LA FORZA GRAVITAZIONALE AGENTE SU UN PROIETTILE IN VOLO

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1 M.. BUSAO LA FORZA RAVIAZIONALE AENE SU UN PROIEILE IN VOLO mgbstudio.net

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3 SOMMARIO In quo scitto viene detemint l espessione genele dell foz gvitzionle gente su un poiettile in volo e ne vengono successivmente ottenute divese ppossimzioni. Dopo vee inqudto il poblem genele del moto di un poiettile di mss costnte, ichimndone le equzioni del moto, ed vee esposto le pincipli popietà del potenzile gvitzionle tee, si peviene ll ctteizzzione dell foz gvitzionle - gente su un copo solido nell cosiddett ppossimzione newtonin e si detemin tle foz, in vie ppossimzioni, ispetto l sistem i coodinte ctesine otogonli usulmente dottto pe studie il moto di un poiettile in volo.

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5 . INRODUZIONE I poiettili sono solidi di otzione di fom eodinmic, eventulmente dotti di un letttu posteioe. L seguente Figu. most schemticmente un tipico poiettile modeno di tigliei ed un tipico poiettile con letttu posteioe, dotto di populsione utonom. Quo secondo cso non sà peò tttto nel pesente scitto. Figu. Come pe ogni copo solido, l posizione nello spzio di un poiettile isult individut qundo ispetto d un ten di ifeimento ssegnt (fiss o in movimento con legge not ispetto d un ifeimento inezile), che indicheemo con {S}, è not l posizione del suo cento di mss (che ind i- cheemo con ) e l su oientzione. Pe individue nello spzio un poiettile occoono quindi due tene di ssi coodinti: l ten {S} ed un ten solidle l poiettile (e quindi mobile) che indicheemo con {S'} e che conviene scegliee con oigine in ed ssi coincidenti con gli ssi pincipli d inezi del poiettile stesso. Così fcendo inftti, l posizione di è fonit ispetto ll ten {S} dl vettoe: = O. dove con O si è indict l oigine di {S}, mente l oientzione del poiettile è fonit di te ngoli che individuno l oientzione dell ten {S'} ispetto ll ten {S}. Il moto del poiettile è completmente individuto, come quello di un qulsisi copo solido, dll conoscenz, ispetto d un sistem di ifeimento inezile {S}, dell velocità del suo cento di mss (che indicheemo con v) e dell su velocità ngole (che indicheemo con w ). Inftti, poiché il moto di {S} si suppone conosciuto ispetto d {S}, un volt noto il vettoe v si può ottenee l velocità di ispetto d {S} (che indicheemo con v) e quindi l conoscenz in ogni istnte del vettoe v (deivt ispetto l tempo del vettoe ) mente noto il vettoe w che ctteizz il moto ottoio di {S'} ispetto d {S}, si può ottenee l conoscenz in ogni istnte dell oientzione di {S'} ispetto d {S} e di conseguenz l oientzione di {S'} ispetto d {S}. I vettoi v ed w (di significto fisico ben peciso) si ottengono integndo le cosiddette equzioni cdinli del moto, le quli possono essee scitte eltivmente qulsisi sistem di ifeimento, cioè ppesentndo i vettoi v ed w ispetto d un ten biti. li equzioni legno in modo diffeenzile l quntità di moto Q ed il momento ngole K del poiettile ispetto {S} (che sono ispettivmente un funzione di v ed un funzione di w ) lle zioni ene genti sul poiettile stesso. Nel sistem di ifeimento {S} le e- quzioni cdinli del moto hnno l fom seguente:

