Teoria dei Giochi. Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 6

Transcript

1 Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 011/01 Handout 6 I Giochi Dinamici In questa dispensa analizzeremo i giochi dinamici, ovvero i giochi che prevedono l inserimento dell elemento temporale nel processo di interazione tra gli agenti. Cominceremo a discutere i giochi sequenziali e cioè giochi dove alcuni agenti agiscono dopo che altri agenti hanno già deciso le (o alcune) loro azioni. Una volta introdotti alcuni esempi di questi giochi (il gioco dell ultimatum e il modello di Stackelberg) de niremo il concetto di sottogioco (subgame) riferendoci alla categoria generale dei giochi dinamici con informazione imperfetta. Nelle prossima dispensa ci occuperemo di una particolare categoria di giochi dinamici ovvero i giochi ripetuti. 1 I giochi sequenziali ad informazione perfetta Si consideri un economia caratterizzata da due imprese. Un impresa (incumbent) è monopolista in un dato mercato e gode di un pro tto di monopolio pari a. Un altra impresa (entrant) deve decidere se entrare nel mercato dell incumbent (In) oppure se stare fuori da tale mercato (Out). Nel caso in cui l entrant decide di stare fuori, il gioco nisce, egli non guadagna niente e l incumbent continua a guadagnare un pro tto di monopolio pari a. Se l entrant decide di entrare, a questo punto l incumbent, che osserva l ingresso nel mercato dell entrant, può decidere se fare la guerra (Fight) oppure se dividere i pro tti di monopolio (Share) con l impresa che è entrata nel mercato. Nel primo caso entrambe le imprese faranno una perdita pari a 1, mentre nel secondo caso entrambe le imprese guadagneranno metà del pro tto di monopolio. Il gioco è illustrato in forma estesa nella Figura 1. Esso può essere rappresentato in forma normale come segue: Entrant In -1, -1 1, 1 Out 0, 0, 1

2 Si noti che nella rappresentazione in forma normale non riusciamo a cogliere l elemento temporale. Procedendo all individuazione dell equilibrio di Nash troviamo due equilibri (In, Share) (Out, Fight). In realtà è facile vedere che se noi ci mettiamo nei panni dell entrant, se egli sa che l incumbent è razionale, egli entrerà nel mercato poichè, una volta che l incumbent osserva il suo ingresso, egli non ha nessun motivo per giocare ght ma farà pro tti maggiori giocando share. Come interpretare allora l equilibrio di Nash (Out, Fight)? Il concetto di equilibrio di Nash applicato ai giochi sequenziali necessita in realtà di una "correzione". Infatti, se lo applichiamo cosi come abbiamo appreso nell analisi dei giochi statici, esso può coinvolgere nella de nizione di equilibrio delle strategie che sono "fuori dal percorso dell equilibrio" (out of the equilibrium path), ovvero delle situazioni che rappresentano degli equilibri di nash ex-ante possono non essere più degli equilibri ex-post. Cerchiamo di capire. La situazione descritta dell equilibrio di nash (Out, Fight) è una situazione che descrive il fatto che se e ettivamente l incumbent gioca ght, all entrant conviene assolutamente stare fuori e nessuno ha incentivo a muoversi da tale situazione. Il problema è che tale equilibrio sta coinvolgendo due strategie che sono fuori dal percorso dell equilibrio nel senso che se e ettivamente si veri ca Out, la strategia ght non verrà mai raggiunta. Il concetto di equilibrio di nash può coinvolgere strategie che sono fuori dal percorso dell equilibrio. Di conseguenza, rischiamo, come nel caso precedente, di considerare equilibri che in realtà non sono credibili perchè non verranno mai raggiunti. 1 Per trovare gli equilibri di nash che sono credibili dobbiamo trovare gli equilibri di nash che rimangono tali ad ogni contingenza del gioco. Per e ettuare questo procedimento si parte dall ultima contingenza del gioco e si trovano i NE. Successivamente si trovano gli equilibri di nash della penultima contingenza sapendo quelli che sono i NE dell ultima contingenza. Così facendo si procede no ad arrivare alla prima contingenza del gioco. Nell esempio precedente, dall ultima contingenza l incumbent giocherà Share (è una strategia dominante) e questa strategia dovrà costituire il NE del gioco. A questo punto, si procede all indietro e si arriva al primo nodo decisionale dove l entrant confronta i payo che ottiene dallo stare fuori dal mercato (zero) con quelli che ottiene se decide di entrare nel mercato considerando solo che se egli entra l incumbent gioca share (uno). A questo punto egli decide di entrare. L unico equilibrio di Nash di tale gioco è dato da (IN, Share). Consideriamo adesso un ulteriore esempio descritto nella Figura. Abbiamo tre giocatori ed un gioco sequenziale. Come facciamo a trovare gli equilibri di Nash credibili di tale gioco? Partiamo dall ultima contingenza, nella quale decide il giocatore 3. Al giocatore 3 conviene giocare la seguente strategia: 1 Si noti che l incumbent è in sostanza danneggiato dal fatto di avere una scelta tra le due strategie. Egli starebbe meglio se potesse rinunciare (e far sapere all entrant che ha rinunciato!) alla startegia Share. Egli potrebbe dire all entrant "Guarda che io non decido niente, ho programmato una macchina che gioca ght appena tu entri". Tale situazione, ovvero la rinuncia ad una strategia permette all incumbent di raggiungere un risultato più e ciente. La rinuncia e ettiva ad una strategia o il far credere ad un giocatore di aver rinunciato ad una strategia può portare a dei risultati migliori per l incumbent. Per quelli che hanno sostenuto l esame di macroeconomia applicata, ricordate la politica monetaria?

