pendii naturali e delle scarpate artificiali, le tensioni di taglio stesso lungo potenziali superfici di scorrimento.

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1 Anals d stabltà de pend Quando l pano campagna non è orzzontale, come nel caso de pend natural e delle scarpate artfcal, le tenson d taglo ndotte dalle forze gravtazonal tendono a smuovere l terreno stesso lungo potenzal superfc d scorrmento. Se sussste l equlbro, la resstenza al taglo mobltable lungo ogn possble superfce supera le tenson tangenzal ndotte dalla gravtà. Quest ultma non costtusce però l unca causa che nduce movment. Forze nstablzzant sono ntrodotte da terremot; oscllazon d falda producono varazon dello stato tensonale e della resstenza dsponble; forze d fltrazone gocano un ruolo pù mportante d quello normalmente attrbuto. τ m τ R

2 Anals d stabltà de pend L anals d stabltà de pend vene normalmente affrontata con metod all equlbro lmte globale che studano le condzon d equlbro d volum d terreno delmtat nferormente da superfc d scorrmento. L anals è lmtata a dett volum, senza esamnare lo stato tensonale e deformatvo dell ntero pendo, valutando l solo stato tensonale lungo le potenzal superfc d scorrmento che lmtano nferormente volum pres n esame e lungo le qual vene defnto l coeffcente d scurezza allo scorrmento. La verfca d stabltà s conduce esamnando un certo numero d possbl superfc d scvolamento per rcercare quella per la quale s ha l mnmo rapporto fra la resstenza al taglo dsponble e la tensone d taglo mobltata; l valore d questo rapporto costtusce l coeffcente d scurezza del pendo: F S = τ R /τ m τ m τr La superfce crtca è quella caratterzzata dal mnmo valore del coeffcente d scurezza che esprme le condzon d stabltà del pendo.

3 La rcerca sulla superfce crtca vene condotta n modo dverso n funzone delle condzon geomorfologche, ltologche, geomeccanche e d stabltà del sto. Questa rcerca è rvolta alla valutazone l espressone: F S = τ R /τ m dove: del coeffcente d scurezza defnto tramte τ m τr τ R = resstenza al taglo meda dsponble lungo la superfce d scorrmento; τ m = tensone d taglo meda mobltata, ossa lo sforzo tangenzale medo che equlbra l peso del volume d terreno e degl eventual carch applcat lungo la superfce d scorrmento; F S = coeffcente d scurezza, che rappresenta l termne per l quale deve essere dvsa la resstenza al taglo dsponble per determnare le condzon d rottura lungo la superfce determnata.

4 Anals d stabltà d pend natural ed artfcal con superfc d rottura non pane: metod de conc La rottura d un pendo, d altezza lmtata e formato prevalentemente da terren coesv, avvene generalmente lungo superfc con raggo d curvatura varable. Tra metod che mpegano superfc d scorrmento non pane s possono rcordare: metodo d Fellenus; metodo d Bshop; metodo d Janbu. Quest approcc rentrano n quell defnt come metod dell equlbro lmte globale, con cu s tendono a valutare, n termn dscret, lo stato tensonale all nterno della massa e lungo la superfce d scorrmento (curvlnea). In generale, la massa d terreno presa n consderazone è compresa tra l pano campagna e la superfce d rottura (potzzata o reale) e vene suddvsa n un numero dscreto d conc o strsce vertcal (fgura). superfce d scorrmento

5 Le forze agent su un generco conco -esmo sono rappresentate n fgura sotto. S potzza che le strsce sano delmtate nferormente da bas pane. Indcando con n l numero delle strsce, lo stato tensonale è ndvduato tramte 5n-3 grandezze ncognte: lungo le nterfacce: lungo le bas: n-1 component normal E ì ; n-1 component tangenzal X ì ; n-1 altezze b della lnea d azone della componente normale E. n component normal N ; n lunghezze a dentfcant punt d applcazone delle forze alla base N. b β A D W T R N B E E +1 X U U b X +1 C U +1 Z a L

6 Il sstema d forze n esame deve rsultare equlbrato. Lungo le bas l terreno deve trovars n condzone d rottura n presenza della resstenza a taglo rdotta, ossa d τ R /F. F è l coeffcente d scurezza. Esso è assunto costante lungo la superfce d scorrmento e rappresenta un ulterore ncognta del problema. Qund (5n-2) grandezze rsultano ncognte S possono scrvere allora 3n equazon d equlbro (2n alla traslazone ed n alla rotazone). Dunque, s dspone d 3n equazon. Purtroppo l numero delle ncognte supera quello delle equazon e, d conseguenza, l problema rsulta ndetermnato.