6 dq = F. dt dk = M.3 dt dove F ed M sono l foz totle ed il momento totle eni genti sul poiettile. Si suppone che K ed M sino clcolti utilizzno come cento di iduzione l oigine di {S} o il bicento del poiettile. Spesso tuttvi è più comodo scivee le equzioni cdinli del moto eltivmente d un sistem di ifeimento diveso d {S} e non necessimente il medesimo pe entmbe. Ciò che cont inftti è che le equzioni cdinli del moto fomino, eventulmente ssieme d oppotune equzioni usiliie deivnti dll utilizzo di sistemi di ifeimento divesi d {S}, un sistem diffeenzile chiuso. In lcuni csi inolte è oppotuno utilizze non l quntità di moto e/o il momento ngole del poiettile ispetto d {S}, cioè i vettoi Q e K, m l quntità di moto e/o il momento ngole del poiettile ispetto l sistem di ifeimento utilizzto pe scivee le equzioni cdinli del moto, cioè i vettoi ottenibili d Q e K vvlendosi dell conoscenz del moto del sistem utilizzto ispetto l sistem {S}. E chio che in tutte que situzioni le equzioni cdinli del moto ssumono un fom diffeente d quell dt dll. ed.3. In blistic pe detemine il moto di un poiettile si segue popio un ppoccio ibido del tipo sop ccennto. Il sistem di ifeimento {S} ispetto l qule si descive il moto del cento di mss del poiettile è ssunto solidle ll e, e quindi mobile di moto conosciuto, con oigine nel punto di spo. Come sistem di ifeimento {S'} si ssume poi quello fomto dgli ssi pincipli d inezi del poiettile. Si intoduce infine un sistem di ifeimento usiliio {S 0}, inezile e quindi fisso, coincidente con {S} ll istnte inizile dello spo. L pim equzione cdinle del moto viene scitt eltivmente d {S} ed utilizzndo popio il vettoe quntità di moto del poiettile ispetto quo sistem di ifeimento (vettoe che indicheemo con Q). L second equzione cdinle del moto viene scitt invece eltivmente d {S 0}, utilizzndo il vettoe momento ngole del poiettile ispetto d {S 0} stesso (cioè il vettoe K ); come cento di iduzione dei momenti si ssume il cento di mss del poiettile, cioè il punto. Con le ssunzioni ftte le equzioni cdinli del moto del poiettile ssumono llo l fom seguente: d v dt = W v W ( W ) + F.4 m dk = M.5 dt dove W è l velocità di otzione ssile dell e (suppost come è ovvio costnte), ed m è l mss del poiettile. Pe mggioi dettgli su qunto o esposto si ved [], [], [3]. Le zioni cui è soggetto un poiettile in volo sono l foz che l e esecit su di esso e le foze ed i momenti dovuti ll intezione con l i. Quindi in genele l foz complessiv F ed il momento complessivo M che giscono su un poiettile in volo vnno l fom seguente (ssumendo come cento di iduzione dei momenti il punto ):

7 F = F + F.6 dove: M = (C ) F + M.7 F F è l foz dovut ll ttzione dell e, F è l foz dovut ll intezione con l i, M è il momento intinseco dovuto ll intezione con l i, C F è il punto di ppliczione dell foz F. Il punto C F di ppliczione dell foz F è deteminto dll conoscenz dei punti di ppliczione delle foze F ed F. L foz F è pplict l bicento del poiettile. L foz F invece isult pplict in un punto C del poiettile che dipende nche dll ssetto di volo del poiettile stesso. In ptic quindi l intezione del poiettile con l i isult ctteizzt d due gndezze: il vettoe F ed il punto di ppliczione di quo vettoe. enendo conto di qunto o detto, l.7 si può llo iscivee nell fom seguente: M = (C ) F + M.8 dove C, F ed M si devono considee funzioni note dei pmeti che ctteizzno l intezione del poiettile con l i. Poiché è difficile ottenee un ctteizzzione dell funzione C, è uso considee l foz F pplict l bicento del poiettile ed intodue come zione fisic sul poiettile il coispondente momento di tspoto: M = (C ) F.9 Con tle ccogimento l.7 fonisce llo: M = M + M.0 e quindi, tenendo conto nche dell.6, le equzioni cdinli del moto.4 ed.5 ssumono l fom seguente: d v = W v W ( W ) + ( F + F). dt m dk = M + M. dt dove F e un funzione not dei pmeti che ctteizzno l ttzione tee mente F, ed M sono funzioni note dei pmeti che ctteizzno l intezione del poiettile con l i. M Risult che pe le foze F ed F e pe i momenti 3 M ed M è possibile icondusi d un espes-

