Sviluppi e derivate delle funzioni elementari

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Sviluppi e derivate delle funzioni elementari"

Transcript

1 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim f = lim fy e lim f1/ = lim fy ± y ± y 0 ± di dimostrazione immediata in ipotesi naturali. Precisamente, per ciascuna di esse, esiste finito o meno uno dei due membri se e solo se esiste l altro e in caso di esistenza vale l uguaglianza. Queste formule sono casi particolarmente semplici di un risultato generale di cambiamento di variabile nei limiti che non intendiamo introdurre. 1. Le funzioni circolari Iniziamo con un risultato facile, ma ben più preciso di quello dato tradizionalmente. Lemma 1.1. Valgono gli sviluppi sin = + O 3 e cos = O 4 per Dimostrazione. Per 0, π/3 abbiamo sin tan, sin 2 2 e cos 1 2. Deduciamo 0 sin tan sin = sin sin 1 cos = cos cos 2 sin /2 2 = 3 2 e dunque la prima delle 1.1 limitatamente al limite destro. Siccome sin è una funzione dispari, la stessa conclusione vale per il limite sinistro. La seconda segue immediatamente. Abbiamo infatti 1 cos = 2 sin = O3 = O 4 + O 6 = O 4 e basta riordinare. Proposizione 1.2. Valgono gli sviluppi del prim ordine sin = + o e cos = 1 + o per Inoltre le funzioni sin e cos sono differenziabili in R e valgono le formule sin 0 = cos 0 e cos 0 = sin 0 per ogni 0 R. 1.3

2 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 2 Dimostrazione. Gli sviluppi 1.2 seguono ovviamente dalle 1.1. Per dimostrare le 1.3, calcoliamo gli sviluppi delle due funzioni circolari per tendente al punto 0 generico. Abbiamo per h 0 sin 0 + h = sin 0 cos h + cos 0 sin h = sin oh + cos 0 h + oh = sin 0 + h cos 0 + oh da cui la differenziabilità di sin in 0 e la prima delle 1.3. Analogamente cos 0 + h = cos 0 cos h sin 0 sin h = cos oh sin 0 h + oh = cos 0 h sin 0 + oh da cui la differenziabilità di cos in 0 e la seconda formula. Osservazione 1.3. Si noti che la prima delle 1.2 fornisce sin = + o = 1 + o1 per 0 da cui lim 0 sin = 1. Questo è anche il significato della prima delle 1.3 con 0 = 0. Notiamo che, nelle impostazioni tradizionali, questa è la formula che si dimostra per prima e si usa parlare di limite notevole. Noi, con una dimostrazione di due sole righe, abbiamo ottenuto la prima delle 1.1, ben più precisa e significativa. Con una riga in più abbiamo poi dedotto la seconda delle 1.1, pure particolarmente significativa. Queste due formule sono sostanzialmente sviluppi di ordine superiore anziché del prim ordine: la forma dei rispettivi resti, infatti, suggerisce di interpretare le parti principali come polinomi di gradi 2 e 3 rispettivamente e di dichiarare le due formule sviluppi del secondo e del terzo ordine. Ciò in quanto una formula del tipo per h 0 f 0 + h = P h + oh n, in particolare f 0 + h = P h + Oh n+1, ove P è un polinomio di grado n, viene chiamata sviluppo di ordine n vicino a Il logaritmo Questo paragrafo riguarda lo sviluppo e la derivata del logaritmo. Lemma 2.1. Valgono le formule lim = e e lim = e. 2.1 Dimostrazione. Per dimostrare la prima facciamo un calcolo preliminare. Siano reale e n intero positivo tali che n n + 1. Allora 1/n + 1 1/ 1/n, da cui n n n+1. n + 1 n n