7 Se conc sono suffcentemente pccol da poter assumere che le N sano applcate nel barcentro della base l numero delle ncognte s rduce (le ncognte dventano par a 4n-2), ma l problema contnua ad essere ndetermnato, nfatt occorrono (n-2) condzon affnché l problema sa determnato. b β A W T R N B E E +1 X U D U b X +1 C U +1 Z a L I dvers metod reperbl n letteratura s dfferenzano tra loro nell ntroduzone delle ulteror condzon, che possono rguardare le forze lateral E e X, oppure l punto d applcazone delle forze lateral b, oppure le forze normal N.

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11 F M r T = M = r T R R M M T = cl + N tan ϕ R N = N U N = W cos T = W sen M F = β β ( ) cl + N U tan ϕ T L = lunghezza della base della strsca; N = forza normale totale sulla base della strsca; U = rsultante della pressone neutra lungo la base della strsca. M T M β T R R r W T R N R +1 β L Ipotes: 1. Metodo d Fellenus Superfce d scorrmento assmlable ad arco d cercho (d raggo r); rsultante forze sulle facce lateral d ogn conco è consderata nulla nella drezone normale alla base del conco (nota: (n-1) condzon) R =R +1

12 Nota: In genere con l metodo d Fellenus (o del cercho svedese) l coeffcente d scurezza è sottostmato (fno anche al 20%)

13 2. Metodo d Bshop Questo metodo rappresenta un evoluzone del metodo d Fellenus. Ipotes: r Superfce d scorrmento assmlable ad arco d cercho (d raggo r); F M r T = M = r T R R M M T = cl + N tan ϕ R T = W sen M per l generco conco: X = X X A B E = E E β A B ( ) N = W + X cos β E senβ W + X = N cos β + T senβ R β N T R E W X T M T R β W R A R B E B X B X A T R N E A β L

14 F = F = ( ) cl + N U tan ϕ ( Wsen β ) + + ( ) cl cos β W U cos β X tan ϕ sen β tan ϕ cos β + F ( Wsen β ) Metodo d Bshop semplfcato Ipotes: Procedura teratva lunghezze a dentfcant punt d applcazone delle forze alla base sono note, ossa par a metà larghezza d base rsultante nella drezone vertcale delle forze agent sulle facce d ogn conco è consderata nulla, ossa X =0 (nota: (n-1) condzon) F c (corretto)

15 Nota l fattore d scurezza F prma ntrodotto può essere così rscrtto, supponendo X =0: F = ( ) cl cos β + W U cos β tan ϕ α ( Wsen β ) tan β tan ϕ ove : m α = cosβ 1+ F 1 m la convergenza può essere ottenuta abbastanza rapdamente utlzzando un grafco che correla m α con α (prma chamato β) e con tgφ /F

16 Metodo d Bshop esatto Ipotes: lunghezze a dentfcant punt d applcazone delle forze alla base sono note, ossa par a metà larghezza d base X 0 F e (esatto) NOTA: Per essere trovato F e devono essere determnate forze d nterazone tangenzal sulle facce lateral d ogn conco mponendo condzon d equlbro su ogn sngolo conco e sull ntera massa Nota: c s ferma d solto a F c poché: F e >F c F reale Bshop notò che per varazon anche notevol della dstrbuzone delle X l coeffcente d scurezza oscllava n un campo molto rstretto (par all 1%), pertanto propose per problem tecnc, d trascurare le forze tangenzal d nterfacca. Il metodo prende l nome d Bshop semplfcato.

17 Ipotes: 3. Metodo d Janbu q Superfce d scvolamento d forma qualsas; Nota la lnea d azone delle forze d nterazone (noto b ); Nota la lnea d azone delle forze N ì (noto a ); Imponendo: condzone d equlbro lmte F=τ r /τ m (esprmendo con l crtero d Mohr-Coulomb la resstenza al taglo che s moblta lungo la superfce d scorrmento) per ogn conco condzon d equlbro alla traslazone (sa orzz. sa vert.), condz d equlbro globale b A D W T R N B E L δ E R X L U L P q U X R C Q U R Z β h Q a L s pervene a defnre un fattore d scurezza che è funzone d sé stesso, occorre dunque una PROCEDURA ITERATIVA. Metodo esatto: F e Metodo semplfcato: F c

