V = RI. Figura 1 - Resistenza di un conduttore.

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1 EERCTAZONE RETVTA' VARAZONE DELLA RETVTA' CON LA TEMPERATURA DMENONAMENTO DE CONDUTTOR: CONDUTTORE NUDO E OLATO LEGGE D VARAZONEEZONE-CORRENTE A PARTÀ D OVRATEMPERATURA RETVTÀ PER DEFNRE LE CARATTERTCHE PRNCPAL DE MATERAL CONDUTTOR RCHAMAMO LE LEGG D OHM N FORMA NTEGRALE: A CAP D UN CONDUTTORE (RETORE) NEL QUALE CRCOLA UNA CORRENTE CONTNUA MURA UNA TENONE V PROPORZONALE AD (FG. ) V R + V _ Figura - Resistenza di un conduttore. LA COTANTE D PROPORZONALTÀ R È PAR ALLA PENDENZA DELLA RETTA TENONE - CORRENTE LA RETENZA R NON E` UNA CARATTERTCA DEL OLO MATERALE, POCHÉ DPENDE A DAL TPO D MATERALE A DALLE DMENON CELTE PER L RETORE (EZONE E LUNGHEZZA) (FG. ). 0

2 V R tg α α Figura. - Caratteristica tensione - corrente di tipo lineare. UN CONDUTTORE NELLA PRATCA PREENTA PEO NELLA FORMA D UN FLO, COÈ D UN CLNDRO MOLTO LUNGO D EZONE UNFORME. APPLCHAMO A QUETO CAO LA ECONDA LEGGE D OHM N FORMA NTEGRALE: R dipende dalla sezione e dalla lunghezza l del conduttore e dal tipo di materiale si può quindi scrivere (FG. 3): R l/ LA GRANDEZZA CHAMA RETVTÀ ED E UNA PROPRETÀ TPCA DEL MATERALE. PEO UA ANCHE L UO RECPROCO γ CHAMATO CONDUTTVTÀ γ / L UNTA' D MURA D (NEL TEMA ) È [OHM m]; PEO MPEGA ANCHE [OHM mm /m]. L UNTA' D MURA D γ (EMPRE NEL TEMA ) È [EMEN/m]. La resistività e' il parametro che distingue conduttori, isolanti e semiconduttori. l campo di valori della resistività dei materiali è molto ampio (circa 5 ordini di grandezza, FG. 4). Gli isolanti elettrici presentano i valori massimi di resistività, i conduttori metallici i valori minimi (trascurando i materiali superconduttivi) i materiali semiconduttori hanno resistività intermedia con caratteristica V - spesso non lineare e quindi resistività che dipende dal valore di V o di.

3 R l/ l Figura 3 - Resistività di un conduttore. CONDUTTOR EMCONDUTTOR OLANT Paraffina Ag Cu Fe Hg Grafite n Ge i Polimeri organici Mica io Figura 4 - pettro della resistività (Ωm)

4 Variazione della resistività con la temperatura E' stato osservato sperimentalmente che la resistività varia con la temperatura seguendo una legge praticamente lineare in un ampio intervallo di temperature che comprende la temperatura ambiente e quella massima di funzionamento del conduttore (fig. 5). Facendo riferimento alla fig. 5, si osserva che, nota la resistività ad una certa temperatura, ad esempio 0 corrispondente alla temperatura ambiente di 0 [ C] alla quale è stata fatta una misura di resistività, è possibile determinare il valore di resistività θ, ad una temperatura generica θ, attraverso la semplice somma: θ 0 + (.) in cui, avendo assunto una legge lineare, è lecito scrivere: 0 α 0 θ (.) dove con α 0 si indica il coefficiente di temperatura a 0 [ C]; mentre, la variazione di temperatura risulta: θ θ 0 (.3) si osservi inoltre che la pendenza della caratteristica è data dalla quantità α 0 0. θ θ θ Figura 5 - Andamento della resistività in funzione della temperatura Dalle equazioni (.), (.) e (.3) si ottiene: [ ] + ( 0) + ( 0 ) (.4) La relazione scritta consente di determinare la resistività di un materiale ad una certa temperatura nota la resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura di riferimento. Vediamo ora di ricavare 3

5 una nuova relazione che consenta di determinare la resistività di un dato materiale ad una certa temperatura quando è nota la resistività ed il coefficiente di temperatura ad una temperatura diversa da quella di riferimento di 0 [ C]. Dalla relazione (.4) è possibile scrivere la resistività del materiale a due temperatura diverse θ e θ : [ ( 0) ] ( 0) [ ] (.5) Facendo il rapporto fra la seconda e la prima delle espressioni scritte: [ + ( 0) ] + ( 0) 0 0 [ ] 0 0 ( ) ( ) (.6) ponendo: 0 ( 0) + (.7) si può facilmente, attraverso alcuni passaggi algebrici, dimostrare che: ( ) ( ) e quindi scrivere: ( ) + (.8) [ ( )] + (.9) Nel caso del rame, ad esempio, essendo il valore α 0 pari a: 3 α 0 3, 93 0 C il valore α θ risulta: 54, 5+ ( 0) 4