3 "gioco r se il giocatore ha giocato b; gioco l se il giocatore ha giocato a". Andiamo adesso alla contingenza in cui è chiamato a giocare il giocatore. Egli sa che se gioca b il giocatore 3 giocherà r e quindi egli prenderà -7. Se invece gioca a il giocatore 3 giocherà l ed egli prenderà. Quindi il giocatore giocherà sicuramente a. Nella contingenza in cui al secondo stadio è chiamato a giocare il giocatore 3 (l ultimo nodo a sinistra del gioco) è evidente che il giocatore 3 sceglie di giocare l. A questo punto possiamo andare al nodo iniziale nel quale il giocatore 1 deve muovere. Se egli sceglie R prenderà -4 poiche il giocatore 3 muove l. Se egli muove L otterrà 4 perchè il giocatore giocherà a ed il giocatore 3 giocherà l. Il seguente pro lo di strategie = ( 1 ; ; 3 ) costituisce l unico equilibrio di Nash credibile ad ogni contingenza: 8 1 = L >< = = a 3 = "r se il giocatore ha giocato b; l se il giocatore ha giocato a; l >: se il giocatore 1 ha giocato R": Il procedimento che abbiamo applicato per individuare tale equilibrio è noto come backward induction, ovvero induzione all indietro. TEOREMA: Ogni gioco nito ad informazione completa ha un equilibrio di Nash in strategie pure che può essere individuato utilizzando la backward induction. Se non ci sono pareggi nei payo dei giocatori c è un unico equilibrio di nash che può essere individuato applicando la backward induction. Applicazioni.1 L ultimatum game Esiste una torta di dimensione v. Per semplicità poniamo v=1. Il giocatore 1 deve decidere quanto vuole di questa torta e fa un o erta (x 1 1) al giocatore. Il giocatore osserva l o erta del giocatore 1 e decide se accettare oppure no. Se l o erta viene accettata, i due giocatori dividono la torta seguendo l o erta fatta dal giocatore 1 ottenendo rispettivamente x 1 ed x con x 1 + x = 1. Se l o erta viene ri utata, entrambi i giocatori ottengono zero. Consideriamo il seguente pro lo di strategie: s = "si, se x 1 x; no, se x 1 > x" s 1 = x: Possiamo vedere che tali strategie sono best response l una dell altra. Questo signi ca che ci sono in niti equilibri di nash (dati da tutti i valori di x compresi 3

