L irrilevanza della struttura finanziaria: il Teorema Modigliani-Miller

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1 L irrilevanza della struttura finanziaria: il Teorema Modigliani-Miller Giuseppe Travaglini 1 Introduzione Nel capitolo precedente abbiamo visto che la leva finanziaria può avere effetti positivi o negativi sul tasso di rendimento delle azioni, a secondo che il tasso d interesse sul debito sia inferiore o superiore a quello di rendimento dell impresa. Siamo partiti dall ipotesi semplificatrice che il valore dell impresa non cambi quando varia la struttura finanziaria. Dimostreremo ora sotto quali condizioni questa ipotesi è corretta. I risultati che seguono vanno genericamente sotto la denominazione di Teorema Modigliani-Miller (MM), dal nome dei due economisti che per primi negli anni 50 si applicarono sistematicamente allo studio della relazione che lega il valore di un impresa alla sua struttura finanziaria. Questo teorema è, più precisamente, un insieme di risultati che mostrano come in un mercato perfetto e completo la politica di finanziamento delle imprese sia irrilevante. Sebbene i fatti stilizzati e la teoria successiva a MM abbiano mostrato che esistono molti casi in cui le scelte finanziarie influenzano il valore dell impresa, il teorema MM rappresenta la base della moderna teoria della finanza poichè showing what doesn t matter can also show, by implications, what does (M. Miller, 1988, p.100). Le principali proposizioni del teorema MM sono. 1. Proposizione I. Il valore di mercato di un impresa è indipendente dalla sua struttura finanziaria. 1

2 2. Proposizione II. Il tasso di rendimento delle azioni di una data impresa è una funzione lineare crescente del rapporto debito-azioni. 3. Proposizione III. Il valore di mercato di un impresa è indipendente dalla sua politica di dividendo. Come vedremo tutte queste proposizioni sono semplici conseguenze del principio di assenza d arbitraggio: se ogni investitore può realizzare le stesse transazioni finanziarie effettuate dall impresa, ed allo stesso prezzo, allora ogni investitore può completamente annullare gli effetti della politica di finanziamento dell impresa senza subire costi e rischi. 2 Indebitamento e valore Come è stato già ricordato, la redditività di un impresa può essere quantificata attraverso l uso di due diversi indici che abbiamo denominato reddito operativo (RO), e reddito netto (RN). Il primo indice offre una misura del profitto generato dall attività produttiva dell impresa, senza specificare quali investitori vantino diritti sul flusso dei profitti; il secondo, dà invece una misura del profitto residuale a cui hanno diritto soltanto gli azionisti, una volta che gli interessi passivi sul debito siano stati ripagati. La domanda che ci dobbiamo porre è dunque la seguente: quale di questi indici è corretto utilizzare per calcolare il valore dell impresa. Una risposta l abbiamo già implicitamente data quando, nel precedente capitolo, abbiamo utilizzato il RO per calcolare il valore reale V dell impresa. Dobbiamo ora cercare di capire perchè è corretto seguire questa tecnica, e cosa cambierebbe se utilizzassimo il RN. 2.1 Il metodo RO La differenza tra i due metodi di valutazione può essere illustrata considerando il caso di un impresa che debba scegliere tra diversi piani di finanziamento. Supponiamo che ne esistano solamente tre, e che in tutti gli alternativi scenari il RO sia conosciuto con certezza e pari a 200. Assumiamo che il rendimento dell attività realesia =10%, che il tasso d interesse sul debito sia r =4%, e che il debito nei tre casi sia rispettivamente pari a zero, 500 e Le tabelle 1 e 2 riassumono i dati relativi al valore dell impresa calcolati con il metodo RO. 2