3 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 3 Vediamo ora che il primo e l ultimo membro convergono a e per n. Infatti lim n = n+1 lim = e 1 = e n n + 1 n + 1 n n + 1 lim n+1 = lim 1 + n n 1 n = e 1 = e. n n n A questo punto siamo pronti a dimostrare la prima delle 2.1, cioè che per ogni ε > 0 esiste > 0 tale che e ε e + ε per ogni. Fissiamo dunque ε > 0. Per quanto detto sopra esistono numeri naturali m e m tali che e ε n+1 e + ε e e ε n e + ε n n + 1 rispettivamente per ogni n m e per ogni n m. Prendiamo allora = ma{m, m } e supponiamo. Detta n la parte intera di, abbiamo n m, n m e n n + 1. Concludiamo che e ε n + 1 n n+1 e + ε n e la prima delle 2.1 è dimostrata. Deduciamo facilmente la seconda: lim = lim 1 1 y y 1 y y = lim = lim y + y y + y y + y 1 = lim y = lim y = e 1 = e. y + y 1 y + y 1 y 1 y Proposizione 2.2. Valgono lo sviluppo e la formula ln1 + = + o per 0 e ln 0 = 1 0 per ogni 0 > Dimostrazione. La combinazione delle 2.1 implica 1 + 1/ = e + o1 per 0 ± dunque per 0. Prendendo il logaritmo deduciamo 1 ln1 + = ln e + o1 per 0. D altra parte ln è continua in e e vale 1 in tal punto. Dunque ln e + o1 = 1 + o1 per 0. Combinando otteniamo la prima delle 2.2. Per 0 > 0 generico abbiamo ln 0 + h = ln 0 + ln 1 + h/ 0 = ln 0 + h 0 + oh per h 0 cioè seconda delle 2.2.

4 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 4 3. L esponenziale e le funzioni collegate Iniziamo dalla funzione esponenziale ep : e, R. Proposizione 3.1. Valgono lo sviluppo e la formula e = o per 0 e ep 0 = e 0 per ogni 0 R. 3.1 Dimostrazione. Possiamo dare varie dimostrazioni. Anche se è possibile dimostrare direttamente la seconda delle 3.1, vediamo come questa discenda immediatamente dalla prima. Se, infatti, quest ultima è già nota, nel caso di un punto 0 generico abbiamo e 0+h = e 0 e h = e h + oh = e 0 + e 0 h + oh per h 0 cioè la seconda delle 3.1. Alternativamente, visto già il logaritmo, basta dimostrare la differenziabilità dell esponenziale. La 3.1, infatti, segue poi dal teorema sulle funzioni composte: dall identità epln y = y per ogni y > 0 deduciamo ep ln y ln y = 1 per ogni y > 0, da cui ep 0 = 1 ln ep 0 = 1 = ep 0 per ogni 0 R. 1/ ep 0 Per quanto riguarda la differenziabilità della funzione esponenziale, la via più breve consiste nell applicazione diretta di qualche risultato generale sulle funzioni inverse e ne abbiamo almeno due. Il primo, classico, è il seguente: Siano I un intervallo, f : I R una funzione differenziabile con derivata mai nulla e I = fi. Allora I è un intervallo, f è iniettiva e f 1 : I I è differenziabile. 3.2 Il secondo, molto più generale e in ipotesi minime, è il seguente: Siano I, I R N intorni di 0, y 0 R N rispettivamente e f : I I biiettiva tale che y 0 = f 0. Si supponga che f sia differenziabile in 0, df 0 : R N R N sia un isomorfismo e f 1 sia continua in y 0. Allora f 1 è differenziabile in y Tali risultati sono entrambi applicabili. Diamo infine una dimostrazione diretta della prima delle 3.1 che, come abbiamo osservato, implica la seconda. Per lo sviluppo 2.2 del logaritmo abbiamo lim 0 ln1 + = lim 0 + o = 1 e ora deduciamo che ep 0 = 1. Fissato ε > 0 ad arbitrio, dobbiamo trovare δ > 0 tale che eh 1 1 ε per 0 < h δ. h

5 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 5 Fissiamo dunque ε > 0. Per quanto appena dimostrato troviamo σ > 0 tale che ln1 + 1 ε per 0 < σ. Siccome la funzione ep è continua in 0, esiste δ > 0 tale che e h 1 σ non appena h δ. Sia ora 0 < h δ e si definisca = e h 1. Allora 0 < σ, da cui eh 1 h e la prima delle 3.1 è dimostrata. 1 = ln1 + 1 ε Osservazione 3.2. Nella dimostrazione precedente abbiamo sostanzialmente dato una dimostrazione diretta della formula e h 1 lim h 0 h = lim 0 ln1 + che corrisponde al cambiamento di variabile = e h 1. La stessa idea è il nocciolo delle dimostrazioni usuali dell enunciato 3.2: anziché la differenziabilità, si dimostra l esistenza della derivata finita calcolando il limite del rapporto incrementale. In tal modo si dimostra direttamente anche la formula della derivata di f 1 f 1 y = 1 f f 1 y per ogni y I vale a dire, in due punti 0 e y 0 legati dalla relazione y 0 = f 0 le derivate di f e rispettivamente di f 1 sono reciproche fra loro. Ciò ha un chiaro significato geometrico: la simmetria rispetto alla prima bisettrice, che scambia i grafici delle due funzioni, scambia anche le tangenti e dunque le rispettive pendenze sono reciproche fra loro. Corollario 3.3. Valgono gli sviluppi del prim ordine sinh = + o e cosh = 1 + o per Inoltre le funzioni sinh e cosh sono differenziabili in R e valgono le formule sinh 0 = cosh 0 e cosh 0 = sinh 0 per ogni 0 R. 3.5 Dimostrazione. Basta scrivere le due funzioni iperboliche attraverso l esponenziale e applicare quanto dimostrato per quest ultima. A titolo esemplificativo abbiamo cosh = e + e 2 = o o 2 = 1 + o per 0. Corollario 3.4. Per ogni α reale vale lo sviluppo 1 + α = 1 + α + o per