4 tra zero ed uno) in questo gioco. Ma sono tutti credibili? La risposta è no. Infatti supponiamo che il giocatore 1 giochi x 1 + " (con " > 0): Cosa farà il giocatore? Dirà veramente di no all o erta del giocatore 1 prendendo zero? La risposta è no. Infatti al giocatore conviene accettare tale o erta. Le strategie descritte in precedenza caratterizzano equilibri di Nash che non sono credibili. L unico equilibrio di Nash credibile è il seguente: s = si, se x 1 1; no, se x 1 > 1 s 1 = x = 1:. Il duopolio di Stackelberg Si consideri un duopolio esattamente uguale a quello descritto dal modello di Cournot. La situazione è esattamente identica (stesso costo marginale costante c e stessa curva di domanda inversa P (Q) = a Q con Q = q i + q j ): La concorrenza tra le due imprese avviene sempre attraverso la scelta delle quantità da immettere sul mercato. In questo casò però si supponga che l impresa i decide per prima la quantità da immettere sul mercato, mentre l impresa j decide la sua quantità solo dopo avere osservato la scelta fatta dall impresa i. Come possiamo trovare l equilibrio di Nash in questo gioco? Dobbiamo sempre applicare la backward induction, ovvero partire dall ultima contingenza. In questo caso l ultima contingenza è rappresentata dalla scelta dell impresa j che sceglierà q j che massimizza i suoi pro tti data q i : Tale quantità è data da: ovvero: max q j j = q j (a q i q j j =@q j = 0 q j = a q i c : A questo punto possiamo trovare la strategia dell impresa i che massimizza il suo pro tto dato per certo che l impresa j immetterà sul mercato la quantità q j = a qi c. Tale strategia è data dalla soluzione al seguente problema di massimizzazione: max i = q i (a q i q i q j {z} a q i c L impresa i massimizza i suoi pro tti tenendo conto che la quantità che essa sceglie determina la quantità scelta dall impresa j: Sostituendo e derivando rispetto a q i avremo: c): 4

5 q i = a c : A questo punto, utilizzando la best response dell impresa j è possibile vedere che la quantità da essa prodotta sarà: q j = a c 4 : Possiamo fare le seguenti osservazioni: La quantità complessiva prodotta è maggiore ed il prezzo minore rispetto al modello di Cournot L impresa i fa pro tti maggiori di quelli che faceva nel modello di Cournot (calcolate voi i pro tti dell impresa i e confrontateli con il pro tto che scaturisce dal modello di Cournot). 3 I giochi sequenziali con informazione imperfetta Nei giochi analizzati no ad ora, abbiamo capito come si applica il concetto di backward induction, ma abbiamo analizzato delle situazioni di interazione strategica semplici dove tutti i nodi erano singletoni, ovvero ogni nodo era un set completo di informazioni. Consideriamo adesso il seguente gioco dell incumbent e dell entrant dove però l entrant, una volta entrato deve decidere, simultaneamente all incumbent, se giocare Fight o Share. La situazione è illustrata nella Figura 3 in forma estesa. In questa tipologia di giochi, nota come giochi dinamici con informazione imperfetta, si può applicare il concetto di backward induction che abbiamo studiato in precedenza. Solo gli equilibri di nash che sono equilibri di nash in ogni contingenza possono essere degli equilibri di nash credibili per l intero gioco. Quello che dobbiamo fare è partire dall ultima contingenza. In questo gioco, l ultima contingenza è il nodo immediatamente successivo alla scelta dell entrant di giocare In. Questo è una contingenza perchè è un completo set di informazioni, ovvero è un nodo singletone. I due nodi successivi (uniti dai trattini) non sono singletoni ed appartengono al nodo precedente, cioè alla nostra ultima contingenza. A questo punto, dobbiamo trovare i NE che caratterizzano il gioco che parte da questa contingenza. Possiamo esprimere quello che accade da questa contingenza in poi utilizzando la forma normale: ght Share Entrant ght -3, 1 1, Share -, -1 3, 1 5