8 sione del tipo: F F.3 (0) = + temini tscubili F F.4 (0) = + temini tscubili M.5 (0) = M + temini tscubili M M.6 (0) = + temini tscubili L odine di gndezz dei temini tscubili stbilisce, unitmente ll odine di gndezz dei temini che compiono nell. pe l non inezilità del ifeimento utilizzto, il gdo di ppossimzione ctteistico di un pticole modello blistico e l tempo stesso ne definisce il cmpo di vlidità. Così, d esempio, il cosiddetto modello blistico euleino ient come cso pticole del modello stbilito dlle equzioni. ed. sotto le seguenti ipotesi: () scubilità degli effetti legti ll non inezilità del sistem di ifeimento dottto pe descivee il moto del cento di mss del poiettile, () scubilità dei momenti M ed M, (3) Indipendenz dell foz F dll oientzione e dll velocità di otzione del poiettile. Chimente, sotto que ipotesi il poiettile dl punto di vist dinmico isult ssimilto d un punto mteile e come tle quindi viene identificto. Pe mggioi dettgli su qunto o esposto si ved [3]. In quo scitto detemineemo l espessione dell foz F e ne toveemo le vie ppossimzioni utilizzbili second dell pecisione ichi. L deteminzione dell foz F e dei momenti M ed M è invece compiut in [4].. IL POENZIALE RAVIAZIONALE ERRESRE Si M l mss dell e: 4 M = Kg. 0 ed R un suo ggio bitio. Si può dimoste llo (v. [5], Appendice ) che il potenzile gvitzionle tee in un punto eno ll e individuto dlle coodinte (distnz dl cento dell e), Φ (ltitudine geogfic), Λ (longitudine geogfic), isult dto d: U + [ U ~ (, Φ, Λ) ] M =. dove è l costnte di gvitzione univesle: mente: = Kg m 3 s.3 ~ R U (, Φ, Λ ) = J ( 3sin Φ ) + temini tscubili.4 4

9 Nell.4 J è il pimo coefficiente monico zonle il cui vloe viene deteminto speimentlmente e dipende dl vloe consideto di R, in qunto si dimost che: J = K ( K K ) R + z' x' y'.5 dove con K si sono indicti i momenti di inezi pe unità di mss dell e ispetto x', K y', K z' d un ten di ssi ctesini otogonli bicentici, fissti convenzionlmente. Si può dimoste inolte che J è pticmente indipendente dll otzione dell e ttono l popio sse, pe cui, meno dei temini tscubili omessi secondo membo dell.4, il potenzile gvitzionle tee in un fissto punto eno ll e non dipende dl tempo. Qu è un popietà del potenzile gvitzionle tee molto impotnte in dinmic del volo spzile e pe quo l bbimo citt, m non ive inteesse in blistic. Se R si identific con il ggio medio tee, cioè si pone R 6 = m, llo vlutndo K x', K y', K z' ispetto gli ssi pincipli d inezi dell e, si tov: R = 3 J = (cso Se invece, come più spesso vviene, R si identific con il ggio medio tee ll ltitudine di K K K ispetto gli ssi pinci- 6 45, cioè si pone R = pli d inezi dell e, isult: m).6 ',, z 6 m, llo sempe vlutndo x y' ' J R = 3 = (cso m).7 In ptic, qundo occoe considee il potenzile gvitzionle tee in un detemint zon eltivmente istett dell e, come d esempio in blistic, il vloe di R può essee identificto con quello del ggio medio tee nell egione considet. 3. LA FORZA RAVIAZIONALE AENE SU UN CORPO SOLIDO NELL APPRESSI- MAZIONE NEWONIANA E fcile convincesi che qulsisi quot e ltitudine è sempe: ~ U << 3. L odine di gndezz di U ~ 4 è inftti medimente di 0. Quindi nell. se, come in blistic, l zione del cmpo gvitzionle sul moto di un copo vviene in un tempo eltivmente beve, è senz lto lecito tscue il temine U ~. Diveso è invece il cso dei stelliti tificili obitnti quot medio-bss. In quo cso inftti il temine U ~, che quote bsse h i vloi mggioi, non può essee tscuto poiché il moto del stellite ipetendosi peiodicmente pe un tempo notevo l- mente lungo isente di un ccumulo di petubzioni che ll fine poducono effetti evidenti (egessione dell line dei nodi e pecessione dell line degli bsidi). E chio comunque che pe pote tscue U ~ occoe in ogni cso conoscene coettmente l odine di gndezz in modo d vee un citeio che consent di stbilie qundo, ispetto d eventuli lte foz che si vogliono consid e- e genti sul copo, quo temine si poss effettivmente omettee. 5