6 Sviluppi e derivate delle funzioni elementari 6 Inoltre la funzione f α : α, > 0, è differenziabile e vale la formula f α 0 = α α 1 0 per ogni 0 > Dimostrazione. Lo sviluppo 3.6 coincide con la 3.7 con 0 = 1. Ora la 3.7 nel caso generale si ottiene osservando che α = e α ln per ogni > 0 e applicando il Teorema di derivazione delle funzioni composte: f 0 = e α ln 0 α 0 = α 0 α 0 = α α 1 0. Osservazione 3.5. In vari casi particolari la funzione f α ha prolungamenti naturali, cioè definiti dalla stessa formula, a domini più ampi, prolungamenti che continuiamo a denotare con f α con abuso di notazioni. In tali casi la formula di derivazione vale in ipotesi più generali su 0. Così, se α è un intero, nella definizione del valore f α possiamo supporre 0 anziché > 0 e la 3.7 vale per ogni 0 0. Infatti 0 + h α = α h/0 α = α h/0 + oh = α 0 + α α 1 0 h + oh per h 0 e ciò per ogni 0 0. Se poi α è intero > 1, il tutto si estende al caso 0 = 0, dato che f α0 è nulla. Analogamente, se α è reale > 1 non intero, possiamo definire il valore f α per 0 e la 3.7 vale anche in 0 per lo stesso motivo. Al contrario, se 0 < α < 1, possiamo ancora supporre 0 nella definizione del valore f α, ma la formula di derivazione vale solo per 0 > 0. Si noti però che essa perde sì di significato se 0 = 0 in quanto α 1 < 0, ma che, nello stesso tempo, f α0 = +.

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

8. Completamento di uno spazio di misura.

8. Completamento di uno spazio di misura. 8. Completamento di uno spazio di misura. 8.1. Spazi di misura. Spazi di misura completi. Definizione 8.1.1. (Spazio misurabile). Si chiama spazio misurabile ogni coppia ordinata (Ω, A), dove Ω è un insieme

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.

Dettagli

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim

Dettagli

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.

variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y. Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

Integrale indefinito

Integrale indefinito Integrale indefinito 1 Primitive di funzioni Definizione 1.1 Se f: [a, b] R è una funzione, una sua primitiva è una funzione derivabile g: [a, b] R tale che g () = f(). Ovviamente la primitiva di una funzione,

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

Coseno, seno, e pi greco

Coseno, seno, e pi greco L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 1 Coseno, seno, e pi greco In queste note daremo una presentazione analitica e autocontenuta della definizione e delle proprietà fondamentali

Dettagli

FUNZIONI. }, oppure la

FUNZIONI. }, oppure la FUNZIONI 1. Definizioni e prime proprietà Il concetto di funzione è di uso comune per esprimere la seguente situazione: due grandezze variano l una al variare dell altra secondo una certa legge. Ad esempio,

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 23-4. Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Siano V e W due spazi vettoriali e sia T : V W un applicazione lineare. Fissiamo una base B per V ed una base

Dettagli

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro

Complementi di Analisi Matematica Ia. Carlo Bardaro Complementi di Analisi Matematica Ia Carlo Bardaro Capitolo 1 Elementi di topologia della retta reale 1.1 Intorni, punti di accumulazione e insiemi chiusi Sia x 0 IR un fissato punto di IR. Chiameremo

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.2 Funzioni Complesse Una funzione complessa di variabile complessa f : E C, E C è un applicazione ce associa un numero complesso f(z) ad ogni z E, con E sottoinsieme del

Dettagli

Piccolo teorema di Fermat

Piccolo teorema di Fermat Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod

Dettagli

Integrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c.