3 A C D RO tassorendimentoimpresa() 10% 10% 10% valore impresa (V ) valore debito (B) valore azioni (S) Tabella 1. Il valore dell impresa calcolato con il metodo RO Utilizzando il metodo del reddito operativo il valore totale dell impresa viene calcolato capitalizzando il RO al tasso di mercato, ossia: V RO = π = S RO + B (1) dove con π indichiamo genericamente il reddito operativo (il profitto). Si noti che dalla (1) il valore delle azioni può essere riscritto come: S RO = π B (2) L essenza di questo ragionamento è che il valore dell impresa rimane costante indipendentemente dalla struttura finanziaria. Ciò che invece cambia è il valore del capitale azionario (vedi l equazione (2), e l ultima riga della tabella 1). Questo approccio implica che ogni incremento dell utile per azione ottenuto attraverso un crescente indebitamento viene esattamente compensato, al livello della struttura finanziaria, dal maggiore rischio sopportato dagli azionisti. In questo contesto, il valore della singola azione non cambia al variare della struttura finanziaria (si veda tabella 2). A B C valore azioni (S) numero azioni valore singola azione Tabella 2. Il valore di una azione con il metodo RO 3

4 2.2 Il metodo RN Vediamo ora cosa accade al valore dell impresa, e a quello delle azioni, utilizzando il metodo RN. A C D RO interessi sul debito RN tassorendimentoimpresa() 10% 10% 10% Valore azioni (S) Valore debito(b) Valore impresa (V) Tabella 3. Il valore dell impresa calcolato con il metodo RN In questo caso il valore delle azioni è calcolato capitalizzando il reddito netto al tasso : S RN = RN = π rb (3) Conseguentemente, il valore di mercato dell impresa è dato dalla somma: V RN = S RN + B = π rb + B che possiamo riscrivere come: V RN = π µ r + B (4) ossia: µ r V RN = V RO + B (5) I valori ottenuti con questa procedura sono riportati nella tabella 3. Essi mostrano che la tecnica di stima basata sul RN induce due errori nella valutazione del valore dell impresa e del capitale azionario. 4

5 1. Innazitutto, si assume che il capitale azionario dell impresa indebitata abbia lo stesso rischio economico dell impresa che non ricorre al debito (vedi l equazione (3)) 1, mentre noi abbiamo mostrato (capitolo precedente) che per un impresa che fà ricorso al debito la rischiosità azionaria aumenta a causa del rischio finanziario indotto dalla presenza del debito. 2. Come secondo aspetto, dall equazione (5) risulta che la struttura finanziaria accresce il valore dell impresa indebitata al di sopra del valore V RO dell impresa che utilizza solo i mezzi propri (le azioni). Difatti, poichè r >0 l aumento di B determina una crescita di V RN edelvalore della singola azione (vedi tabella 4). Questo ragionamento condurrebbe alla conclusione errata secondo cui, indipendentemente dal valore reale del progetto, è vantaggioso finanziare il piano d investimento attraverso un crescente indebitamento. Tuttavia, in un mercato perfetto gli azionisti non dovrebbero essere disponibili a sostenere questa strategia. Infatti, essi potrebbero ottenere un piùelevatoprofitto se l impresa investisse il capitale preso a prestito in un portafoglio di attività finanziarie che rendono più di r. Alternativamente, l impresa potrebbe utilizzare il capitale di debito per distribuire dividendi, che possono successivamente essere direttamente investiti in attività reali e/o finanzioarie dagli stessi azionisti. A B C Valore azioni (S) numero azioni valore singola azione Tabella 4. Il valore di una azione con il metodo RN 3 Una rappresentazione grafica Unachiaraillustrazionediquestodiversocomportamentodeiduecriteriin presenza di debito è riportata nella figura 1. Si noti che i due metodi danno la stesso valore solo quando il capitale dell impresa è composto per il 100% da azioni (B =0). 1 Il flusso netto π rb viene difatti attualizzato utilizzando il tasso. 5