10 scundo nell. il temine U ~, si ottiene l cosiddett ppossimzione newtonin del potenzile gvitzionle tee. In qu ppossimzione, che dl punto di vist fisico equivle considee l e un copo pefettmente sfeico (di ggio R ) ed omogeneo, il potenzile gvitzionle tee ssume l fom: U M = 3. e isult quindi un funzione dell sol. In qu ppossimzione, l foz F che l e esecit su un punto mteile di mss m individuto ispetto l cento dell e dl vettoe posizione (di modulo ), è peciò un foz che h l diezione di quo vettoe. Si h inftti, pe definizione: F = m U 3.3 e come si potebbe veifice con un clcolo dietto isult: m F ˆ = M 3.4 dove con ˆ si è indicto il vesoe del vettoe. L 3.4 fonisce l foz di ttzione dell e su un punto mteile di mss m nell cosiddett ppossimzione newtonin. L foz F che l e, nell medesim ppossimzione, esecit su un copo eso si ottiene chimente integndo l 3.4 sull inte mss del copo. Dunque: ˆ = M F dm 3.5 m dove con m si è indict l mss del copo consideto. Pe clcole l integle secondo membo dell 3.5 ossevimo che il vettoe, che individu l posizione del geneico punto del copo ispetto l cento dell e, si può sempe espimee nel modo seguente: = dove è il vettoe posizione ispetto l cento dell e del cento di mss del copo ed è il vettoe posizione del geneico punto del copo ispetto. Poiché: = 3.7 vvlendosi dell 3.6 si tov: = + cosφ

11 dove φ è l ngolo compeso f i vettoi ed (il cui modulo si è indicto ispettivmente con ed ). D lt pte, indicto con θ l ngolo compeso f i vettoi ed, si h: = cosθ 3.9 ed vvlendosi dell 3.6 isult: = + cosφ 3.0 In vitù dell 3.8 possimo quindi concludee che: cosθ = + cosφ + cosφ + 3. Poiché è evidente che: << 3. (pe un copo nomle in possimità dell supeficie tee l odine di gndezz di quo ppoto è 0 ), dll 3.8 e dll 3. si 7 ottiene: = cos φ ( 4cos φ ) θ φ cos = sin Possimo quindi concludee, in vitù dell 3.4, che il sistem di foze gvitzionli pplicto l copo è pticmente un sistem di foze pllele l cui diezione è quell del vettoe, e che quindi l su isultnte, cioè l foz F definit dll 3.5, è pplict l bicento del copo. Ess h l diezione di e l su intensità isult: dm F = M 3.5 m Pe l 3.3, nell medesim ppossimzione pe l qule F si può considee pplict l bicento del copo ed vente l diezione del vettoe, isult quindi: 7