Integrali indefiniti fondamentali. Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati. a dx ax c. log. e dx e c. cos xdx senx c. Integrali indefiniti fondamentali Integrali indefiniti riconducibili a quelli immediati d f ( c d f ( c a d a c n n d c con n - n a a d log k e d e k k e c a c e d e c d log c send cos c cos d sen c senhd

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

Problema ( ) = 0,!

Problema ( ) = 0,! Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente

Dettagli

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI

DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI RAZIONALI 1. L insieme dei numeri naturali Nel sistema assiomatico ZF, l Assioma dell infinito stabilisce che: Esiste un insieme A, i cui elementi sono insiemi e tale che

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6,

Dettagli

Prerequisiti per seguire il corso

Prerequisiti per seguire il corso Prerequisiti per seguire il corso Insiemi numerici e aritmetica elementare. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Geometria elementare e geometria analitica: rette, parabole, iperbole equilatera.

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri

Le Derivate. Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Le Derivate Appunti delle lezioni di matematica di A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

Osservazioni sulle funzioni composte

Osservazioni sulle funzioni composte Osservazioni sulle funzioni composte ) 30 dicembre 2009 Scopo di questo articolo è di trattare alcuni problemi legati alla derivabilità delle funzioni composte nel caso di funzioni di R n in R m Non si

Dettagli

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un

Dettagli

5 DERIVATA. 5.1 Continuità

5 DERIVATA. 5.1 Continuità 5 DERIVATA 5. Continuità Definizione 5. Sia < a < b < +, f : (a, b) R e c (a, b). Diciamo che f è continua in c se sono verificate le ue conizioni: (i) c esiste (ii) = f(c) c Si osservi che nella efinizione

Dettagli

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione

Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti

Dettagli

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)

Derivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III) Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo

Dettagli

Esercizi di Analisi Reale

Esercizi di Analisi Reale sercizi di Analisi Reale Corso di Laurea in Matematica Terminologia. Sia R n un insieme misurabile. Una funzione positiva misurabile f su, cioè una funzione f : [, ] misurabile, ammette sempre integrale

Dettagli

Il teorema di Schwarz

Il teorema di Schwarz Il teorema di Schwarz 1. Quante sono le derivate parziali seconde, terze,...? Il procedimento di derivazione parziali applicato ad una funzione f(x, y) di due variabili raddoppia il numero di derivate

Dettagli

Esercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x.

Esercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x. I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

SPAZI METRICI COMPLETI

SPAZI METRICI COMPLETI Capitolo 1 SPAZI METRICI COMPLETI Sia dato uno spazio metrico (X, d). Definizione 1.1 Una successione {x n } si dice successione di Cauchy se ε > 0 n 0 n, m n 0 = d(x n x m ) < ε (1.1) Esercizio 1.1 Dimostrare

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza e indipendenza lineare Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

Il Teorema di Kakutani

Il Teorema di Kakutani Il Teorema di Kakutani Abbiamo visto, precedentemente, il seguente risultato: 1 Sia X uno spazio di Banach. Se X è separabile, la palla è debolmente compatta. B X = {x X x 1} Il Teorema di Kakutani è un

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Calcolo differenziale per funzioni in più variabili. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 14 dicembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Calcolo

Dettagli

Derivazione Numerica

Derivazione Numerica Derivazione Numerica I metodi alle differenze finite sono basati sull approssimazione numerica di derivate parziali. Per questo consideriamo come problema iniziale quello di approssimare le derivate di

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0. 55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino

Dettagli

Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =

Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste

Dettagli

9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO

9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 9. CALCOLO INTEGRALE: L INTEGRALE INDEFINITO A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 La nascita e lo sviluppo del calcolo integrale sono legati a due tipi

Dettagli

GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI

GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Capitolo 1 GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Definizione 1. Sia I un intervallo aperto della retta euclidea E 1 e sia α : I E n, con n 2, un applicazione differenziabile. La sua immagine C = α(i)

Dettagli

LIMITI. 1. Definizione di limite.