18 Nel metodo d Janbu semplfcato vene soddsfatto l equlbro delle forze sa n drezone vertcale sa n drezone orzzontale e vene ntrodotto un fattore d correzone emprco f 0 che dpende da parametr della resstenza al taglo e dalla forma della curva d scvolamento (fgura) e medante l quale vene moltplcato un fattore d scurezza F 0 ottenuto X R =X L (nota: (n-1) condzon). F c =f 0 F 0 assumendo per semplctà In tale manera s trova un valore corretto del fattore d scurezza, detto F c ; che dffersce dal valore esatto, denomnato F e F = ( ) f0 cl cos β + W Ucos β tan ϕ ove : n α α = ( W tan β ) ( + ) β β ϕ 2 cos 1 tan tan F 1 n

19 Metodo d Janbu

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22 t = T x p p = γ z + q + x B = Q + p + t x tgα R ( ) 2 ( 1 tg ) A = τ x + α F = E A B A E + B ( ) A' = c + p + t u tg ϕ x tg α tg ϕ 1 + n F A A' α = = α n 2 ( 1 + tg ) α

23 Procedura teratva consste ne seguent pass: 1. Inzalmente non sono note le forze T, per cu s può calcolare un prmo valore d F (ndcato come F 0 ) assumendo T=0 ( ) ( ) ϕ x/ n α B = Q + p + t x tgα 0 A = c' + p + t u tg = A 0 F 0 E E + B 0 0 A B 0 2.Noto F 0 è possble calcolare per ogn conco l valore d E 0 =B 0 -(A 0 /F) 3.Sommando var E 0 la forza totale E ad ogn nterfacca è E=E A +Σ E 0 4. La forza tangenzale sulla stessa nterfacca è data da T = β E tg h de e h dq q dx dx

24 5.Not valor d T 1 è possble determnare per ogn conco l valore d T e qund nzare nuovamente per l calcolo d F 1 6. S prosegue nelle terazon fno ad ottenere un coeffcente d scurezza F con approssmazone soddsfacente. NOTA: Il metodo SEMPLIFICATO consste nel fermars alla determnazone d F 0 che moltplcato per f 0 fornsce F VEDERE ESERCIZIO

25 Metodo d Morgestern & Prce e Metodo d Spencer Con tal metod vengono soddsfatt l'equlbro delle forze n drezone vertcale e n drezone orzzontale e l'equlbro de moment. Per rendere l problema statcamente determnato s fa l'potes che le forze d nterazone tra conc sano tra loro legate dalla relazone X/E= λf(x) nella quale f(x) è una funzone arbtrara, che defnsce come vara la drezone della rsultante delle forze d nterazone nella massa n scvolamento, e λ è un fattore d scala, che esprme la percentuale della funzone rchesta per soddsfare l'equlbro delle forze e de moment. Una volta scelta la funzone f(x) s determnano coeffcent d scurezza corrspondent all equlbro de moment e all' equlbro delle forze e l calcolo vene rpetuto varando l fattore λ fno a quando Fm e Ff concdono. Ovvamente sono necessar gudzo ed esperenza nella scelta della funzone f(x), tenendo presente che non c può essere trazone e qund la poszone della lnea d spnta deve essere nterna alla massa n scvolamento. Inoltre non può essere superata la resstenza al taglo a rottura. La scelta dpende prncpalmente dalla forma della superfce d scvolamento, dalla varazone de parametr della resstenza al taglo e dalla pressone neutra lungo la superfce d scvolamento. Nell'potes d superfce d scvolamento crcolare, l coeffcente d scurezza è relatva- mente nsensble alla dstrbuzone delle forze d nterazone. Nel metodo d Spencer la relazone X/E= λf(x) rsulta uguale a costante ed n partcolare λf(x) = tan θ, essendo θ l angolo d nclnazone della rsultante delle forze d nterazone.

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27 ESEMPI

28 Osservazon general sulle anals d stabltà de pend: I metod propost sono solo alcun, forse tra pù celebr, de metod dsponbl per analzzare le condzon d stabltà d un pendo costtuto da materale scolto (terreno). Nelle dverse verfche d stabltà, con l metodo dell equlbro lmte, l problema vene trattato come bdmensonale, per cu la superfce d scvolamento vene rappresentata come una lnea e s trascura ogn resstenza o azone trasversale. Tale schematzzazone è accettable quando s esamnano pend avent caratterstche geometrche e terren con caratterstche geotecnche abbastanza costant n drezone trasversale. Comunque l errore che s commette con l anals d stabltà bdmensonale è a favore d scurezza e raramente eccede l 10%. Dal confronto de var metod d verfca rsulta che la reale accuratezza della soluzone, quando la superfce d scvolamento scelta corrsponde abbastanza bene alla forma della superfce possble d scvolamento, dpende prncpalmente dalla scelta de parametr della resstenza al taglo, dalla dstrbuzone delle presson neutre e molto lmtatamente dal metodo.