6 V V RO +[(-r)/]b V RO π/ B Figure 1: La relazione tra V RO e V RN Appena la leva finanziaria cresce, il valore dell impresa stimata con il metodo RN aumenta, e l incremento dipende dalla differenza tra il tasso di sconto dell attività reale ed il tasso d interesse r. In altre parole, il metodo RN opera come se gli azionisti potessero accrescere il loro rendimento azionario attraverso l indebitamento senza sopportare alcun rischio. L aumento dell UPA si trasferisce quindi direttamente nel valore delle azioni. La tecnica di valutazione basata sul RO considera invece, e correttamente, il trade-off esistente tra rendimento incerto e rischio. In questo caso la leva finanziaria non influenza il valore dell impresa perchè l aumento dell utile per azione viene esattamente compensato dal crescente rischio finanziario. In questo caso il valore dell impresa èindipendente dal tasso d indebitamento. 6

7 4 I proposizione: l irrilevanza della struttura finanziaria. Fino ad ora ci siamo limitati a mostrare che l ipotesi di costanza del valore dell impresa al variare della struttura finanziaria implica che il criterio di valutazione corretto sia quello basato sul RO. Dimostriamo ora la proposizione I di MM d irrilevanza della struttura finanzaria. MM dimostrano che in presenza di mercati dei capitali perfetti le imprese non possono guadagnare da una variazione della struttura finanziaria. Essi assumono che: 1. Esistono due imprese identiche che scelgono una diversa struttura finanziaria 2. Esistono solamente due attività finanziarie: le azioni e le obbligazioni a cui l impresa fa ricorso per finanziare l attività reale 3. Ogni investore può prendere e dare a prestito allo stesso tasso d interesse di mercato r 4. I flussi di profitto sono delle perpetuità, poichè l impresa non effettua nuovi investimenti 5. L informazione è perfetta 6. Non ci sono costi di transazione nè imposte sul reddito 7. Sono assenti i costi d agenzia, così che non esistono divergenze di obiettivi tra il controllo e la proprietà dell impresa Sulla base di queste ipotesi si può mostrare che: Proposizione 1. Il valore di mercato di un impresa è indipendente dalla sua struttura finanziaria Cominciamo calcolando il valore dell impresa che utilizza soltanto capitale azionario. Chiamiamo questa impresa U. Per il momento assumiamo che l impresa paghi un imposta proporzionale τ sul reddito prodotto. Per questa impresa l utile dopo le tasse èparia: RO(1 τ) (6) 7

8 Chiaramente, la liquidità a disposizione dell impresa in ogni periodo è superiore a quella definita dalla (6), poichè a questo valore va aggiunto l ammortamento del capitale fisico (Am) accantonato in ogni periodo. Il cash flow dell impresa U risulta quindi essere: CF U = RO(1 τ)+am Si noti, infine, che per l ipotesi (2) l impresa non effettua nuovi investimenti, ma si limita a sostituire lo stock di capitale fisico consumato. In altri termini, l investimento, I, è pari al tasso d ammortamento, ovvero: I = Am Dunque, il free cash flow (FCF) dell impresa U in ogni periodo risulta pari a: FCF U = RO(1 τ)+am I = RO(1 τ) (7) L aspetto economicamente rilevante di questo risultato è che quando si assume che il flussi di cassa siano delle perpetuità ilfcf U coincide con il RO dopo le imposte. Conseguentemente, dato il valore della perpetuità ed il tasso di sconto dell impresa non indebitata, il valore attuale corrispondente è: V U = FCF U = RO(1 τ) Come cambia il valore della (8) quando l impresa sceglie una diversa proporzione tra debito ed azioni? Chiamiamo quest impresa L. In questo caso il cash flow di pertinenza degli azionisti è dato da: RN + Am I mentre ai creditori vanno gli interessi sul debito: Il flusso di cassa disponibile FCF L è dunque dato dalla somma: rb FCF L = RN + Am I + rb = (RO rb)(1 τ)+am I + rb 8 (8)