6 Dimensionamento di conduttori parametri che definiscono la scelta di un conduttore sono il materiale, la lunghezza e la sezione. Dato che il materiale è generalmente limitato a rame ed alluminio (a parte applicazioni particolari) e la lunghezza è quasi sempre imposta, il dimensionamento di un conduttore riguarda spesso la scelta della sezione. l procedimento con il quale si calcola il valore della sezione si basa sull'esigenza di non superare, durante il funzionamento del conduttore (quando cioè circola corrente), i valori limiti di temperatura oltre ai quali si ha un danneggiamento del conduttore stesso ma soprattutto dell'isolamento esterno. Quest'ultimo infatti, sopporta delle sovratemperature, rispetto alla temperatura ambiente, limitate ed inferiori a quelle del conduttore e viene così a definire la massima sovratemperatura che un cavo (conduttore+isolamento) può sopportare. Prendiamo in esame due casi che si incontrano comunemente nelle applicazioni elettriche: conduttore nudo e conduttore isolato (fig. 6). Conduttore Conduttore solante Aria Aria Figura 6 - Esempio di conduttore nudo ed con isolamento Conduttore nudo - avvolgimenti macchine elettriche l calcolo della sezione viene quindi effettuato impostando l'equilibrio termico tra conduttore ed ambiente. All'equilibrio si avrà che tutta la potenza elettrica dissipata dal conduttore per effetto Joule viene dispersa nell'ambiente sotto forma di calore. La potenza elettrica dissipata per effetto Joule è data dall'espressione: l PJ R (.0) dove: resistività del materiale [Ω mm /m]; l lunghezza del conduttore [m]; sezione del conduttore [mm ]; corrente nel conduttore [A] (è il valore efficace della corrente nel caso di corrente alternata); mentre quella termica dispersa nell'ambiente sotto forma di calore è data dall'espressione: Pt k p l θ (.) in cui: k coefficiente di trasmissione del calore tra conduttore e ambiente [W/m C]; 5

7 p θ p l perimetro della sezione trasversale del conduttore [m]; sovratemperatura tra la temperatura ambiente e temperatura del conduttore [ C]; superficie di scambio termico tra il conduttore e ambiente l' [m ]. All'equilibrio: P J P t (.) sostituendo: l θ k p l (.3) e quindi: θ k p (.4) Da questa relazione si determina la sovratemperatura, rispetto alla temperatura ambiente, di un conduttore percorso da una certa corrente. Più interessante dal punto di vista progettuale è invece il problema inverso, in cui, fissata la massima sovratemperatura ammissibile dal conduttore, si vuole determinare la massima corrente che può circolare in esso, per un tempo indefinito, senza danneggiarlo. La risposta a questo problema è molto semplice e può essere dedotta invertendo la formula appena ricavata: dove: k p θ (.5) rappresenta la massima corrente che può circolare nel conduttore per un tempo indefinito senza danneggiarlo, ossia senza superare la sovratemperatura massima consentita θ. Ancora più interessante è invece il problema di dimensionare un conduttore affinché porti una certa corrente e non superi i limiti termici imposti dal materiale impiegato. Esempio di calcolo pratico di un conduttore. La formula scritta in precedenza può essere resa operativa considerando una certo tipo di sezione ed un certo materiale. nfatti nel caso di sezione circolare possiamo scrivere: k d 3 θ (.6) 6

8 il cui il coefficiente k viene letto da opportune tabelle. Ad esempio, nel caso di conduttore libero in aria si può assumere un valore pari a 0,0. noltre, se si considera un certo materiale, anche la resistività e la massima sovratemperatura ammissibile possono essere inglobate in una costante e si ottiene un legame diretto tra corrente e diametro: 3 k d (.7) Ad esempio, consideriamo un conduttore con sezione circolare, in rame, posto in aria a 5 C che deve trasportare un corrente di 0 A. La temperatura massima che può raggiungere il conduttore è di 70 C. Quale deve essere la sezione del conduttore. Dalla relazione: k d 3 θ invertita rispetto a d: d 3 θ k (.8) in cui: 0 [A] sapendo che si tratta di rame, la resistività a 0 C risulta: [ ], Ω mm m mentre, dato che la sezione è circolare, possiamo assumere: k 0, 0 nfine, la sovratemperatura risulta: θ C Prima di applicare la formula (.8) dobbiamo riportare la resistività alla temperatura di 70 [ C] e quindi: [ t ] 6 0 mm a, 0,00 Ω [ m ] , sostituendo nella (.8) si ottiene: 7