6 Così facendo possiamo rintracciare l unico equilibrio di Nash che è dato da (Share, Share). Adesso possiamo trovare gli equilibri di nash del gioco intero (andiamo all indietro alla prima contingenza). Per trovarli trasformiamo tale gioco in forma normale: Out, Fight 0, 0, Out, Share 0, 0, Entrant In, Fight -3, 1 1, In, Share -, -1 3, 1 Da questa vediamo che ci sono 3 Equilibri di nash [(Out, Share), Fight] [(Out, Fight), Share] [(In, Share), Share] E possibile a questo punto veri care che solo uno di questi equilibri è un equilibrio di nash ad ogni contingenza, poiche nella contingenza nale solo (Share, Share) può essere un equilibrio. L unico equilibrio di nash credibile del nostro gioco è quindi: [(In; Share); Share] Quello che abbiamo fatto in questo momento è stato trovare quello che è noto come "Equilibrio di Nash Perfetto di Sottogioco" o Subgame Perfect Nash Equilibrium (SPE). In sostanza, quello che abbiamo fatto è stato individuare un sottogioco del gioco e determinare il suo equilibrio di Nash. DEFINIZIONE: Inizia da un nodo non nale, e se tutto quel che segue è un gioco ben de nito, questo è un sottogioco del gioco. (Si vedano gli esempi di sottogiochi fatti a lezione) DEFINIZIONE: Un pro lo di strategie s = (s i ; s i ) è un SPE se s è un equilibrio di Nash in ogni sottogioco del gioco. DEFINIZIONE: SE un gioco è ad informazione perfetta ed è nito esso ha sempre un SPE. Se non ci sono pareggi nei payo dei giocatori c è un unico SPE. Si noti che a questo punto abbiamo un concetto di equilibrio nuovo (SPE). Tale concetto di equilibrio può essere applicato a qualsiasi processo di interazione sequenziale nito sia con informazione perfetta, sia con informazione imperfetta. Di seguito proponiamo un altro esempio per illustrare come si arriva all individuazione dei SPE di un gioco. 6

7 Si consideri il seguente processo di interazione tra Entrant ed, dove, come prima, entrambi decidono simultaneamente se farsi la guerra o dividersi il mercato una volta che l entrant ha deciso di entrare. I payo sono in questo caso modi cati rispetto al gioco precedente. Il processo di interazione in forma estesa è illustrato nella Figura 4. Vogliamo individuare gli equilibri di Nash di sottogioco perfetti (SPE) di tale processo di interazione. Scrivendo il gioco in forma normale: Out, Fight 0, 0, Out, Share 0, 0, Entrant In, Fight -6, -6-1, 1 In, Share 1, -1-3, -3 possiamo vedere che esistono 3 equilibri di nash (NE): 1) = [(Out, Fight), Share] ) =[(Out, Share), Share] 3) = [(In, Share), Fight] Per capire quali di questi equilibri sono subgame perfect dobbiamo trovare l equilibrio di nash nel sottogioco che parte dal nodo immediatamente successivo all azione In dell entrant. In questo sottogioco: Entrant Fight -6, -6-1, 1 Share 1, -1-3, -3 abbiamo due NE: 1) s = (Share, Fight) ) s = (Fight, Share) A questo punto possiamo vedere come solo due dei tre nash equilibria del gioco sono anche equilibri di Nash nel sottogioco: = [(In, Share), Fight] e = [(Out, Fight), Share]. Quindi abbiamo un gioco con due SPE. 7