12 m F = M 3.6 Abbimo così tovto che nell ppossimzione newtonin l foz gvitzionle gente su un copo eso è in ptic pplict l bicento del copo e, meno di temini pticmente nulli, dt dll seguente elzione: m F = M ˆ 3.7 dove m è l mss del copo ed è l distnz del suo bicento dl cento dell e. Si noti che l 3.7, sebbene si stt ottenut con un ipotesi che pesuppone l e pefettmente sfeic ed omogene, è senz lto pplicbile tutti i csi conceti, come si evince dll odine di gndezz dei temini tscuti. 4. LA FORZA RAVIAZIONALE AENE SU UN PROIEILE NELL APPROSSIMA- ZIONE NEWONIANA L foz gvitzionle che nell ppossimzione newtonin gisce su un poiettile è chimente fonit dll 3.7. Pe utilizze concetmente qu elzione è tuttvi necessio tovne le poiezioni lungo gli ssi del sistem di ifeimento dttto. Come si è detto, pe descivee il moto del cento di mss di un poiettile si utilizz un ten otogonle solidle d un punto dell supeficie tee ed vente oientzione fiss ispetto ll e. Indichimo con { P, x, y, z} qu ten otogonle ed ssumimo che l sse z coincid con l nomle en ll supeficie tee in P, identifict lmeno loclmente, con un sfe di ggio R, come schemtizzto in Figu.. Figu. Supponimo che il punto P bbi coodinte geogfiche Φ P, ΛP. Supponimo quindi, come mostto in Figu., che il poiettile, di mss m, si tovi nel punto Q dello spzio individuto ispet- 8

13 to ll ten { P, x, y, z} dll tiplett (x, y, z), o in ltentiv, dll tiplett (β, L, z). Pe gioni di simmeti, non h ilevnz l posizione di P sull supeficie tee ed dipende unicmente d L e z. Dll Figu. si vede che: cosα R + z 4. = sin α = L 4. Dunque isult: L α = ctn 4.3 R e di conseguenz si h: cosα = ; L + R L sin α = 4.4 L ( R + z) + R Avvlendoci dell 4., possimo dunque concludee che: = ( R + z) L + R 4.5 Sino i ˆ, ˆ, j kˆ i vesoi fondmentli dell ten { P, x, y, z } ed indichimo con êl il vesoe dell diezione Q' P, dove Q' è l poiezione di Q sul pino x-y. E chio che: eˆ L = sin α 4.6 k ˆ = cosα 4.7 Dlle 4.6 e 4.7, tenendo pesente che: eˆ cos iˆ sin ˆ L = β + β j 4.8 si te llo: ˆ = sin α cos β iˆ + sin α sin β ˆj + cosα kˆ 4.9 Poiché in blistic si suppone sempe L < R + z, possimo scivee: L + R L = R 3 L + 8 R

14 L + R Così, ponendo: L = R L + R M g 0 = 4. R dll 3.7, vvlendosi delle 4.5, 4.0, 4. e 4., si ottiene il seguente sviluppo in seie pe l foz F : F 3 3 R L 3 L = + iˆ L 3 L m g + + sin jˆ 0 cos β β R R + z ( R + z) R + z ( R + z) 3 L + + kˆ ( R + z) 4.3 Qu è l elzione cect, che consente di espimee l foz F definit dll 3.7 ispetto ll ten { P, x, y, z } d noi considet. Si noti quo poposito che nell 4.3: L + = x y ; x cos β = ; x + y y sin β = 4.4 x + y Concludimo l gomento con un ossevzione sul vloe di g 0. le vloe, come si evince dll 4., dipende dl vloe di R utilizzto. Se R si identific con il ggio medio tee, cioè si 6 ssume R = m, llo isult g 0= 9.89 m/s. Se invece, come più spesso vviene, R 6 si identific con il ggio medio tee ll ltitudine di 45, cioè si ssume R = m, llo isult g 0 = m/s. Quo è il vloe di g 0 l qule solitmente si f ifeimento in blistic, nche se pe essee più pecisi si potebbe utilizze pe g 0 il vloe fonito dll 4. qundo R è identificto con il ggio medio tee dell egione in cui si conside il moto del poiettile. 5. FORMULE DI PRIMA E SECONDA APPROSSIMAZIONE Chimente, qulo si se: L R + z << L << R + z l fomul 4.3 può essee notevolmente semplifict. Inftti, 5. llo in pim ppossimzione l 4.3 si può scivee nell fom seguente: 0