9 ovvero: FCF L = RO(1 τ)+τrb dove la prima parte del flusso è uguale a quello generato dall impresa che utilizza solo capitale azionario, ed ha quindi anche il medesimo rischio; il secondo addendo misura invece il vantaggio fiscale che deriva dall utilizzo del debito. Fin tanto che l impresa genera utili che rimangono costanti al trascorrere del tempo, possiamo ipotizzare che il flusso di cassa τrb abbia lo stesso rischio dell interesse sul debito. Il valore dell impresa indebitata può dunque essere scritto come: RO(1 τ) V L = + τrb r RO(1 τ) = + τb (9) V L = V U + τb Il valore dell impresa indebitata è pari a quello dell impresa senza debiti più il valore attuale dello scudo fiscale fornito dal debito τb. Conseguentemente, questa relazione ci dice che in assenza di ogni imperfezione, incluse le tasse, il valore dell impresa è completamente indipendente dalla sua struttura finanziaria. Difatti, se τ = 0risulta che: V L = V U (10) Questo risultato ènotocomei proposizione di Modigliani-Miller. 5 L approccio MM e il principio d assenza di arbitraggio Anche se non espressamente detto, il risultato precedente dipende dalla assunzione che gli investitori possano indebitarsi allo stesso tasso dell impresa. Quando ciò è possibile il comportamento ottimizzante e concorrenziale del 9

10 mercato ci assicura l assenza di opportunità d arbitraggio, ovvero la possibilità di ottenere profitti positivi dalle transazioni (finanziarie o reali) senza incorrere in costi e/o rischi. Un tipico esempio d arbitraggio si ha, quando vi è possibilità di prendere e dare a prestito a due differenti tassi d interesse. In generale, la condizione d assenza d arbitraggio elimina la possibilità che nel mercato si determini una configurazione di prezzi che consenta ad un investitore di ottenere dei profitti positivi senza sostenere costi e rischi. Con riferimento al contesto MM, indichiamo con V U il valore di un impresa che abbia solo capitale azionario. Supponiamo che esista un impresa identica che si finanzi emettendo azioni ed obbligazioni, e che abbia un tasso d indebitamento pari a α = B/V, e quindi una quota azionaria data da (1 α) =S/V. Indichiamo con π il reddito operativo di ogni periodo, e con V L il suo corrispondente valore corrente. Utilizzando questa annotazione possiamo dire che per ogni azione: Principiodiassenzadiarbitraggio. se π > 0 allora deve verificarsi che (V U V L )=0 In altri termini, se un impresa può cambiare il suo valore di mercato modificando la struttura finanziaria, allora anche i singoli investitori, siano essi azionisti oppure obbligazionisti, possono effettuare operazioni analoghe di finanziamento che generino profitti d arbitraggio. Tuttavia, in presenza di mercati finanziari perfetti, il comportamento concorrenziale degli investitori elimina le opportunità di arbitraggio assicurando che V U = V L. Per mostrare questo risultato partiamo dalla definizione: V U = S U (11) per l impresa che ricorre al solo capitale azionario, e: V L = S L + B (12) per l impresa indebitata. Mostriamo che se V U 6= V L allora esiste un opportunità d arbitraggio che può essere sfruttata dagli investitori. 10

11 5.1 Il caso V U >V L Supponiamo che: V U >V L In questa circostanza un investitore può costruire un portafoglio di attività finanziarie che generi un profitto positivo senza sostenere costi e rischi. Supponiamo, ad esempio, che un investitore possieda una quota 1 α dell impresa non indebitata che vale V U. La tabella 5 descrive il rendimento di questa strategia di finanziamento e una possibile strategia di replica. Investimento finanziario rendimento a) Strategia semplice (1 α) V U (1 α) π b) Strategia di replica: compro (1 α) az.s L (1 α)(v L B) (1 α)(π rb) vendo (1 α) dib (1 α) B (1 α) rb Valore totale di (b) (1 α) V L (1 α) π Tabella 5. Si noti che il rendimento della strategia semplice (a) e quello ottenuto dal portafoglio di replica (b) è uguale e pari a (1 α) π. In questa condizione se V U >V L esiste un opportunità di arbitraggio che può essere sfruttata. Tale strategia d arbitraggio si realizza vendendo le azioni (1 α) V U e acquistando l ammontare (1 α) V L dell impresa indebitata, ottenendo immediatamente il rendimento d arbitraggio: (1 α)(v U V L ) > 0 Questa strategia non comporta rischi nè costi perchè alla scadenza, in entrambiicasi,siottienelostessorendimento(1 α) π. Può sopravvivere questa opportunità d arbitraggio in un mercato finanziario perfetto ed efficiente? Evidentemente no. Difatti, la perfezione del mercato assicura che il comportamento concorrenziale di tutti gli investitori sposti la domanda dalle azioni dell impresa U, ai titoli (azioni e debito) dell impresa L. Questo meccanismo tende a fare 11