LIMITI. 1. Definizione di limite. LIMITI 1. Definizione di limite. Sia A un sottoinsieme di IR; se il numero reale x 0 è di accumulazione per A in ogni intorno di x 0 si trovano elementi di A distinti da x 0. Allora ha senso chiedersi

Dettagli

Funzioni Pari e Dispari

Funzioni Pari e Dispari Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della

Dettagli

Anno 4 Matrice inversa

Anno 4 Matrice inversa Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012 Analisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 212 Indice Capitolo 1. Programma 5 Capitolo 2. Convergenza uniforme 7 1. Convergenza uniforme e continuità 7 2. Criterio di Abel Dirichlet

Dettagli

1 Introduzione alle matrici quadrate 2 2 a coefficienti in R.

1 Introduzione alle matrici quadrate 2 2 a coefficienti in R. 1 Introduzione alle matrici quadrate 2 2 a coefficienti in R Per introdurre il concetto di matrice, a 2 righe e 2 colonne, iniziamo col considerare griglie o tabelle di numeri Gli elementi della griglia,

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE

ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE ESERCIZIARIO SULL'APPLICAZIONE DELLE DERIVATE Determinare l incremento della funzione f (x) = x 2 relativo al punto x 0 e all incremento x x 0, nei seguenti casi:. x 0 =, x = 2 2. x 0 =, x =. 3. x 0 =,

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Funzioni vettoriali di variabile scalare

Funzioni vettoriali di variabile scalare Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI LIMITI prof. Danilo Saccoccioni L'analisi matematica classica prende le mosse dalla nozione di ite. Inizialmente la presentazione sarà del tutto informale e qualitativa, poi

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione

Dettagli

5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale

5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale CAPITOLO 5 Calcolo differenziale 5.1 Derivata di una funzione reale di variabile reale Sia data la funzione f : X Y, e sia 0 X. Se la variabile indipendente passa dal valore 0 al valore 0 +, con molto

Dettagli

Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti.

Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti. Capitolo 7 Limiti di funzioni Abbiamo già visto nel capitolo sulle funzioni che, negli estremi del suo dominio, una funzione può avere degli asintoti. Ricordiamo che un asintoto verticale = a si presenta

Dettagli

Esercizi per il corso Matematica clea

Esercizi per il corso Matematica clea Esercizi per il corso Matematica clea Daniele Ritelli anno accademico 008/009 Lezione : Numeri naturali e principio di induzione Esercizi svolti. Provare che + + + n. Provare che + + + n n(n + ) n(n +

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci Dai la denizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0, illustra il suo signicato geometrico e serviti di tale denizione per dimostrare che f

Dettagli

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE

ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE ANALISI 1 1 QUINTA LEZIONE 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html Ricevimento:

Dettagli

Equazioni esponenziali e logaritmi

Equazioni esponenziali e logaritmi Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali..................................................... 3 casi particolari............................................................

Dettagli

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

ESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n

ESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n Il calcolatore ad orologio di Gauss ESERCITAZIONE N.8 18 novembre L aritmetica dell orologio di Gauss Operazioni e calcoli in Z n 1, 1, -11, sono tra loro equivalenti ( modulo 12 ) Rosalba Barattero Sono

Dettagli

Il concetto di derivata e le regole di derivazione

Il concetto di derivata e le regole di derivazione Il concetto di derivata e le regole di derivazione Il concetto fondamentale del calcolo differenziale è quello di derivata formulato alla fine del XVII secolo da Pierre de Fermat che se ne servì per determinare

Dettagli

Derivate delle funzioni di una variabile.

Derivate delle funzioni di una variabile. Derivate delle funzioni di una variabile. Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. I problemi

Dettagli

Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI

Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI Pagina 1 NUMERI COMPLESSI (C, +, ) è un campo. i 2 = -1. K, +,,, 0, 1 L'equazione x 2 +1=0

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1

LIMITI DI FUNZIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1 LIMITI DI FUNZIONI c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Limiti di funzioni cap3a.pdf 1 Intorni Def. Siano 0 R e r R +. Chiamiamo intorno di centro 0 e raggio r l intervallo aperto e limitato

Dettagli

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni Anno 3 Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni 1 Introduzione In questa lezione impareremo a conoscere le funzioni esponenziali e i logaritmi; ne descriveremo le principali caratteristiche e

Dettagli

DERIVATE. 1.Definizione di derivata.

DERIVATE. 1.Definizione di derivata. DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili 5. Determinare, al variare del parametro a R, la natura delle seguenti forme quadratiche: (i) Φ(x, y, z) = x 2 + 2axy + y 2 + 2axz + z 2, (ii) Φ(x, y, z, t) = 2x 2 + ay 2 z 2 t 2 + 2xz + 4yt + 2azt. 4.11

Dettagli

3 LA RETTA REALE ESTESA

3 LA RETTA REALE ESTESA 3 LA RETTA REALE ESTESA Abbiamo visto che i concetti di sup e inf sono utili per descrivere proprietà di insiemi superiormente/inferiormente limitati. Per coprire con questi concetti tutti gli insiemi

Dettagli