ta una tella qualiai ed un uo pianeta, ditanti milioni di anni luce dal noi La cotante G La cotante di popozionalità G, che compae nella fomula che abbiamo appena ito, i chiama cotante di gaitazione unieale, e fu miuata pe la pima olta da Heny Caendih, pochi anni dopo la mote di Newton. Le miue fuono ipetute poi più olte e il aloe che oggi accettiamo è il eguente: Nm G, kg Queto ignifica che due copi, ciacuno di maa 1 kg, poti alla ditanza di 1 m, i attaggono con una foza pai a: F, Nm 11,7 10 kg 1kg 1kg 1m N È daeo una foza molto piccola! Il aloe di G, molto bao, piega peché non ci accogiamo dell attazione gaitazionale che c è ta copi di nomali dimenioni, quelli che incontiamo nella ita di tutti i gioni. La foza di attazione gaitazionale, iceea, dienta impotante e almeno uno dei due oggetti ha una maa molto gande. La maa della ea è m 10 4 kg. Un copo di maa m 1 kg, icino alla ua upeficie, dita,37 10 m dal uo cento. La foza di attazione ta la ea e l oggetto è quindi: 4 F 11 Nm 10 kg 1kg,7 10 kg (,37 10 ) m 9,8 N Il iultato non ci opende: 9,8 N è popio la foza che, applicata ad un copo di maa 1 kg, pooca un acceleazione di 9,8 m/ Come i tamette la foza di gaitazione? Due mae, dunque, eecitano un'azione ecipoca l'una ull'alta. Potemmo penae che quet'azione ia il iultato di un'inteazione dietta ta le due mae, quai una pecie di "azione a ditanza" ta di ee. L'azione a ditanza, tuttaia, è pe noi molto difficile da accettae, abituati come iamo al fatto che l'azione i tamette attaeo un contatto dietto ta i copi. Pe fae un eempio banale: non è tano che i pedali eecitino un'azione ulla uota poteioe della bicicletta, ma ci è

4 Lezione 1 - pag.4 difficile penae che poano falo enza che i iano gli anelli di una catena allineati nello pazio ta pedali e uota. In modo del tutto analogo: il Sole eecita la ua azione attattia ulla ea, ma coa c'è nello pazio ta i due, capace di tamettee queta azione? Coa, e non 150 milioni di chilometi di uoto? 1.. L idea di campo Un modo efficace che i fiici hanno iluppato pe deciee queto tipo di inteazione conite nell'ipotizzae che il Sole modifichi in qualche modo lo pazio intono a é, e che la ea, a ua olta, eagica a queta defomazione dello pazio. Queta è, a gandi linee, l'idea di campo. Ragionae in temini di campo ignifica che, quando ogliamo calcolae l'azione che il Sole eecita ulla ea, decidiamo di epaae il poblema in due pai ditinti: pima calcoliamo il campo che il Sole genea intono a é; poi calcoliamo la foza che queto campo eecita ulla ea. Se l'idea di campo eie oltanto a queto aebbe poco più di un gioco di paole: ci piace penae che ta il Sole e la ea ci ia qualcoa capace di tamettee l'azione, ma iccome non appiamo coa ia ci inentiamo un nome pe indicalo (campo, appunto) e petendiamo che ciò lo enda un poco più eale. Pe fotuna c'è molto di più che una nota petea: edemo più aanti in queto coo che i campi hanno un'eitenza eale, i muoono nello pazio, tapotano enegia ed infomazioni. Pe conenzione, il aloe del campo gaitazionale in un punto qualiai dello pazio è pai alla foza che ente una maa unitaia pota in quel punto. E e in quel punto, inece di una maa unitaia, mettiamo un oggetto di maa m qualiai? Facile: il aloe del campo è definito come il appoto ta la foza F e la maa m. Il campo gaitazionale, dunque, i miua in newton al kg. Poiché la foza è una gandezza ettoiale, il campo gaitazionale è un campo ettoiale: ha una diezione, un eo ed un'intenità in ogni punto dello pazio Un eempio numeico Quanto ale il campo gaitazionale che il Sole poduce ad una ditanza di 150 milioni di chilometi? Una ditanza di 150 milioni di chilometi è popio quella a cui i toa la ea. Uiamo dunque la ea come oggetto, e calcoliamo la foza che ea ente a caua del Sole: F G m S m / Pe calcolae il modulo g del campo gaitazionale biogna fae il appoto ta la foza F e la maa m dell'oggetto che tiamo conideando:

5 Lezione 1 - pag.5 g F / m G m S /.7 x x 1.99 x / (1.5 x 10 8 ) 5.9 x 10-3 N / kg La diezione ed il eo del campo gaitazionale ono gli tei della foza: dunque è decitto da una feccia che punta eo il Sole. La ua intenità è di cica milleimi di newton al kg: ciò ignifica che e aeimo conideato, inece della ea, un copo di maa 1kg, eo aebbe aetito una foza attattia, douta al campo geneato dal Sole, pai a cica milleimi di newton. La ea, che è enomemente più peante, ente una foza enomemente più gande. Il appoto ta foza e maa è peò lo teo pe qualiai copo che i toi a 150 milioni di chilometi dal Sole: ale cica milleimi di newton al kg, e i chiama campo gaitazionale del Sole alla ditanza di 150 milioni di km dal uo cento La maa della ea Come i può miuae la maa della ea? Non c è bilancia al mondo che pemetta di fae la miua di una maa coì gande in modo dietto. Conociamo peò il aloe dell acceleazione di gaità ulla ua upeficie (g 9,8 m/ ) e la miua del uo aggio (,37 10 m). Con quete infomazioni, pe chi conoce la legge di gaitazione unieale, è facile calcolae la maa del noto pianeta. Il iultato del calcolo è il eguente: m kg Conideiamo infatti un oggetto di maa m, poto icino alla upeficie della ea. La ua ditanza dal cento è quindi,37 10 m. La foza che lo attae eo il cento è: m m F G La ua acceleazione è quindi: F m g G m Se ioliamo queta equazione ipetto all incognita m toiamo: m g G 9,8 (,37 10, ) 9,8 40, 10, , kg 1.9. Sole e pianeti

6 Lezione 1 - pag. Come la Luna obita intono alla ea, coì la ea obita intono al Sole: i dice che la ea è un pianeta della tella Sole. I pianeti del Sole ono noe: pe ciacuno di ei ipotiamo in tabella ( tab.1.1) la maa m, il aggio dell obita e il peiodo di ioluzione. Pianeta Maa m (in appoto alla maa della ea) Raggio dell obita (10 km) Peiodo di ioluzione (anni) Sole Mecuio 0, ,9 0,41 Venee 0, , 0,15 ea 1 149, 1,000 Mate 0,1074 7,9 1,881 Gioe 317,89 778,3 11,8 Satuno 95,17 147,0 9,45 Uano 14,5 871,0 84,07 Nettuno 17,4 4497,1 14,81 Plutone 0,0 5913,5 48,53 tab 1.1 La elocità con cui un pianeta obita intono al Sole è π. Utilizzando i dati in tabella i ede che i pianeti non hanno tutti lo teo appoto /, peciò non hanno la tea elocità obitale. Al contaio, la elocità dienta ia ia più piccola pe i pianeti più lontani dal Sole: la ea pecoe la ua obita alla elocità di cica 30 km/, pe Mate la elocità è di cica 4 km/. ea Mate π M π M,8 149, 1 10 km 940 anno 10 km , ,9 10 km 10 km, ,881 anno 35 8,4 10 km 30 4 km