12 salire il prezzo di mercato delle azioni dell impresa indebitata L, mentre allo stesso tempo tende a ridurre il prezzo delle azioni di U. Il processo di aggiustamento si arresta solo quando V U = V L. Giunti a questo punto gli investitori non hanno più incentivo a cambiare il loro portafoglio individuale. 5.2 Il caso V U <V L Vediamo ora cosa accade se V U <V L. Per mostrare che questa disuguaglianza non rispetta l equilibrio, supponiamo che un investitore possieda una quota (1 α) delle azioni dell impresa indebitata L che hanno il valore S L = V L B. Le strategie alternative d investimento sono descritte nella tabella 6. Investimento finanziario rendimento a) Strategia semplice: (1 α)(v L B) (1 α)(π rb) b) Strategia di replica: compro (1 α) az.s U (1 α) V U (1 α) π compro (1 α) B di L (1 α) B (1 α) rb Valore totale di (b) (1 α)(v U B) (1 α)(π rb) Tabella 6. Si noti che anche in questo caso il rendimento delle due strategie è uguale. Se V U <V L, l investitore può ottenere profitti d arbitraggio spostando il suo investimento dalle azioni dell impresa L a quelle della impresa U. Con questa strategia si ottiene il rendimento pari a (1 α)(π rb) come nella strategia semplice (a), ma ora il prezzo da pagare per detenere il nuovo portafoglio finanziario è da cui segue che: (1 α)(v U B) < (1 α)(v L B) (1 α)(v U V L ) < 0 Quindi, finchè V U <V L vi sono opportunità di arbitraggio. Tuttavia, anche in questo caso se il mercato finanziario è perfetto ed efficiente la concorrenza garantisce che in equilibrio èverificato che V U = V L. 12

13 q V = π a / V = π / 1-q V = π b / Figure 2: I movimenti di V nel caso binomiale 6 Il teorema MM e l incertezza Fino ad ora ci siamo limitati a considerare il caso di certezza, assumendo che il valore del profitto sia una perpetuità. Abbiamo, inoltre, ipotizzato che esistano due imprese identiche e che la strategia d arbitraggio si realizzi costruendo dei portafogli che generarano profitti positivi senza sopportarne icosti. Assumiamo ora che l impresa operi in presenza d incertezza che si manifesta attraverso l aumento oppure la diminuzione del reddito operativo futuro (RO) seguendo una distribuzione di probabilità binomiale. Più precisamente, indichiamo con π il valore presente del profitto; con π a (a sta per alto) il suo valore futuro, se si verifica il migliore stato del mondo, e con π b (b sta per basso) il valore corrispondente nel peggiore stato del mondo. Assumiamo inoltre che π a > π b, e che i due eventi si verifichino con probabilità q ed 1 q. Se, dal secondo periodo in poi i rendimenti restano costanti, il corrispondente valore dell impresa su un orizzonte infinito può esserecal- colato scontando la perpetuità altasso. L evoluzione del valore reale dell impresa nei diversi stati di natura è descritta nella figura 2 dall albero di probabilità (binomiale). Con questa formulazione del problema MM è possibile generalizzare la proposizione I, mostrando che l esistenza di unasolaimpresaèsuffi- 13