15 F R kˆ 0 = m g 5. R che è l espessione di F solitmente utilizzt in blistic. Si noti che dl punto di vist fisico utilizze l 5. signific non solo considee l e pefettmente sfeic ed omogene, m nche tscune l cuvtu. Nell ppossimzione dell 5., l diezione di F è inftti costnte. L 5. è quindi coettmente pplicbile solo pe gittte eltivmente piccole. Vedimo o di tove un ppossimzione miglioe pe l foz F vlid nche pe gittte mediolunghe. Un semplice clcolo most che nell 4.3 il pimo temine coettivo nell componente veticle di F può pticmente sempe essee omesso. Supponendo d esempio L = 00 Km (che è un gittt notevole), si h inftti: 3 L ( R + z) < ( R = m) 5.3 Dunque l eoe pecentule che si commette omettendo il temine consideto è pticmente sempe tscubile. Più citico è invece omettee le componenti oizzontli di F. Si h inftti, considendo sempe L = 00 Km: L < R + z ( R = m) 5.4 Dunque se si suppone che L poss ive vloi elevti, non si può in genele pescindee dl considee l effetto delle componenti oizzontli dell foz F, meno di commettee degli eoi che possono isulte di un ceto ilievo. In qui csi un fomul più coett dell 5. è llo l seguente, ottenut dll 4.3 vvlendosi nche delle 4.4: F R x = iˆ y m g + ˆj + kˆ R R + z R + z Si noti che dottndo qu espessione dell foz F si tiene conto dell cuvtu tee in qunto l diezione di F non è costntemente pependicole l pino x-y. Ponendo: 0 R R g = g 5.6 l 5. e l più pecis 5.5 ssumono ispettivmente l fom seguente: F = mg kˆ 5.7 x ˆ y ˆ ˆ F = mg i+ j+ k R + z R + z 5.8

16 L gndezz g o intodott pende il nome di ccelezione di gvità e come si vede dll 5.6, dipende dll quot (ote che dl vloe ssunto pe R ). Chimente, se le quote ggiunte dl poiettile non sono elevte, llo il temine l qudto nell 5.6 può essee consideto unitio ed in quo cso g, e quindi F nel cso dell 5.7 o l componente veticle di F nel cso dell 5.8, isultno di intensità costnte. Non sempe peò in blistic qu semplificzione può essee ust. Ess vle inftti solo se le quote ggiunte dl poiettile sono sempe eltivmente bsse e quindi pe tiettoie piccol ct (indipendentemente dll gittt). Concludimo ossevndo che l utilizzo dell 5.7 è di nom lecito, sopttutto se si utilizz un modello blistico semplificto come d esempio quello euleino. Occoe peò tenee pesente che nel cso di gittte elevte ess intoduce un eoe (in intensità e diezione) il cui odine di gndezz deve essee stimto in modo d stbilie qundo, ispetto d eventuli lte foz che si vogliono considee genti sul poiettile (chimente di odine di gndezz supeioe ll eoe che si commette utilizzndo pe il potenzile gvitzionle l ppossimzione newtonin), l utilizzo dell 5.7 si effettivmente ccettbile.

17 BIBLIORAFIA ENERALE []. Levi-Civit, U. Amldi, Lezioni di Meccnic Rzionle, Vol., Vol. Pte I, Vol. Pte II, Znichelli. [] R. L. McCoy, Moden Exteio Bllistics, Schiffe Publishing Ltd. [3] M.. Busto, Le Equzioni eneli dell Blistic Esten pe i Poiettili Mss Costnte, mgbstudio.net. [4] M.. Busto, Le Azioni Aeodinmiche Ctteizznti il Moto dei Poiettili Senz Aletttue, mgbstudio.net. [5] D. Boghi M.. Busto, Dinmic del Volo Spzile, Levotto & Bell.

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19 INDICE ENERALE. INRODUZIONE. IL POENZIALE RAVIAZIONALE ERRESRE 4 3. LA FORZA RAVIAZIONALE AENE SU UN CORPO SOLIDO NELL APPROSSIMAZIONE NEWONIANA 5 4. LA FORZA RAVIAZIONALE AENE SU UN PROIEILE NELLA APPROSSIMAZIONE NEWONIANA 5. FORMULE DI PRIMA E SECONDA APPROSSIMAZIONE 0 BIBLIORAFIA ENERALE 3 8

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