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1 CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f il sottoinsieme dei punti del dominio D seguente γ k := { D : f() = k}. Se D IR, gli insiemi di livello di f sono curve nel piano e vengono chiamati curve di livello. Osservazione. Se vicino a un punto del dominio D gli insiemi di livello sono fitti, significa che c è una rapida variazione di f in un intorno di tale punto. Viceversa, nelle regioni del dominio con insiemi più distanziati la funzione varia più lentamente. In riferimento al grafico sottostante le curve di livello si ottengono proiettando sul piano i punti dell intersezione tra la superficie che rappresenta il grafico della funzione, e il piano z =costante. Nel caso particolare,

2 si ottengono le circonferenze D ora in poi, per maggior chiarezza espositiva, considereremo solo il caso di funzioni definite su sottoinsiemi di IR. Analizziamo, a titolo d esempio, la funzione così definita: f(, ) =. Si osservi che f : D IR IR. Ci poniamo i seguenti problemi:. chi è D?. qual è il grafico di D?. quali sono le curve di livello?. Si osservi innanzitutto che il dominio D è il sottoinsieme di IR costituito dai punti che soddisfano la condizione. Questo insieme può essere rappresentato graficamente dalla regione tratteggiata del diseguo

3 che segue:. Il grafico di una funzione reale definita su un sottoinsieme di IR è un sottoinsieme di IR. Nel caso particolare, il grafico della funzione è: 5 5. Nel caso della funzione f(, ) =, le curve di livello, al variare di k IR, sono gli insiemi γ k : = k,

4 cioè le parabole di equazione = k. Osservazioni. ) Per le funzioni di più variabili reali non ha senso parlare di monotonia. La monotonia di una funzione presuppone che sia definita un arelazione d ordine nel dominio. ) La convessità, invece, è definita in modo analogo a quella di funzioni da D IR in IR. Ricordiamo innanzitutto che D è un sottoinsieme convesso di IR n se per ogni, D il segmento [, ] è contenuto in D. Sia quindi f : D IR IR, con D convesso. Definizione. Si dice che f : D IR IR è convessa in D se per ogni, D e per ogni λ [, ] si ha equivalentemente, l insieme (detto epigrafo) f(( λ) + λ ) ( λ)f() + λf( ); epi(f) := {(, ) IR : D, f()} è un sottoinsieme convesso di IR. (Le funzioni concave su un insieme convesso D non sono altro che l opposto di funzioni convesse in D; sono cioè le funzioni per cui l insieme è un sottoinsieme convesso di IR ). DERIVATE PARZIALI {(, ) IR : D, f()} Sia (, ) un punto interno al dominio D. Le derivate parziali rispetto a e rispetto a sono definite come segue: ( f( + h, ) f(, ), ) = lim h h ( f(, + h) f(, ), ) = lim h h 5

5 purché i limiti esistano e siano finiti. Si osservi che coincidono con le derivate delle funzioni f(, ) e f(, ), calcolate, rispettivamente, in e in. Nel disegno qui sotto è evidenziata la restrizione della funzione alla retta =. Il calcolo della derivata parziale (, ) corrisponde al calcolo della derivata della funzione di una sola variabile di cui l intersezione delle due superfici sottostanti rappresenta il grafico Dal punto di vista del calcolo, ad esempio, se f(, ) = + + e, si ha: (, ) = + + e, (, ) = + e. Oppure, se f(, ) = e, (, ) = e, (, ) = e. Se in punto (, ) esistono le due derivate parziali di f, si definisce il gradiente di f nel punto (, ) come segue: f(, ) = ( (, ), ) (, ). Si può dimostrare che, se le due derivate parziali sono sufficientemente regolari (per esempio, funzioni continue nel punto (, )), valgono le seguenti proprietà: 6

6 i) il gradiente nel punto (, ) è perpendicolare alla curva di livello passante per quel punto, e la sua direzione e verso indicano la direzione di massima crescita della funzione. Nella figura sottostante sono tracciate alcune curve di livello di una funzione, e i gradienti relativi a due punti; si noti che la lunghezza del vettore è legata alla rapidità di variazione della funzione vicino al punto. ii) il piano di equazione z = f(, ) + (, )( ) + (, )( ) è tangente al grafico della funzione nel punto (,, f(, )). Nella figura sottostante è rappresentato il grafico della funzione f(, ) = + e del suo piano tangente nel punto (,, 5)

7 Si osservi che il piano tangente alla superficie z = f(, ), in un determinato punto, è la naturale estensione al caso di funzioni di due variabili della retta tangente al grafico di una funzione f in un punto fissato. In particolare, supponiamo che (, ) sia un punto di massimo o di minimo relativo per f; cioè, per un conveniente r > e per ogni (, ) con (, ) (, ) < r, si ha oppure Allora, deve essere f(, ) = (, ), cioè f(, ) f(, ), f(, ) f(, ). (, ) =, (, ) =. Si dice che il punto (, ) è stazionario per f. Geometricamente, il piano tangente al grafico di f nel punto (,, f(, )) è orizzontale ESEMPIO. Alcune funzioni molto utilizzate in Economia sono le funzione di Cobb Douglas, definite da f : IR + IR, f(, ) = kα α, 8

8 con α (, ) e k >. Il grafico seguente corrisponde al valore α = / Le curve di livello γ, γ e γ 6, che al crescere del livello si spostano verso l alto, hanno l andamento qualitativo seguente,,,, È evidente che la funzione f non ha punti stazionari sul quadrante positivo (né altrove). Se si impone un vincolo al dominio, ad esempio, + = 6, il grafico della funzione ristretta 9

9 a tale insieme corrisponde all intersezione del grafico originario con il piano verticale

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