14 ciente per ricavare l irrilevanza della struttura finanziaria. Il modello che costruiamo si fonda essenzialmente su due ipotesi: 1. Il mercato dei capitali ècompleto. 2. Si suppone che il processo stocastico delle azioni sia binomiale moltiplicativo nel senso che π a = π a e π b = π b, dove a e b sono due fattori moltiplicativi. La prima ipotesi implica che esiste mercati a pronti, futuri e contingenti, ovvero condizionati ai futuri stati del mondo, per ogni attività finanziaria. La seconda è invece un ipotesi di comodo che consente di semplificare la trattazione analitica del problema. Per completare le informazioni assumiamo che l impresa possa finanziarsi attraverso l emissione di azioni. Il loro prezzo corrente è pari ad S, ed hanno un prezzo futuro che per l ipotesi di distribuzione binomiale moltiplicativa sarà Sa oppure Sb a secondo degli stati del mondo che si realizzano. L impresa può scegliere la sua struttura finanziaria emettendo anche il debito B, su cui paga un fattore d interesse R =(1 + r) indipendentemente dallo stato del mondo che si realizza. Affinchè non vi siano opportunità d arbitraggio, è necessario che nessuno dei due titoli risulti dominante: assumeremo perciò a<r<b. Il nostro obiettivo è quello di mostrare che in presenza d incertezza se i mercati finanziari sono completi e perfetti il valore reale dell impresa può essere replicato da una struttura finanziaria scelta dai singoli investitori; e che ove vi fosse differenza tra questi due valori, esisterebbe un opportunità d arbitraggio che il comportamento concorrenziale degli investitori tende a fare scomparire Nel nostro caso le attività esistenti sono l impresa di valore V, l azione il cui prezzo corrente è S, e l obbligazione B che offre il rendimento costante R. Assumiamo che al tempo corrente il valore finanziario dell impresa sia dato dalla somma delle azioni con le obbligazioni, S+B, mentre nel periodo successivo quasta struttura può valeresa+br, oppure Sb + BR (vedi figura 3). 14

15 q Sa+BR S+B 1-q Sb+BR Figure 3: Il portafoglio di replica. 1 0 P a P b 0 1 Figure 4: I prezzi delle attività base Indichiamo infine con P a e P b i due fattori di sconti che devono essere applicati ai prezzi delle diverse attività finanziarie nei due alternativi stati del mondo, a e b, per calcolarne il corrispondente valore corrente. Questi prezzi ipotetici possono essere pensati come i prezzi di due attività base che al tempo corrente hanno un prezzo pari a P a oppure P b, echeoffrono un rendimento pari ad 1 solo se si realizza il corrispondente stato del mondo, e nullo nell altro (figura 4). 2 Per ottenere il valore corrente di questi prezzi procediamo come segue. L azione offre un rendimento Sa in uno stato e Sb nell altro. Se un investitore compone un portafoglio con una quantità Sa del titolo che ha il prezzo P a econsb unità del secondo titolo, il portafoglio così 2 Per consuetudine gli asset chehannoquestecaratteristicheprendonoilnomediarrow- Debreu securities, dal nome dei due economisti che per primi ne hanno definito le proprietà. 15

16 formato avrà gli stessi rendimenti dell azione e quindi per la condizione di assenza d arbitraggio deve avere lo stesso prezzo S al tempo corrente. Possiamo quindi scrivere che: S = SaP a + SbP b Allo stesso modo poichè leobbligazionioffrono il medesimo rendimento R nei due stati possiamo scrivere: B = BRP a + BRP b Mettendo a sistema queste due equazioni: ½ 1=aP a + bp b 1=RP a + RP b (13) ricaviamo i due prezzi base: P a = R b R (a b), Pb = u R R (a b) Sappiamo già che il valore dell impresa nei due diversi stati del mondo è V a e V b. Applicando i fattori di sconto appena calcolati deve dunque essere verificato che: V = V a P a + V b P b (14) Ma per la condizione di assenza d arbitraggio deve anche essere vero che nei due diversi stati di natura il valore reale dell impresa è uguale al valore della sua struttura finanziaria. Se così non fosse si verificherebbe un opportunità d arbitraggio. Difatti, supponiamo che in almeno uno stato del mondo il valore finanziario dell impresa sia inferiore al valore reale della stessa, mentre nell altro stato i due valori coincidono. Per esempio in a: V a (Sa + BR) > 0 (15) In questa caso un investitore può ottenere un profitto d arbitraggio nello stato a. La strategia d arbitraggio richiederebbe di prendere a prestito al tempo corrente una somma B, edifarsifinanziare dagli azionisti il restante capitale di rischio S. Con queste fonti di finanziamento si 16