9 d.03 [mm] e quindi: d 0, 84 4 π mm Conduttore con isolamento - cavo elettrico l problema della scelta dei cavi elettrici è uno dei problemi più ricorrenti nella progettazione degli impianti. A differenza del caso precedente, i cavi sono costituiti da conduttori isolati elettricamente e termicamente dall'ambiente. Per questo motivo è necessario considerare lo scambio termico che avviene tra conduttore ed isolamento e tra isolamento ed ambiente. Uno dei problemi più interessanti è rappresentato dal calcolo della portata di un cavo, ossia di quel valore di corrente che il cavo è in grado di portare per un tempo indefinito senza danneggiarsi, la quale non dipende solo dalla sezione e dal tipo di cavo ma da tutta una serie di fattori ambientali legati alla posa. Vediamo brevemente un esempio di calcolo di portata. Anche in questo caso si scrive un bilancio tra la potenza elettrica dissipata per effetto Joule e quella dispersa in calore nell'ambiente. i arriva quindi ad una relazione analoga a quella ricavata in precedenza in cui la portata risulta data dalla relazione: θ R tt (.9) dove R tt rappresenta la resistenza termica totale data dalla somma della resistenza termica tra conduttore ed isolante e tra isolante ed ambiente. Ad esempio, nel caso del cavo rappresentato in fig. 7, in cui D C 4,5 [mm] (sezione 6 [mm ]), D E 8 [mm], con isolamento in PVC (resistività termica t 5 C m / W, temperatura ambiente 30 [ C] e temperatura del conduttore 70 [ C] si vuole calcolare la portata. i comincia col calcolare la resistenza termica. La resistenza termica tra conduttore ed isolamento è data dalla formula: R t t DE ln 0, 46 C m / W (.0) π D C D D e c 8

10 Figura 7 - Conduttore isolato con guaina mentre la resistenza termica tra isolamento ed ambiente è fornita dalle norme CE (-) e vale per le dimensioni considerate: Rt, 9 C m / W quindi la resistenza termica totale risulta: RtT Rt + Rt 0, 46 +, 9 3, 36 Cm / W ed infine la portata risulta: θ R tt , 00 3, 36 97, 6 A Legge di variazione sezione-corrente a parità di sovratemperatura E' importante osservare che la legge di variazione della corrente e della superficie di dispersione del calore di un conduttore in funzione della sezione del conduttore stesso non sono uguali. Per questo motivo se si vuole mantenere costante, al crescere della sezione del conduttore, la sovratemperatura rispetto alla temperatura ambiente occorre variare la corrente in modo opportuno. n altre parole, se si raddoppia la sezione di un conduttore e corrispondentemente si raddoppia la corrente (mantenendo così inalterata la densità di corrente) si raggiungono due diverse sovratemperature (in particolare il conduttore a sezione doppia raggiunge una maggiore sovratemperatura). Dato che la sovratemperatura rappresenta la grandezza che impone lo sfruttamento del conduttore e non deve superare certi limiti, è opportuno imporne il valore e determinare di conseguenza il valore di corrente compatibile con la sezione. Consideriamo il caso di due piattine aventi sezioni geometricamente simili (fig. 8). a α a b α b Figura 8 - ezioni geometricamente simili La sezione trasversale dei due conduttori ed il loro perimetro risultano perciò: 9

11 a b ' a b p ( a + b) p' ( a + b) (.) Dato che il rapporto tra le sezioni ed i perimetri risulta: ' α p' α p si ha la seguente relazione tra sezioni e perimetri: ' p' p (.) (.3) (.4) Riprendiamo ora la relazione che ci consente di determinare la sovratemperatura, ricavata precedentemente: θ (.5) k p Considerando la sezione ', percorsa da una corrente '; la sovratemperatura risulta: θ' ' k p' ' (.6) mponendo la stessa sovratemperatura: θ θ' (.7) si ha: k p ' k p' ' (.8) Elaborando l'equazione (.8) si ottiene: ' ' ' e quindi: (.9) 0

12 ' α α β β (.30) avendo posto: β α (.3) ossia: ' α β (.3) Ad esempio, se si raddoppia la sezione: ' β (.33) per ottenere la stessa sovratemperatura occorre che le correnti, dalla (.30), stiano nel rapporto: ' β β, 68 n altre parole la corrente non essere raddoppiata ma può solo incrementata del 68 %. tudiamo ora il problema inverso ossia volgiamo determinare di quale rapporto deve variare la sezione del conduttore quando la corrente viene aumentata di un rapporto m: ' m (.34) e si vuole mantenere costante la sovratemperatura. Dall'equazione (.30) si ha che: ' ( m ) ' ' ' ' (.35) da cui è facile ricavare: 3 ' m 4 (.36) Ad esempio, se si raddoppia la corrente: m la sezione richiesta affinché si raggiunga la stessa sovratemperatura risulta applicando la (.36): 3 4 ', 5