17 costituisce un impresa di valore V. Nel periodo successivo, dopo avere pagato le azioni e rimborsato il debito, l investitore ottiene un profitto d arbitraggio che nello scenario b è nullo (i due valori coincidono per ipotesi), mentre in quello a è positivo e quantificato dalla relazione (15). Il principio di assenza d arbitraggio esclude questa possibilità implicando che la (15) deve valere con segno d uguaglianza, e conseguentemente che la (14) può essere riscritta come: ovvero: V =(Sa + BR) P a +(Sb + BR) P b V = ap a + bp b S + RP a + RP b B che applicando le due condizioni della (13) diviene: V = S + B In altre parole, se non debbono sussistere opportunità d arbitraggio il valore corrente della struttura finanziariadeveessereugualealvalore corrente dell impresa. La composizione della struttura finanziaria non modifica quindi il valore dell impresa. 7 II proposizione: il rendimento delle azioni Questa proposizione stabilisce che il tasso di rendimento delle azioni aumenta con l aumentare della leva finanziaria. Più precisamente: Proposizione II. Il rendimento delle azioni è una relazione lineare crescente del rapporto d indebitamento. Vediamo in dettaglio. Sappiamo che il tasso di rendimento delle azioni per l impresa non indebitata U coincide con il tasso di sconto del progetto reale, ed è dato dall espressione: = π V U (16) dove π èilprofitto (contabilmente il R0), e V U è il valore dell impresa con solo capitale azionario. 17

18 Il rendimento azionario dell impresa indebitata è dato dall espressione: r a = π rb S L = π S L rb S L (17) Moltiplicando e dividendo il primo termine della (17) per V U si ottiene: r a = π V U rb V U S L S L ³ ³ π e aggiungendo e sottraendo l espressione V U r a = π V U µ VU = π V U B S L B µ π B r S L S L V µ U π B r V U S L si ricava: perchè per la prima proposizione V U = V L, e quindi V U B = S L. Infine, sfruttando la (16) si ha che: S L r a = +( r) B S L (18) Quindi, il tasso di rendimento delle azioni (r a ) per un impresa indebitata è uguale al tasso di rendimento delle azioni dell impresa che non fa ricorso al debito () più un premio per il rischio ( r) B S L che dipende dal grado d indebitamento dell impresa. Maggiore èlalevafinanziaria, più altoè il rapporto B S L, maggiore il premio per il rischio richiesto dagli azionisti per detenere le azioni, e più elevatoè il rendimento azionario r a. Questa relazione rispecchia le considerazioni sviluppate nel primo capitolo in cui abbiamo mostrato come l aumento della leva finanziaria rende più rischiosa la posizione finanziaria degli azionisti perchè iloro diritti residuali sul valore dell impresa diventano più variabili. Di conseguenza,essirichiedonounpiù elevato rendimento per compensare il maggiore rischio. Un utile modo di riscrivere la relazione (18) èilseguente: µ SL + B r a = B r S L S L 18

19 r a r B/S L Figure 5: La relazione tra, r a ed r ovvero: = µ µ SL B r a + r (19) S L + B S L + B Quest ultima espressione formalizza l affermazione più volte detta che il rendimento reale dell investimento è invariante in presenza di variazioni della struttura finanziaria, quando il mercato dei capitali è perfetto. L espressione (19) è spesso denominata weighted average cost of capital (wacc), in quanto offre una misurazione del contributo relativo delle due diverse fonti di finanziamento al costo dell investimento reale. Le implicazioni generali della proposizione II sono indicate nella figura 5. La figura parte dal presupposto che il debito sia privo di rischio. Così r è indipendente dal rapporto tra debito ed azioni, mentre r a aumenta in funzione lineare all aumentare di tale rapporto. 19

20 7.1 Indebitamento e rischio del rendimento azionario Per spiegare in maniera più formale questa relazione tra rendimento e rischio nel contesto MM riprendiamo l espressione (18): r a = +( r) B S L che come sappiamo può essere riscritta come: r a = V L B r S L S L In MM il debito non è soggetto ad incertezza, mentre il reddito operativo può essere incerto. Assumiamo dunque che il profitto π sia una variabile stocastica normalmente distribuita. Ovviamente, questo implica che anche il tasso segue la stessa distribuzione di probabilità 3 che noi caratterizziamo con la seguente ipotesi: v N µ, σ 2 Quindi, la varianza del rendimento azionario è data dall espressione: µ 2 σ 2 VL r a = σ 2 S L il che implica che σ 2 r a > σ 2 perchè perdefinizione V L >S L. Ossia il debito accresce la rischiosità delle azioni. 4 8 La relazione tra il modello MM ed il CAPM Il CAPM è una relazione di asset pricing che misura il rendimento atteso di un titolo in funzione del suo rischio sistematico. In sintesi, poichè l investitore 3 Per spiegare questa implicazione basta ricordare che su un orizzonte infinito il valore dell impresa che produce una perpetuità π èpariav = π/. Se vale il teorema di MM, il valore V è una costante e quindi possiamo anche scrivere che: = π V Quindi se π è una variabile stocastica di tipo normale, anche ha la stessa distribuzione di probabilità inquantoneè solamente una trasformazione lineare. 4 Come abbiamo mostrato nel capitolo precedente, in presenza di debito il rischio dell impresa è dato dalla somma del rischio economico con il rischio finanziario. 20

21 sceglie un portafoglio diversificato, la componente del rischio che deve essere considerata nel valutare il trade-off tra rischio e rendimento èlasolaparte non diversificabile. Nel CAPM il rendimento atteso remunera solamente il rischio sistematico. Questa parte del rischio non diversificabile è misurata dal rapporto β i = σ im σ 2, dove σ im è la covarianza tra l attività i ed il portafogliodi m mercato m, mentre σ 2 m è la varianza dello stesso portafoglio. In termini generali, il CAPM si esprime attraverso la seguente equazione: E(r i )=r + β i [E(r m ) r] dove E(r i )èilrendimentoattesodeltitoloi, r è il tasso d interesse non rischioso, ed E(r m )è il rendimento atteso del portafoglio di mercato. Questa equazione è nota come Security Market Line (SML) ed esprime la relazione di equilibrio tra rendimento atteso e rischio sistematico di un qualsiasi asset. Come abbiamo visto in precedenza, il modello MM non fa invece distinzione tra rischio sistematico e rischio non sistematico. 5 E quindi importante capire quale relazione esiste tra i due modelli. La figura 6 offre una rappresentazione grafica del modo in cui le due equazioni di valuazione possono essere rappresentate. Mentre per la SML il rendimento atteso cresce in funzione del rischio sistematico β delle attività che vogliono essere acquisite, Modigliani e Miller assumono che tutti gli investimenti effettuati dall impresa abbiano lo stesso rischio. Conseguentemente, il valore il tasso atteso di rendimento dell impresa nel modello di MM è indipendente dalla componente sistematica, e rappresentabile attraverso una retta orizzontale: il rendimento reale, ossia il WACC, non cambia in funzione del rischio sistematico. E, tuttavia, possibile ricondurre il modello di MM all interno di uno schema di valutazione che tenga in considerazione il fatto che i progetti possono avere rischi diversi, e dipendenti solamente dalla componente sistematica del rischio (Hamada (1969) e Rubistein (1973)). Con questo obiettivo in mente, manteniamo l ipotesi di MM che il debito non sia rischioso, ossia assumiamo che il beta del debito sia pari a 5 Questa accade perchè l originario contributo di Modigliani e Miller è stato sviluppato in anticipo rispetto al CAPM. 21